SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 9
Descargar para leer sin conexión
INGENIERÍA EN BIOTECNOLOGÍA
Propiedades de los Números Reales
CALCULO DEIFERENCIAL
Alumno: Rosa María Guadalupe Gutiérrez Panales
Matrícula: AL12535518
Docente:
Patricia Abril Hernández Herrera
Los números reales son aquellos números que se permiten redactar con una anotación
decimal, abarcando de igual manera a aquellos que requieren un desarrollo decimal
infinito.
El conjunto de los números reales está compuesto por:
Los números naturales ℕ son:
Los números enteros ℤ se denotan:
Los números racionales ℚ son:
Los axiomas en las matemáticas son inferencias que, se aprecian claramente,
aceptándose sin probarse, para partir de este punto así demostrando otras formulas.
Por tradición los axiomas se escogen de entre las analizadas “verdades evidentes” ya que
hacen posible deducir las demás fórmulas.
Axiomas de la suma:
De los números “a” y “b” resulta por adición un número “z” llamado suma; el cual se
expresa:
z=a + b
Demostración:
108 = 25 + 83
Propiedad asociativa de la suma
(a + b) + c = a + (b + c)
Demostración
(6 + 3) + 4 = 6 + (3 + 4)
(9) + 4 = 6 + (7)
13 = 13
Propiedadconmutativa de la suma
a + b = b + a
Demostración
8 + 9 = 9 + 8
17 = 17
Propiedad de la identidad, módulo o neutro en la suma
a + 0 = 0 + a = a
Demostración
21 + 0 = 0 + 21 = 21
Propiedad inversa de la suma
a + (-a) = (-a) + a = 0
Demostración
51 + (-51) = (-51) + 51 = 0
Axiomas de la multiplicación
De los números “a” y “b” da como resultado de la multiplicación un número “p” llamado
producto, se expresa:
p = a ⋅ b
Demostración
21 = 7 x 3
Propiedad asociativa de la multiplicación
(a b) c = a ( b c)
Demostración
(6 x 3) x 4 = 6 x (3 x 4)
(18) x 4 = 6 x (12)
72 = 72
Propiedad conmutativa de la multiplicación
a b = b a
Demostración
8 x 9 = 9 x 8
72 = 72
Propiedad de la identidad, módulo o neutro en la multiplicación
a x 1 = 1 x a = a
Demostración
21 x 1 = 1 x 21 = 21
Propiedad inversa de la multiplicación
a1
⋅ a-1
= a1
/1 ⋅ 1/a1
= a/a = 1
Demostración
24
⋅ 2-4
= 24
/1 ⋅ 1/24
= 24
/24
= 16/16=1
6/3 ⋅ 3/6 = 18/18 = 1
Axioma de distribución
a (b + c ) = (a b) + (a c)
(a + b) (c + d) = a (c + d) + b (c + d)= (a c + a d) + (b c + b d)
Demostración
5 ( 2x + 6) = (5 ⋅ 2x) + ( 5 ⋅ 6) = 10x + 30
Axiomas de orden
x < y
Leemos como “x” es menor que “y”, la cual cumple las siguientes propiedades que las
llamamos axiomas de orden.
Demostración
22 < 34
Propiedad de la tricotomía
Para cualesquiera números reales x y y, se tiene que uno y sólo uno de los siguientes
enunciados es verdadero x<y o x>y o bien x=y
Demostración
Propiedad de transitiva
Si x < yyy< zentonces x < z
Demostración
32 < 55 < 63 ⟹ 32 < 63
y < 0 < 6 ⟹ 𝑦 < 6
Propiedad de monotonía para la suma:
Si x<y entonces x+z<y+z para cualquier número real z
Demostración
x< 6
x + 4 < 6 + 4
x + 4 < 10
Propiedad de monotonía para la multiplicación
Si x<yy z>0 entonces xz<yz
Demostración
x – 5 < 7
5(x – 5) < 7 (5)
5x – 5 < 35
5x < 35 + 5
1/5 (5x) < 40 (1/5)
x< 8
Axioma de completitud
Los números reales ℝ no contienen los vacíos que influyen profundamente a los números
racionalesℚ. Por dicha diferencia entre los números reales ℝ y los racionalesℚ, se tiene
que ser totalmente exactos para esta suposición, conocida como axioma de completitud.
El axioma de completitud nos dice que cada conjunto no vacío de números reales que
está acotado superiormente tiene una cota superior mínima.
Un conjunto 𝐴 ⊆ ℝ está acotado superiormente si existe un número 𝑏 ∈ ℝ tal que 𝑎 ≤
𝑏 para todo𝑎 ∈ 𝐴 . Al número 𝑏 se le llama una cota superior de 𝐴.
Un número real 𝑠 es la menor cota superior de un conjunto 𝐴 ⊆ ℝ si cumple los dos
criterios siguientes:
 𝑠 es una cota superior de 𝐴;
 si 𝑏 es cualquier cota superior de 𝐴, entonces 𝑠 ≤ 𝑏.
A la menor cota superior se le llama también frecuentemente el supremo del conjunto 𝐴.
Aunque se puede expresar de dos formas; la primera notación es 𝑠 = 𝑙𝑢𝑏 𝐴, pero en todo
caso utilizaremos 𝑠 = 𝑠𝑢𝑝 𝐴 para la menor cota superior.
La mayor cota inferior o ínfimo de 𝐴 se determina de forma semejante y se indica por
𝑖𝑛𝑓 𝐴.
Aunque un conjunto puede contener una sucesión de cotas superiores, sólo puede tener
una menor cota superior. Si 𝑠1 y 𝑠2 son ambos supremos para un conjunto 𝐴, por lo tanto
tomando la segunda propiedad en la definición preponderamos que 𝑠1 ≤ 𝑠2 y que 𝑠2 ≤ 𝑠1.
Se concluye que 𝑠1 = 𝑠2 y los supremos son únicos.
Demostración
𝐸 = { 𝑥 𝜖ℝ/ 𝑥 =
(−1) 𝑛
𝑛
, 𝑛𝜖ℕ}
El conjunto 𝐸 en forma extensiva es:
𝐸 = {
−1
1
,
1
2
,
−1
3
,
1
4
,
−1
5
,
1
6
, …}
Reordenando
𝐸 = {−1,
−1
3
,
1
5
,
−1
7
… …,
1
8
,
1
6
,
1
4
,
1
2
}
Esto no dice que el conjunto 𝐸 es acotado ya que se encuentra
𝑘 = −3 𝑦 𝐾 = 1
Tal que
𝑘 ≤ 𝑥 ≤ 𝐾, ∀𝑥 ∈ 𝐸
O
∃ 𝑀 = 3
Tal que
| 𝑥| ≤ 𝑀, ∀𝑥 ∈ 𝐸
En efecto
(−1) 𝑛
𝑛
= 𝑥 ≤ 1 𝑦 𝑥 =
(−1) 𝑛
𝑛
≥ −3
∴ −3 ≤ 𝑥 ≤ 1
Pero
1 ≤ 3 ⇒ −3 ≤ 𝑥 ≤ 3
⇒ | 𝑥| ≤ 3
Bibliografía
Corry, Leo. (2004). David Hilbert and the axiomatization of physics (1898–1918): From
Grundlagen der Geometrie to Grundlagen der Physik. Dordrecht: Kluwer.
Guerrero, A. (2006). Geometría. Desarrollo axiomático. Bogotá: ECOE.
González, M. y Mancilli, J.. (2007). Algebra Elemental Moderna. Ecuador: LIBRESA.
Stewart,J. et al. (2007), Precalculo, matemáticas para el cálculo, Quinta edición.
http://es.slideshare.net/jhonsedano7/precalculo-matematicas-para-el-calculo-james-
stewart-5ed-edicion-completa

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Ecuaciones De Segundo Grado Definiciones 2
Ecuaciones De Segundo Grado Definiciones 2Ecuaciones De Segundo Grado Definiciones 2
Ecuaciones De Segundo Grado Definiciones 2matematicasec29
 
Inecuaciones lineales
Inecuaciones linealesInecuaciones lineales
Inecuaciones linealesfranmorav
 
Desigualdades
DesigualdadesDesigualdades
Desigualdadesakarida
 
Semana11 m2-del 15 al 19 de febrero-2021
Semana11 m2-del 15 al 19 de febrero-2021Semana11 m2-del 15 al 19 de febrero-2021
Semana11 m2-del 15 al 19 de febrero-2021LorenaCovarrubias12
 
10. ecuaciones
10. ecuaciones10. ecuaciones
10. ecuacionesgatito49
 
Expresiones algebraicas
Expresiones algebraicasExpresiones algebraicas
Expresiones algebraicasNicolas Moller
 
Expresiones algebraicas / Primera Unidad de Matemática
Expresiones algebraicas / Primera Unidad de MatemáticaExpresiones algebraicas / Primera Unidad de Matemática
Expresiones algebraicas / Primera Unidad de MatemáticaAriadnaGuidotti1
 
Semana13 m2- del 21 al 25 de febrero 2022
Semana13 m2- del 21 al 25 de febrero 2022Semana13 m2- del 21 al 25 de febrero 2022
Semana13 m2- del 21 al 25 de febrero 2022LorenaCovarrubias12
 
Semana11 m2-del 15 al 19 de febrero-2021
Semana11 m2-del 15 al 19 de febrero-2021Semana11 m2-del 15 al 19 de febrero-2021
Semana11 m2-del 15 al 19 de febrero-2021LorenaCovarrubias12
 
Semana13 m2- del 21 al 25 de febrero 2022
Semana13 m2- del 21 al 25 de febrero 2022Semana13 m2- del 21 al 25 de febrero 2022
Semana13 m2- del 21 al 25 de febrero 2022LorenaCovarrubias12
 
Internet Y Las Matematicas, Pres, Publ
Internet Y Las Matematicas, Pres, PublInternet Y Las Matematicas, Pres, Publ
Internet Y Las Matematicas, Pres, Publcbenavide6
 
Internet Y Las Matematicas, Pres, Publ
Internet Y Las Matematicas, Pres, PublInternet Y Las Matematicas, Pres, Publ
Internet Y Las Matematicas, Pres, Publcbenavide6
 
Inecuaciones lineales
Inecuaciones linealesInecuaciones lineales
Inecuaciones linealesEdgar Ochoa
 
Algebra lineal Alejandro Maciel Dominguez
Algebra lineal Alejandro Maciel DominguezAlgebra lineal Alejandro Maciel Dominguez
Algebra lineal Alejandro Maciel DominguezKeily Solano
 
Semana 12 inecuaciones
Semana 12 inecuaciones Semana 12 inecuaciones
Semana 12 inecuaciones VicenteSilva57
 
Los numeros reales
Los numeros realesLos numeros reales
Los numeros realesAna Faraco
 

La actualidad más candente (20)

Ecuaciones De Segundo Grado Definiciones 2
Ecuaciones De Segundo Grado Definiciones 2Ecuaciones De Segundo Grado Definiciones 2
Ecuaciones De Segundo Grado Definiciones 2
 
Inecuaciones lineales
Inecuaciones linealesInecuaciones lineales
Inecuaciones lineales
 
Ecuaciones de la forma ax + b = c
Ecuaciones de la forma ax + b = cEcuaciones de la forma ax + b = c
Ecuaciones de la forma ax + b = c
 
Desigualdades
DesigualdadesDesigualdades
Desigualdades
 
Semana11 m2-del 15 al 19 de febrero-2021
Semana11 m2-del 15 al 19 de febrero-2021Semana11 m2-del 15 al 19 de febrero-2021
Semana11 m2-del 15 al 19 de febrero-2021
 
10. ecuaciones
10. ecuaciones10. ecuaciones
10. ecuaciones
 
Expresiones algebraicas
Expresiones algebraicasExpresiones algebraicas
Expresiones algebraicas
 
Expresiones algebraicas / Primera Unidad de Matemática
Expresiones algebraicas / Primera Unidad de MatemáticaExpresiones algebraicas / Primera Unidad de Matemática
Expresiones algebraicas / Primera Unidad de Matemática
 
Semana13 m2- del 21 al 25 de febrero 2022
Semana13 m2- del 21 al 25 de febrero 2022Semana13 m2- del 21 al 25 de febrero 2022
Semana13 m2- del 21 al 25 de febrero 2022
 
Semana11 m2-del 15 al 19 de febrero-2021
Semana11 m2-del 15 al 19 de febrero-2021Semana11 m2-del 15 al 19 de febrero-2021
Semana11 m2-del 15 al 19 de febrero-2021
 
Semana13 m2- del 21 al 25 de febrero 2022
Semana13 m2- del 21 al 25 de febrero 2022Semana13 m2- del 21 al 25 de febrero 2022
Semana13 m2- del 21 al 25 de febrero 2022
 
Sol inecuaciones
Sol inecuacionesSol inecuaciones
Sol inecuaciones
 
Conjuntos de números
Conjuntos de númerosConjuntos de números
Conjuntos de números
 
Internet Y Las Matematicas, Pres, Publ
Internet Y Las Matematicas, Pres, PublInternet Y Las Matematicas, Pres, Publ
Internet Y Las Matematicas, Pres, Publ
 
Internet Y Las Matematicas, Pres, Publ
Internet Y Las Matematicas, Pres, PublInternet Y Las Matematicas, Pres, Publ
Internet Y Las Matematicas, Pres, Publ
 
Inecuaciones lineales
Inecuaciones linealesInecuaciones lineales
Inecuaciones lineales
 
Algebra lineal Alejandro Maciel Dominguez
Algebra lineal Alejandro Maciel DominguezAlgebra lineal Alejandro Maciel Dominguez
Algebra lineal Alejandro Maciel Dominguez
 
Semana 12 inecuaciones
Semana 12 inecuaciones Semana 12 inecuaciones
Semana 12 inecuaciones
 
Ecuaciones cuadráticas introducción
Ecuaciones cuadráticas introducciónEcuaciones cuadráticas introducción
Ecuaciones cuadráticas introducción
 
Los numeros reales
Los numeros realesLos numeros reales
Los numeros reales
 

Destacado

Reduksi oksidasi dan elektrokimia
Reduksi   oksidasi dan elektrokimiaReduksi   oksidasi dan elektrokimia
Reduksi oksidasi dan elektrokimiaArul Gdg
 
A2 examen et corrige anglais 2011 1 am t2
A2 examen et corrige anglais 2011 1 am t2A2 examen et corrige anglais 2011 1 am t2
A2 examen et corrige anglais 2011 1 am t2Ahmed Mesellem
 
Как лучшие компании развивают лидерство new
Как лучшие компании развивают лидерство newКак лучшие компании развивают лидерство new
Как лучшие компании развивают лидерство newBI TO BE
 
Obinitsa- Finno-Ugric Capital of Culture 2015 @ UN in Geneva
Obinitsa- Finno-Ugric Capital of Culture 2015 @ UN in GenevaObinitsa- Finno-Ugric Capital of Culture 2015 @ UN in Geneva
Obinitsa- Finno-Ugric Capital of Culture 2015 @ UN in GenevaOliver Loode
 
ระเบียบคลัง1 3
ระเบียบคลัง1 3ระเบียบคลัง1 3
ระเบียบคลัง1 3Rpg Thailand
 
Українська книга — шлях до революції свідомості
Українська книга — шлях до революції свідомостіУкраїнська книга — шлях до революції свідомості
Українська книга — шлях до революції свідомостіТатьяна Кущук
 
Ho w to get your dream job – the
Ho w to get your dream job – theHo w to get your dream job – the
Ho w to get your dream job – theEmmanuel Kumah
 
Hvordan fungerer en søkemotor
Hvordan fungerer en søkemotorHvordan fungerer en søkemotor
Hvordan fungerer en søkemotorFINN.no
 
Journalistencafé 11 april 2013
Journalistencafé 11 april 2013Journalistencafé 11 april 2013
Journalistencafé 11 april 2013Mugmedia
 
Mobile User Interfaces for Efficient Verification of Holograms
Mobile User Interfaces for Efficient Verification of HologramsMobile User Interfaces for Efficient Verification of Holograms
Mobile User Interfaces for Efficient Verification of HologramsJens Grubert
 
ACM MobileHCI 2012 - Playing it Real: Magic Lens and Static Peephole Interface…
ACM MobileHCI 2012 - Playing it Real: Magic Lens and Static Peephole Interface…ACM MobileHCI 2012 - Playing it Real: Magic Lens and Static Peephole Interface…
ACM MobileHCI 2012 - Playing it Real: Magic Lens and Static Peephole Interface…Jens Grubert
 
Failsafe 1 hour 2013
Failsafe 1 hour   2013Failsafe 1 hour   2013
Failsafe 1 hour 2013Marc Mercuri
 
Cicle formatiu de grau superior
Cicle formatiu de grau superiorCicle formatiu de grau superior
Cicle formatiu de grau superiorEilaRuiz
 
Targetes retallables: Síl·labari per Català i Castellà.
 Targetes retallables: Síl·labari per Català i Castellà. Targetes retallables: Síl·labari per Català i Castellà.
Targetes retallables: Síl·labari per Català i Castellà.Silvia Nieto
 

Destacado (19)

Reduksi oksidasi dan elektrokimia
Reduksi   oksidasi dan elektrokimiaReduksi   oksidasi dan elektrokimia
Reduksi oksidasi dan elektrokimia
 
A2 examen et corrige anglais 2011 1 am t2
A2 examen et corrige anglais 2011 1 am t2A2 examen et corrige anglais 2011 1 am t2
A2 examen et corrige anglais 2011 1 am t2
 
Modular development
Modular developmentModular development
Modular development
 
Как лучшие компании развивают лидерство new
Как лучшие компании развивают лидерство newКак лучшие компании развивают лидерство new
Как лучшие компании развивают лидерство new
 
Obinitsa- Finno-Ugric Capital of Culture 2015 @ UN in Geneva
Obinitsa- Finno-Ugric Capital of Culture 2015 @ UN in GenevaObinitsa- Finno-Ugric Capital of Culture 2015 @ UN in Geneva
Obinitsa- Finno-Ugric Capital of Culture 2015 @ UN in Geneva
 
ระเบียบคลัง1 3
ระเบียบคลัง1 3ระเบียบคลัง1 3
ระเบียบคลัง1 3
 
Українська книга — шлях до революції свідомості
Українська книга — шлях до революції свідомостіУкраїнська книга — шлях до революції свідомості
Українська книга — шлях до революції свідомості
 
Ho w to get your dream job – the
Ho w to get your dream job – theHo w to get your dream job – the
Ho w to get your dream job – the
 
Hvordan fungerer en søkemotor
Hvordan fungerer en søkemotorHvordan fungerer en søkemotor
Hvordan fungerer en søkemotor
 
Resume paket kab hal 63 66
Resume paket kab hal 63 66Resume paket kab hal 63 66
Resume paket kab hal 63 66
 
Journalistencafé 11 april 2013
Journalistencafé 11 april 2013Journalistencafé 11 april 2013
Journalistencafé 11 april 2013
 
Mobile User Interfaces for Efficient Verification of Holograms
Mobile User Interfaces for Efficient Verification of HologramsMobile User Interfaces for Efficient Verification of Holograms
Mobile User Interfaces for Efficient Verification of Holograms
 
ACM MobileHCI 2012 - Playing it Real: Magic Lens and Static Peephole Interface…
ACM MobileHCI 2012 - Playing it Real: Magic Lens and Static Peephole Interface…ACM MobileHCI 2012 - Playing it Real: Magic Lens and Static Peephole Interface…
ACM MobileHCI 2012 - Playing it Real: Magic Lens and Static Peephole Interface…
 
Failsafe 1 hour 2013
Failsafe 1 hour   2013Failsafe 1 hour   2013
Failsafe 1 hour 2013
 
Cách làm sữa chua
Cách làm sữa chuaCách làm sữa chua
Cách làm sữa chua
 
Chi sqr
Chi sqrChi sqr
Chi sqr
 
Cicle formatiu de grau superior
Cicle formatiu de grau superiorCicle formatiu de grau superior
Cicle formatiu de grau superior
 
Targetes retallables: Síl·labari per Català i Castellà.
 Targetes retallables: Síl·labari per Català i Castellà. Targetes retallables: Síl·labari per Català i Castellà.
Targetes retallables: Síl·labari per Català i Castellà.
 
Al
AlAl
Al
 

Similar a Bdci u1 a1_rogp

Algoritmo de la división, MCD y Ec. Diofánticas_Álgebra I 15-06-21.pptx
Algoritmo de la división, MCD y Ec. Diofánticas_Álgebra I 15-06-21.pptxAlgoritmo de la división, MCD y Ec. Diofánticas_Álgebra I 15-06-21.pptx
Algoritmo de la división, MCD y Ec. Diofánticas_Álgebra I 15-06-21.pptxMarlonCarter5
 
Algoritmo de la división, MCD y Ec. Diofánticas_Álgebra I 15-06-21.pptx
Algoritmo de la división, MCD y Ec. Diofánticas_Álgebra I 15-06-21.pptxAlgoritmo de la división, MCD y Ec. Diofánticas_Álgebra I 15-06-21.pptx
Algoritmo de la división, MCD y Ec. Diofánticas_Álgebra I 15-06-21.pptxMarlonCarter5
 
informe de numeros naturales katerine rojas.pptx
informe de numeros naturales katerine rojas.pptxinforme de numeros naturales katerine rojas.pptx
informe de numeros naturales katerine rojas.pptxKaterineRojas16
 
Ecua lineal
Ecua linealEcua lineal
Ecua linealgeojacv
 
Presentacion electronica de_ecuaciones
Presentacion electronica de_ecuacionesPresentacion electronica de_ecuaciones
Presentacion electronica de_ecuacionesLEONEL GARCES
 
MATEMÁTICAS expresiones algebraicas.pptx
MATEMÁTICAS expresiones algebraicas.pptxMATEMÁTICAS expresiones algebraicas.pptx
MATEMÁTICAS expresiones algebraicas.pptxJohnny Jair sanchez
 
Actividad obligatoria 4 A(corregido)
Actividad obligatoria 4 A(corregido)Actividad obligatoria 4 A(corregido)
Actividad obligatoria 4 A(corregido)Fernando Sosa
 
conjuntos desigualdades y valor absoluto.docx
conjuntos desigualdades y valor absoluto.docxconjuntos desigualdades y valor absoluto.docx
conjuntos desigualdades y valor absoluto.docxjoansira2425
 
1. Ecuaciones Lineales y Ecuaciones Cuadráticas.pdf
1. Ecuaciones Lineales y Ecuaciones Cuadráticas.pdf1. Ecuaciones Lineales y Ecuaciones Cuadráticas.pdf
1. Ecuaciones Lineales y Ecuaciones Cuadráticas.pdfvictor782703
 
Teoría de conjuntos, números reales y desigualdades.pptx
Teoría de conjuntos, números reales y desigualdades.pptxTeoría de conjuntos, números reales y desigualdades.pptx
Teoría de conjuntos, números reales y desigualdades.pptxomar521150
 
Ecuaciones de primer grado
Ecuaciones de primer gradoEcuaciones de primer grado
Ecuaciones de primer gradoGabriel Alzate
 
ECUACIONES Matemática para ingreso a contabilidad / administración lectura 4
ECUACIONES Matemática para ingreso a contabilidad / administración   lectura  4ECUACIONES Matemática para ingreso a contabilidad / administración   lectura  4
ECUACIONES Matemática para ingreso a contabilidad / administración lectura 4agustinc3333
 

Similar a Bdci u1 a1_rogp (20)

Números reales
Números realesNúmeros reales
Números reales
 
Algoritmo de la división, MCD y Ec. Diofánticas_Álgebra I 15-06-21.pptx
Algoritmo de la división, MCD y Ec. Diofánticas_Álgebra I 15-06-21.pptxAlgoritmo de la división, MCD y Ec. Diofánticas_Álgebra I 15-06-21.pptx
Algoritmo de la división, MCD y Ec. Diofánticas_Álgebra I 15-06-21.pptx
 
Algoritmo de la división, MCD y Ec. Diofánticas_Álgebra I 15-06-21.pptx
Algoritmo de la división, MCD y Ec. Diofánticas_Álgebra I 15-06-21.pptxAlgoritmo de la división, MCD y Ec. Diofánticas_Álgebra I 15-06-21.pptx
Algoritmo de la división, MCD y Ec. Diofánticas_Álgebra I 15-06-21.pptx
 
informe de numeros naturales katerine rojas.pptx
informe de numeros naturales katerine rojas.pptxinforme de numeros naturales katerine rojas.pptx
informe de numeros naturales katerine rojas.pptx
 
Ecua lineal
Ecua linealEcua lineal
Ecua lineal
 
Presentacion electronica de_ecuaciones
Presentacion electronica de_ecuacionesPresentacion electronica de_ecuaciones
Presentacion electronica de_ecuaciones
 
Presentación1 2023.pptx
Presentación1 2023.pptxPresentación1 2023.pptx
Presentación1 2023.pptx
 
MATEMÁTICAS expresiones algebraicas.pptx
MATEMÁTICAS expresiones algebraicas.pptxMATEMÁTICAS expresiones algebraicas.pptx
MATEMÁTICAS expresiones algebraicas.pptx
 
Actividad obligatoria 4 A(corregido)
Actividad obligatoria 4 A(corregido)Actividad obligatoria 4 A(corregido)
Actividad obligatoria 4 A(corregido)
 
Presentación1.pptx
Presentación1.pptxPresentación1.pptx
Presentación1.pptx
 
MATEMÁTICA SEMANA 1
MATEMÁTICA SEMANA 1MATEMÁTICA SEMANA 1
MATEMÁTICA SEMANA 1
 
conjuntos desigualdades y valor absoluto.docx
conjuntos desigualdades y valor absoluto.docxconjuntos desigualdades y valor absoluto.docx
conjuntos desigualdades y valor absoluto.docx
 
1. Ecuaciones Lineales y Ecuaciones Cuadráticas.pdf
1. Ecuaciones Lineales y Ecuaciones Cuadráticas.pdf1. Ecuaciones Lineales y Ecuaciones Cuadráticas.pdf
1. Ecuaciones Lineales y Ecuaciones Cuadráticas.pdf
 
Teoría de conjuntos, números reales y desigualdades.pptx
Teoría de conjuntos, números reales y desigualdades.pptxTeoría de conjuntos, números reales y desigualdades.pptx
Teoría de conjuntos, números reales y desigualdades.pptx
 
Álgebra
ÁlgebraÁlgebra
Álgebra
 
Álgebra
ÁlgebraÁlgebra
Álgebra
 
Ecuaciones de primer grado
Ecuaciones de primer gradoEcuaciones de primer grado
Ecuaciones de primer grado
 
ECUACIONES Matemática para ingreso a contabilidad / administración lectura 4
ECUACIONES Matemática para ingreso a contabilidad / administración   lectura  4ECUACIONES Matemática para ingreso a contabilidad / administración   lectura  4
ECUACIONES Matemática para ingreso a contabilidad / administración lectura 4
 
numeros reales (1).pdf
numeros reales (1).pdfnumeros reales (1).pdf
numeros reales (1).pdf
 
Ecuaciones
EcuacionesEcuaciones
Ecuaciones
 

Último

Revista digital primer ciclo 2024 colección ediba
Revista digital primer ciclo 2024 colección edibaRevista digital primer ciclo 2024 colección ediba
Revista digital primer ciclo 2024 colección edibaTatiTerlecky1
 
CIENCIAS SOCIALES SEGUNDO TRIMESTRE TERCERO
CIENCIAS SOCIALES SEGUNDO TRIMESTRE TERCEROCIENCIAS SOCIALES SEGUNDO TRIMESTRE TERCERO
CIENCIAS SOCIALES SEGUNDO TRIMESTRE TERCEROCEIP TIERRA DE PINARES
 
sociales ciencias segundo trimestre tercero
sociales ciencias segundo trimestre tercerosociales ciencias segundo trimestre tercero
sociales ciencias segundo trimestre terceroCEIP TIERRA DE PINARES
 
PROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍAPROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍAJoaqunSolrzano
 
5°-CARPETA PEDAGÓGICA 2024-MAESTRAS DE PRIMARIA PERÚ-978387435.doc
5°-CARPETA PEDAGÓGICA 2024-MAESTRAS DE PRIMARIA PERÚ-978387435.doc5°-CARPETA PEDAGÓGICA 2024-MAESTRAS DE PRIMARIA PERÚ-978387435.doc
5°-CARPETA PEDAGÓGICA 2024-MAESTRAS DE PRIMARIA PERÚ-978387435.docGLADYSPASTOR
 
Tecnologia- El computador funciones etc...
Tecnologia- El computador funciones etc...Tecnologia- El computador funciones etc...
Tecnologia- El computador funciones etc...SamuelGampley
 
explicacionsobrelasemanasanta-190411100653.ppt
explicacionsobrelasemanasanta-190411100653.pptexplicacionsobrelasemanasanta-190411100653.ppt
explicacionsobrelasemanasanta-190411100653.pptjosemanuelcremades
 
La Congregación de Jesús y María, conocida también como los Eudistas, fue fun...
La Congregación de Jesús y María, conocida también como los Eudistas, fue fun...La Congregación de Jesús y María, conocida también como los Eudistas, fue fun...
La Congregación de Jesús y María, conocida también como los Eudistas, fue fun...Unidad de Espiritualidad Eudista
 
Los escritos administrativos, técnicos y comerciales
Los escritos administrativos, técnicos y comercialesLos escritos administrativos, técnicos y comerciales
Los escritos administrativos, técnicos y comercialeshanda210618
 
PPT Protocolo de desregulación emocional.pptx
PPT Protocolo de desregulación emocional.pptxPPT Protocolo de desregulación emocional.pptx
PPT Protocolo de desregulación emocional.pptxKarenSepulveda23
 
EL ECLIPSE DE LA PAZ (cuento literario). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL ECLIPSE DE LA PAZ (cuento literario). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLAEL ECLIPSE DE LA PAZ (cuento literario). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL ECLIPSE DE LA PAZ (cuento literario). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLAJAVIER SOLIS NOYOLA
 
Anna Llenas Serra. El monstruo de colores. Doctor de emociones.pdf
Anna Llenas Serra. El monstruo de colores. Doctor de emociones.pdfAnna Llenas Serra. El monstruo de colores. Doctor de emociones.pdf
Anna Llenas Serra. El monstruo de colores. Doctor de emociones.pdfSaraGabrielaPrezPonc
 
ACLES2024_CMI. Las inscripciones para talleres ACLES se realizarán por medio ...
ACLES2024_CMI. Las inscripciones para talleres ACLES se realizarán por medio ...ACLES2024_CMI. Las inscripciones para talleres ACLES se realizarán por medio ...
ACLES2024_CMI. Las inscripciones para talleres ACLES se realizarán por medio ...InformacionesCMI
 
Breve panorama del relato de ciencia ficción español en la década de 1970
Breve panorama del relato de ciencia ficción español en la década de 1970Breve panorama del relato de ciencia ficción español en la década de 1970
Breve panorama del relato de ciencia ficción español en la década de 1970Jesús Tramullas
 
Programación Anual 2024 - CIENCIAS SOCIALES.docx
Programación Anual 2024  - CIENCIAS SOCIALES.docxProgramación Anual 2024  - CIENCIAS SOCIALES.docx
Programación Anual 2024 - CIENCIAS SOCIALES.docxJhordanBenitesSanche1
 
Kirpi-el-erizo libro descargar pdf 1 link
Kirpi-el-erizo libro descargar pdf 1 linkKirpi-el-erizo libro descargar pdf 1 link
Kirpi-el-erizo libro descargar pdf 1 linkMaximilianoMaldonado17
 
CARPETA PEDAGÓGICA 2024.docx para educacion
CARPETA PEDAGÓGICA 2024.docx para educacionCARPETA PEDAGÓGICA 2024.docx para educacion
CARPETA PEDAGÓGICA 2024.docx para educacionCarolVigo1
 
EL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLAEL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLAJAVIER SOLIS NOYOLA
 

Último (20)

Revista digital primer ciclo 2024 colección ediba
Revista digital primer ciclo 2024 colección edibaRevista digital primer ciclo 2024 colección ediba
Revista digital primer ciclo 2024 colección ediba
 
CIENCIAS SOCIALES SEGUNDO TRIMESTRE TERCERO
CIENCIAS SOCIALES SEGUNDO TRIMESTRE TERCEROCIENCIAS SOCIALES SEGUNDO TRIMESTRE TERCERO
CIENCIAS SOCIALES SEGUNDO TRIMESTRE TERCERO
 
sociales ciencias segundo trimestre tercero
sociales ciencias segundo trimestre tercerosociales ciencias segundo trimestre tercero
sociales ciencias segundo trimestre tercero
 
PROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍAPROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
 
Conducta ética en investigación científica.pdf
Conducta ética en investigación científica.pdfConducta ética en investigación científica.pdf
Conducta ética en investigación científica.pdf
 
5°-CARPETA PEDAGÓGICA 2024-MAESTRAS DE PRIMARIA PERÚ-978387435.doc
5°-CARPETA PEDAGÓGICA 2024-MAESTRAS DE PRIMARIA PERÚ-978387435.doc5°-CARPETA PEDAGÓGICA 2024-MAESTRAS DE PRIMARIA PERÚ-978387435.doc
5°-CARPETA PEDAGÓGICA 2024-MAESTRAS DE PRIMARIA PERÚ-978387435.doc
 
Tecnologia- El computador funciones etc...
Tecnologia- El computador funciones etc...Tecnologia- El computador funciones etc...
Tecnologia- El computador funciones etc...
 
explicacionsobrelasemanasanta-190411100653.ppt
explicacionsobrelasemanasanta-190411100653.pptexplicacionsobrelasemanasanta-190411100653.ppt
explicacionsobrelasemanasanta-190411100653.ppt
 
La Congregación de Jesús y María, conocida también como los Eudistas, fue fun...
La Congregación de Jesús y María, conocida también como los Eudistas, fue fun...La Congregación de Jesús y María, conocida también como los Eudistas, fue fun...
La Congregación de Jesús y María, conocida también como los Eudistas, fue fun...
 
Los escritos administrativos, técnicos y comerciales
Los escritos administrativos, técnicos y comercialesLos escritos administrativos, técnicos y comerciales
Los escritos administrativos, técnicos y comerciales
 
PPT Protocolo de desregulación emocional.pptx
PPT Protocolo de desregulación emocional.pptxPPT Protocolo de desregulación emocional.pptx
PPT Protocolo de desregulación emocional.pptx
 
EL ECLIPSE DE LA PAZ (cuento literario). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL ECLIPSE DE LA PAZ (cuento literario). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLAEL ECLIPSE DE LA PAZ (cuento literario). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL ECLIPSE DE LA PAZ (cuento literario). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
 
Anna Llenas Serra. El monstruo de colores. Doctor de emociones.pdf
Anna Llenas Serra. El monstruo de colores. Doctor de emociones.pdfAnna Llenas Serra. El monstruo de colores. Doctor de emociones.pdf
Anna Llenas Serra. El monstruo de colores. Doctor de emociones.pdf
 
ACLES2024_CMI. Las inscripciones para talleres ACLES se realizarán por medio ...
ACLES2024_CMI. Las inscripciones para talleres ACLES se realizarán por medio ...ACLES2024_CMI. Las inscripciones para talleres ACLES se realizarán por medio ...
ACLES2024_CMI. Las inscripciones para talleres ACLES se realizarán por medio ...
 
Breve panorama del relato de ciencia ficción español en la década de 1970
Breve panorama del relato de ciencia ficción español en la década de 1970Breve panorama del relato de ciencia ficción español en la década de 1970
Breve panorama del relato de ciencia ficción español en la década de 1970
 
Programación Anual 2024 - CIENCIAS SOCIALES.docx
Programación Anual 2024  - CIENCIAS SOCIALES.docxProgramación Anual 2024  - CIENCIAS SOCIALES.docx
Programación Anual 2024 - CIENCIAS SOCIALES.docx
 
Kirpi-el-erizo libro descargar pdf 1 link
Kirpi-el-erizo libro descargar pdf 1 linkKirpi-el-erizo libro descargar pdf 1 link
Kirpi-el-erizo libro descargar pdf 1 link
 
CARPETA PEDAGÓGICA 2024.docx para educacion
CARPETA PEDAGÓGICA 2024.docx para educacionCARPETA PEDAGÓGICA 2024.docx para educacion
CARPETA PEDAGÓGICA 2024.docx para educacion
 
APARATO CIRCULATORIO EN LOS ANIMALES BAC
APARATO CIRCULATORIO EN LOS ANIMALES BACAPARATO CIRCULATORIO EN LOS ANIMALES BAC
APARATO CIRCULATORIO EN LOS ANIMALES BAC
 
EL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLAEL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
EL BRILLO DEL ECLIPSE (CUENTO LITERARIO). Autor y diseñador JAVIER SOLIS NOYOLA
 

Bdci u1 a1_rogp

  • 1. INGENIERÍA EN BIOTECNOLOGÍA Propiedades de los Números Reales CALCULO DEIFERENCIAL Alumno: Rosa María Guadalupe Gutiérrez Panales Matrícula: AL12535518 Docente: Patricia Abril Hernández Herrera
  • 2. Los números reales son aquellos números que se permiten redactar con una anotación decimal, abarcando de igual manera a aquellos que requieren un desarrollo decimal infinito. El conjunto de los números reales está compuesto por: Los números naturales ℕ son: Los números enteros ℤ se denotan:
  • 3. Los números racionales ℚ son: Los axiomas en las matemáticas son inferencias que, se aprecian claramente, aceptándose sin probarse, para partir de este punto así demostrando otras formulas. Por tradición los axiomas se escogen de entre las analizadas “verdades evidentes” ya que hacen posible deducir las demás fórmulas. Axiomas de la suma: De los números “a” y “b” resulta por adición un número “z” llamado suma; el cual se expresa: z=a + b Demostración: 108 = 25 + 83 Propiedad asociativa de la suma (a + b) + c = a + (b + c) Demostración (6 + 3) + 4 = 6 + (3 + 4) (9) + 4 = 6 + (7) 13 = 13
  • 4. Propiedadconmutativa de la suma a + b = b + a Demostración 8 + 9 = 9 + 8 17 = 17 Propiedad de la identidad, módulo o neutro en la suma a + 0 = 0 + a = a Demostración 21 + 0 = 0 + 21 = 21 Propiedad inversa de la suma a + (-a) = (-a) + a = 0 Demostración 51 + (-51) = (-51) + 51 = 0 Axiomas de la multiplicación De los números “a” y “b” da como resultado de la multiplicación un número “p” llamado producto, se expresa: p = a ⋅ b Demostración 21 = 7 x 3 Propiedad asociativa de la multiplicación (a b) c = a ( b c) Demostración
  • 5. (6 x 3) x 4 = 6 x (3 x 4) (18) x 4 = 6 x (12) 72 = 72 Propiedad conmutativa de la multiplicación a b = b a Demostración 8 x 9 = 9 x 8 72 = 72 Propiedad de la identidad, módulo o neutro en la multiplicación a x 1 = 1 x a = a Demostración 21 x 1 = 1 x 21 = 21 Propiedad inversa de la multiplicación a1 ⋅ a-1 = a1 /1 ⋅ 1/a1 = a/a = 1 Demostración 24 ⋅ 2-4 = 24 /1 ⋅ 1/24 = 24 /24 = 16/16=1 6/3 ⋅ 3/6 = 18/18 = 1 Axioma de distribución a (b + c ) = (a b) + (a c) (a + b) (c + d) = a (c + d) + b (c + d)= (a c + a d) + (b c + b d) Demostración 5 ( 2x + 6) = (5 ⋅ 2x) + ( 5 ⋅ 6) = 10x + 30
  • 6. Axiomas de orden x < y Leemos como “x” es menor que “y”, la cual cumple las siguientes propiedades que las llamamos axiomas de orden. Demostración 22 < 34 Propiedad de la tricotomía Para cualesquiera números reales x y y, se tiene que uno y sólo uno de los siguientes enunciados es verdadero x<y o x>y o bien x=y Demostración Propiedad de transitiva Si x < yyy< zentonces x < z Demostración 32 < 55 < 63 ⟹ 32 < 63 y < 0 < 6 ⟹ 𝑦 < 6 Propiedad de monotonía para la suma: Si x<y entonces x+z<y+z para cualquier número real z Demostración x< 6 x + 4 < 6 + 4 x + 4 < 10
  • 7. Propiedad de monotonía para la multiplicación Si x<yy z>0 entonces xz<yz Demostración x – 5 < 7 5(x – 5) < 7 (5) 5x – 5 < 35 5x < 35 + 5 1/5 (5x) < 40 (1/5) x< 8 Axioma de completitud Los números reales ℝ no contienen los vacíos que influyen profundamente a los números racionalesℚ. Por dicha diferencia entre los números reales ℝ y los racionalesℚ, se tiene que ser totalmente exactos para esta suposición, conocida como axioma de completitud. El axioma de completitud nos dice que cada conjunto no vacío de números reales que está acotado superiormente tiene una cota superior mínima. Un conjunto 𝐴 ⊆ ℝ está acotado superiormente si existe un número 𝑏 ∈ ℝ tal que 𝑎 ≤ 𝑏 para todo𝑎 ∈ 𝐴 . Al número 𝑏 se le llama una cota superior de 𝐴. Un número real 𝑠 es la menor cota superior de un conjunto 𝐴 ⊆ ℝ si cumple los dos criterios siguientes:  𝑠 es una cota superior de 𝐴;  si 𝑏 es cualquier cota superior de 𝐴, entonces 𝑠 ≤ 𝑏. A la menor cota superior se le llama también frecuentemente el supremo del conjunto 𝐴. Aunque se puede expresar de dos formas; la primera notación es 𝑠 = 𝑙𝑢𝑏 𝐴, pero en todo caso utilizaremos 𝑠 = 𝑠𝑢𝑝 𝐴 para la menor cota superior. La mayor cota inferior o ínfimo de 𝐴 se determina de forma semejante y se indica por 𝑖𝑛𝑓 𝐴. Aunque un conjunto puede contener una sucesión de cotas superiores, sólo puede tener una menor cota superior. Si 𝑠1 y 𝑠2 son ambos supremos para un conjunto 𝐴, por lo tanto tomando la segunda propiedad en la definición preponderamos que 𝑠1 ≤ 𝑠2 y que 𝑠2 ≤ 𝑠1. Se concluye que 𝑠1 = 𝑠2 y los supremos son únicos.
  • 8. Demostración 𝐸 = { 𝑥 𝜖ℝ/ 𝑥 = (−1) 𝑛 𝑛 , 𝑛𝜖ℕ} El conjunto 𝐸 en forma extensiva es: 𝐸 = { −1 1 , 1 2 , −1 3 , 1 4 , −1 5 , 1 6 , …} Reordenando 𝐸 = {−1, −1 3 , 1 5 , −1 7 … …, 1 8 , 1 6 , 1 4 , 1 2 } Esto no dice que el conjunto 𝐸 es acotado ya que se encuentra 𝑘 = −3 𝑦 𝐾 = 1 Tal que 𝑘 ≤ 𝑥 ≤ 𝐾, ∀𝑥 ∈ 𝐸 O ∃ 𝑀 = 3 Tal que | 𝑥| ≤ 𝑀, ∀𝑥 ∈ 𝐸 En efecto (−1) 𝑛 𝑛 = 𝑥 ≤ 1 𝑦 𝑥 = (−1) 𝑛 𝑛 ≥ −3 ∴ −3 ≤ 𝑥 ≤ 1 Pero 1 ≤ 3 ⇒ −3 ≤ 𝑥 ≤ 3 ⇒ | 𝑥| ≤ 3
  • 9. Bibliografía Corry, Leo. (2004). David Hilbert and the axiomatization of physics (1898–1918): From Grundlagen der Geometrie to Grundlagen der Physik. Dordrecht: Kluwer. Guerrero, A. (2006). Geometría. Desarrollo axiomático. Bogotá: ECOE. González, M. y Mancilli, J.. (2007). Algebra Elemental Moderna. Ecuador: LIBRESA. Stewart,J. et al. (2007), Precalculo, matemáticas para el cálculo, Quinta edición. http://es.slideshare.net/jhonsedano7/precalculo-matematicas-para-el-calculo-james- stewart-5ed-edicion-completa