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Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado

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Ecuaciones de
segundo grado
Ecuaciones de segundo grado
 Una ecuación con una incógnita se llama de segundo grado
si se puede expresar de la forma:
 ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0
 Las ecuaciones: x2 – 5x + 4 = 0; x2 + 1 = 0; 2x2 = 4x
 Son de segundo grado
 Las ecuaciones: x3 – 5x + 4 = 0; √x + 3 = 0; x-2 = 3x
 No son de segundo grado
 Si b = 0 o c = 0 la ecuación de segundo grado se denomina
incompleta y es más fácil calcular las soluciones
 x2 + 1 = 0 y 2x2 - 4x = 0
 Son ecuaciones de segundo grado incompletas
Resolución de ecuaciones de
segundo grado incompletas
 Resolver una ecuación es calcular sus soluciones
 Resolución de la ecuación ax2 + bx = 0, a ≠ 0:
 Se saca x factor común: x (ax + b) = 0
 Para que un producto de dos factores sea 0, uno de ellos
debe valer 0, luego x = 0 o ax + b = 0
 Las soluciones son:
 Ejemplo:
 Las soluciones de la ecuación 2x2 + 4x = 0 son:
 x1 = 0 y x2 = -2
a
b
xyx

 21 0
Resolución de ecuaciones de
segundo grado incompletas
 Resolución de la ecuación ax2 + c = 0, a ≠ 0:
 Se despeja x2: x2 = - c/a
 Se calcula la raíz cuadrada
 Las soluciones son:
 Sólo se puede calcular la raíz cuadrada si el cociente - c/a
es un número positivo. Si es negativo se dice que la
ecuación no tiene solución.
Ejemplos:
 Las soluciones de la ecuación 2x2 - 4 = 0 son:
 x1 = 2 y x2 = -2
 La ecuación 2x2 + 4 = 0, no tiene solución
a
c
xy
a
c
x



 21
Fórmula general de la
ecuación de segundo grado
 Las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0
son:
 Observa que hay dos soluciones una sumando la raíz y
la otra, restándola.
 Ejemplos:
 Las soluciones de la ecuación x2 - 5 x + 4 = 0 son:
 x1 = 1 y x2 = 4
 La ecuación x2 + x + 1 = 0, no tiene solución.
a
acbb
x
2
42


El discriminante.
 El discriminante, ∆, es la expresión que hay
dentro de la raíz en la fórmula de las soluciones
de una ecuación de segundo grado.
 ∆ = b2 - 4ac
 Observa que:
 Si ∆ > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales.
 Si ∆ = 0, la ecuación tiene una solución real.
 Si ∆ > 0, la ecuación no tiene soluciones reales.
 Determina el número de soluciones de las ecuaciones:
 a) 2x2 + 6x + 5= 0; b) x2 + 4x + 4 = 0; c) x2 + x - 6= 0
 a) No tiene solución; b) tiene una solución c) tiene 2 soluciones.

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Ecuaciones de segundo grado

  • 2. Ecuaciones de segundo grado  Una ecuación con una incógnita se llama de segundo grado si se puede expresar de la forma:  ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0  Las ecuaciones: x2 – 5x + 4 = 0; x2 + 1 = 0; 2x2 = 4x  Son de segundo grado  Las ecuaciones: x3 – 5x + 4 = 0; √x + 3 = 0; x-2 = 3x  No son de segundo grado  Si b = 0 o c = 0 la ecuación de segundo grado se denomina incompleta y es más fácil calcular las soluciones  x2 + 1 = 0 y 2x2 - 4x = 0  Son ecuaciones de segundo grado incompletas
  • 3. Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas  Resolver una ecuación es calcular sus soluciones  Resolución de la ecuación ax2 + bx = 0, a ≠ 0:  Se saca x factor común: x (ax + b) = 0  Para que un producto de dos factores sea 0, uno de ellos debe valer 0, luego x = 0 o ax + b = 0  Las soluciones son:  Ejemplo:  Las soluciones de la ecuación 2x2 + 4x = 0 son:  x1 = 0 y x2 = -2 a b xyx   21 0
  • 4. Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas  Resolución de la ecuación ax2 + c = 0, a ≠ 0:  Se despeja x2: x2 = - c/a  Se calcula la raíz cuadrada  Las soluciones son:  Sólo se puede calcular la raíz cuadrada si el cociente - c/a es un número positivo. Si es negativo se dice que la ecuación no tiene solución. Ejemplos:  Las soluciones de la ecuación 2x2 - 4 = 0 son:  x1 = 2 y x2 = -2  La ecuación 2x2 + 4 = 0, no tiene solución a c xy a c x     21
  • 5. Fórmula general de la ecuación de segundo grado  Las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 son:  Observa que hay dos soluciones una sumando la raíz y la otra, restándola.  Ejemplos:  Las soluciones de la ecuación x2 - 5 x + 4 = 0 son:  x1 = 1 y x2 = 4  La ecuación x2 + x + 1 = 0, no tiene solución. a acbb x 2 42  
  • 6. El discriminante.  El discriminante, ∆, es la expresión que hay dentro de la raíz en la fórmula de las soluciones de una ecuación de segundo grado.  ∆ = b2 - 4ac  Observa que:  Si ∆ > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales.  Si ∆ = 0, la ecuación tiene una solución real.  Si ∆ > 0, la ecuación no tiene soluciones reales.  Determina el número de soluciones de las ecuaciones:  a) 2x2 + 6x + 5= 0; b) x2 + 4x + 4 = 0; c) x2 + x - 6= 0  a) No tiene solución; b) tiene una solución c) tiene 2 soluciones.
  • 7. Suma y producto de las soluciones  Si x1 y x2 son las soluciones de la ecuación de segundo grado x2 + bx + c = 0  x2 + bx + c = (x – x1)∙(x – x2) = x∙(x-x2) – x1∙(x-x2) = x2 – xx2 – x1x + x1x2 = x2 – (x1+x2)x + x1x2  Por lo tanto: x2 + bx + c = x2 –(x1+x2)x + x1x2  x1+ x2 = -b y x1∙x2 = c  Este resultado permite resolver mentalmente estas ecuaciones de segundo grado.  En general, si x1 y x2 son las soluciones de la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0  x1+x2 = -b/a y x1∙x2 = c/a
  • 8. Suma y producto de las soluciones  Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:  x2 - 6 x + 5 = 0  Soluciones: x1 = 1 y x2 = 5  x2 - 5 x + 6 = 0  Soluciones: x1 = 2 y x2 = 3  x2 - x - 6 = 0  Soluciones: x1 = -2 y x2 = 3  x2 + x - 6 = 0  Soluciones: x1 = -3 y x2 = 2  x2 + 5 x + 6 = 0  Soluciones: x1 = -3 y x2 = -2