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INTRODUCCION
El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo.
Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia
rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de
inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe
representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que
forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis
de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos.
El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de
partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de
la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas
que intervienen en el movimiento.
El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del
movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de
un sólido rígido.
MARCO TEORICO
CALCULO TEORICO DEL MOMENTO DE INERCIA
Ecuaciones del momento de inercia
¿Cuál de estos giros resulta más difícil?
El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración
angular.
Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se
define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la
distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:
Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:
El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Se
resuelve a través de una integral triple.
Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa
inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que
presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia
que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de
Newton: tiene como equivalente para la rotación:
Donde:
es el momento aplicado al cuerpo.
es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y
es la aceleración angular.
Siempre y cuando la distancia con respecto al sistema de referencia permanezca
constante.
La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es , mientras que la
energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es , donde es el
momento de inercia con respecto al eje de rotación.
La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la
conservación del momento angular :
El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el
vector velocidad angular . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es
un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de
inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido
también a lo largo de ese eje.
Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos
Artículo principal: Teorema de Steiner
El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento
de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa,
es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el
producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:
donde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de
masa; I(CM)
eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el
centro de masa; M(Masa Total) y h (Distancia entre los dos ejes paralelos considerados).
La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de
coordenadas relativa al centro de masas C inmediata:
Donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en
torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa.
El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro
de masa sólo depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad
depende del campo gravitacional en el que está inmerso dicho cuerpo.
Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas
1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples
2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por .
3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes con
respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm de toda la figura formada por
todas las áreas parciales anteriores.
4. Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura.
5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de
masas (que serán paralelos a x e y). Designar como: e , para el área i-
ésima.
6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el
teorema del eje paralelo, es decir, el teorema de
Steiner: y
7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los momentos
anteriores: e
Tensor de inercia de un sólido rígido
Artículo principal: Tensor de inercia
El tensor de inercia de un sólido rígido, es un tensor simétrico de segundo orden, que
expresado en una base ortonormal viene dado por una matriz simétrica, cuyas
componentes tensoriales son:
Donde son las coordenadas cartesianas rectangulares.
, es el símbolo de Kronecker o delta de Kronecker definida como:
Los elementos reciben el nombre de momento de inercia respecto al
eje , y son las componentes diagonales del tensor. Las componentes del tensor de
inercia en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares son:
Y los tres productos de inercia según los mismos ejes:
Todas las formas anteriores pueden derivarse de la definición del tensor de momento de
inercia haciendo:
.
El momento con respecto a cualquier otro eje puede expresarse como combinación lineal
anterior de las anteriores magnitudes:
Donde la matriz es el tensor de inercia expresado en la base XYZ y es el
vector paralelo al eje según el cual se pretende encontrar el momento de inercia.
DATOS, CALCULOS, RESULTADOS Y ANALISIS
1- Completa la siguiente tabla de datos
N
º
Tipo de
objeto
D(cm) R(cm) Masa
colgante(g)
DC1 DC2 DC3 Tiempo t(s) Tiempo t`(s)
Toma
1
Toma
2
Toma
3
Toma
1
Toma
2
Toma
3
1 Bloque m 8 1,25 55 6,5 2,3 11,50 3,75 3,46 3,71 42,41 43,88 43,16
2 Anillo me 8 1,25 55 5,16 12,7 1,08 5,25 5,27 5,20 43,12 41,56 40,49
3 Disco ho 8 1,25 55 2,49 10,87 ------- 4,02 4,13 3,65 49,73 49,62 50,48
4 Disco ve 8 1,25 55 10,87 2,49 ------- 3,51 3,20 3,43 25,69 24,57 25,03
Tabla de datos N°1
2- Deduzca la expresión para el momento de inercia en función de las magnitudes
medidas(m,v,a,t,t`) de la ecuación (6)
Despejando tendremos;
3- Complete la siguiente tabla de cálculos y resultados
N° Tipo de
objeto
(s) (s)
1 Bloque m 3,64 43,15 1,21 1,08 809,74 85,94 64434,31
2 Anillo m 5,24 41,72 0,58 1,13 1690,38 85,94 128558,63
3 Disco ho 3,93 49,94 1,03 1,08 951,43 85,94 75709,16
4 Disco ve 3,38 25,09 1,40 1,13 699,71 85,94 53215,11
Tabla de datos N°2
Realización;
Tipo de objeto: Bloque de madera
4- Calculo de la energía perdida por fricción, para cada objeto:
Energía perdida por fricción!!!
Tipo del objeto: anillo metálico
Tipo de objeto: disco horizontal
Tipo de objeto: disco vertical
5- Escriba la expresión analítica para el momento de inercia del disco , hallelo:
en estecaso son dos
6- Escriba la expresión analítica para el momento de inercia de cada uno de los
diferentesobjetos y hállelos. Tabule sus resultados
Tipo de objeto: bloque de madera
N° Tipo de objeto (s) (s)
1 Bloque madera 3,64 43,15 1,21 85,94 64175,72
2 Anillo metal 5,24 41,72 0,58 85,94 129061,21
3 Disco horizontal 3,93 49,94 1,03 85,94 75796,35
4 Disco vertical 3,38 25,09 1,40 85,94 52994,32
Tabla de datos N°3
7- Halle las diferencias relativas porcentuales entre los valores teóricos y
losexperimentales. Tabúlelos.
Tipo de objeto: bloque de madera
Tipo de objeto: anillo metálico
Tipo de objeto: disco horizontal
Tipo de objeto: disco vertical
N° Tipo de objeto
1 Bloque madera 64434,31 64175,72
2 Anillo metal 128558,63 129061,21
3 Disco horizontal 75709,16 75796,35
4 Disco vertical 53215,11 52994,32
Tabla de datos N°4
8- Concluya objetivamente y enuncie las posibles causas de error.
El propósito de esta práctica fue hallar experimentalmente el momento de inercia del
bloque, el anillo y los discos; y verificar que estos valores correspondan a los valores
teóricos calculados. Al realizar esto, nos damos cuenta que el error se debe a errores
humanos e imprecisión de los materiales utilizados en el laboratorio, aunque se
obtuvieron errores mínimos.
CONCLUSIONES
Se logró determinar el momento de inercia de los sólidos (bloque, anillo y discos) y
pudimos ver como variaba el momento de inercia entre ellos gracias a la
distribución de sus masas
Los resultados obtenidos tuvieron poca margen de error debido a factores como
las fuerzas de fricción que aunque eran despreciables incidieron en los resultados.
Se puede concluir que entre más alejada este la masa del centro de rotación,
mayor es su inercia.
Se deduce que entre más masa tenga un cuerpo que este girando, mayor deberá
ser la inercia rotacional que experimente.
BIBLIOGRAFIA
Serway Raymond, Editorial Mc. Graw Hill, Cuarta Edicion
Finn A, Física Vol. I : Mecánica, México
Resnick, Halliday, Krane, física
http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inercia
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/inercia/inercia.htm

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Momento de inercia

  • 1. INTRODUCCION El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.
  • 2. MARCO TEORICO CALCULO TEORICO DEL MOMENTO DE INERCIA Ecuaciones del momento de inercia ¿Cuál de estos giros resulta más difícil? El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular. Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como: Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como: El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Se resuelve a través de una integral triple. Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: tiene como equivalente para la rotación:
  • 3. Donde: es el momento aplicado al cuerpo. es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y es la aceleración angular. Siempre y cuando la distancia con respecto al sistema de referencia permanezca constante. La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es , mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es , donde es el momento de inercia con respecto al eje de rotación. La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular : El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje. Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos Artículo principal: Teorema de Steiner El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes: donde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de
  • 4. masa; I(CM) eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M(Masa Total) y h (Distancia entre los dos ejes paralelos considerados). La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de coordenadas relativa al centro de masas C inmediata: Donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa. El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa sólo depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que está inmerso dicho cuerpo. Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas 1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples 2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por . 3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes con respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm de toda la figura formada por todas las áreas parciales anteriores. 4. Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura. 5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que serán paralelos a x e y). Designar como: e , para el área i- ésima. 6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el teorema del eje paralelo, es decir, el teorema de Steiner: y
  • 5. 7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los momentos anteriores: e Tensor de inercia de un sólido rígido Artículo principal: Tensor de inercia El tensor de inercia de un sólido rígido, es un tensor simétrico de segundo orden, que expresado en una base ortonormal viene dado por una matriz simétrica, cuyas componentes tensoriales son: Donde son las coordenadas cartesianas rectangulares. , es el símbolo de Kronecker o delta de Kronecker definida como: Los elementos reciben el nombre de momento de inercia respecto al eje , y son las componentes diagonales del tensor. Las componentes del tensor de inercia en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares son: Y los tres productos de inercia según los mismos ejes:
  • 6. Todas las formas anteriores pueden derivarse de la definición del tensor de momento de inercia haciendo: . El momento con respecto a cualquier otro eje puede expresarse como combinación lineal anterior de las anteriores magnitudes: Donde la matriz es el tensor de inercia expresado en la base XYZ y es el vector paralelo al eje según el cual se pretende encontrar el momento de inercia.
  • 7. DATOS, CALCULOS, RESULTADOS Y ANALISIS 1- Completa la siguiente tabla de datos N º Tipo de objeto D(cm) R(cm) Masa colgante(g) DC1 DC2 DC3 Tiempo t(s) Tiempo t`(s) Toma 1 Toma 2 Toma 3 Toma 1 Toma 2 Toma 3 1 Bloque m 8 1,25 55 6,5 2,3 11,50 3,75 3,46 3,71 42,41 43,88 43,16 2 Anillo me 8 1,25 55 5,16 12,7 1,08 5,25 5,27 5,20 43,12 41,56 40,49 3 Disco ho 8 1,25 55 2,49 10,87 ------- 4,02 4,13 3,65 49,73 49,62 50,48 4 Disco ve 8 1,25 55 10,87 2,49 ------- 3,51 3,20 3,43 25,69 24,57 25,03 Tabla de datos N°1 2- Deduzca la expresión para el momento de inercia en función de las magnitudes medidas(m,v,a,t,t`) de la ecuación (6) Despejando tendremos; 3- Complete la siguiente tabla de cálculos y resultados N° Tipo de objeto (s) (s) 1 Bloque m 3,64 43,15 1,21 1,08 809,74 85,94 64434,31 2 Anillo m 5,24 41,72 0,58 1,13 1690,38 85,94 128558,63 3 Disco ho 3,93 49,94 1,03 1,08 951,43 85,94 75709,16 4 Disco ve 3,38 25,09 1,40 1,13 699,71 85,94 53215,11 Tabla de datos N°2 Realización; Tipo de objeto: Bloque de madera
  • 8. 4- Calculo de la energía perdida por fricción, para cada objeto: Energía perdida por fricción!!! Tipo del objeto: anillo metálico Tipo de objeto: disco horizontal
  • 9. Tipo de objeto: disco vertical 5- Escriba la expresión analítica para el momento de inercia del disco , hallelo: en estecaso son dos 6- Escriba la expresión analítica para el momento de inercia de cada uno de los diferentesobjetos y hállelos. Tabule sus resultados Tipo de objeto: bloque de madera N° Tipo de objeto (s) (s) 1 Bloque madera 3,64 43,15 1,21 85,94 64175,72 2 Anillo metal 5,24 41,72 0,58 85,94 129061,21 3 Disco horizontal 3,93 49,94 1,03 85,94 75796,35 4 Disco vertical 3,38 25,09 1,40 85,94 52994,32 Tabla de datos N°3
  • 10. 7- Halle las diferencias relativas porcentuales entre los valores teóricos y losexperimentales. Tabúlelos. Tipo de objeto: bloque de madera Tipo de objeto: anillo metálico Tipo de objeto: disco horizontal Tipo de objeto: disco vertical N° Tipo de objeto 1 Bloque madera 64434,31 64175,72 2 Anillo metal 128558,63 129061,21 3 Disco horizontal 75709,16 75796,35 4 Disco vertical 53215,11 52994,32 Tabla de datos N°4 8- Concluya objetivamente y enuncie las posibles causas de error. El propósito de esta práctica fue hallar experimentalmente el momento de inercia del bloque, el anillo y los discos; y verificar que estos valores correspondan a los valores teóricos calculados. Al realizar esto, nos damos cuenta que el error se debe a errores humanos e imprecisión de los materiales utilizados en el laboratorio, aunque se obtuvieron errores mínimos.
  • 11. CONCLUSIONES Se logró determinar el momento de inercia de los sólidos (bloque, anillo y discos) y pudimos ver como variaba el momento de inercia entre ellos gracias a la distribución de sus masas Los resultados obtenidos tuvieron poca margen de error debido a factores como las fuerzas de fricción que aunque eran despreciables incidieron en los resultados. Se puede concluir que entre más alejada este la masa del centro de rotación, mayor es su inercia. Se deduce que entre más masa tenga un cuerpo que este girando, mayor deberá ser la inercia rotacional que experimente.
  • 12. BIBLIOGRAFIA Serway Raymond, Editorial Mc. Graw Hill, Cuarta Edicion Finn A, Física Vol. I : Mecánica, México Resnick, Halliday, Krane, física http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inercia http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/inercia/inercia.htm