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Bhaskara
      (1114 – 1185)


 Vida y obra por
Sabrina Dechima
También es conocido como Bhaskara II; su
nombre significa Maestro, nació en Vijayapura,
 y murió en Ujjain. Ambas ciudades de la India
Fue jefe del observatorio astronómico de Ujjain,
   uno de los centros del renacimiento de la
   Matemática hindú durante la Edad Media
Representó un hito en el
conocimiento matemático
del siglo XII

Alcanzó un conocimiento
de los sistemas de numeración y resolución de
ecuaciones al que no se había arribado en
Europa en muchos siglos. Su principal obra es
Lilavati (la hermosa), que es sobre Álgebra (fue
traducida al inglés en 1816 por James Taylor)
Lilavati
     El libro posee el
     nombre de su hija de 12
     años

      Lo hizo con la idea de
     confrontarla ante un
     problema     que    ella
     tenía.

        Veamos el relato
Esta es la Historia
           Los astrólogos habían
           detectado que había un
           solo momento en toda
           la vida de Lilavati en el
           cual podía casarse en
           forma segura y ese era
           el día en el que
           cumpliera 12 años. Así
           Bhaskara arregló la
           boda para ese día.
Los hindúes median el
tiempo con la ayuda de
la copa hindú, la cual se
introduce en una vasija
con agua y por un
pequeño orificio en la
base de la copa, está se
va llenando.
El momento propicio
para la boda es aquel en
el cual la copa se hunde
por completo.
A todo esto, la hija
observaba atentamente
la copa que flotaba en la
vasija cerca de ella.
Cuando todo estaba listo
Lilavati se inclinó sobre
la vasija y una perla se
desprendió de su vestido
cayó en la copa y tapo el
agujero. La hora indicada
pasó y la copa no se
hundió, por lo tanto la
boda nunca se realizó.
Lilavati nunca se pudo
casar
Para que el nombre de su
hija perdurara en el
tiempo mucho más de lo
que pudieran haber
perdurado los hijos que no
iba a tener y mitigar el
dolor que había causado el
no haberse podido casar,
Bhaskara le prometió
escribir un libro al que
pondría su nombre. De
esta forma está niña se
hizo famosa.                 (No hay certeza de que
                             esta historia sea cierta)
Teniendo en cuenta que fue seguidor de
Brahmagupta, no sorprende que entendiera
sobre el cero y los números negativos. Pero se
dio cuenta de los problemas que había con la
división por cero.
Sin embargo sus conocimientos fueron más
halla
Para dar algunos ejemplos
• Supo que         posee dos soluciones
• En Lilavati, dio dos métodos para multiplicar y
  como muchos de los
  matemáticos hindúes
  consideró a los cuadrados
  como casos especiales
  de la multiplicación
• En el capitulo 12 se plantea un método para
  resolver ecuaciones indeterminadas

   “Digan rápido matemáticos: qué número se
  obtiene si a un número se lo multiplica por 221,
  se le suma 65 y a la suma se la divide por 195”


 Equivale a plantear 221x + 65 = 195 y
      Obtiene las infinitas soluciones (x ; y)
  (6;5) (23;20) (40;35) y así sucesivamente
En su primer libro,
 Bijaganita (“El arte de
contar semillas”), trata
    entre otros, los
   siguientes temas:
  números positivos y
   negativos, el cero,
 ecuaciones simples y
 cuadráticas, además,
ecuaciones con más de
     una incógnita
• En este libro, plantea la división por cero:
   “Una cantidad dividida por cero se transforma
     en una fracción de denominador cero. Esta
          fracción es una cantidad infinita”
Así trata de resolver el problema escribiendo:
       El error que se comete es afirmar que,
 sería cualquier número n, lo cual no es cierto.
Con lo cual todos los números serían iguales.
 Los matemáticos hindúes no pudieron admitir
que no se puede dividir por cero
Ejemplo de una ecuación de segundo grado

“Dentro de un bosque, un número de gorilas
  igual al cuadrado del octavo del total están
jugando. Los doce restantes, que están en una
   actitud seria, están en una colina cercana.
         ¿Cuántos gorilas hay en total?”

 El problema conduce a una ecuación cuyas
           soluciones son 16 y 48
• El método de Kutaca (“pulverizador”, método
  basado en el algoritmo de Euclides) se aplica a
  ecuaciones con 3 incógnitas. El problema es
  encontrar soluciones naturales a una ecuación
  de la forma: ax+by+cz=d. Un ejemplo es

 “Los caballos que pertenecen a cuatro hombres
  son, 5,3,6 y 8. Los camellos son: 2,7,4 y 1. Las
  mulas: 8, 2, 1 y 3. Mientras que la cantidad de
 bueyes: 7,1,2 y 1. Los cuatro hombres tienen la
    misma fortuna. Decidme rápido cuales el
  precio de cada caballo, camello, mula y buey”
Bhaskara haya la solución mínima: 85 caballos,
76 camellos, 31 mulas y 4 bueyes. Ya que no
posee solución única.
   Otro problema que se plantea en Lilavati es:

  “La quinta parte de un enjambre de abejas se
  posó en la flor de Kadamba, la tercera parte en
  la flor de Silinda, el triple de la diferencia entre
  dos números voló sobre una flor de Krutaja, y
  una abeja quedó sola en el aire, atraída por el
  pefume de un jazmín y de un pandnus. Dime,
  bella niña, cuál es el número de abejas que
  forman el enjambre”.
Otra obra es Sindhanta
Siromani.
Es su obra más
importante, en la que
trata cuestiones de
Aritmética, Álgebra,
Trigonometría y
Matemática
Astronómica
En este libro, se resume el trabajo de antiguos
matemáticos hindúes.
Se encuentran tablas de senos y otras
relaciones trigonométricas, como la conocida
fórmula de la suma y diferencia de ángulos



También se le atribuye a Bhaskara la conocida
fórmula resolvente para la ecuación de 2°
grado
Hay una demostración del Teorema de Pitágoras
llamada demostración hindú realizada por Bhaskara.
Divide al cuadrado de la Fig. 1 y los reubica de la forma
que se indica en la Fig. 2




Como las áreas de los dos cuadrados de la fig. 1
equivalen al cuadrado de la fig. 2, resulta que él área
del cuadrado de la fig. 2 debe ser igual a las sumas de
las áreas de los cuadrados de la fig. 1
La más larga
caminata comienza
   con un paso

  Proverbio Hindú
Gracias por su atención




Sabrina Dechima
Biografía Consultada

     Los Matemáticos que
       hicieron la historia
Autor: Alejandro Garcia Venturini
Editorial: Ediciones Cooperativas
  Segunda Edición. Año: 2004

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Bhaskara

  • 1. Bhaskara (1114 – 1185) Vida y obra por Sabrina Dechima
  • 2. También es conocido como Bhaskara II; su nombre significa Maestro, nació en Vijayapura, y murió en Ujjain. Ambas ciudades de la India
  • 3. Fue jefe del observatorio astronómico de Ujjain, uno de los centros del renacimiento de la Matemática hindú durante la Edad Media
  • 4. Representó un hito en el conocimiento matemático del siglo XII Alcanzó un conocimiento de los sistemas de numeración y resolución de ecuaciones al que no se había arribado en Europa en muchos siglos. Su principal obra es Lilavati (la hermosa), que es sobre Álgebra (fue traducida al inglés en 1816 por James Taylor)
  • 5. Lilavati El libro posee el nombre de su hija de 12 años Lo hizo con la idea de confrontarla ante un problema que ella tenía. Veamos el relato
  • 6. Esta es la Historia Los astrólogos habían detectado que había un solo momento en toda la vida de Lilavati en el cual podía casarse en forma segura y ese era el día en el que cumpliera 12 años. Así Bhaskara arregló la boda para ese día.
  • 7. Los hindúes median el tiempo con la ayuda de la copa hindú, la cual se introduce en una vasija con agua y por un pequeño orificio en la base de la copa, está se va llenando. El momento propicio para la boda es aquel en el cual la copa se hunde por completo.
  • 8. A todo esto, la hija observaba atentamente la copa que flotaba en la vasija cerca de ella. Cuando todo estaba listo Lilavati se inclinó sobre la vasija y una perla se desprendió de su vestido cayó en la copa y tapo el agujero. La hora indicada pasó y la copa no se hundió, por lo tanto la boda nunca se realizó. Lilavati nunca se pudo casar
  • 9. Para que el nombre de su hija perdurara en el tiempo mucho más de lo que pudieran haber perdurado los hijos que no iba a tener y mitigar el dolor que había causado el no haberse podido casar, Bhaskara le prometió escribir un libro al que pondría su nombre. De esta forma está niña se hizo famosa. (No hay certeza de que esta historia sea cierta)
  • 10. Teniendo en cuenta que fue seguidor de Brahmagupta, no sorprende que entendiera sobre el cero y los números negativos. Pero se dio cuenta de los problemas que había con la división por cero. Sin embargo sus conocimientos fueron más halla
  • 11. Para dar algunos ejemplos • Supo que posee dos soluciones • En Lilavati, dio dos métodos para multiplicar y como muchos de los matemáticos hindúes consideró a los cuadrados como casos especiales de la multiplicación
  • 12. • En el capitulo 12 se plantea un método para resolver ecuaciones indeterminadas “Digan rápido matemáticos: qué número se obtiene si a un número se lo multiplica por 221, se le suma 65 y a la suma se la divide por 195” Equivale a plantear 221x + 65 = 195 y Obtiene las infinitas soluciones (x ; y) (6;5) (23;20) (40;35) y así sucesivamente
  • 13. En su primer libro, Bijaganita (“El arte de contar semillas”), trata entre otros, los siguientes temas: números positivos y negativos, el cero, ecuaciones simples y cuadráticas, además, ecuaciones con más de una incógnita
  • 14. • En este libro, plantea la división por cero: “Una cantidad dividida por cero se transforma en una fracción de denominador cero. Esta fracción es una cantidad infinita” Así trata de resolver el problema escribiendo: El error que se comete es afirmar que, sería cualquier número n, lo cual no es cierto. Con lo cual todos los números serían iguales. Los matemáticos hindúes no pudieron admitir que no se puede dividir por cero
  • 15. Ejemplo de una ecuación de segundo grado “Dentro de un bosque, un número de gorilas igual al cuadrado del octavo del total están jugando. Los doce restantes, que están en una actitud seria, están en una colina cercana. ¿Cuántos gorilas hay en total?” El problema conduce a una ecuación cuyas soluciones son 16 y 48
  • 16. • El método de Kutaca (“pulverizador”, método basado en el algoritmo de Euclides) se aplica a ecuaciones con 3 incógnitas. El problema es encontrar soluciones naturales a una ecuación de la forma: ax+by+cz=d. Un ejemplo es “Los caballos que pertenecen a cuatro hombres son, 5,3,6 y 8. Los camellos son: 2,7,4 y 1. Las mulas: 8, 2, 1 y 3. Mientras que la cantidad de bueyes: 7,1,2 y 1. Los cuatro hombres tienen la misma fortuna. Decidme rápido cuales el precio de cada caballo, camello, mula y buey”
  • 17. Bhaskara haya la solución mínima: 85 caballos, 76 camellos, 31 mulas y 4 bueyes. Ya que no posee solución única. Otro problema que se plantea en Lilavati es: “La quinta parte de un enjambre de abejas se posó en la flor de Kadamba, la tercera parte en la flor de Silinda, el triple de la diferencia entre dos números voló sobre una flor de Krutaja, y una abeja quedó sola en el aire, atraída por el pefume de un jazmín y de un pandnus. Dime, bella niña, cuál es el número de abejas que forman el enjambre”.
  • 18. Otra obra es Sindhanta Siromani. Es su obra más importante, en la que trata cuestiones de Aritmética, Álgebra, Trigonometría y Matemática Astronómica
  • 19. En este libro, se resume el trabajo de antiguos matemáticos hindúes. Se encuentran tablas de senos y otras relaciones trigonométricas, como la conocida fórmula de la suma y diferencia de ángulos También se le atribuye a Bhaskara la conocida fórmula resolvente para la ecuación de 2° grado
  • 20. Hay una demostración del Teorema de Pitágoras llamada demostración hindú realizada por Bhaskara. Divide al cuadrado de la Fig. 1 y los reubica de la forma que se indica en la Fig. 2 Como las áreas de los dos cuadrados de la fig. 1 equivalen al cuadrado de la fig. 2, resulta que él área del cuadrado de la fig. 2 debe ser igual a las sumas de las áreas de los cuadrados de la fig. 1
  • 21. La más larga caminata comienza con un paso Proverbio Hindú
  • 22. Gracias por su atención Sabrina Dechima
  • 23. Biografía Consultada Los Matemáticos que hicieron la historia Autor: Alejandro Garcia Venturini Editorial: Ediciones Cooperativas Segunda Edición. Año: 2004