1.
Ecuaciones de
segundo grado

2.
Ecuaciones de segundo grado
 Una ecuación con una incógnita se llama de segundo grado
si se puede expresar de la forma:
 ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0
 Las ecuaciones: x2 – 5x + 4 = 0; x2 + 1 = 0; 2x2 = 4x
 Son de segundo grado
 Las ecuaciones: x3 – 5x + 4 = 0; √x + 3 = 0; x-2 = 3x
 No son de segundo grado
 Si b = 0 o c = 0 la ecuación de segundo grado se denomina
incompleta y es más fácil calcular las soluciones
 x2 + 1 = 0 y 2x2 - 4x = 0
 Son ecuaciones de segundo grado incompletas

3.
Resolución de ecuaciones de
segundo grado incompletas
 Resolver una ecuación es calcular sus soluciones
 Resolución de la ecuación ax2 + bx = 0, a ≠ 0:
 Se saca x factor común: x (ax + b) = 0
 Para que un producto de dos factores sea 0, uno de ellos
debe valer 0, luego x = 0 o ax + b = 0
 Las soluciones son:
 Ejemplo:
 Las soluciones de la ecuación 2x2 + 4x = 0 son:
 x1 = 0 y x2 = -2
a
b
xyx

 21 0

4.
Resolución de ecuaciones de
segundo grado incompletas
 Resolución de la ecuación ax2 + c = 0, a ≠ 0:
 Se despeja x2: x2 = - c/a
 Se calcula la raíz cuadrada
 Las soluciones son:
 Sólo se puede calcular la raíz cuadrada si el cociente - c/a
es un número positivo. Si es negativo se dice que la
ecuación no tiene solución.
Ejemplos:
 Las soluciones de la ecuación 2x2 - 4 = 0 son:
 x1 = 2 y x2 = -2
 La ecuación 2x2 + 4 = 0, no tiene solución
a
c
xy
a
c
x



 21

5.
Fórmula general de la
ecuación de segundo grado
 Las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0
son:
 Observa que hay dos soluciones una sumando la raíz y
la otra, restándola.
 Ejemplos:
 Las soluciones de la ecuación x2 - 5 x + 4 = 0 son:
 x1 = 1 y x2 = 4
 La ecuación x2 + x + 1 = 0, no tiene solución.
a
acbb
x
2
42



6.
El discriminante.
 El discriminante, ∆, es la expresión que hay
dentro de la raíz en la fórmula de las soluciones
de una ecuación de segundo grado.
 ∆ = b2 - 4ac
 Observa que:
 Si ∆ > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales.
 Si ∆ = 0, la ecuación tiene una solución real.
 Si ∆ > 0, la ecuación no tiene soluciones reales.
 Determina el número de soluciones de las ecuaciones:
 a) 2x2 + 6x + 5= 0; b) x2 + 4x + 4 = 0; c) x2 + x - 6= 0
 a) No tiene solución; b) tiene una solución c) tiene 2 soluciones.

7.
Suma y producto de las soluciones
 Si x1 y x2 son las soluciones de la ecuación de
segundo grado x2 + bx + c = 0
 x2 + bx + c = (x – x1)∙(x – x2) = x∙(x-x2) – x1∙(x-x2) =
x2 – xx2 – x1x + x1x2 = x2 – (x1+x2)x + x1x2
 Por lo tanto: x2 + bx + c = x2 –(x1+x2)x + x1x2
 x1+ x2 = -b y x1∙x2 = c
 Este resultado permite resolver mentalmente
estas ecuaciones de segundo grado.
 En general, si x1 y x2 son las soluciones de la
ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0
 x1+x2 = -b/a y x1∙x2 = c/a

8.
Suma y producto de las soluciones
 Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:
 x2 - 6 x + 5 = 0
 Soluciones: x1 = 1 y x2 = 5
 x2 - 5 x + 6 = 0
 Soluciones: x1 = 2 y x2 = 3
 x2 - x - 6 = 0
 Soluciones: x1 = -2 y x2 = 3
 x2 + x - 6 = 0
 Soluciones: x1 = -3 y x2 = 2
 x2 + 5 x + 6 = 0
 Soluciones: x1 = -3 y x2 = -2