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Funciones de varias variables

Este documento presenta información sobre sistemas de coordenadas. Explica qué son las coordenadas y cómo se usan para describir la posición de puntos en un espacio. Luego describe sistemas de coordenadas específicos como las coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. También cubre temas como la transformación entre sistemas de coordenadas y conceptos de simetría.

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República Bolivariana De Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Sede Barcelona-Edo. Anzoátegui
Profesor:
Pedro Beltrán
Alumna:
Romina Méndez
Arquitectura-3er semestre
C.I: 28.649.607
Introducción
El espacio se compone de puntos y para describir los puntos y distinguir los
unos de otros necesitamos ponerle un nombre a cada uno. Un sistema de
nombres que identifica de forma individual a cada punto del espacio se
denomina un sistema de coordenadas. Existen infinitos posibles sistemas de
coordenadas. Sin embargo, para que un sistema de coordenadas sea útil para el
cálculo, debe cumplir una serie de requisitos: Las coordenadas deben ser
funciones numéricas de la posición ,en el espacio tridimensional ordinario, una
terna de coordenadas debe corresponder de forma unívoca a un punto y en la
medida de lo posible , cada punto debe venir representado por una sola terna
de coordenadas. Además se tocaran temas como la Transformación entre los
diferentes sistemas de coordenadas, la Simetría , Funciones de varias variables
y el Dominio de funciones de varias variables.
Sistema de coordenadas.
Un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para
determinar unívocamente la posición de un punto u objeto geométrico. El orden en que se
escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en
una tupla ordenada; también se las puede representar con letras, como por ejemplo «la
coordenada-x».
Un ejemplo corriente es el sistema que asigna longitud y latitud para localizar coordenadas
geográficas.
Las coordenadas son grupos de números que describen una posición: posición a lo largo de una
línea, en una superficie o en el espacio.
Así en el eje de los números reales, x=4 se indica de la siguiente manera
Este tipo de sistema de coordenadas lo asociamos con el conjunto de los números reales R.
Similarmente, cuando nos propongamos analizar un fenómeno en que se involucran dos
variables (que es el caso del plano), denotaremos el conjunto de los valores que pueden tomar
ambas, como pertenecientes a subconjuntos de R2. Ya en el espacio estableceremos algo similar
para R3. No hay que tener mucha imaginación para deducir que se puede hablar de espacios n-
dimensionales en que los valores de las variables de una función los asociaremos con
subconjuntos de Rn.
Ejemplos de coordenadas
El origen siempre está situado en las coordenadas (0,0). Es decir, está lo más a la izquierda y
abajo posible. O es un punto especial, desde él comienzan los ejes de coordenadas y está “0
posiciones a la derecha y 0 posiciones arriba”. Éste es el punto desde el que se empieza a contar.
Entonces (0,3) estaría 0 posiciones a la derecha y 3 arriba. Y (5,0) 5 posiciones a la derecha y 0
arriba.
Por ejemplo, un avión azul en las coordenadas
(3,2) ¿Dónde se localizaría?
La primera coordenada nos indica la posición en el
eje X. Hay que contar 3 posiciones desde el origen
hacia la derecha. Y la segunda coordenada la
posición del eje Y, contar 2 posiciones hacia arriba.
Así situamos al avión azul 3 posiciones a la derecha
del origen y 2 hacia arriba.
Ejemplos de coordenadas
Ahora vamos a ver el ejemplo inverso. Colocamos el objeto y debemos indicar en
qué coordenadas se encuentra. ¿En qué coordenadas está el árbol amarillo?
Podemos ver que está situado dos posiciones a la
derecha del origen (eje X) y 4 hacia arriba (eje
Y). Primero se escribe la coordenada del eje X y
luego la del eje Y.
El árbol amarillo está en las coordenadas (2,4).
¿Para qué sirven las coordenadas?
Además de su uso en matemáticas, la utilidad cotidiana de las coordenadas
cartesianas suele ser localizar sitios en los mapas. Los planos suelen estar divididos en
sectores con ejes horizontales y verticales. El mapa puede ser de unas pocas calles,
una ciudad o del globo terráqueo entero. Así se puede saber dónde vive un amigo de
tu barrio, dónde te encuentras en la visita a una ciudad o dónde está la atracción a la
que quieres ir en el parque de atracciones.
Otro contexto en el que encontramos frecuentemente planos y coordenadas es
cuando ponemos el GPS. Pero cuidado, el GPS no da coordenadas cartesianas aunque
en la pantalla del móvil veamos un plano, la tierra es esférica y el GPS se geolocaliza
utilizando satélites sobre la superficie de la tierra. Los valores que utiliza el GPS son
los de la latitud (lo mucho o poco que estemos al norte o al sur del ecuador), y
la longitud (que mide si estamos al este o al oeste del meridiano de Greenwich).
Puedes consultar nuestro post sobre qué es un ángulo y como se mide.
Coordenadas Cartesianas.
Las coordenadas cartesianas (sistema cartesiano) son un tipo
de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la
representación gráfica de una relación matemática(funciones
matemáticas y ecuaciones de geometría analítica), o
del movimiento o posición en física, caracterizadas por tener como
referencia ejes ortogonales entre sí que concurren en el punto
origen.
En las coordenadas cartesianas se determinan las coordenadas al
origen como la longitud de cada una de las proyecciones
ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes.
La denominación de 'cartesiano' se introdujo en honor de René
Descartes, quien las utilizó por primera vez de manera formal.
El sistema en sí es un sistema bidimensional, que se denomina plano cartesiano. El punto de
intersección de las rectas, por definición, se considera como el punto cero de las rectas y se conoce
como origen de las coordenadas. Al eje horizontal o de las abscisas se le asigna los números reales
de las equis ("x"); y al eje vertical o de las ordenadas se le asignan los números reales de las ye ("y")
Al cortarse las dos rectas, dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que se conocen con
el nombre de cuadrantes:
- Primer cuadrante "I": Región superior derecha
-Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda
-Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda
-Cuarto cuadrante "IV": Región inferior derecha
El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a cualquier punto
en el plano. En la gráfica se indica el punto +2 en las abscisas y +3 en las
ordenadas. El conjunto (2 , 3) se denomina "par ordenado" y del mismo modo
se pueden ubicar otros puntos. el cuadrante tienes 4 puntos negativo y
positivo ya que el lado izquierdo se le llama negativo que es -x, -y y lado
derecho es positivo +x,+y.
Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema
cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto
a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí
(plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el
plano, las coordenadas cartesianas se denominan abscisa y ordenada. La abscisa es la
coordenada horizontal y se representa habitualmente por la letra x, mientras que la
ordenada es la coordenada vertical y se representa por la y.
Coordenadas Cilíndricas
El sistema de coordenadas cilíndricas se usa para
representar los puntos de un espacio
euclídeo tridimensional. Resulta especialmente útil en
problemas con simetría axial. Este sistema de
coordenadas es una generalización del sistema de
coordenadas polares del plano euclídeo, al que se
añade un tercer eje de referencia ortogonal a los otros
dos. La primera coordenada es la distancia existente
entre el eje Z y el punto, la segunda es el ángulo que
forman el eje X y la recta que pasa por ambos puntos,
mientras que la tercera es la coordenada z que
determina la altura del cilindro.
Las coordenadas cilíndricas y esféricas constituyen generalizaciones de las coordenadas
polares en el espacio tridimensional.
En el sistema de coordenadas cilíndricas un punto P del espacio se representa por un trio
ordenado (r, q, z), tal que:
v (r, q) es una representación polar de la proyección de P en el plano XY.
v z es la distancia de (r, q) a P.
r puede tomar los valores desde 0 a ∞. Los valores de q estarán entre 0 y 2p.
El nombre de coordenadas cilíndricas se origina del hecho de que la gráfica r = c es un cilindro
circular recto. Las coordenadas cilíndricas se utilizan con frecuencia en aquellos problemas
reales en los que existe un eje de simetría.
Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas
esféricas se usa en espacios euclidianos tridimensionales. Este sistema de
coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente ortogonales que se
cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el
punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la
posición del punto.
Coordenadas Esféricas
En el sistema de coordenadas esféricas un punto P del espacio se representa por
un trío ordenado (r, q, f) donde:
v r es la distancia orientada desde O hasta P, (valores de r  0).
v q es el mismo ángulo que el usado en coordenadas cilíndricas, (0  q < 2 p).
v f es el ángulo entre el eje z y el segmento O- r, (0  f  p).
Transformación entre los diferentes
sistemas de coordenadas
Muchas visualizaciones se muestran en un sistema de coordenadas plano y rectangular. Puede
transformar el sistema de coordenadas según sea necesario. Por ejemplo puede aplicar una
transformación polar al sistema de coordenadas, añadir efectos de sombra en sentido oblicuo y
transponer los ejes. También puede deshacer cualquiera de estas transformaciones si ya se aplicaron a
la visualización actual. Por ejemplo, se dibuja un gráfico circular en un sistema de coordenadas
polares. Puede deshacer la transformación polar y mostrar el gráfico circular como una única barra
apilada en un sistema de coordenadas rectangular.
Para transformar el sistema de coordenadas
1. Seleccione el sistema de coordenadas que desee transformar. El sistema de coordenadas se
selecciona eligiendo el marco que ronde el gráfico individual.
2. Pulse en la pestaña Coordenadas de la paleta Propiedades.
3. Seleccione las transformaciones que desee aplicar al sistema de coordenadas. También puede
cancelar la selección de una transformación para deshacerla.
Transpuesto. El cambio de orientación de los ejes se denomina transposición. Es como intercambiar los ejes vertical y
horizontal en una visualización 2-D.
Polar. Una transformación polar dibuja los elementos gráficos con un ángulo y una distancia específicos desde el centro
del gráfico. Un gráfico circular es una visualización de una dimensión con una transformación polar que dibuja las
barras individuales con ángulos específicos. Un gráfico radial es una visualización 2-D con una transformación polar que
dibuja elementos gráficos con ángulos y distancias específicos desde el centro del gráfico. Una visualización 3-D
también incluye una dimensión de profundidad adicional.
Oblicuo. Una transformación oblicua añade un efecto 3-D a los elementos gráficos. Esta transformación añade
profundidad a los elementos gráficos, pero su profundidad es meramente decorativa. No se ve influenciado por valores
de datos concretos.
Misma proporción. Si se aplica la misma proporción se especifica que la misma distancia en cada escala represente la
misma diferencia de valores de datos. Por ejemplo, 2 cm en ambas escalas representan una diferencia de 1000.
% del recuadro antes de transformación. Si tras la transformación se recortan los ejes, puede que desee añadir
recuadros al gráfico antes de aplicar la transformación. Los recuadros reducen las dimensiones en un porcentaje antes
de aplicar transformaciones al sistema de coordenadas. Tiene control sobre las
dimensiones x inferior, x superior, y inferior e y superior, en ese orden.
% del recuadro tras la transformación. Si desea cambiar la relación de aspecto de un gráfico, puede añadirle
recuadros tras aplicar transformación. Los recuadros reducen las dimensiones en un porcentaje después de aplicar
transformaciones al sistema de coordenadas. Estos recuadros también pueden aplicarse aunque no se haya realizado
ninguna transformación en el gráfico. Tiene control sobre las dimensiones x inferior, x superior, y inferior e y superior,
en ese orden.
Simetría
La simetría es una característica presente en numerosas ramas de las matemáticas, y por lo tanto no se
limita como pudiera parecer a primera vista a la geometría. Es un tipo de invariancia: la propiedad de
que un objeto matemático permanece sin cambios bajo un determinado conjunto
de operaciones o transformaciones.
Dado un objeto estructurado X de cualquier tipo, una simetría es una aplicación del objeto sobre sí
mismo que conserva su estructura. Esto puede ocurrir de muchas maneras; por ejemplo, si X es un
conjunto sin estructura adicional, una simetría es una aplicación biyectiva de un conjunto sobre sí
mismo, dando lugar a un grupo de permutaciones. Si el objeto X es un conjunto de puntos en el plano
con su estructura métrica o cualquier otro espacio métrico, una simetría es un función biyectiva del
conjunto en sí mismo que conserva la distancia entre cada par de puntos (es decir, es una isometría).
En general, cada tipo de estructura en matemáticas tendrá su propio tipo de simetría, muchas de las
cuales se enumeran en las entradas mencionadas anteriormente.
¿Qué es un eje de simetría?
Una figura simétrica puede tener uno o varios ejes de simetría, que sería la recta o rectas que parten la
figura en dos partes simétricas.
Existen muchos tipos de simetría pero entre los mas destacados están:
-En primer lugar, la simetría axial o respecto a una recta es la que parte en dos los objetos o figuras a
través de una línea recta, es decir, mediante un eje de simetría. Este tipo de simetría se podría asemejar a
cuando nos miramos al espejo y reflejamos nuestra imagen en él.
-Decimos que una o varias figuras presentan simetría rotacional cuando no se alteran al girarlas un
determinado ángulo. La estrella de cuatro puntas de la imagen anterior presenta simetría rotacional,
porque si la giras 90º (o cualquier múltiplo de 90º) se ve igual.
-Un tercer tipo de simetría que se da en el plano es la simetría respecto a un punto o simetría central. Dos
puntos son simétricos respecto de un punto -que llamaremos centro de simetría- si están a la misma
distancia de éste y en la misma recta. La simetría central produce el mismo efecto que un giro de 180
grados.
Tipos de Simetría
Los dos pentágonos son
simétricos respecto al
punto verde, que es el
centro de simetría.
Funciones de varias variables
Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra,
cumplen la misma definición de función; una relación. La diferencia es que
una variable dependiente estará regida por más de una variable
independiente. Es muy común trabajar con funciones de tres variables,
generalmente llamadas z = f( x, y). La idea de relación es más compleja
puesto que el valor de z depende no solo del valor de x o de y, sino de
puntos coordenados a los que les corresponde un valor de z.
Casi por impulso, se tiende a graficar una función para observar su
comportamiento y entenderlo con más claridad. Las funciones de
varias variables no están exentas de ello. El problema es que no
todas las funciones de varias variables se pueden graficar. De
hecho, el máximo número de variables que permite graficar es de
tres variables. ¿Por qué? Pues porque dimensionalmente no se
pueden observar más de tres variables interactuando entre sí, o al
menos no gráficamente. Un ejemplo de como se ve una función de
tres variables es el siguiente:
Sí, un paraboloide es una función de tres variables. Varias superficies tridimensionales son funciones
de tres variables. Los planos, paraboloides, etcétera. Pero, no todas las gráficas en tercera dimensión
son funciones. ¿Cómo saberlo? Aplicando la prueba de la recta vertical. Tanto en funciones de dos
variables como de tres, la recta vertical sirve para demostrar que una gráfica no es función. Una
esfera, por ejemplo, no es función puesto que no pasa dicha prueba; esto significa que a un mismo
punto coordenados (x, y) le corresponden dos valores de z. Rompe con la definición de función.
Dominio de funciones de varias variables
Es posible hablar del dominio e imagen (rango) de una función de varias variables, en el mismo
sentido que las funciones de una variable. Por ejemplo, el dominio es el conjunto de puntos donde
las operaciones a través de las cuales se define la función, se pueden realizar.
Ejemplo: Determina el dominio de la función f(x,y)=
1
x−y.
SOLUCIÓN: Es claro que todas las operaciones se pueden realizar cuando el denominador no es cero.
Así pues, los elementos que no se encuentran en el dominio, son aquellos donde x−y=0, es decir x=y.
De esta manera
Dom(f)={(x,y)∈R2:x≠y}
Es de uso corriente, decir en estos casos, que el dominio es todo R2, excepto, los puntos sobre la
identidad.
A continuación se muestra una gráfica de la función
Observe que la gráfica está rota exactamente donde x=y, es decir, en los elementos
que no se encuentran en el dominio. Una parte de la función va hacia "arriba" y otra
hacia "abajo".
Ejemplo: Determina el dominio de la función f(x,y)=
ln(xy)
x√+y√.
SOLUCIÓN: Aparecen tres funciones diferentes en f(x,y): ln(xy), x√ y y√. De estas tres
funciones y sus dominios, se generan restricciones inmediatas: xy>0, x≥0 y y≥0.
Evidentemente, para que las operaciones de f se puedan realizar las tres se deben
cumplir, de donde x>0 y y>0. Esto es,
Dom(f)={(x,y)∈R2:x>0,y>0}
Realizando la gráfica de la función
con un software se obtiene:
En el gráfico anterior se muestra una vista tridimensional de f.
En el siguiente, una vista aérea desde el eje Z, donde se aprecia el dominio
de f, constituido por los puntos del primer cuadrante, donde x>0 y y>0.
Conclusión
Como sabemos un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más
números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto u
objeto geométrico. El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a
veces se las identifica por su posición en una tupla ordenada. Por otro lado se dice
que una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del
primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto. Existen
funciones comunes que poseen una variable independiente (x) y una variable
dependiente (y) .También están las funciones de varias variables, que se
diferencian de las otras al poseer una variable dependiente que estará regida por
más de una variable independiente. Para terminar agregamos que la simetría es
una característica presente en numerosas ramas de las matemáticas, es un tipo
de invariancia: la propiedad de que un objeto matemático permanece sin cambios
bajo un determinado conjunto de operaciones o transformaciones.
Anexos
1.https://www.youtube.com/watch?v=QTrE4x5DPZ8&ab_channel=Matem%
C3%A1ticasprofeAlex
2.https://www.youtube.com/watch?v=mNh0nMN3Tw&ab_channel=Profesor
ParticularPuebla
3.https://www.youtube.com/watch?v=hHGmnFMGCk&pbjreload=101&ab_c
hannel=Matem%C3%A1ticasprofeAlex
Bibliografía
-https://www.smartick.es/blog/matematicas/geometria/coordenadas/
-https://navarrof.orgfree.com/Docencia/MatematicasIV/UT1/sistemas_de_coordenada
s.htm
-https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas
-https://pro.arcgis.com/es/pro-app/help/mapping/properties/coordinate-systems-and--
projections.htm
-https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricas
-https://www.ibm.com/support/knowledgecenter/es/SSLVMB_sub/statistics_mainhelp
_ddita/vis_workbench/graphboard_coordinates.html
-https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/funciones-de-varias-variables

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Funciones de varias variables

  • 1. República Bolivariana De Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” Sede Barcelona-Edo. Anzoátegui Profesor: Pedro Beltrán Alumna: Romina Méndez Arquitectura-3er semestre C.I: 28.649.607
  • 2. Introducción El espacio se compone de puntos y para describir los puntos y distinguir los unos de otros necesitamos ponerle un nombre a cada uno. Un sistema de nombres que identifica de forma individual a cada punto del espacio se denomina un sistema de coordenadas. Existen infinitos posibles sistemas de coordenadas. Sin embargo, para que un sistema de coordenadas sea útil para el cálculo, debe cumplir una serie de requisitos: Las coordenadas deben ser funciones numéricas de la posición ,en el espacio tridimensional ordinario, una terna de coordenadas debe corresponder de forma unívoca a un punto y en la medida de lo posible , cada punto debe venir representado por una sola terna de coordenadas. Además se tocaran temas como la Transformación entre los diferentes sistemas de coordenadas, la Simetría , Funciones de varias variables y el Dominio de funciones de varias variables.
  • 3. Sistema de coordenadas. Un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto u objeto geométrico. El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en una tupla ordenada; también se las puede representar con letras, como por ejemplo «la coordenada-x». Un ejemplo corriente es el sistema que asigna longitud y latitud para localizar coordenadas geográficas.
  • 4. Las coordenadas son grupos de números que describen una posición: posición a lo largo de una línea, en una superficie o en el espacio. Así en el eje de los números reales, x=4 se indica de la siguiente manera Este tipo de sistema de coordenadas lo asociamos con el conjunto de los números reales R. Similarmente, cuando nos propongamos analizar un fenómeno en que se involucran dos variables (que es el caso del plano), denotaremos el conjunto de los valores que pueden tomar ambas, como pertenecientes a subconjuntos de R2. Ya en el espacio estableceremos algo similar para R3. No hay que tener mucha imaginación para deducir que se puede hablar de espacios n- dimensionales en que los valores de las variables de una función los asociaremos con subconjuntos de Rn.
  • 5. Ejemplos de coordenadas El origen siempre está situado en las coordenadas (0,0). Es decir, está lo más a la izquierda y abajo posible. O es un punto especial, desde él comienzan los ejes de coordenadas y está “0 posiciones a la derecha y 0 posiciones arriba”. Éste es el punto desde el que se empieza a contar. Entonces (0,3) estaría 0 posiciones a la derecha y 3 arriba. Y (5,0) 5 posiciones a la derecha y 0 arriba. Por ejemplo, un avión azul en las coordenadas (3,2) ¿Dónde se localizaría? La primera coordenada nos indica la posición en el eje X. Hay que contar 3 posiciones desde el origen hacia la derecha. Y la segunda coordenada la posición del eje Y, contar 2 posiciones hacia arriba. Así situamos al avión azul 3 posiciones a la derecha del origen y 2 hacia arriba.
  • 6. Ejemplos de coordenadas Ahora vamos a ver el ejemplo inverso. Colocamos el objeto y debemos indicar en qué coordenadas se encuentra. ¿En qué coordenadas está el árbol amarillo? Podemos ver que está situado dos posiciones a la derecha del origen (eje X) y 4 hacia arriba (eje Y). Primero se escribe la coordenada del eje X y luego la del eje Y. El árbol amarillo está en las coordenadas (2,4).
  • 7. ¿Para qué sirven las coordenadas? Además de su uso en matemáticas, la utilidad cotidiana de las coordenadas cartesianas suele ser localizar sitios en los mapas. Los planos suelen estar divididos en sectores con ejes horizontales y verticales. El mapa puede ser de unas pocas calles, una ciudad o del globo terráqueo entero. Así se puede saber dónde vive un amigo de tu barrio, dónde te encuentras en la visita a una ciudad o dónde está la atracción a la que quieres ir en el parque de atracciones. Otro contexto en el que encontramos frecuentemente planos y coordenadas es cuando ponemos el GPS. Pero cuidado, el GPS no da coordenadas cartesianas aunque en la pantalla del móvil veamos un plano, la tierra es esférica y el GPS se geolocaliza utilizando satélites sobre la superficie de la tierra. Los valores que utiliza el GPS son los de la latitud (lo mucho o poco que estemos al norte o al sur del ecuador), y la longitud (que mide si estamos al este o al oeste del meridiano de Greenwich). Puedes consultar nuestro post sobre qué es un ángulo y como se mide.
  • 8. Coordenadas Cartesianas. Las coordenadas cartesianas (sistema cartesiano) son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la representación gráfica de una relación matemática(funciones matemáticas y ecuaciones de geometría analítica), o del movimiento o posición en física, caracterizadas por tener como referencia ejes ortogonales entre sí que concurren en el punto origen. En las coordenadas cartesianas se determinan las coordenadas al origen como la longitud de cada una de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. La denominación de 'cartesiano' se introdujo en honor de René Descartes, quien las utilizó por primera vez de manera formal.
  • 9. El sistema en sí es un sistema bidimensional, que se denomina plano cartesiano. El punto de intersección de las rectas, por definición, se considera como el punto cero de las rectas y se conoce como origen de las coordenadas. Al eje horizontal o de las abscisas se le asigna los números reales de las equis ("x"); y al eje vertical o de las ordenadas se le asignan los números reales de las ye ("y") Al cortarse las dos rectas, dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que se conocen con el nombre de cuadrantes: - Primer cuadrante "I": Región superior derecha
  • 10. -Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda -Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda
  • 11. -Cuarto cuadrante "IV": Región inferior derecha El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a cualquier punto en el plano. En la gráfica se indica el punto +2 en las abscisas y +3 en las ordenadas. El conjunto (2 , 3) se denomina "par ordenado" y del mismo modo se pueden ubicar otros puntos. el cuadrante tienes 4 puntos negativo y positivo ya que el lado izquierdo se le llama negativo que es -x, -y y lado derecho es positivo +x,+y.
  • 12. Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas se denominan abscisa y ordenada. La abscisa es la coordenada horizontal y se representa habitualmente por la letra x, mientras que la ordenada es la coordenada vertical y se representa por la y.
  • 13. Coordenadas Cilíndricas El sistema de coordenadas cilíndricas se usa para representar los puntos de un espacio euclídeo tridimensional. Resulta especialmente útil en problemas con simetría axial. Este sistema de coordenadas es una generalización del sistema de coordenadas polares del plano euclídeo, al que se añade un tercer eje de referencia ortogonal a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el eje Z y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje X y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada z que determina la altura del cilindro.
  • 14. Las coordenadas cilíndricas y esféricas constituyen generalizaciones de las coordenadas polares en el espacio tridimensional. En el sistema de coordenadas cilíndricas un punto P del espacio se representa por un trio ordenado (r, q, z), tal que: v (r, q) es una representación polar de la proyección de P en el plano XY. v z es la distancia de (r, q) a P. r puede tomar los valores desde 0 a ∞. Los valores de q estarán entre 0 y 2p. El nombre de coordenadas cilíndricas se origina del hecho de que la gráfica r = c es un cilindro circular recto. Las coordenadas cilíndricas se utilizan con frecuencia en aquellos problemas reales en los que existe un eje de simetría.
  • 15. Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas esféricas se usa en espacios euclidianos tridimensionales. Este sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente ortogonales que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto. Coordenadas Esféricas
  • 16. En el sistema de coordenadas esféricas un punto P del espacio se representa por un trío ordenado (r, q, f) donde: v r es la distancia orientada desde O hasta P, (valores de r  0). v q es el mismo ángulo que el usado en coordenadas cilíndricas, (0  q < 2 p). v f es el ángulo entre el eje z y el segmento O- r, (0  f  p).
  • 17. Transformación entre los diferentes sistemas de coordenadas Muchas visualizaciones se muestran en un sistema de coordenadas plano y rectangular. Puede transformar el sistema de coordenadas según sea necesario. Por ejemplo puede aplicar una transformación polar al sistema de coordenadas, añadir efectos de sombra en sentido oblicuo y transponer los ejes. También puede deshacer cualquiera de estas transformaciones si ya se aplicaron a la visualización actual. Por ejemplo, se dibuja un gráfico circular en un sistema de coordenadas polares. Puede deshacer la transformación polar y mostrar el gráfico circular como una única barra apilada en un sistema de coordenadas rectangular. Para transformar el sistema de coordenadas 1. Seleccione el sistema de coordenadas que desee transformar. El sistema de coordenadas se selecciona eligiendo el marco que ronde el gráfico individual. 2. Pulse en la pestaña Coordenadas de la paleta Propiedades. 3. Seleccione las transformaciones que desee aplicar al sistema de coordenadas. También puede cancelar la selección de una transformación para deshacerla.
  • 18. Transpuesto. El cambio de orientación de los ejes se denomina transposición. Es como intercambiar los ejes vertical y horizontal en una visualización 2-D. Polar. Una transformación polar dibuja los elementos gráficos con un ángulo y una distancia específicos desde el centro del gráfico. Un gráfico circular es una visualización de una dimensión con una transformación polar que dibuja las barras individuales con ángulos específicos. Un gráfico radial es una visualización 2-D con una transformación polar que dibuja elementos gráficos con ángulos y distancias específicos desde el centro del gráfico. Una visualización 3-D también incluye una dimensión de profundidad adicional. Oblicuo. Una transformación oblicua añade un efecto 3-D a los elementos gráficos. Esta transformación añade profundidad a los elementos gráficos, pero su profundidad es meramente decorativa. No se ve influenciado por valores de datos concretos. Misma proporción. Si se aplica la misma proporción se especifica que la misma distancia en cada escala represente la misma diferencia de valores de datos. Por ejemplo, 2 cm en ambas escalas representan una diferencia de 1000. % del recuadro antes de transformación. Si tras la transformación se recortan los ejes, puede que desee añadir recuadros al gráfico antes de aplicar la transformación. Los recuadros reducen las dimensiones en un porcentaje antes de aplicar transformaciones al sistema de coordenadas. Tiene control sobre las dimensiones x inferior, x superior, y inferior e y superior, en ese orden. % del recuadro tras la transformación. Si desea cambiar la relación de aspecto de un gráfico, puede añadirle recuadros tras aplicar transformación. Los recuadros reducen las dimensiones en un porcentaje después de aplicar transformaciones al sistema de coordenadas. Estos recuadros también pueden aplicarse aunque no se haya realizado ninguna transformación en el gráfico. Tiene control sobre las dimensiones x inferior, x superior, y inferior e y superior, en ese orden.
  • 19. Simetría La simetría es una característica presente en numerosas ramas de las matemáticas, y por lo tanto no se limita como pudiera parecer a primera vista a la geometría. Es un tipo de invariancia: la propiedad de que un objeto matemático permanece sin cambios bajo un determinado conjunto de operaciones o transformaciones. Dado un objeto estructurado X de cualquier tipo, una simetría es una aplicación del objeto sobre sí mismo que conserva su estructura. Esto puede ocurrir de muchas maneras; por ejemplo, si X es un conjunto sin estructura adicional, una simetría es una aplicación biyectiva de un conjunto sobre sí mismo, dando lugar a un grupo de permutaciones. Si el objeto X es un conjunto de puntos en el plano con su estructura métrica o cualquier otro espacio métrico, una simetría es un función biyectiva del conjunto en sí mismo que conserva la distancia entre cada par de puntos (es decir, es una isometría). En general, cada tipo de estructura en matemáticas tendrá su propio tipo de simetría, muchas de las cuales se enumeran en las entradas mencionadas anteriormente. ¿Qué es un eje de simetría? Una figura simétrica puede tener uno o varios ejes de simetría, que sería la recta o rectas que parten la figura en dos partes simétricas.
  • 20. Existen muchos tipos de simetría pero entre los mas destacados están: -En primer lugar, la simetría axial o respecto a una recta es la que parte en dos los objetos o figuras a través de una línea recta, es decir, mediante un eje de simetría. Este tipo de simetría se podría asemejar a cuando nos miramos al espejo y reflejamos nuestra imagen en él. -Decimos que una o varias figuras presentan simetría rotacional cuando no se alteran al girarlas un determinado ángulo. La estrella de cuatro puntas de la imagen anterior presenta simetría rotacional, porque si la giras 90º (o cualquier múltiplo de 90º) se ve igual. -Un tercer tipo de simetría que se da en el plano es la simetría respecto a un punto o simetría central. Dos puntos son simétricos respecto de un punto -que llamaremos centro de simetría- si están a la misma distancia de éste y en la misma recta. La simetría central produce el mismo efecto que un giro de 180 grados. Tipos de Simetría Los dos pentágonos son simétricos respecto al punto verde, que es el centro de simetría.
  • 21. Funciones de varias variables Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la misma definición de función; una relación. La diferencia es que una variable dependiente estará regida por más de una variable independiente. Es muy común trabajar con funciones de tres variables, generalmente llamadas z = f( x, y). La idea de relación es más compleja puesto que el valor de z depende no solo del valor de x o de y, sino de puntos coordenados a los que les corresponde un valor de z.
  • 22. Casi por impulso, se tiende a graficar una función para observar su comportamiento y entenderlo con más claridad. Las funciones de varias variables no están exentas de ello. El problema es que no todas las funciones de varias variables se pueden graficar. De hecho, el máximo número de variables que permite graficar es de tres variables. ¿Por qué? Pues porque dimensionalmente no se pueden observar más de tres variables interactuando entre sí, o al menos no gráficamente. Un ejemplo de como se ve una función de tres variables es el siguiente: Sí, un paraboloide es una función de tres variables. Varias superficies tridimensionales son funciones de tres variables. Los planos, paraboloides, etcétera. Pero, no todas las gráficas en tercera dimensión son funciones. ¿Cómo saberlo? Aplicando la prueba de la recta vertical. Tanto en funciones de dos variables como de tres, la recta vertical sirve para demostrar que una gráfica no es función. Una esfera, por ejemplo, no es función puesto que no pasa dicha prueba; esto significa que a un mismo punto coordenados (x, y) le corresponden dos valores de z. Rompe con la definición de función.
  • 23. Dominio de funciones de varias variables Es posible hablar del dominio e imagen (rango) de una función de varias variables, en el mismo sentido que las funciones de una variable. Por ejemplo, el dominio es el conjunto de puntos donde las operaciones a través de las cuales se define la función, se pueden realizar. Ejemplo: Determina el dominio de la función f(x,y)= 1 x−y. SOLUCIÓN: Es claro que todas las operaciones se pueden realizar cuando el denominador no es cero. Así pues, los elementos que no se encuentran en el dominio, son aquellos donde x−y=0, es decir x=y. De esta manera Dom(f)={(x,y)∈R2:x≠y} Es de uso corriente, decir en estos casos, que el dominio es todo R2, excepto, los puntos sobre la identidad.
  • 24. A continuación se muestra una gráfica de la función Observe que la gráfica está rota exactamente donde x=y, es decir, en los elementos que no se encuentran en el dominio. Una parte de la función va hacia "arriba" y otra hacia "abajo".
  • 25. Ejemplo: Determina el dominio de la función f(x,y)= ln(xy) x√+y√. SOLUCIÓN: Aparecen tres funciones diferentes en f(x,y): ln(xy), x√ y y√. De estas tres funciones y sus dominios, se generan restricciones inmediatas: xy>0, x≥0 y y≥0. Evidentemente, para que las operaciones de f se puedan realizar las tres se deben cumplir, de donde x>0 y y>0. Esto es, Dom(f)={(x,y)∈R2:x>0,y>0} Realizando la gráfica de la función con un software se obtiene:
  • 26. En el gráfico anterior se muestra una vista tridimensional de f. En el siguiente, una vista aérea desde el eje Z, donde se aprecia el dominio de f, constituido por los puntos del primer cuadrante, donde x>0 y y>0.
  • 27. Conclusión Como sabemos un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto u objeto geométrico. El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en una tupla ordenada. Por otro lado se dice que una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto. Existen funciones comunes que poseen una variable independiente (x) y una variable dependiente (y) .También están las funciones de varias variables, que se diferencian de las otras al poseer una variable dependiente que estará regida por más de una variable independiente. Para terminar agregamos que la simetría es una característica presente en numerosas ramas de las matemáticas, es un tipo de invariancia: la propiedad de que un objeto matemático permanece sin cambios bajo un determinado conjunto de operaciones o transformaciones.