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RUBEN BLANCAS RIVERA

LA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO
DE VISTA ANÁLITICO
CIRCUFERENCIA COMO CÓNICA




   Si el plano corta completamente a lo largo de uno de los dos
   conos, y este plano es perpendicular al eje del cono, la curva de la
   sección obtenida se denomina circunferencia
DEFINICIÓN

   Wotton W, Beckenbach E ,Fleming F.(1996)
    definieron en su obra a la circunferencia como “al
    lugar geométrico (conjunto) de todos los puntos del
    plano que están a una distancia dada (radio) de un
    punto dado (centro).Al segmento cuyos extremos son
    el centro del círculo y a un punto de la circunferencia
    se llama segmento radial de la circunferencia”.
   También LEHMAN C. (1980) definió a la
    circunferencia como “el lugar geométrico de un punto
    que se mueve en un plano de tal manera que se
    conserva siempre una distancia constante de un
    punto fijo de ese plano. Donde el punto fijo se llama
    centro de la circunferencia y la distancia constante
    se llama radio”.
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CIRCUFERENCIA
Definición de distancia de dos
            puntos




  Ecuación Canónica de la
      circunferencia
ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

.


       Luego definamos de la ecuación como:
   Así obtenemos la siguiente ecuación,
    sustituyendo.




     Ecuación general, o ecuación
    cartesiana de la circunferencia.
   TRANSFORMACIÓN DE LA ECUACIÓN
    GENERAL A LA FORMA CANONICA DE
    LA CIRCUFERENCIA

Recordemos la forma de la ecuación general o
 cartesiana de la circunferencia.
Luego, usaremos un poco de algebra, lo cual
  es primero despejar y completar cuadrados.
ANALIZANDO LA PARTE DERECHA DE LA
            ECUACIÓN ANTERIOR
 1.- Si                  la ecuación
  representa una circunferencia de radio:
 Y centro: C(-D/2,-E/2)

 2.- Si              la ecuación representa
  un punto o circunferencia de radio cero.
 3.- Si            entonces no hay lugar
  geométrico.
TANGENCIA
Se define a la recta tangente de una
 circunferencia como la recta que tiene un
 punto interceptado con un solo punto de la
 circunferencia.

De acuerdo a la definición podemos tomar un
 punto T (y´, x´) , que es el punto de
 tangencia, de una circunferencia de radio r.
Sea                             , note que LT es
  tangente a la circunferencia si y solo si es
  perpendicular a r.
 Sea        , punto genérico, note que si
  , v es un vector de dirección de LT.
 Así si y sólo si v es perpendicular a r, o bien
Así



O bien si

Por lo tanto tenemos:

ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE EN
 PUNTO DE LA CIRCUNFERENCIA
ALGUNAS APLICACIONES DE LA
               CIRCUNFERENCIA
   En la prehistoria, con la invención de la
    rueda se dio inicio a toda la tecnología de
    hoy en día, todo gracias a este invento, la
    rueda, y aunque sea indirectamente, y en
    este caso tenemos aplicaciones de la
    circunferencia
PROBLEMA

  Un servicio sismológico de Baja California
 detectó un sismo con origen en la ciudad de
 Mexicali a 5 km este y a 3km sur del centro
 de la ciudad, con un radio de 4km a la
 redonda. ¿Cuál es la ecuación de la
 circunferencia del área afectada? Utilizando
 esta ecuación, indica si afecto a la Ciudad de
 Mexicali.
SOLUCIÓN:
Note que el epicentro se encuentra en (5,-3) , un
 punto del plano donde el eje x delimitado con
 dirección hacia x positiva el este, hacia x
 negativa el oeste ,y el eje y , hacia el norte las y
 positiva y al sur las y negativa, así por hipótesis
 este punto tiene sentido en el plano de acuerdo
 a como se dio las direcciones. Así obtenemos
 de acuerdo a la hipótesis una circunferencia de
 radio r=4 con centro en (5,-3). Usando la
 ecuación canoníca de la circunferencia:
Así la ecuación de la circunferencia pedida

Observemos que la ciudad de Mexicali se
  encuentra en el punto (0,0), veamos qué
  (0,0) satisface la ecuación de la
  circunferencia así sabremos si afecta a la
  ciudad el sismo o no.
Al sustituir vemos que no satisface la
  ecuación, por lo tanto, el sismo no afecto la
  Ciudad de Mexicali.
CONCLUSIÓN
   Con esta teoría sobre las representaciones analíticas
    que tiene la circunferencia podemos tener ya una
    noción más de este lugar geométrico, se vio que no
    es complejo entender todo esto, se necesitan
    nociones muy básicas de algebra y geometría
    analítica. Cuando se inicio todo esto se buscaba dar
    una breve pero entendible explicación sobre la
    circunferencia en la geometría analítica.
   Se espera que el estudiante haya sido este ensayo
    de lo más fructífero para él, que pueda llevar el
    aprendizaje paralelo a lo que ve en un salón de
    clases.
REFERENCIAS:
 Wooton, W. (1979) Geometría Analítica México:
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 Lehmann, C. (1990).Geometría Analítica.
  México: Limusa
 Kindle ,J. (1988). Geometría Analítica. México:
  McGraw hill
 Kletenik, D. (1998). Geometría Analítica.
  México: McGraw hill
 Grossman ,S. (2008). Algebra Lineal. México:
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CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO DE VISTA ANALÍTICO

  • 1. RUBEN BLANCAS RIVERA LA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO DE VISTA ANÁLITICO
  • 2. CIRCUFERENCIA COMO CÓNICA Si el plano corta completamente a lo largo de uno de los dos conos, y este plano es perpendicular al eje del cono, la curva de la sección obtenida se denomina circunferencia
  • 3. DEFINICIÓN  Wotton W, Beckenbach E ,Fleming F.(1996) definieron en su obra a la circunferencia como “al lugar geométrico (conjunto) de todos los puntos del plano que están a una distancia dada (radio) de un punto dado (centro).Al segmento cuyos extremos son el centro del círculo y a un punto de la circunferencia se llama segmento radial de la circunferencia”.  También LEHMAN C. (1980) definió a la circunferencia como “el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre una distancia constante de un punto fijo de ese plano. Donde el punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio”.
  • 4. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CIRCUFERENCIA
  • 5. Definición de distancia de dos puntos Ecuación Canónica de la circunferencia
  • 6. ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA . Luego definamos de la ecuación como:
  • 7. Así obtenemos la siguiente ecuación, sustituyendo. Ecuación general, o ecuación cartesiana de la circunferencia.
  • 8. TRANSFORMACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL A LA FORMA CANONICA DE LA CIRCUFERENCIA Recordemos la forma de la ecuación general o cartesiana de la circunferencia.
  • 9. Luego, usaremos un poco de algebra, lo cual es primero despejar y completar cuadrados.
  • 10. ANALIZANDO LA PARTE DERECHA DE LA ECUACIÓN ANTERIOR  1.- Si la ecuación representa una circunferencia de radio:  Y centro: C(-D/2,-E/2)  2.- Si la ecuación representa un punto o circunferencia de radio cero.  3.- Si entonces no hay lugar geométrico.
  • 12. Se define a la recta tangente de una circunferencia como la recta que tiene un punto interceptado con un solo punto de la circunferencia. De acuerdo a la definición podemos tomar un punto T (y´, x´) , que es el punto de tangencia, de una circunferencia de radio r.
  • 13. Sea , note que LT es tangente a la circunferencia si y solo si es perpendicular a r.  Sea , punto genérico, note que si , v es un vector de dirección de LT.  Así si y sólo si v es perpendicular a r, o bien
  • 14. Así O bien si Por lo tanto tenemos: ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE EN PUNTO DE LA CIRCUNFERENCIA
  • 15. ALGUNAS APLICACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA  En la prehistoria, con la invención de la rueda se dio inicio a toda la tecnología de hoy en día, todo gracias a este invento, la rueda, y aunque sea indirectamente, y en este caso tenemos aplicaciones de la circunferencia
  • 16. PROBLEMA Un servicio sismológico de Baja California detectó un sismo con origen en la ciudad de Mexicali a 5 km este y a 3km sur del centro de la ciudad, con un radio de 4km a la redonda. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia del área afectada? Utilizando esta ecuación, indica si afecto a la Ciudad de Mexicali.
  • 17. SOLUCIÓN: Note que el epicentro se encuentra en (5,-3) , un punto del plano donde el eje x delimitado con dirección hacia x positiva el este, hacia x negativa el oeste ,y el eje y , hacia el norte las y positiva y al sur las y negativa, así por hipótesis este punto tiene sentido en el plano de acuerdo a como se dio las direcciones. Así obtenemos de acuerdo a la hipótesis una circunferencia de radio r=4 con centro en (5,-3). Usando la ecuación canoníca de la circunferencia:
  • 18. Así la ecuación de la circunferencia pedida Observemos que la ciudad de Mexicali se encuentra en el punto (0,0), veamos qué (0,0) satisface la ecuación de la circunferencia así sabremos si afecta a la ciudad el sismo o no. Al sustituir vemos que no satisface la ecuación, por lo tanto, el sismo no afecto la Ciudad de Mexicali.
  • 19. CONCLUSIÓN  Con esta teoría sobre las representaciones analíticas que tiene la circunferencia podemos tener ya una noción más de este lugar geométrico, se vio que no es complejo entender todo esto, se necesitan nociones muy básicas de algebra y geometría analítica. Cuando se inicio todo esto se buscaba dar una breve pero entendible explicación sobre la circunferencia en la geometría analítica.  Se espera que el estudiante haya sido este ensayo de lo más fructífero para él, que pueda llevar el aprendizaje paralelo a lo que ve en un salón de clases.
  • 20. REFERENCIAS:  Wooton, W. (1979) Geometría Analítica México: McGraw hill  Lehmann, C. (1990).Geometría Analítica. México: Limusa  Kindle ,J. (1988). Geometría Analítica. México: McGraw hill  Kletenik, D. (1998). Geometría Analítica. México: McGraw hill  Grossman ,S. (2008). Algebra Lineal. México: McGraw hill