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Inercia
Carrera 77 Construcción Civil
Nombre del alumno Profesor
Rubén Barrios Prof. Pedro Luis Guedez Rojas
CI. 16.030.572
Introducción
El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un
cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la
distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de
giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del
eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento
de inercia desempeña un papel de similitud al de la masa inercial en el caso del movimiento
rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido
rígido.
Es aquí donde cabe destacar la influencia de Primera Ley de Newton que reza lo siguiente:
"Todo cuerpo preserva su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no
ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él". Por ejemplo,
una rana -sentada sobre una hoja- se mantendrá en reposo mientras no actúe una fuerza
sobre ella.
Desarrollo
Antes de hablar de la determinación del momento de inercia de un área por
integración debemos hablar de la determinación del momento de inercia de un área
como tal
Debemos determinar el momento de inercia de un objeto respecto a un eje determinado
analizando su movimiento de rotación. Muchos cuerpos reales no pueden representarse
adecuadamente como un punto en movimiento. Cuando un cuerpo gira sobre un eje (como
un CD, un ventilador, o un yo-yo) debemos extender nuestro análisis dinámico al
movimiento rotacional del cuerpo rígido. Cuando un cuerpo rígido está sometido a fuerzas
y torques, el movimiento rotacional resultante depende no sólo de su masa, sino también de
cómo está distribuida. Este hecho da origen al concepto de momento de inercia (I), que es a
su vez una medida de la resistencia de un objeto a experimentar cambios en su movimiento
de rotación respecto a un eje, tal como la masa es una medida de la tendencia de un objeto a
resistir cambios en su movimiento rectilíneo. Sin embargo, la masa es una cantidad
intrínseca del objeto, mientras que el momento de inercia depende de la distribución de
la masa del objeto respecto a un eje determinado. En esta sesión estudiaremos el
movimiento de un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje fijo. En nuestro caso
particular, la rotación del objeto alrededor de dicho centro, está relacionado con el
movimiento de traslación de otro objeto con el que se encuentra unido por medio de una
cuerda. Los métodos energéticos serán claves para analizar el movimiento del cuerpo en
rotación y hallar así su momento de inercia y de esta manera podemos proceder a la
determinación del momento de inercia de un área por integración.
La integral, representa el área total. El momento de inercia I de un área con respecto a
cualquier eje A, IA, es igual al momento de inercia respecto a un eje paralelo centroidal
más el producto del área multiplicada por el cuadrado de la distancia (d) entre los dos
ejes.
En la sección anterior definimos el momento de segundo orden, o momento de inercia.
de una área A con respecto al eje x. De manera similar el momento de inercia Iy. del
área A con respecto al eje y, se define como:
Ix = " y2 dA Iy = " x2 dA
dIx = y2dA dIy = x2dA
Imagen momento de inercia
En el desarrollo de este concepto resalte con letra roja resalte con letra roja esta imagen.
Cuadro de cálculos de momento de inercia
Momento polar de inercia
El momento de inercia de un área respecto al eje polar, momento polar de inercia Jo, es
igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejes perpendiculares entre
sí, contenidos en el plano del área y que se intercepta en el eje polar.
La inercia es la resistencia que opone un objeto a modificar su estado de reposo o
movimiento. Esta propiedad se describe en la Primera Ley de Newton, que dice:
Todo cuerpo tiende a mantener su estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme
siempre que no se ejerza una fuerza sobre él.
El momento polar de inercia es la capacidad de un cuerpo para oponerse a la torsión
alrededor de un determinado eje cuando se le aplica un par de fuerzas.
¿Qué es la torsión?
La torsión es el desplazamiento angular de un cuerpo sobre el que se aplica a un par de
fuerzas. Cuanto mayor sea el momento polar de inercia, menor desplazamiento sufrirá.
Este concepto tiene mucha importancia a la hora de diseñar un coche porque definirá su
comportamiento en curva. Durante toda la curva, el coche trata de cambiar de dirección
alrededor de su eje de gravedad, y cuanto más lejos del centro de gravedad se encuentren
los polos de inercia, mayor será el momento de inercia y por ello su resistencia a describir
la curva.
Vamos a verlo de una forma más sencilla. Supongamos que tenemos una hoja de papel
sobre la que colocamos dos pesos (dos polos de inercia) y queremos hacerla girar sobre un
eje determinado, como muestro en la figura.
Cuanto más lejos del eje de giro estén las masas (m1 y m2 en la figura), más complicado
será hacerlas cambiar de dirección.
Matemáticamente definiremos el momento polar de inercia de un vehículo como la suma de
los momentos polares de inercia de cada uno de los polos que vayamos a considerar:
ΣM = m1*d1² + ... + mn*dn²
De la fórmula podemos extraer que grandes masas alejadas del centro de gravedad darán
como resultado un alto momento polar de inercia, mientras que si las masas son menores o
están más cerca del centro de gravedad tendrán como resultado un bajo momento polar de
inercia.
Vamos a aplicarlo ahora a un par de ejemplos. Sólo consideraremos como polos de inercia
el motor y la caja de cambios, ya que son los elementos que más van a influir en el
comportamiento del vehículo. En un cálculo real se tendrán en cuenta todos los elementos
del coche.
Las distancias se calculan desde el centro de gravedad del vehículo, al centro de gravedad
de cada uno de los elementos.
Radio de giro de un área
Es una medida del alejamiento promedio de la sección resistente del centro de
gravedad, dadas dos secciones de la misma área la de menor radio de giro presentará
menor rigidez torsional y también un peor comportamiento frente a pandeo o lo
podemos definir como la distancia desde el eje de giro a un punto donde podríamos
suponer concentrada toda la masa del cuerpo de modo que el momento de inercia respecto a
dicho eje se obtenga como el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado del radio de
giro.
Teorema de los ejes paralelos
El momento de inercia en torno a un eje paralelo es la suma del momento de inercia del
objeto sobre su centro de masa, más el momento de inercia de todo el objeto -tratado como
una masa puntual en el centro de masa- sobre ese eje paralelo.
El teorema del eje paralelo, también conocido como teorema de Huygens–Steiner, o
simplemente como teorema de Steiner,1
(nombrado así en referencia a Christiaan Huygens
y Jakob Steiner), puede utilizarse para determinar el momento de inercia o segundo
momento de área de un cuerpo rígido respecto a cualquier eje, a partir del momento de
inercia del cuerpo respecto a un eje paralelo al anterior que pase a través del centro de
masas del objeto, de la masa del objeto y de la distancia medida perpendicularmente entre
ambos ejes.
Ilustración del teorema de Steiner:
El eje de rotación 1 pasa por el centro de masas del cuerpo de masa . El eje de rotación 2
está desplazado la distancia d.
I2=I1+md2
Momentos de inercia de área compuesta
Siempre que el momento de inercia de cada una de esas partes se conoce o puede
determinarse con respecto a un eje común, entonces el momento de inercia del área
compuesta es igual a la suma algebraica de los momentos de inercia de todas sus
partes.
Producto de inercia
El producto de inercia Ixy se obtiene como la distancia al eje x por la distancia al eje y
de los distintos puntos del sólido. Éste proporciona una indicación de la simetría de la
sección respecto los ejes x e y; a menor simetría, mayor valor del producto de inercia.
Ejes principales y momentos principales de inercia
Ejes principales de inercia
Como es sabido en mecánica del sólido rígido, la inercia rotacional de un cuerpo viene
caracterizada por un tensor llamado tensor de inercia, que en una base ortogonal se expresa
mediante una matriz simétrica.
Los ejes principales de inercia son precisamente las rectas o ejes formadas por vectores
propios del tensor de inercia. Tienen la propiedad interesante de que un sólido que gira
libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. En cambio,
si el cuerpo gira alrededor de un eje arbitrario que no sea principal, el movimiento de
acuerdo con las ecuaciones de Euler presentará cambios de orientación en forma de
precesión y nutación.
El hecho de que el giro alrededor de un eje principal sea tan simple se debe a que, cuando
un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular L y la
velocidad angular ω son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección
principal:
Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a
dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia
diferentes. Puede probarse además que si dos ejes principales se corresponden a momentos
principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.
Todo cuerpo sólido tiene al menos un sistema de tres ejes de inercia principales (el tensor
de inercia siempre se puede diagonalizar) aunque, en particular, el número sistemas de ejes
de inercia principales puede llegar a ser infinito si el sólido rígido presenta simetría axial o
esférica. En el caso de la simetría axial dos de los momentos de inercia relativos a sendos
ejes tendrán el mismo valor y, en el caso de la simetría esférica, todos serán iguales. Los
sólidos rígidos que tienen simetría esférica se denominan peonzas esféricas y, los que solo
tienen simetría axial, peonzas simétricas.
Momentos principales de inercia
El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo.
Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional
puede ser representada como una magnitud vectorial llamada momento de inercia. Sin
embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio
de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de
inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, por
ejemplo en movimientos giroscópicos.
El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de
partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia solo depende de la
geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que
intervienen en el movimiento.
El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del
movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de
un sólido rígido.
Circulo de Mohr para momentos y productos de inercia
El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para el cálculo de momentos de
inercia, deformaciones y esfuerzos, adaptando los mismos a las características de un
círculo (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo
absoluto y la deformación máxima absoluta.
Momento de inercia de una masa
El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de
partículas en rotación, respecto a un eje de giro El momento de inercia desempeña un
papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme.
El momento de inercia de un área con respecto a cualquier eje en su plano es igual al
momento de inercia con respecto a un eje paralelo al anterior y que pase por el centro
de gravedad del área, más el producto del área y el cuadrado de la distancia entre los
dos ejes.
Teorema de ejes paralelos
El momento de inercia en torno a un eje paralelo es la suma del momento de inercia del
objeto sobre su centro de masa, más el momento de inercia de todo el objeto -tratado como
una masa puntual en el centro de masa- sobre ese eje paralelo
La geometría es una de las ramas de las matemáticas caracterizada por centrarse en
el estudio de las propiedades de figuras que pueden ser en el plano o en el espacio.
Dentro de esta rama se pueden encontrar los puntos, rectas, planos, politopos, entre otros.
De esta parte se desprenden muchas cosas más, como suele suceder dentro de las
matemáticas. Se tiene que tener en cuenta que es la base del dibujo técnico.
Dentro de todo el mundo de la geometría existen muchos teoremas, entre los cuales destaca
el Teorema de los Ejes Paralelos o de Steiner. Se trata de uno de los teoremas de la
geometría elemental, el cual en este caso fue creado por C. L. .Lehmus, pero que fue
probado por Jakob Steiner.
Se deberá de considerar el momento de inercia de un objeto plano: este va a tener su
momento sobre un eje perpendicular al plano se considera la suma de los momentos de
inercia cuando es sobre dos ejes. Esto quiere decir que ocurre un crece entre objetos en el
plano que es perpendicular.
Esto es lo que se denomina como Teorema de ejes paralelos. No solamente es utilizada
para los objetos planos. Sino que también es primordial para poder construir momentos de
inercia sobre objetos tridimensionales. Uno de los casos puede ser el cilindro.
Historia del teorema de ejes paralelos
Debemos tener claro que el teorema de los ejes paralelos que también es conocido como
el teorema de Steiner. Este teorema permite de forma sencilla poder evaluar el momento
de inercia de un cuerpo plano. Esto en base a un eje que esta paralelo a otro que pase por
el centro de la masa del objeto.
Este teorema debe su nombre a Jakob Steiner (1796 – 1863), el cual se encargó de afirmar
que el ICM se defina como el momento de iniciar de un objeto, el cual es respecto a un eje
que pasa por el centro CM e Iz es la forma en la cual se puede entender de forma muy
sencilla este teorema. Que vamos a analizar un poco más a fondo.
Este matemático es de origen suizo, nació en la villa llamada Utzenstorf el lejano 18 de
marzo de 1796. Fue un alumno destacado de Johann Heinrich Pestalozzi. Posteriormente,
fue a realizar sus estudios hasta Heidelberg, para luego ir hasta Berlín donde pudo
consagrarse como profesor y fue el fundador del diario denominado como Journal für die
reine und angewandte Mathematik.
En el año de 1832 recibió un grado honorífico en la Universidad Königsberg, esto por el
trabajo conocido como Systematische Entwickelungen. Fue uno de los que promovieron la
introducción de una nueva cátedra que sería llamada geometría. Esto lo puedo hacer
debido al apoyo de los hermanos Alexander y Wilhelm von Humboldt. Steiner. Murió el 1
de abril de 1863.
Ya con el paso de los años el teorema de los ejes paralelos tomo una gran importancia,
mucho más en física. Esto debido a todo lo que se ha explicado durante este artículo. Sin
embargo, es el momento de dejar la historia y pasar a la parte del teorema, que no es para
nada complicado.
Aplicación del teorema
El teorema de ejes paralelos tiene como principal objetivo que se pueda rotar un objeto con
respecto a varios ejes. En las tablas suele expresarse solo el momento de iniciar respecto al
eje que puede atravesar el centroide. Una de las principales ventajas que da este teorema es
la facilidad para poder calcular cuando se necesita hacer girar un cuerpo sobre ejes y estos
no pueden coincidir.
Como el teorema de álgebra, este también se trata de explicar de una forma en la cual todas
las personas que lean este artículo puedan comprender la forma en que se aplica. Un
ejemplo claro en el cual se puede hacer uso de este teorema es: una puerta no gira por un
eje que atraviesa su centroide, sino que es por un eje lateral donde se encuentran las
bisagras. Es la forma sencilla en la cual se puede entender el teorema de ejes paralelos.
Se puede llegar a calcular la energía cinética que se aplica sobre el eje. Esto puede ser
porque K es la energía cinética, I el momento de inercia sobre el eje y la w es la velocidad
angular. Por lo que la formula que se aplica para este tipo de casos es la siguiente:
K = ½ I.ω2
A pesar de que la formula es similar a la que se utiliza para la energía cinética en un objeto
de masa, esta es muy diferente. Debido a que también se considera la velocidad y es la
siguiente: v: K =½ M.v2
.
Momento de inercia de planas delgadas
El momento de inercia de una figura plana respecto a un eje perpendicular a la figura es
igual a la suma de los momentos de inercia de dos ejes que estén contenidos en el
plano de la figura, corten al eje perpendicular y sean todos perpendiculares entre sí.
Conclusiones
En el desarrollo de este resumido informe logramos determinar el momento de inercia sus
componentes lo que abarca y pudimos ver como variaba el momento de inercia gracias a la
distribución de su masa. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y
de la posición del eje de giro pero no depende de las fuerzas que intervienen en el
movimiento. El teorema de ejes paralelos permite relacionar el momento de inercia
respecto a un eje que pasa por el Centro de Masa de un cuerpo con el momento de inercia
respecto a un eje paralelo al anterior.
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Inercia.docx

  • 1. Inercia Carrera 77 Construcción Civil Nombre del alumno Profesor Rubén Barrios Prof. Pedro Luis Guedez Rojas CI. 16.030.572
  • 2. Introducción El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel de similitud al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido. Es aquí donde cabe destacar la influencia de Primera Ley de Newton que reza lo siguiente: "Todo cuerpo preserva su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él". Por ejemplo, una rana -sentada sobre una hoja- se mantendrá en reposo mientras no actúe una fuerza sobre ella.
  • 3. Desarrollo Antes de hablar de la determinación del momento de inercia de un área por integración debemos hablar de la determinación del momento de inercia de un área como tal Debemos determinar el momento de inercia de un objeto respecto a un eje determinado analizando su movimiento de rotación. Muchos cuerpos reales no pueden representarse adecuadamente como un punto en movimiento. Cuando un cuerpo gira sobre un eje (como un CD, un ventilador, o un yo-yo) debemos extender nuestro análisis dinámico al movimiento rotacional del cuerpo rígido. Cuando un cuerpo rígido está sometido a fuerzas y torques, el movimiento rotacional resultante depende no sólo de su masa, sino también de cómo está distribuida. Este hecho da origen al concepto de momento de inercia (I), que es a su vez una medida de la resistencia de un objeto a experimentar cambios en su movimiento de rotación respecto a un eje, tal como la masa es una medida de la tendencia de un objeto a resistir cambios en su movimiento rectilíneo. Sin embargo, la masa es una cantidad intrínseca del objeto, mientras que el momento de inercia depende de la distribución de la masa del objeto respecto a un eje determinado. En esta sesión estudiaremos el movimiento de un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje fijo. En nuestro caso particular, la rotación del objeto alrededor de dicho centro, está relacionado con el movimiento de traslación de otro objeto con el que se encuentra unido por medio de una cuerda. Los métodos energéticos serán claves para analizar el movimiento del cuerpo en rotación y hallar así su momento de inercia y de esta manera podemos proceder a la determinación del momento de inercia de un área por integración. La integral, representa el área total. El momento de inercia I de un área con respecto a cualquier eje A, IA, es igual al momento de inercia respecto a un eje paralelo centroidal más el producto del área multiplicada por el cuadrado de la distancia (d) entre los dos ejes. En la sección anterior definimos el momento de segundo orden, o momento de inercia. de una área A con respecto al eje x. De manera similar el momento de inercia Iy. del área A con respecto al eje y, se define como: Ix = " y2 dA Iy = " x2 dA
  • 4. dIx = y2dA dIy = x2dA Imagen momento de inercia En el desarrollo de este concepto resalte con letra roja resalte con letra roja esta imagen. Cuadro de cálculos de momento de inercia Momento polar de inercia El momento de inercia de un área respecto al eje polar, momento polar de inercia Jo, es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejes perpendiculares entre sí, contenidos en el plano del área y que se intercepta en el eje polar.
  • 5. La inercia es la resistencia que opone un objeto a modificar su estado de reposo o movimiento. Esta propiedad se describe en la Primera Ley de Newton, que dice: Todo cuerpo tiende a mantener su estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme siempre que no se ejerza una fuerza sobre él. El momento polar de inercia es la capacidad de un cuerpo para oponerse a la torsión alrededor de un determinado eje cuando se le aplica un par de fuerzas. ¿Qué es la torsión? La torsión es el desplazamiento angular de un cuerpo sobre el que se aplica a un par de fuerzas. Cuanto mayor sea el momento polar de inercia, menor desplazamiento sufrirá. Este concepto tiene mucha importancia a la hora de diseñar un coche porque definirá su comportamiento en curva. Durante toda la curva, el coche trata de cambiar de dirección alrededor de su eje de gravedad, y cuanto más lejos del centro de gravedad se encuentren los polos de inercia, mayor será el momento de inercia y por ello su resistencia a describir la curva. Vamos a verlo de una forma más sencilla. Supongamos que tenemos una hoja de papel sobre la que colocamos dos pesos (dos polos de inercia) y queremos hacerla girar sobre un eje determinado, como muestro en la figura.
  • 6. Cuanto más lejos del eje de giro estén las masas (m1 y m2 en la figura), más complicado será hacerlas cambiar de dirección. Matemáticamente definiremos el momento polar de inercia de un vehículo como la suma de los momentos polares de inercia de cada uno de los polos que vayamos a considerar: ΣM = m1*d1² + ... + mn*dn² De la fórmula podemos extraer que grandes masas alejadas del centro de gravedad darán como resultado un alto momento polar de inercia, mientras que si las masas son menores o están más cerca del centro de gravedad tendrán como resultado un bajo momento polar de inercia. Vamos a aplicarlo ahora a un par de ejemplos. Sólo consideraremos como polos de inercia el motor y la caja de cambios, ya que son los elementos que más van a influir en el comportamiento del vehículo. En un cálculo real se tendrán en cuenta todos los elementos del coche. Las distancias se calculan desde el centro de gravedad del vehículo, al centro de gravedad de cada uno de los elementos. Radio de giro de un área Es una medida del alejamiento promedio de la sección resistente del centro de gravedad, dadas dos secciones de la misma área la de menor radio de giro presentará menor rigidez torsional y también un peor comportamiento frente a pandeo o lo podemos definir como la distancia desde el eje de giro a un punto donde podríamos suponer concentrada toda la masa del cuerpo de modo que el momento de inercia respecto a dicho eje se obtenga como el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado del radio de giro. Teorema de los ejes paralelos El momento de inercia en torno a un eje paralelo es la suma del momento de inercia del objeto sobre su centro de masa, más el momento de inercia de todo el objeto -tratado como una masa puntual en el centro de masa- sobre ese eje paralelo.
  • 7. El teorema del eje paralelo, también conocido como teorema de Huygens–Steiner, o simplemente como teorema de Steiner,1 (nombrado así en referencia a Christiaan Huygens y Jakob Steiner), puede utilizarse para determinar el momento de inercia o segundo momento de área de un cuerpo rígido respecto a cualquier eje, a partir del momento de inercia del cuerpo respecto a un eje paralelo al anterior que pase a través del centro de masas del objeto, de la masa del objeto y de la distancia medida perpendicularmente entre ambos ejes. Ilustración del teorema de Steiner: El eje de rotación 1 pasa por el centro de masas del cuerpo de masa . El eje de rotación 2 está desplazado la distancia d. I2=I1+md2 Momentos de inercia de área compuesta Siempre que el momento de inercia de cada una de esas partes se conoce o puede determinarse con respecto a un eje común, entonces el momento de inercia del área compuesta es igual a la suma algebraica de los momentos de inercia de todas sus partes.
  • 8. Producto de inercia El producto de inercia Ixy se obtiene como la distancia al eje x por la distancia al eje y de los distintos puntos del sólido. Éste proporciona una indicación de la simetría de la sección respecto los ejes x e y; a menor simetría, mayor valor del producto de inercia. Ejes principales y momentos principales de inercia Ejes principales de inercia Como es sabido en mecánica del sólido rígido, la inercia rotacional de un cuerpo viene caracterizada por un tensor llamado tensor de inercia, que en una base ortogonal se expresa mediante una matriz simétrica. Los ejes principales de inercia son precisamente las rectas o ejes formadas por vectores propios del tensor de inercia. Tienen la propiedad interesante de que un sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. En cambio, si el cuerpo gira alrededor de un eje arbitrario que no sea principal, el movimiento de acuerdo con las ecuaciones de Euler presentará cambios de orientación en forma de precesión y nutación. El hecho de que el giro alrededor de un eje principal sea tan simple se debe a que, cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular L y la velocidad angular ω son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal: Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia
  • 9. diferentes. Puede probarse además que si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares. Todo cuerpo sólido tiene al menos un sistema de tres ejes de inercia principales (el tensor de inercia siempre se puede diagonalizar) aunque, en particular, el número sistemas de ejes de inercia principales puede llegar a ser infinito si el sólido rígido presenta simetría axial o esférica. En el caso de la simetría axial dos de los momentos de inercia relativos a sendos ejes tendrán el mismo valor y, en el caso de la simetría esférica, todos serán iguales. Los sólidos rígidos que tienen simetría esférica se denominan peonzas esféricas y, los que solo tienen simetría axial, peonzas simétricas. Momentos principales de inercia El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud vectorial llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, por ejemplo en movimientos giroscópicos. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia solo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido. Circulo de Mohr para momentos y productos de inercia El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para el cálculo de momentos de inercia, deformaciones y esfuerzos, adaptando los mismos a las características de un círculo (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta. Momento de inercia de una masa El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. El momento de inercia de un área con respecto a cualquier eje en su plano es igual al momento de inercia con respecto a un eje paralelo al anterior y que pase por el centro
  • 10. de gravedad del área, más el producto del área y el cuadrado de la distancia entre los dos ejes. Teorema de ejes paralelos El momento de inercia en torno a un eje paralelo es la suma del momento de inercia del objeto sobre su centro de masa, más el momento de inercia de todo el objeto -tratado como una masa puntual en el centro de masa- sobre ese eje paralelo La geometría es una de las ramas de las matemáticas caracterizada por centrarse en el estudio de las propiedades de figuras que pueden ser en el plano o en el espacio. Dentro de esta rama se pueden encontrar los puntos, rectas, planos, politopos, entre otros. De esta parte se desprenden muchas cosas más, como suele suceder dentro de las matemáticas. Se tiene que tener en cuenta que es la base del dibujo técnico. Dentro de todo el mundo de la geometría existen muchos teoremas, entre los cuales destaca el Teorema de los Ejes Paralelos o de Steiner. Se trata de uno de los teoremas de la geometría elemental, el cual en este caso fue creado por C. L. .Lehmus, pero que fue probado por Jakob Steiner. Se deberá de considerar el momento de inercia de un objeto plano: este va a tener su momento sobre un eje perpendicular al plano se considera la suma de los momentos de inercia cuando es sobre dos ejes. Esto quiere decir que ocurre un crece entre objetos en el plano que es perpendicular. Esto es lo que se denomina como Teorema de ejes paralelos. No solamente es utilizada para los objetos planos. Sino que también es primordial para poder construir momentos de inercia sobre objetos tridimensionales. Uno de los casos puede ser el cilindro. Historia del teorema de ejes paralelos Debemos tener claro que el teorema de los ejes paralelos que también es conocido como el teorema de Steiner. Este teorema permite de forma sencilla poder evaluar el momento de inercia de un cuerpo plano. Esto en base a un eje que esta paralelo a otro que pase por el centro de la masa del objeto.
  • 11. Este teorema debe su nombre a Jakob Steiner (1796 – 1863), el cual se encargó de afirmar que el ICM se defina como el momento de iniciar de un objeto, el cual es respecto a un eje que pasa por el centro CM e Iz es la forma en la cual se puede entender de forma muy sencilla este teorema. Que vamos a analizar un poco más a fondo. Este matemático es de origen suizo, nació en la villa llamada Utzenstorf el lejano 18 de marzo de 1796. Fue un alumno destacado de Johann Heinrich Pestalozzi. Posteriormente, fue a realizar sus estudios hasta Heidelberg, para luego ir hasta Berlín donde pudo consagrarse como profesor y fue el fundador del diario denominado como Journal für die reine und angewandte Mathematik. En el año de 1832 recibió un grado honorífico en la Universidad Königsberg, esto por el trabajo conocido como Systematische Entwickelungen. Fue uno de los que promovieron la introducción de una nueva cátedra que sería llamada geometría. Esto lo puedo hacer debido al apoyo de los hermanos Alexander y Wilhelm von Humboldt. Steiner. Murió el 1 de abril de 1863. Ya con el paso de los años el teorema de los ejes paralelos tomo una gran importancia, mucho más en física. Esto debido a todo lo que se ha explicado durante este artículo. Sin embargo, es el momento de dejar la historia y pasar a la parte del teorema, que no es para nada complicado. Aplicación del teorema El teorema de ejes paralelos tiene como principal objetivo que se pueda rotar un objeto con respecto a varios ejes. En las tablas suele expresarse solo el momento de iniciar respecto al eje que puede atravesar el centroide. Una de las principales ventajas que da este teorema es la facilidad para poder calcular cuando se necesita hacer girar un cuerpo sobre ejes y estos no pueden coincidir. Como el teorema de álgebra, este también se trata de explicar de una forma en la cual todas las personas que lean este artículo puedan comprender la forma en que se aplica. Un ejemplo claro en el cual se puede hacer uso de este teorema es: una puerta no gira por un eje que atraviesa su centroide, sino que es por un eje lateral donde se encuentran las bisagras. Es la forma sencilla en la cual se puede entender el teorema de ejes paralelos. Se puede llegar a calcular la energía cinética que se aplica sobre el eje. Esto puede ser porque K es la energía cinética, I el momento de inercia sobre el eje y la w es la velocidad angular. Por lo que la formula que se aplica para este tipo de casos es la siguiente: K = ½ I.ω2 A pesar de que la formula es similar a la que se utiliza para la energía cinética en un objeto de masa, esta es muy diferente. Debido a que también se considera la velocidad y es la siguiente: v: K =½ M.v2 .
  • 12. Momento de inercia de planas delgadas El momento de inercia de una figura plana respecto a un eje perpendicular a la figura es igual a la suma de los momentos de inercia de dos ejes que estén contenidos en el plano de la figura, corten al eje perpendicular y sean todos perpendiculares entre sí.
  • 13. Conclusiones En el desarrollo de este resumido informe logramos determinar el momento de inercia sus componentes lo que abarca y pudimos ver como variaba el momento de inercia gracias a la distribución de su masa. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El teorema de ejes paralelos permite relacionar el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el Centro de Masa de un cuerpo con el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior.