1. Números reales y plano
numérico
Alumna:
Elianny Mogollón.
Sección: 0103
PNF: Contaduría Publica
Barquisimeto, Edo-Lara

2. El conjunto.
Suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por
ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser
un número primo, el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En
particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero
cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un
conjunto nuevo. Por ejemplo:
S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} = {martes, viernes, jueves,
lunes, miércoles}
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} = {amarillo, naranja,
rojo, verde, violeta, añil, azul}
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales
es infinito, pero el conjunto de los planetas del sistema solar es finito. Además,
los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a
las operaciones con números.
Operaciones con conjuntos.
Son también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar
operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones
con conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia
simétrica y complemento.
Unión o reunión de conjuntos.
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro
conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que
se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos
A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los
elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar
la operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn,
para representar la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o
se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión.
Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos
conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se

3. tendría los siguientes:
También se puede graficar del siguiente modo:
Intersección de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos
comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la
de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y
los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será
excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el
siguiente: ∩.
Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos
conjuntos será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

4. Diferencia de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos
el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al
primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de
los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no
pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se
usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -.
Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos
conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Diferencia de simétrica de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos
el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes
a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica
estará formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El
símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el
siguiente: △.
Ejemplo

5. Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de
estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:
Complemento de un conjunto.
Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del
conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un
conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto
complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto
universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En
esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre
el conjunto que se opera, algo como esto A’ en donde el conjunto A es el conjunto
del cual se hace la operación de complemento.
Ejemplo
Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el
conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}.
Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Los números reales
El conjunto de los números reales incluye tanto a los números racionales,
(positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales y en otro
enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes no se
pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no

6. nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como √5, π, o el número
real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.
Ejemplo
 Números naturales: 1,2,3,4…
 Números enteros: …,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4…
 Números racionales: cualquier fracción de números enteros.
 Números irracionales:
Los números reales se clasifican en:
Racionales e irracionales
Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los
números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de
dos números enteros, tal como ¾, -21/3, 5, 0, ½, mientras que los irracionales
son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como
aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que
los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica.
Algebraicos y trascendentes
Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes.
Un número es algebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales que lo
tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. No todos los números
algebraicos son racionales.
Computables e irreductibles
Un número real se dice computable si tiene una complejidad de Kolmogórov
finita, es decir, si puede escribirse un programa informático de extensión finita
que genere los dígitos de dicho número. Si un número real no es computable se
dice irreductible.
Operaciones con números reales
Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con
diversas excepciones importantes:

7. 1. No existen raíces de orden par de números negativos en números
reales, (aunque sí existen en el conjunto de los números
complejos donde dichas operaciones sí están definidas).
2. La división entre cero no está definida (pues cero no posee inverso
multiplicativo, es decir, no existe número x tal que 0·x=1).
3. No se puede hallar el logaritmo de un número real negativo, cualquiera
sea la base de logaritmos, un número positivo distinto de 1.
Ejemplo: En la operación de multiplicar:
7x7x7x7x7 El número 7 se repite cinco veces, por lo que se expresa: 75,
donde el 7 se denomina base y el 5, exponente y la operación recibe el
nombre de potenciación.
Los particiones
 El conjunto de los reales es la unión disjunta de los racionales y de los
irracionales
 El conjunto R es la unión de A y T, A el conjunto de los reales algebraicos
y T el conjunto de los trascendentes es la ciencia
Desigualdades
Los enunciados a > b y a < b, junto con las expresiones a £ b (a < b o a = b) y a
³ b (a > b o a = b) se conocen como desigualdades. Las primeras se llaman
desigualdades estrictas y las segundas, desigualdades no estrictas o amplias.
Ejemplos.
 Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 + 4, es decir, 6 < 9.
 Como 8 > 3 entonces 8 – 4 > 3 – 4, esto es, 4 > - 1
 Como 7 < 10 entonces 7.3 < 10.3, es decir, 21 < 30
 Como 7 < 10 entonces 7. (- 3) > 10.(- 3), esto es – 21 > - 30
En los diferentes ejemplos se observa que:
 Al sumar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el
sentido de la misma se mantiene
 Al restar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el
sentido de la misma se mantiene
 La multiplicación por un número positivo mantiene el sentido de la
desigualdad,
 La multiplicación por un número negativo invierte el sentido de la
desigualdad.
Se pueden enunciar algunas propiedades relacionadas con las desigualdades.
Sean a, b y c números reales cualesquiera:
 Si a < b entonces a + c < b + c
 Si a < b y c > 0 entonces a.c < b.
 Si a < b y c < 0 entonces a.c > b.c

8. Cuando se verifica que a < b y b < c, decimos que b está comprendido entre a y
c. En símbolos a < b < c.
Todas las definiciones y propiedades son también válidas para las
desigualdades >, £ y ³ .
El valor absoluto
El valor absoluto o módulo de un número real x, es el valor no negativo de x sin
importar el signo, sea este positivo o negativo. Así, 3 es el valor absoluto de +3
y de -3.
El valor absoluto está vinculado con las nociones de magnitud, distancia y norma
en diferentes contextos matemáticos y físicos.
Por ejemplo, el valor absoluto de 5 es 5. El valor absoluto de -5 es también 5.
Desigualdades con valor absoluto
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es { x|-4 < x < 4 }
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces
a < b Y a > - b .
Plano Numérico
Se conoce como una línea horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto
llamado origen o punto cero.
La finalidad del plano numérico es describir la posición o ubicación de un punto
en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas.
El plano numérico también sirve para analizar matemáticamente figuras
geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la
elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica.

9. Distancia:
Dadas las coordenadas de dos puntos, P1 y P2, se deduce la fórmula de
distancia entre estos dos puntos. La demostración usa el teorema de Pitágoras.
Un ejemplo muestra cómo usar la fórmula para determinar la distancia entre dos
puntos dadas sus coordenadas La distancia entre dos puntos P1 y P2 del plano
la denotaremos por d(P1,P2 ). La fórmula de la distancia usa las coordenadas
de los puntos.
Punto medio
Encontrar las coordenadas del punto medio de un segmento si se conocen sus
extremos.
La circunferencia
En el estudio de las cónicas a veces es conveniente mover los ejes cartesianos
para que la curva que estamos estudiando quede en una posición más fácil y su
ecuación sea más simple.
Parábola.
Es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano
oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.
α = β La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.
Esta forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación, cuenta con
una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y
son:
Vértice (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también
eje de simetría).
Eje focal (o de simetría) (ef): Línea recta que divide simétricamente a la parábola
en dos brazos y pasa por el vértice.

10. Foco (F): Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica
en el eje focal al interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice.
Directriz (d): Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia
p del vértice y fuera de los brazos de la parábola.
Distancia focal (p): Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice
y foco, así como entre vértice y directriz(ambas distancias son iguales).
Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a
la parábola.
Cuerda focal: Cuerda que pasa por el foco. Lado recto (LR): Cuerda focal que es
perpendicular
Elipses
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos
puntos fijos llamados focos es constante.
Hipérbola
Es una curva abierta de dos ramas, obtenida cortando un cono recto mediante
un plano no necesariamente paralelo al eje de simetría, y con ángulo menor que
el de la generatriz respecto del eje de revolución.
Graficas de ecuaciones de las cónicas

11. Bibliografía:
https://www.conoce3000.com/html/espaniol/Libros/Matematica01/Cap10-03-
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mplo.
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absolute-
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0%20es%20menor%20que%204.&text=Caso%202%3A%20La%20expresi%C3
%B3n%20dentro,soluciones%20de%20estos%20dos%20casos.
http://www.estoy-aprendiendo.com/plano-cartesiano---distancia.html