Variables complejas

Variable Compleja
Hans Cristian Muller Santa Cruz
2000

´
Indice general
Prefacio

V

I. Variable Compleja
I.1. Los N´meros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u
I.1.1. El Plano Complejo C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.2. Conjugado de un n´mero complejo . . . . . . . . . . . . . .
u
I.1.3. M´dulo de un n´mero complejo . . . . . . . . . . . . . . . .
o
u
I.1.4. Sustracciń y Divisiń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
o
I.1.5. Forma Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.6. Topolog´ del Plano Complejo C . . . . . . . . . . . . . . .
ıa
¯
I.1.7. El plano complejo acabado C . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2. Funciones Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2.1. Representaciones Gr´ficas de Funciones Complejas . . . . .
a
I.2.2. Funciones Complejas Remarcables . . . . . . . . . . . . . .
I.2.3. El Logaritmo Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2.4. Funciones Trigonom´tricas Complejas . . . . . . . . . . . .
e
I.3. Funciones Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3.1. Funciones Holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4. Funciones Conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4.1. Homograf´
ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4.2. Representaciń Conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
I.5. Integraciń Compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
I.6. Un Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.7. F´rmulas Integrales de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
I.8. Series Enteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.8.1. C´lculos con Series Enteras . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
I.8.2. Teoremas de Unicidad y Prolongamiento An´litico . . . . .
a
I.8.3. Otros Resultados de las Funciones Holomorfas . . . . . . .
I.9. Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.9.1. Puntos Singulares Aislados de Funciones Holomorfas . . . .
I.10. Residuos y Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.10.1. C´lculo de Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
I.10.2. C´lculo de Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
I.10.3. Valor Principal de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.11. Funciones Meromorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.11.1. Desarrollo en Fracciones Parciales de Funciones Meromorfas
I.11.2. N´mero de Ceros y Polos de Funciones Meromorfas . . . .
u

i

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1
3
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8
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51
55
58
60
61
63
68
69
70
73

´
Indice de figuras
I.1.1.
I.1.2.
I.2.1.
I.2.2.
I.2.3.
I.2.4.
I.2.5.
I.2.6.
I.3.1.
I.4.1.
I.4.2.
I.4.3.
I.8.1.

Transformaciones de R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Proyecciń Estereogr´fica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
a
Gr´fica de los Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
Gr´fica Transformaciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
o
Gr´fica del Campo de Vectores . . . . . . . . . . . . . . . .
a
Funciń Lineal no Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
Funciń Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
Imagen de una Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funciń continua, Cauchy-Rieman, pero no C-diferenciable
o
Ejemplo de Funciń Conforme . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
Transformaciń de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
Representaciń conforme de sin . . . . . . . . . . . . . . . .
o
5
2
3
Polinomio de Taylor z − z3 + z5 + · · · + z255 en R y en C . .

I.8.2.
I.8.3.
I.8.4.
I.8.5.
I.11.1.
I.11.2.

Gr´ficas de parte real e imaginaria de (z − 1) − (z−1)
a
2
Composiciń de Series . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
Principio del Prolongamiento An´litico . . . . . . . .
a
Demostraciń Teorema de la Aplicaciń Abierta . . .
o
o
Mapas de cot z y csc z . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Indice de Cauchy para f (z) = z z−4 . . . . . . . . . .
e −i

iii

2

+
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(z−1)3
3

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− ··· ±
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(z−1)n
n

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74

Cap´
ıtulo I
Variable Compleja
En lo que concierne la teor´ del an´lisis complejo, tres puntos de vista predominan en la actualidad:
ıa
a
• Integraciń Compleja (Cauchy 1814-1830).
o
• Aplicaciones holomorfas C → R (Tesis de Riemann 1851).
• Series enteras (Cauchy 1831-1846, Weirstraß).
Comenzaremos este cap´
ıtulo por el c´lculo diferencial y las funciones holomorfas segń Riemann. Luego,
a
u
seguiremos la evoluciń de Cauchy (integrales complejas, f´rmula de Cauchy). Veremos que cada funciń
o
o
o
holomorfa es anal´
ıtica (admite un desarrollo en serie de potencias). Estas series simplifican la teor´ (punto
ıa
de vistas de Weirstraß),

I.1.

Los N´ meros Complejos
u

Si bien los n´meros complejos son familiares para todos los que siguen este curso, se vio, por ejemplo, en el
u
primer de aõ de An´lisis, en esta secciń abordaremos el plano complejo con una ´ptica geom´trica, para
n
a
o
o
e
comprender y asimilar la riqueza y potencia que tiene esta teor´
ıa.
Sabemos que el conjunto de los n´meros reales R provisto de la adiciń y la multiplicaciń es un cuerpo
u
o
o
completo con un orden compatible con dichas operaciones. Geom´tricamente R asociamos a una recta, que
e
la llamamos recta real. Como es de conocimiento de todos, la ecuaciń
o
x2 + 1 = 0,
no tiene soluciń en R. Nuestro objetivo ser´ construir un cuerpo que contenga R en el cual dicha ecuaciń
o
a
o
tenga soluciń.
o
Como R est´ asociado a una recta, vamos a construir un cuerpo que este asociado a un plano (real); ya
a
que la extensiń inmediata de una recta constituye un plano. Consideremos
o
R2 = {(x, y)| x, y ∈ R}.
Este conjunto con la adiciń definida por
o
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 )
y la multiplicaciń por escalar
o
λ(x, y) = (λx, λy)
es un espacio vectorial real. En el curso de Geometr´ se estudi´ con detalle las propiedades de los diferentes
ıa,
o
objetos y las transformaciones que les estń asociadas.
a
1

CAP´
ITULO I. VARIABLE COMPLEJA

2

θ

Homotecia

θ

Rotacion

Similitud

Figura I.1.1: Transformaciones de R2
Para tener un cuerpo conmutativo, solamente nos falta definir una multiplicaciń, la cual provendr´ de
o
a
un tipo especial de transformaciones lineales del plano R2 ; m´s precisamente de aquellas transformaciones
a
que conservan los ńgulos en tamaõ y orientaciń.
a
n
o
Definiciń I.1.1 Una similitud directa, en tanto que aplicaciń lineal, es una aplicaciń lineal s : R2 R2
o
o
o
de la forma s = hλ ◦ rθ , donde hλ es la homotecia de razń λ (λ > 0) y rθ es una rotaciń de ńgulo θ.
o
o
a
En la figura I.1.1, tenemos una representaciń gr´fica de una homotecia, una rotaciń y finalmente una
o
a
o
similitud. Como se vio en el curso de Algebra Lineal es m´s comodo trabajar con las matrices asociadas
a
(respecto a las bases canńicas). Recordemos que toda aplicaciń lineal est´ enteramente determinada por
o
o
a
los elementos de las bases canńicas y que existe un isomorfismo natural entre el espacio vectorial de las
o
aplicaciones lineales L(R2 , R2 ) y M2,2 (R) el espacio vectorial real de las matrices de 2×2 a coeficientes reales.
En lo que sigue solamente consideremos como base la canńica o otra base ortonormal directa. Denotemos
o
por Hλ la matriz asociada a la homotecia de razń λ > 0, hλ ; Rθ la matriz asociada a la rotaciń rθ . Se
o
o
tiene:
λ 0
cos θ − sin θ
Hλ =
,
Rθ =
;
0 λ
sin θ
cos θ
por lo tanto, la matriz Sλ,θ asociada a la similitud sλ,θ = hλ ◦ rθ , est´ dada por
a
Sλ,θ =

λ
0

0
λ

cos θ
sin θ

− sin θ
cos θ

λ cos θ
λ sin θ

−λ sin θ
λ cos θ

.

(I.1.1)

Una simple inspecciń da
o
det Sλ,θ = λ > 0.
Ejercicio.- Verificar que una matriz de la forma
a −b
b a
con (a, b) = (0, 0), es la matriz asociada a una similitud directa.
Teorema I.1.1 El conjunto de las similitudes (directas) de R2 forman un grupo abeliano para la composiciń
o
de aplicaciones.
Demostraciń.- Ejercicio.
o

´
I.1. LOS NUMEROS COMPLEJOS

3

Denotamos por S+ (R, 2) al grupo de las similitudes directas, que por cierto no solamente es un grupo abeliano
para la composiciń de aplicaciones, sino tambiń:
o
e
Teorema I.1.2 S+ (R, 2) ∪ {0} es un subespacio vectorial real de dimensiń 2 del espacio End(R2 ) de las
o
aplicaciones lineales en R2 .
Demostraciń.- Puesto que existe un isomorfismo natural (por la elecciń de las bases canńicas) entre
o
o
o
End(R2 ) y M2,2 (R) el espacio de las matrices reales de 2 × 2 es suficiente ver que las matrices asociadas a
las similitudes m´s la matriz nula forman un subespacio vectorial. El resto lo dejamos como ejercicio.
a

I.1.1.

El Plano Complejo C

Hemos visto que R2 es un espacio vectorial para la adiciń, para que R2 tenga la estructura de un cuerpo
o
conmutativo, solo falta dotarle de una multiplicaciń.
o
Consideremos la aplicaciń ϕ dada por
o
ϕ : R2

−→ S+ (R, 2) ∪ {0}
a −b
(a, b)
→
.
b a

Utilizando el ejercicio y la proposiciń precedentes, se demuestra (nuevamente otro ejercicio para el alumno)
o
que ϕ es un isomorfismo de espacios vectoriales reales. Denotamos por π : S+ (R, 2) ∪ {0} → R2 la aplicaciń
o
inversa de ϕ. Se ve inmediatamente que
π

a −b
b a

=

a
b

= (a, b).

(I.1.2)

Definamos la multiplicaciń en R2 de la siguiente manera. Sean z1 = (a1 , b1 ) y z2 = (a2 , b2 ) elementos de
o
R2 , planteamos
z1 · z2 = π(ϕ(z1 ) · ϕ(z2 )).
(I.1.3)
Desarrollando (I.1.3), se obtiene expl´
ıcitamente:
(a1 , b1 ) · (a2 , b2 )

a1
b1

=π
=π

−b1
a1

a1 a2 − b1 b2
a1 b2 + a2 b1

a2
b2

−b2
a2

−a1 b2 − a2 b1
a1 a2 − b1 b2

= (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 ) =

a1 a2 − b1 b2
a1 b2 + a2 b1

(I.1.4)

Remarca.- Utilizando la notaciń columna para elementos de R2 , la multiplicaciń de z1 = (a1 , b1 ) y
o
o
z2 = (a2 , b2 ) puede expresarse como
z1 · z2 =

a1
b1

−b1
a1

a2
b2

.

Teorema I.1.3 R2 con la adiciń usual y la multiplicaciń definida m´s arriba es un cuerpo conmutativo.
o
o
a

CAP´

4

Demostraciń.- En efecto, R2 con la adiciń es un grupo abeliano, ya visto en un cursos anteriores.
o
o
Remarquemos que el elemento cero es 0R2 = (0, 0) y el opuesto de (a1 , a2 ), −(a1 , a2 ) = (−a1 , −a2 ).
R2 − {0R2 } es un grupo abeliano para la multiplicaciń, porque la multiplicaciń definida m´s arriba es
o
o
a
una ley de composiciń interna, verificaciń simple, y por que S+ (R, 2) es un grupo para la multiplicaciń.
o
o
o
La distributividad de la multiplicaciń respecto a la adiciń est´ asegurada por que ϕ y φ son aplicaciones
o
o
a
lineales.

Definiciń I.1.2 R2 provistos de la adiciń y la multiplicaciń definida m´s arriba se llama cuerpo de los
o
o
o
a
n´meros complejos o plano complejo y se lo denota por C.
u
Remarcas.1. 1C = (1, 0), 0C = (0, 0). Se define i = (0, 1). Un pequeõ c´lculo da i2 = −1C .
n a
2. La inyecciń natural j : R → C, j(a) = (a, 0) es compatible con la adiciń y la multiplicaciń, lo que
o
o
o
hace que R sea un subcuerpo de C. En el lenguaje algebraico, esto se llama extensiń de cuerpos.
o
3. En realidad j(R) ⊂ C, pero para darle fluidez a la teor´ se acostumbra a suponer que R ⊂ C, con lo
ıa,
que utilizamos los s´
ımbolos 1 y 0 para referirnos al uno y cero de R o C dependiendo el contexto. Es
frecuente utilizar la notaciń
o
z = a + ib,
con a, b ∈ R para representar z = (a, b). Este tipo de notaciń facilita los c´lculos aritm´ticos en C.
o
a
e
4. Si z = (a, b) = a + ib, z = a es la parte real de z, z = b, la parte imaginaria de z. R se lo conoce
como el eje real del plano complejo y iR = {ia|a ∈ R} el eje imaginario.
5. El algebra en C es idńtica a la de R, con adem´s i2 = −1.
e
a

I.1.2.

Conjugado de un n´ mero complejo
u

Sea z = a + ib ∈ C, se define z = a − ib el conjugado de z. Geom´tricamente, la acciń de conjugar n´meros
¯
e
o
u
complejos, corresponde a la simetr´ respecto al eje real. El conjugado satisface las siguientes propiedades.
ıa
Proposiciń I.1.1 Se tiene:
o
z + z = 2 z,
¯
z − z = 2i z,
¯
z · z = a2 + b2 ,
¯
z1 · z2 = z1 · z2 ,
¯ ¯
z1 + z2 = z1 + z2 ,
¯
¯
z = z ⇐⇒ z ∈ R,
¯
z = −¯ ⇐⇒ z ∈ iR,
z
−¯ = (−z),
z
(¯)−1 = (z −1 ), z = 0.
z

o

(I.1.5)
(I.1.6)
(I.1.7)
(I.1.8)
(I.1.9)
(I.1.10)
(I.1.11)
(I.1.12)
(I.1.13)

´
I.1. LOS NUMEROS COMPLEJOS

I.1.3.

5

M´dulo de un n´ mero complejo
o
u

√
Sea z = a + ib ∈ C, el m´dulo de z es |z| = a2 + b2 . Remarca.- El m´dulo de z es lo mismo que la
o
o
2
norma euclidiana de z visto como un elemento de R . Cuando z ∈ R, el m´dulo es lo mismo que el valor
o
absoluto de R.
Proposiciń I.1.2 El m´dulo verifica:
o
o
2

|z| = z z ,
¯
| z| ≤ |z| ,
| z| ≤ |z| ,
|z1 z2 | = |z1 |
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | .

(I.1.14)
(I.1.15)
(I.1.16)
(I.1.17)
(I.1.18)

o

I.1.4.

Sustracciń y Divisiń
o
o

Completando la construcciń de los n´meros complejos, la sustracciń se la define como
o
u
o
z1 − z2 = z1 + (−z2 ).
La divisiń se la define
o

z1
= z1 (z2 )−1 ,
z2
donde z2 = 0. Utilizando la notaciń de fracciones, las reglas de c´lculo para fracciones son v´lidas y su
o
a
a
demostraciń es un simple ejercicio.
o

I.1.5.

Forma Polar

Tradicionalmente, la forma polar de un n´mero complejo es abordada como un t´pico independiente. Sin
u
o
embargo, en nuestra construcciń hemos asociado a cada n´mero complejo a una similitud de ńgulo θ y
o
u
a
razń r. Por consiguiente, si z = 0, se puede escribir como
o
z = r(cos θ + i sin θ),
|z| = r, θ es unico con una diferencia de 2πk k ∈ Z
´
La forma polar es util para realizar multiplicaciones y divisiones.
´
Proposiciń I.1.3 Si
o
z = |z| (cos θ + i sin θ), w = |w| (cos ϑ + i sin ϑ),
se tiene
z·w
z/w
zn

= |z| · |w| (cos(θ + ϑ) + i cos(θ + ϑ)),
= |z| · |w| (cos(θ − ϑ) + i cos(θ − ϑ)),
n
= |z| (cos(nθ) + i sin(nθ)), n ∈ N.

La ultima f´rmula es conocida como F´rmula de Moivre
´
o
o
o

CAP´

6

I.1.6.

Topolog´ del Plano Complejo C
ıa

El m´dulo |·| de C es la norma euclidiana de R2 , los conceptos de convergencia, l´
o
ımites, conjuntos abiertos,
cerrados, compactos, puntos aislados, puntos de acumulaciń, etc, son los mismos, que ya han sido vistos en
o
el curso de An´lisis de Primer Aõ.
a
n
Por otro lado, el m´dulo en C tiene el mismo comportamiento del valor absoluto de R en lo que respecta
o
la multiplicaciń. Por lo tanto, se justifica recordar, complementar y aclarar algunos conceptos.
o
Las sucesiones {zk } con zk ∈ C pueden ser vistas: como una sucesiń propiamente compleja, o bien como
o
dos sucesiones reales, { zk } y { zk }. Por lo tanto, dependiendo la situaciń y el contexto, se debe utilizar
o
el punto de vista que m´s convenga. Como R es un cuerpo ordenado, se tiene el concepto de sucesiones
a
mńotonas y la divergencia por valores infinitos; en C eso no es posible, sin embargo esos conceptos y sus
o
consecuencias pueden ser aplicados por separado a la parte real y la parte imaginaria de la sucesiń. Una
o
definiciń que ser´ util posteriormente es la siguiente.
o
a
Definiciń I.1.3 Una sucesiń {zk } en C diverge por valores en el infinito, si la sucesiń {|zk |} en R diverge
o
o
o
por valores en el infinito. Dicho de otra manera
l´ zn = ∞ ⇐⇒
ım

n→∞

l´ |zn | = +∞.
ım

n→∞

Los conceptos de sucesiones, series, vistos en el Primer Aõ de An´lisis, como convergencia absoluta,
n
a
serie productos se los ampl´ al caso complejo sin ningń problema. Solamente hay que remplazar el valor
ıa
u
absoluto por el m´dulo. Por lo tanto, las reglas de c´lculo, criterios de convergencia son v´lidos tambiń para
o
a
a
e
series complejas.
En lugar de hablar de bolas abiertas, en C, se prefiere hablar de discos abiertos.
D(a, r) = {z ∈ C| |z − a| < a}.

I.1.7.

¯
El plano complejo acabado C

¯
En el curso de An´lisis se definiń la recta real acabada R, agregando dos elementos adicionales a R;
a
o
¯
R = R ∪ {−∞, +∞},
definiendo algunas operaciones con los nuevos elementos y los reales, prolongando la relaciń de orden.
o
El caso complejo tendr´ un desarrollo bastante similar. Como motivaciń, consideremos la proyecciń
a
o
o
estereogr´fica, que consiste en proyectar el plano complejo C, sobre la esfera unitaria S2 = {(x, y, z)|x2 +
a
y 2 + z 2 } con la proyecciń de centro el polo norte (0, 0, 1). ver figura I.1.2. En la figura observamos que la
o
imagen del punto P ∈ C se proyecta sobre la esfera en el punto P ∈ S2 . Tambiń remarcamos que esta
e
proyecciń es inyectiva, pero no es sobreyectiva ya que el polo Norte no es imagen de ningń punto del plano
o
u
complejo. Si queremos que la proyecciń esteogr´fica sea biyectiva, debemos agregar un elemento a C; por
o
a
otro lado, no es dificil observar que N es el l´
ımite de la proyecciń, cuando z → ∞.
o
Definiciń I.1.4 El plano complejo acabado es el conjunto
o
¯
C = C ∪ {∞}.

I.2. FUNCIONES COMPLEJAS

7

N
¡

P
¡

P’
Figura I.1.2: Proyecciń Estereogr´fica.
o
a
Explicitemos la proyecciń estereogr´fica, utilizando un corte transversal, ver figura , relaciones de
o
a
trińgulos semejantes, se obtiene:
a

¯
π:C
z

−→ S2
→

2
2 z
, 2 z , |z| −1
|z|2 +1 |z|2 +1 |z|2 +1

(0, 0, 1)

si
si

z ∈ C,
z=∞

¯
Aparte de las operaciones heredadas de C, sobre C definimos:
a
si a = 0,
0
a
= 0 si a = ∞,
∞
a · ∞ = ∞ si a = 0,
a + ∞ = ∞.
¯ ¯
Al igual que la recta acabada R, C ya no es un cuerpo.
Lo interesante de la proyecciń esteogr´fica es que se pueden dotar de operaciones internas a S2 a partir
o
a
¯
de las operaciones de C, de donde, si ξ, ζ ∈ S2 se define
ξ+ζ
ξ·ζ

= π(π −1 (ξ) + π −1 (ζ)),
= π(π −1 (ξ) · π −1 (ζ)).

Ejercicio.- Explicitar anal´
ıticamente la adiciń y la multiplicaciń en la esfera.
o
o
Remarca.-En el curso de Topolog´ se dice que la proyecciń estereogr´fica compactifica C agregando un
ıa,
o
a
elemento a C, porque la esfera es compacta en R3 .

I.2.

Funciones Complejas

El m´dulo |·| hace a C un espacio normado con norma idńtica a la norma euclidiana de R2 ; por lo que,
o
e
los conceptos de l´
ımite, continuidad, continuidad uniforme, convergencia simple de sucesiones de funciones,
convergencia uniforme, etc son los mismos que en el Primer Aõ de An´lisis y no es necesario repetirlos. Las
n
a
novedades provendrń del c´lculo diferencial e integral de funciones complejas.
a
a

CAP´

8

Figura I.2.1: Gr´fica de los Grafos
a
Sin embargo, podemos remarcar que una funciń compleja f : U ⊂ C → C puede ser vista como una
o
funciń f : U ⊂ R2 → R2 . Es decir,
o
f :U ⊂C
z

→ C
→ f (z)

trivialmente, se tiene (f (z)) = u(x, y) y
diferentes puntos de vista equivalentes.

I.2.1.

f : U ⊂ R2 → R 2
(x, y) → (u(x, y), v(x, y))

(f (z)) = v(x, y). De acuerdo a la necesidad, se puede jugar con

Representaciones Gr´ficas de Funciones Complejas
a

Para poder comprender la acciń de una funciń compleja, es en muchos casos necesario visualizar grafio
o
camente. Recordando los cursos de C´lculo, las gr´ficas de los grafos son recursos valiosos que permiten
a
a
estudiar las funciones reales, pero en el caso de los grafos de funciones complejas no se los puede representar
graficamente, porque hacen parte de un espacio de cuatro dimensiones. Sin embargo tenemos los siguientes
recursos para representar la funciń compleja en cuestiń:
o
o
• Gr´fica del grafo de la funciń g : U ⊂ R2 → R, donde g es por ejemplo: la parte real de f , la parte
a
o
imaginaria de f , el m´dulo de f .
o
• Gr´fica de la transformaciń o mapeo. Util para entender la acciń geom´trica.
a
o
o
e
• Gr´fica del campo de vectores asociado. Util en aplicaciones f´
a
ısicas.
Ejemplos
1. Consideremos la funciń f (z) = (z + 0,2)2 . En la figura I.2.1, vemos las gr´ficas de los grafos de f (z),
o
a
f (z) y |f (z)|. En la figura I.2.2, la gr´fica de la transformaciń. Si un punto z1 comienza a moverse
a
o
a lo largo de una curva γ, entonces el punto imagen w1 se mover´ a lo largo de la curva f (γ); si un
a
punto z2 est´ dentro una superficie H, entonces el punto imagen w2 estar´ dentro una superficie f (H).
a
a
En la figura I.2.3 observamos la gr´fica del campo de vectores asociado a la funciń f (z).
a
o

I.2.2.

Funciones Complejas Remarcables

Las funciones elementales estudiadas en los cursos de C´lculo y el Primer Aõ de An´lisis tienen su prolona
n
a
gaciń respectiva a una funciń compleja. Esta prolongaciń es de tipo an´litico, que ser´ vista m´s adelante.
o
o
o
a
a
a
Por el momento, nos contentaremos en conocer estas prolongaciones y adentrarnos al esp´
ıritu mismo de lo
que significa prolongaciń.
o


9

1

1

U

f

z1
y

w = f(z)

V

z

v

w1
w
f(γ)

z
γ

H

z2

f(H)

x

1

w2

u

Figura I.2.2: Gr´fica Transformaciń
a
o

Figura I.2.3: Gr´fica del Campo de Vectores
a

1

CAP´

10

w = cz
1

c

−1

z

1

1

−1

c

1

−1

−1

Figura I.2.4: Funciń Lineal no Nula
o
Funciones Polinomiales y Racionales
Al igual que en el caso real, una funciń p : C → C es polinomial, si p(z) = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 ,
o
donde los ai ∈ C. Este tipo de funciones es siempre continua, porque solamente intervienen adiciones y
multiplicaciones y las reglas de c´lculo aseguran continuidad. Ejemplo
a
1. Consideremos la aplicaciń polinomial f (z) = cz con c = 0. Esta funciń es una aplicaciń C-lineal, y
o
o
o
vista como una aplicaciń lineal de R2 en R2 es una similitud. Ver secciń precedente y figura I.2.4.
o
o
En la construcciń de los n´meros complejos, hemos visto que la multiplicaciń est´ asociada a la como
u
o
a
posiciń de similitudes del plano real. Por lo tanto, las aplicaciones lineales complejas, desde el punto de
o
vista real, son similitudes. La interrogante es c´mo reconocer si una una transformaciń lineal del plano real
o
o
es una aplicaciń C − lineal.
o
Proposiciń I.2.1 Sea f : R2 → R2 lineal. Entonces f es C lineal, si y solamente si f es una similitud o
o
la aplicaciń nula.
o
Demostraciń.- ⇐ ya visto.
o
⇒ Si f = 0 est´ demostrado, sino la matriz de f es
a
a b
c d

,

con a, b, c, d no todos nulos. La imagen de 1 = (1, 0) es (a, c) y la imagen de i = (0, 1) es (b, d). Como f es C
lineal, se tiene
f (−1) = f (i2 ) = if (i),
por lo que
−a
−c

=

0 −1
1 0

de donde a = d y b = −c. Es decir f es una similitud.

b
d



=

−d
b



,


11

w = ez
3

−1

0

3

1

−1

1/e

−3

1

e

−3

Figura I.2.5: Funciń Exponencial
o

Las funciones racionales son de la forma
f (z) =

p(z)
,
q(z)

donde p(z) y q(z) son funciones polinomiales. Son continuas sobre C, excepto en los puntos donde q(z) se
anula.
La Funciń Exponencial Compleja
o
Definiciń I.2.1 La funciń expC : C → C, est´ dada por
o
o
a
exp C (x + iy) = ex (cos y + i sin y) = e

z

(cos( z) + i sin( z)).

Una verificaciń, nos muestra que si z ∈ R, se tiene expC (z) = expR (z), por lo que podemos escribir
o
simplemente exp en lugar de expC o expR , e interpretar exp de acuerdo al contexto. En la figura I.2.5 vemos
la acciń de la funciń exponencial. Observando la definiciń de la exponencial, se ve que es una similitud
o
o
o
de razń e z y ńgulo z.
o
a
Proposiciń I.2.2 La funciń exponencial compleja satisface:
o
o
1.

exp(z1 + z2 ) = exp(z1 ) · exp(z2 ),

2.

exp(z) =, ∀z ∈ C.

3.

exp(z1 ) = exp(z2 ) si y solamente si z1 − z2 = 2iπk, k ∈ Z.

CAP´

12

Figura I.2.6: Imagen de una Banda
o

La prolongaciń a C de la exponencial, conserva casi todas las propiedades de la funciń exponencial real,
o
o
excepto la inyectividad. En el caso real la inyectividad asegura la existencia de una inversa continua. En el
caso complejo nos debemos arreglarnos para construir una funciń que cumpla el papel de funciń inversa,
o
o
tal como se hizo con las funciones arc cos, arcsin en el Primer Curso de An´lisis.
a

I.2.3.

El Logaritmo Complejo

Como se ha visto m´s arriba, la funciń exponencial no es inyectiva. Por lo tanto si queremos construir
a
o
una inversa debemos restringir C a un dominio Ω donde exp sea inyectiva, pero al mismo tiempo la imagen
exp(Ω) sea lo m´s grande posible. Por el punto 3 de la proposiciń I.2.1, Ω debe ser una banda de ancho
a
o
2iπ, sin los bordes, para la funciń inversa sea continua. La imagen del borde de Ω es una curva simple que
o
une el origen con el infinito. Ver figura I.2.6. En consecuencia, sea Ω ⊂ C una banda de ancho 2iπ sin sus
bordes. De donde exp : Ω → C − l es biyectiva, donde l es una curva simple que une O con ∞. Tenemos
exp(z) = e

z

(cos( z) + sin( z)) = w,

Pasando a los m´dulos, se obtiene
o
e

z

= |w| ,

de donde z = logR (|w|). La determinaciń de z, pasa por la definiciń de una nueva funciń.
o
o
o
Definiciń I.2.2 Una determinaciń del argumento es darse una curva simple l que une O con ∞ y
o
o
una funciń arg : C − l → R ⊂ C continua tal que
o
z = |z| (cos(arg(z)) + i sin(arg(z)),

∀z ∈ C − l.

Remarcas
1. Una determinaciń del argumento arg : C − l → C est´ enteramente determinada por el valor de
o
a
arg(z0 ), donde z0 ∈ C.


13

2. La determinaciń principal del argumento es aquella donde
o
l =] − ∞, 0] ⊂ R y arg(1) = 0.
3. A menos que se diga lo contrario, se toma la determinaciń principal del argumento.
o
4. Si arg1 y arg2 y z ∈ C en el cual ambas determinaciones estń definidas, entonces una simple verificaciń
a
o
da arg1 (z) − arg2 (z) = 2iπk, con k entero.
Regresemos a la construcciń de la inversa de exp. Tenemos
o
z = arg(w),
donde arg : C − l → R es una determinaciń del argumento.
o
Definiciń I.2.3 Una determinaciń del logaritmo es darse una determinaciń del argumento arg :
o
o
o
C − l → C y la funciń logC : C − l → C dada por
o
logC (z) = logR (|z|) + i arg(z),

z ∈ C − l.

Remarcas.1. La determinaciń principal del logaritmo, est´ dada por la determinaciń principal del argumento. A
o
a
o
menos que se diga lo contrario, la opciń por defecto es la determinaciń principal del logaritmo. La
o
o
determinaciń principal prolonga al logaritmo real.
o
2. Para no recargar notaciń se puede utilizar log para denotar la determinaciń del logaritmo y o el
o
o
logaritmo real. Todo depende del contexto.

Proposiciń I.2.3 Una determinaciń del logaritmo log : C − l → C, verifica:
o
o
1.

exp(log z) = z, ∀z ∈ C − l.

2.

log(exp(z)) = z + i2πk, k entero.

o

Potencias
Recordamos:
zn
z −n

= n · n · · · n, n ∈ N;
n veces
1 1
1
= · · · · , n ∈ N.
z z
z
n veces

CAP´

14
Para α ∈ C, se define

z α = exp(α log z).

Se puede mostrar que esta definiciń es compatible con otras definiciones sobre potencias. Por ejemplo cuando
o
α es entero.
Remarca.- Si bien z α est´ definida sobre un conjunto C − l, se puede prolongar a algunos puntos de l por
a
continuidad.
Ejemplo
3.- Veamos el caso α = 1/2. Tenemos
z 1/2 = exp(1/2 log(z))
=

= exp(1/2 log |z| + (1/2)i arg(z))
|z|(cos((1/2) arg(z)) + i sin((1/2) arg(z))).

Ahora bien l´ z 1/2 = 0, de donde podemos prolongar la funciń z 1/2 al punto z = 0, planteando
ım
o
z→0

01/2 = 0.

Funciones Exponenciales
Siguiendo la misma linea del Primer Aõ de An´lisis, definimos
n
a
az = exp(z log a),
donde log es una determinaciń del logaritmo, (para la cual el valor de log a existe.
o
Remarcas.1. A menudo se encuentran expresiones de la forma ez . Nosotros interpretaremos como
ez = exp(z).
2. Las definiciones del argumento, logaritmo, potencia pasan por las definiciones de determinaciń. Es
o
decir, para obtener funciones continuas, es necesario quitar del plano complejo C una curva simple que
une el origen con el infinito. Sin embargo, mediante las superficies de Riemann es posible construir
estas funciones, sin necesidad de hacer cortes en el plano Complejo.

I.2.4.

Funciones Trigonom´tricas Complejas
e

Definiciń I.2.4
o
sinC z
cosC z
tanC z
cotC z
secC z
cscC z

eiz −e−iz
,
2i
eiz +e−iz
=
,
2
sinC z
= cosC z ,
Cz
= cosC z ,
sin
1
= cosC z ,
1
= sinC z .

=

I.3. FUNCIONES DIFERENCIABLES

15

Proposiciń I.2.4 Las funciones sinC y cosC verifican:
o
i) sinC (z) = sinR (z), cosC (z) = sinR (z) para todo z ∈ R.
ii) sin2 (z) + cos2 (z) = 1.
C
C

o

Como las funciones trigonom´tricas complejas son prolongaciones de las funciones trigonom´tricas reales,
e
e
utilizaremos los s´
ımbolos usuales para identificarlas. M´s todav´ las funciones trigonom´tricas conservan
a
ıa
e
propieades de aditividad, etc.
Funciones Trigonom´tricas Inversas
e
En lugar de hablar de funciones trigonom´tricas inversas, es preferible hablar de determinaciones de funciones
e
trigonom´tricas inversas. Veremos m´s adelante.
e
a

I.3.

Funciones Diferenciables

Como para las funciones reales, se tiene para las funciones complejas varias maneras de definir la diferenciabilidad de una funciń f : U ⊂ C → C. Nosotros utilizaremos:
o
Definiciń I.3.1 Una funciń f : U → C, U ⊂ C abierto, es diferenciable en el punto z0 ∈ U , si
o
o
l´
ım

z→z0

f (z) − f (z0 )
= f (z0 )
z − z0

(I.3.1)

donde f (z0 ) ∈ C. O bien
f (z) = f (z0 ) + f (z0 ) · (z − z0 ) + ρ(z, z0 ) · (z − z0 )

(I.3.2)

con l´ ρ(z, z0 ) = 0.
ım
z→z0

Ambas definiciones son utiles. La primera tiene una ´ptica calculista, mientras que la segunda tiene una
´
o
o
´ptica geom´trica.
e
En la definiciń (I.3.2), la derivada f (z0 ) aparece como una aplicaciń C-lineal. Por otro lado, si vemos
o
o
f : U ⊂ R2 → R2 , para que f sea R-derivable en (x0 , y0 ), se debe tener
f (x, y) = f (x0 , y0 ) + f (x0 , y0 )
con

l´
ım
(x,y)→(x0 ,y0 )

x − x0
y − y0

+ (x − x0 , y − y0 ) r((x, y), (x0 , y0 ))

r((x, y), (x0 , y0 )) = (0, 0). Escribiendo f (x, y) = (u(x, y), v(x, y)), se tiene

f (x0 , y0 ) =
Utilizando la proposiciń (I.2.1), se tiene el:
o

∂u
∂x
∂v
∂x

∂u
y
∂v
y

.

(I.3.3)

CAP´

16

u

x

u

y

x

v

x

y
v

y

x

y

Figura I.3.1: Funciń continua, Cauchy-Rieman, pero no C-diferenciable
o
Teorema I.3.1 (ecuaciones Cauchy-Riemann) Sea f : U → C, f = u + iv, U abierto de C. Entonces
f es C derivable en z0 ∈ U , si y solamente si f es R-derivable en z0 y f (z0 ) es C-lineal, si y solamente f
es R-derivable en z0 y
∂u
∂v
∂x = ∂y
Ecuaciones de Cauchy-Riemann
(I.3.4)
∂u
∂v
∂y = − ∂x

∂v
∂v
Corolario I.3.1 Sea f : U ⊂ C → C, f = u + iv. Si ∂u , ∂u , ∂x y ∂y existen en un vecindario de z0 , son
∂x ∂y
continuas en z0 y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Rieman, entonces f es C-derivable en C.

o

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann por si solas no aseguran la C diferenciabilidad.
Ejemplo
1. La funciń
o
f (z) =

z5
|z|4

si z = 0,
0 si z = 0.

es continua, tiene las derivadas parciales respecto a x e y y satisface en z = 0 las condiciones de
Cauchy-Riemann. Sin embargo, no es C-diferenciable. Ver figura I.3.1.
2. La funciń exponencial exp es C-diferencible en todo C. En efecto, u(x, y) = ex cos y, v(x, y) = ex sin y
o
son funciones cuyas derivadas parciales existen y son continuas. Adem´s
a
exp (x, y) =

ex cos y
ex sin y

−ex sin y
ex cos y

I.3. FUNCIONES DIFERENCIABLES

17

satisface Cauchy-Riemann. Por lo tanto
exp (z) = exp(z).
Se tiene las mismas reglas de c´lculo para la diferenciaciń de funciones complejas; es decir, suma de funciones,
a
o
producto de funciones, composiciń de funciones, etc.
o

I.3.1.

Funciones Holomorfas

Definiciń I.3.2 Una funciń que es C-diferenciable en un abierto U se llama holomorfa en U . Un funciń
o
o
o
es holomorfa en un punto z0 si es holomorfa en un vecindario B(z0 , ).

Proposiciń I.3.1 Sean Ω, Ω ⊂ C abiertos, f : Ω → C holomorfa. Supongamos que existe g : Ω → Ω con
o
g ◦ f = idΩ y f ◦ g = idΩ . Si adem´s g es R-derivable, entonces g es holomorfa y
a
g (f (a)) =

1
,
f (a)

en particular f (a) = 0, para todo a ∈ Ω.
Demostraciń.- La derivada de la composiciń de funciones de R2 en R2 da
o
o
gf (a) fa = IR2 .
Por lo tanto fa y gf (a) son inversibles en tanto que aplicaciones lineales del plano real. Como fa es C-lineal,
es un similitud. Las similitudes forman un grupo, por lo que, gf (a) es tambiń una similitud y por lo tanto
e
C-lineal. En el lenguaje complejo esto se traduce a
g (f (a)) · f (a) = 1.

Ejemplo
3.- Sea log : C − l → C una determinaciń del logaritmo. Planteando Ω = C − l y Ω = log(Ω ), considerando
o
la funciń exponencial exp, mostrando que log es R-diferenciable (que dejamos como ejercicio), se tiene
o
que log es holomorfa y
1
1
1
log z =
=
= .
exp (w)
exp(w)
z
4.- Consideremos z α . Se tiene
z α = exp(α log z),
composiciń de funciones holomorfas, luego holomorfa. Determinemos su derivada.
o
z α = exp (α log z)(α log z) = α exp(α log z)

1
= αz α−1 .
z

La tabla de derivadas de las funciones complejas es muy similar a la tabla de derivadas de las funciones
reales.

CAP´

18

Proposiciń I.3.2 Sea γ :]a, b[→ Ω, diferenciable, donde Ω ⊂ C abierto y sea f : Ω → C holomorfa.
o
Entonces
(f ◦ γ) (t) = f (γ(t)) · γ (t)
donde γ (t) = γ1 (t) + iγ2 (t).
o

I.4.

Funciones Conformes

Suponemos conocidos los conceptos de ńgulo orientado, Recordemos el concepto de ńgulo orientado entre
a
a
curvas.
Sean α, β; [0, 1] → R2 continuamente derivables. Suponemos α (0) = 0, β (0) = 0 y α(0), β(0) = a,
entonces por definiciń
o

α
∠(α, β, a) = ∠(α (0), β (0))

(I.4.1)

β

Definiciń I.4.1 f : U ⊂ R2 → R2 , U abierto, es conforme, si f es R-derivable y si para todo α, β : [0, 1] →
o
U continuamente derivable con α(0) = β(0) = a ∈ U y α (0), β (0) = 0, se tiene
∠(α, β, a) = ∠(f ◦ α, f ◦ β, f (a)).

Remarca.- La definiciń de aplicaciń conforme, implica autom´ticamente que fa es inversible para todo
o
o
a
a ∈ U , sino no se podr´ medir los ńgulos entre las curvas im´genes.
ıa
a
a
Como ejemplo de aplicaciones lineales que son conformes, tenemos las similitudes. La pregunta natural
que surge, es saber si hay otras aplicaciones lineales que conservan los ńgulos en medida y orientaciń.
a
o
Proposiciń I.4.1 A : R2 → R2 isomorfismo lineal. A respecta los ńgulos en tamaõ y orientaciń, si y
o
a
n
o
solamente si A es una similitud.
Demostraciń.- ⇐ ya visto.
o
⇒. La matriz asociada a la aplicaciń lineal es
o
A=

a b
c d

Consideremos los vectores ortonormales (1, 0) y (0, 1), sus im´genes por A son (a, c) y (b, d) que son ortogoa
nales por hip´tesis, de donde
o
ab + cd = 0.

I.4. FUNCIONES CONFORMES

19

w = f(z)

z
α6
α7

α7

α6
α5

H

α8

α3

α2

z1

w5
α3

z5

α8

α4

α1

α5

f(H)

α2

α1

z4

α4

w4

w1

Figura I.4.1: Ejemplo de Funciń Conforme
o
Escribiendo esta ultima condicń como
´
o
a −d
c b

det

= 0,

deducimos que (a, c) y (−d, b) son linealmente independientes, por lo tanto
−d
b

= λa
= λc

La matriz es de la forma
A=

a λc
c −λa

.

Como A conserva la orientaciń, se tiene det A > 0, de donde λ < 0. Finalmente viendo las im´genes de
o
a
(1, 1) y (−1, 1), se tiene que (a + λc, c − λa) y (−a + λc, −c − λa) son ortogonales, lo que se traduce
−a2 + λ2 c2 − c2 + λ2 a2 = (λ2 − 1)(a2 + c2 ) = 0,
de donde λ = −1. La aplicaciń lineal A es efectivamente una similitud.
o

Teorema I.4.1 f : U → R2 es conforme, si y solamente si f es holomorfa y f (a) = 0 para todo a ∈ U .
Demostraciń.- f es conforme, si y solamente si fa respecta los ńgulos en sentido y orientaciń ∀a ∈ U ;
o
a
o
si y solamente si fa es un isomorfismo C-lineal; si y solamente si f es holomorfa y f (a) = 0 ∀a ∈ C.

En la figura I.4.1, se observa la acciń de la aplicaciń f (z) = (z + 0,2)2 , apreciando la conservaciń de
o
o
o
los ńgulos en tamaò y sentido.
a
n
Como un ejemplo de familia de funciones conformes estudiaremso con m´s detalle las homograf´
a
ıas.

CAP´

20

I.4.1.

Homograf´
ıas

Definiciń I.4.2 Una transformaciń homogr´fica es una expresiń de la forma
o
o
a
o
w(z) =

az + b
cz + d

con det

a
c

b
d

= 0.

¯ ı
Remarcamos que las homograf´ pueden prolongarse al plano complejo acabado C as´
ıas
¯
w:C
z

¯
−→ C


→


az+b
cz+d
a
c

∞

si z = d/c
si z = ∞
si z = d/c.

Por otro lado, una homograf´ puede ser inducida por una matriz de 2 × 2 inversible
ıa,
A=

a b
c d

wA (z) =

az + b
.
cz + d

En efecto, consideremos el siguiente diagrama

C2 − {(0, 0)}

¯
C

−− − − − − −→
−−−−−−−
→

(u1 , u2 )

u1
u2





A  det A=0


C2 − {(0, 0)}

=z




 wA (z)


¯
C

−− − − − − −→
−−−−−−−

(v1 , v2 )

→

v1
v2

=z

Es facil verificar que
wA = wA ⇐⇒ A = λA , con λ = 0.

Proposiciń I.4.2 Se tiene las siguientes propiedades:
o
1.

La composiciń de transformaciones homogr´ficas es una transformaciń homogr´fica.
o
a
o
a
A induce wA
A induce wA

2.

wA es inversible y su inversa wA−1 .

⇒ A A induce wA ◦ wA .

(I.4.2)


21

Demostraciń.- El punto (1), sean
o
A=

a b
c d

Se tiene
wA =

A =

az + b
,
cz + d

a
c

wA =

,

b
d

a +b
.
c +d

.

Por lo tanto
wA ◦ wA (z)

= wA
=
=

a
c

az+b
cz+d
az+b
cz+d +b
az+b
cz+d +d

(a a+b c)z+(a b+b d)
(c a+d c)z+(c b+d d)

= wA ◦A (z).

El punto (2), es consecuencia de wA◦A−1 = wI = wA ◦ wA−1 .

Como consecuencia directa de la ultima proposiciń, el conjunto de las homograf´ es un subgrupo de
´
o
ıas
las funciones biyectivas de C en C, que contiene otros subgrupos de transformaciones del plano complejo.
Proposiciń I.4.3 Una homograf´ puede escribirse como composiciń de:
o
ıa
o
• Similitudes z → az, a = 0.
• Traslaciones z → z + c.
1
• Inversiones complejas z → z .

Demostraciń.- Consideremos una homograf´
o
ıa
w(z) =

az + b
,
cz + d

´sta se puede escribir como:
e
w(z) = A +

B
,
cz + d

con A, B ∈ C. Por consiguiente, w = f5 ◦ f4 ◦ f3 ◦ f2 ◦ f1 , donde
f1 (z) = cz similitud,
f2 (z) = z + b traslaciń,
o
1
f3 (z) = inversiń compleja,
o
z
f4 (z) = Bz similitud,
f5 (z) = z + A traslaciń.
o

Teorema I.4.2 Una homograf´ env´ circunferencias y rectas sobre circunferencias o rectas.
ıa
ıa

CAP´

22

Demostraciń.- Por la proposiciń que precede, es suficiente mostrar que la inversiń compleja env´
o
o
o
ıa
circunferencias y rectas sobre circunferencias o rectas; ya que las similitudes y traslaciones conservan las
rectas y circunferencias.
Como z → z es una simetr´ respecto a la recta real R, es suficiente mostrar el teorema para la funciń
¯
ıa
o
z → 1/¯.
z
Ahora bien,
z
1
f (z) = = 2 ;
z
¯
|z|
distinguimos los siguientes casos:
i) Recta por el origen

¢
¡
¢¡
¡ ¢ ¢
f (recta) = recta.

z

£¡
¡££¤¤
¤
£¤¡

ii) Origen fuera de la circunferencia.

(OT )2 = OM · OM
f(M)

1
OM
=
2
OM
OT
2
⇒ f (M ) se obtiene a partir de M por homotecia de razń 1/OT
o

Of (M ) =

f(T)

M’
T
M
O

iii) Circunferencia que pasa por el origen.

A’
M’
A
M

OM A es un tr´
ıangulo rectńgulo, porque OM es el di´metro de
a
a
la circunferencia.
OA · OA = 1 y OM · OM = 1, de donde
OM A ∼

OA M.

O

∠OM A es recto, luego la imagen de la circunferencia es una
recta.
iv) Recta que no pasa por el origen.
z→

1
z
¯

es biyectiva, aplicar el caso iii).


23

v) Origen en el interior de la circunferencia.

M"
M

Fijamos Q, tenemos OP · OQ = λ, tambiń OM · OM = λ
e
f (M ) = M , OM · OM = 1, de donde

Q

OM =

P

M’

1
OM .
λ

De donde f (M ) = −λM .

¯
Proposiciń I.4.4 Sean z1 , z2 , z3 elementos distintos de C y z1 , z2 , z3 otra terna de elementos distintos de
o
¯ Entonces, existe una sola transformaciń homogr´fica w tal que
C.
o
a
w(zi ) = w(zi ),

i = 1, 2, 3.

Demostraciń.- Primero, vamos a mostrar el caso en que z1 = 1, z2 = 0 y z3 = ∞, se tiene tres situaciones:
o
i) z1 = ∞, z2 = ∞ y z3 = ∞
w(z) =
ii) z1 = ∞

z−z2
z−z3
z1 −z2
z1 −z3

.

w(z) =

z − z2
.
z − z3

w(z) =

z 1 − z3
z − z3

w(z) =

z − z2
.
z1 − z2

iii) z2 = ∞

iv) z3 = ∞

Para la existencia en el caso general, consideramos las homograf´
ıas:
w
w

: z1 , z2 , z3 −→ 1, 0, ∞
: z1 , z2 , z3 −→ 1, 0, ∞

de donde (w )−1 ◦ w es la homograf´ pedida.
ıa
Para la unicidad, mostreremos primero que si w(0) = 0, w(1) = 1 y w(∞) = ∞, entonces w = id. En
efecto, la homograf´ puede escribirse
ıa
az + b
w(z) =
,
cz + d
para z = 0, se tiene b/d = 0, por lo tanto b = 0, Para z = ∞, se tiene a/c = ∞, de donde c = 0. Por ultimo,
´
w(1) = a/d = 1, tomando d = 1, se tiene
w(z) = z.

CAP´

24

3

w
z

2

2

1

−2

−1

1

1

2

−2

−1

1

−1

3

−1

−2

2

−2

−3

Figura I.4.2: Transformaciń de Cayley
o
Ahora veamos el caso general. Sean w, w : z1 , z2 , z3 → z1 , z2 , z3 dos homografias. Consideremos las homografias: w : 0, 1, ∞ →: z1 , z2 , z3 y w : 0, 1, ∞ → z1 , z2 , z3 . Por consiguiente las homograf´
˜
ˆ
ıas
w ◦ w ◦ w : 0, 1, ∞ → 0, 1, ∞.
ˆ
˜
w ◦ w ◦ w : 0, 1, ∞ → 0, 1, ∞.
ˆ
˜
de donde w ◦ w ◦ w = id y w ◦ w ◦ w = id, que escrito de otra forma
ˆ
˜
ˆ
˜
w = w−1 ◦ w−1 = w .
ˆ
˜

Ejemplo
1. Consideremos la transformaciń de Cayley
o
w(z) =

z+1
z−1

funciń ilustrada en la figura I.4.2
o
La acciń de esta transformaciń en el plano complejo es convertir el eje imaginario en la circunferencia
o
o
unitaria y vice-versa.

I.4.2.

Representaciń Conforme
o

Existen varios problemas de representaciń conforme, entre los cuales tenemos:
o
1. Dada f : Ω → C holomorfa, inyectiva y Ω abierto, determinar f (Ω).
Para ilustrar este problema, estudiaremos un problema modelo.
Consideremos Ω = {z| | z| < π, z > 0} y f (z) = sin z.
La restricciń de sin z a esta regiń la convierte en una funciń inyectiva y conforme. En efecto
o
o
o
sin z1 = sin z2 ⇐⇒ sin z1 − sin z2 = 0 ⇐⇒ cos(

z1 + z2
z 1 − z2
) sin(
) = 0;
2
2


25

dee donde cos( z1 +z2 ) = 0 o sin( z1 −z2 ) = 0. Dejamos al estudiante, la verificaciń de:
o
2
2
⇐⇒ z = kπ, k ∈ Z;

sin z = 0

⇐⇒ z =

cos z = 0

π/2
+ kπ,

k ∈ Z.

Por lo tanto,
sin z1 = sin z2


 z1 − z2 = 2πk,
o
⇐⇒

z1 + z2 = π(2k + 1)

(I.4.3)

La equivalencia (I.4.3) nos asegura que la restricciń de sin a la semibanda superior Ω es inyectiva. Por
o
otro lado, en el interior de la banda sin z es conforme, por que cos z = 0, para todo z ∈ Ω.
Ahora bien, la funciń sin z, en particular la restricciń de sin z sobre Ω, es la composiciń de cuatro
o
o
o
funciones:
f1 (z)
= iz,
f2 (z)
= ez ,
1
f3 (z) = z − z ,
1
f4 (z)
= 2i z.
El comportamiento de sin z, ser´ analizado a partir del comportamiento de cada una de estas funciones.
a
Denotamos Ω1 = f1 (Ω), como f1 es una rotaciń de un ńgulo recto, deducimos inmediatamente
o
a
Ω1 = {z ∈ C| | z| < π y

z < 0}

Denotamos Ω2 = f2 (Ω1 ), un simple ejercicio mostrar´ que
a
Ω2 = {z ∈ C| |z| < 1}−] − 1, 0].
Denotamos Ω3 = f3 (Ω2 ). Como no tenemos una idea clara de la acciń de f3 sobre Ω2 , determinaremos
o
Ω3 conociendo su borde a partir de la acciń de f3 sobre el borde de Ω2 . El borde de Ω2 o frontera
o
es la uniń de la circunferencia unitaria y el intervalo [−1, 0]. Tenemos f3 ([−1, 0[) = [0, +∞[ y parao
metrizando la circunferencia con eit , obtenemos f3 (eit ) = eit − e−it , por lo que f3 (eit ) = 2i sin t. En
consecuencia
Ω3 = C − ([0, +∞[∪2i[−1, 1]).
Denotando Ω4 = f4 (Ω3 ), obtenemos finalmente que
sin(Ω) = Ω4 = C − ([−1, 1] ∪ i] − ∞, 0]).
En la figura I.4.3 observamos la acciń de la composiciń de las cuatro funciones que dan sin z.
o
o
2. Si f : Ω → Ω holomorfa y biyectiva, determinar la funciń inversa. Consideremos el problema modelo,
o
analizar la determinaciń
o
arcsin : C − ([−1, 1] ∪ i] − ∞, 0]) → Ω = {z ∈ C| | z| < π e
Por lo hecho en (1), tenemos
−1
−1
−1
−1
arcsin = f1 ◦ f2 ◦ f3 ◦ f4 .

Explicitemos, cada una de estas funciones. Facilmente
−1
f4 (z) = 2iz.

z > 0}.

26

CAP´

Figura I.4.3: Representaci´n conforme de sin
o

´
I.5. INTEGRACION COMPLEJA

27

Ahora, f3 (w) = w − 1/w = z, de donde w2 − wz − 1 = 0, ecuaciń polinomial de segundo grado.
o
Esta ecuaciń tiene dos raices: w1 y w2 que satisfacen w1 + w2 = z y w1 w2 = −1. Puesto que
o
f3 : {z ∈ C| |z| < 1}−] − 1, 0] → C − ([0, +∞[∪2i[−1, 1]) se debe elegir aquella raiz wi que satisface
|wi | < 1. Un simple ejercicio con los m´dulos nos conduce a que existe a lo m´s una ra´ con esta
o
a
ız
propiedad.
−1
Explicitimos f3 , aplicando la f´rmula cuadr´tica, obtenemos
o
a
w=

z−

√

z2 + 4
,
2

eligiendo como determinaciń de
o
√

:C−l →C

donde l = [0, +∞) · z y |arg z| < π. Una verificaciń sobre la esta
o
determinaciń dar´ |w| < 1. Por lo tanto
o
a
−1
f3

con

√

=

z−

z

√

z2 + 4
,
2

l

: C − l → C, l = [0, +∞) · z y |arg z| < π.

−1
Si bien, f3 ha sido explicitada en funciń de una determinaciń de la raiz cuadrada que depende de z,
o
o
el teorema de la funciń inversa, ver parte A de este curso de An´lisis de segundo aõ y la proposiciń
o
a
n
o
−1
−1
−1
I.3.5, aseguran que f3 sea holomorfa. Trabajemos con f3 ◦ f4 , tenemos

−1
f3

◦

−1
f4 (z)

=

2iz −

√

−4z 2 + 4
2

Para no recargar y confundir determinaciones de la raiz cuadrada, podemos elegir una nueva determinaciń de la raiz cuadrada y tener una expresiń simplificada
o
o
−1
−1
f3 ◦ f4 (z) = iz + 1 − z 2
√
√
√
donde
es una determinaciń en la cual 1 − z 2 est´ definida y ademas iz + 1 − z 2 est´ en el disco
o
a
a
unitario.
−1
f2 (z) = log z con log como determinaciń principal.
o
−1
f1 (z) = z/i
Por lo tanto, podemos explicitar esta determinaciń de arcsin
o

arcsin(z) =

I.5.

1
log(iz +
i

1 − z 2 ).

Integraciń Compleja
o

Definiciń I.5.1 Un arco simple es una aplicaciń de clase C 1 γ : [a, b] → C, con γ (t) = 0 para todo
o
o
t ∈ [a, b] e inyectiva.

CAP´

28

Definiciń I.5.2 f : Ω → C, Ω ⊂ C abierto, γ : [a, b] → Ω arco simple, se define
o
b

f (γ(t)) · γ (t) dt.

f (z) dz =
γ

(I.5.1)

a

Si escribimos f (z) = u(z) + iv(z) y γ(t) = γ1 (t) + iγ2 (t), la relaciń (I.5.1), se convierte en
o
b
γ

b

(u(γ(t))γ1 (t) − v(γ(t))γ2 (t)) dt + i

f (z) dz =
a

(u(γ(t))γ2 (t) + v(γ(t))γ1 (t)) dt

(I.5.2)

a

Remarca.- Sea γ : [a, b] → C un arco simple. Sobre Γ = γ([a, b]), se puede definir un orden:

b
z2
t2

z1 , z2 ∈ Γ, z1 = γ(t1 ) z2 = γ(t2 ),

γ (b)

γ (a)

z1 ≤ z2 ⇐⇒ t1 ≤ t2

t1
a

z1

Definiciń I.5.3 Sea γ : [a, b] → C arco simple. Una particiń o subdivisiń P de Γ = γ([a, b]) es una
o
o
o
sucesiń finita y ordenada
o
P = {γ(a) = z0 < z1 < · · · < cn = γ(b)};
δ(P ) = m´x {|zk − zk−1 |}
a
k=1,...,n

es la norma de la subdivisiń P .
o

Proposiciń I.5.1 Sea γ : [a, b] → C arco simple, p = {a = to < t1 < · · · < tn = b} divisiń o particiń de
o
o
o
[a, b]. Sea
P = {γ(a) < γ(t1 ) < · · · < γ(tn )}
particiń de Γ, entonces
o

0,

c y C reales estrictamente positivos (independientes de las particiones) tales que

i) δ(P ) ≤ cδ(p),
ii) δ(P ) ≤

0

⇒ δ(p) ≤ Cδ(P ).

Demostraciń.- Mostremos el punto (i). Consideremos las diferencias γ(tk+1 ) − γ(tk ), aplicando el teorema
o
de los incrementos finitos a cada una de las componentes, se tiene
γ(tk+1 ) − γ(tk ) = (γ1 (ξk ) + iγ2 (ζk ))(tk+1 − tk )
con ξk , ζk ∈ (tk , tk+1 ). Puesto que γ es continua por hip´tesis, cada una de sus componentes alcanza sus
o
cotas. Por lo tanto
|γ(tk+1 ) − γ(tk )| ≤ c(tk+1 − tk ) ≤ cδ(p).

´

29

donde
(m´x |γ1 (t)|)2 + (m´x |γ2 (t)|)2
a
a

c=
Por la definiciń de m´x y sup obtenemos
o
a

δ(P ) ≤ cδ(p).
Mostremos el segundo punto. Por hip´tesis γ (t) = 0 y por continuidad de γ , se tiene
o
m´ |γ (t)| = α > 0.
ın

t∈[a,b]

Afirmamos que existe δ0 > 0 tal que |t − t | < δ0 , se tiene
|γ1 (t) + γ2 (t )| ≤

α
.
2

En efecto
|γ1 (t) + γ2 (t )|

= |γ1 (t) + γ1 (t ) − γ1 (t ) + γ2 (t )|
≥ |γ1 (t ) + γ2 (t )| − |γ1 (t) − γ1 (t )|
≥ α − |γ1 (t) − γ1 (t )|

Por la continuidad de γ , en particular de γ1 , existe δ0 > 0 tal que |t − t | < δ0 , implica|γ1 (t) − γ1 (t )| < α/2,
de donde, para |t − t | < δ0 , se tiene
α
|γ1 (t) + γ2 (t )| ≥ .
2
Al igual que en (i), se muestra que si δ(p) ≤ δ0 , se tiene
δ(P ) ≥

α
δ(p).
2

Como γ es inyectiva, la restricciń de γ : [a, b] → Γ es biyectiva, por lo tanto, utilizando el mismo procedio
miento que (i), se muestra que γ −1 : Γ → [a, b] es continua, es decir que ∀δ > 0, ∃ > 0 tal que |z − z | < y
z, z ∈ Γ implica |t − t | < . En particular para δ0 , existe 0 .

Corolario I.5.1 Sea γ : [a, b] → C arco simple, p = {a = to < t1 < · · · < tn = b} divisiń o particiń de
o
o
[a, b]. Sea
P = {γ(a) < γ(t1 ) < · · · < γ(tn )}
particiń de Γ, entonces
o
δ(p) → 0 ⇐⇒ δ(P ) → 0.

Teorema I.5.1 Sean γ : [a, b] → Ω arco simple, f : Ω → C continua, P denota particiń de Γ, entonces
o
n
δ(P )→0

b

f (zk−1 )(zk − zk−1 )

l´
ım
k=1

=

f (z) dz.
a

(I.5.3)

CAP´

30
Demostraciń.- Se tiene:
o
n
k=1

f (zk−1 )(zk − zk−1 )

n
k=1
n
k=1

=
=

f (γ(tk−1 ))(γ(tk ) − γ(tk−1 ))
n
f (γ(tk−1 ))γ (tk−1 )δtk + k=1 r(tk , tk−1 )δtk .

Por la diferenciabilidad de γ, se tiene r(tk , tk−1 )/ |tk − tk−1 | → 0, cuando δ(p) → 0. Por lo tanto, para δ(p)
suficientemente pequeõ |r(tk , tk−1 )| < (tk − tk−1 ), para un > 0, dado. De donde
n
n

r(tk , tk−1 )δtk < (b − a).
k=1

Lo que significa, de acuerdo al corolario precedente que
n

l´
ım
δ(P )→0

r(tk , tk−1 )δtk = 0.
k=1

Por otro lado,
n

f (γ(tk−1 ))γ (tk−1 )δtk
k=1

es una suma de Riemann y por las hip´tesis de continuidad de f y γ , se tiene
o
n

l´
ım
δ(P )→0

Corolario I.5.2

γ

b

f (γ(tk−1 ))γ (tk−1 )δtk =

f (γ(t))γ (t) dt.
a

k=1

f (z) dz depende solamente de Γ y del orden de Γ.

Definiciń I.5.4 Un recorrido C es darse arcos simples γi : [ai , bi ] → C, i = 1, . . . , k con γ(bi ) = γ(ai+1 ).
o
Escribimos C = γ1 + γ2 + · · · γk .

Definiciń I.5.5 Sea C = γ1 + γ2 + · · · γk un recorrido, se define
o
f (z) dz =
C

f (z) dz + · · · +

f (z) dz +
γ1

γ2

f (z) dz.
γk

Ejemplo
1. Consideremos f (z) = 1/z y γ(t) = eit con 0 ≤ t ≤ 2π define un recorrido, no un arco simple. El

´

31

recorrido es la circunferencia unitaria, que es la suma de los arcos simples:

γ1 (t) = eit , t ∈ [0, π];
γ2 (t) = eit , t ∈ [π, 2π].
de donde
f (z) dz

=

|z|=1

=

π
0

γ1

f (z) dz +

2π
π

f (eit )ieit dt +
=

2π 1
ieit
0 eit

γ2

f (z) dz
f (eit )ieit dt

dt = 2iπ.

Proposiciń I.5.2 Sea f : Ω → C continua tal que existe una funciń F : Ω → C holomorfa con F (z) =
o
o
f (z) para todo z ∈ Ω. (F se llama primitiva de f ). Sea γ : [a, b] → Ω un arco simple. Entonces
f (z) dz = F (B) − F (A),
γ

donde A = γ(a) y B = γ(b).

Demostraciń.- Por un lado tenemos, aplicando la regla de derivaciń para la composiciń de funciones
o
o
o
d F (γ(t))
= F (γ(t)) · γ (t) = f (γ(t)) · γ (t).
dt
Por otro lado, el Segundo Teorema del C´lculo Integral da
a
b

F (γ(b)) − F (γ(a)) =
a

d F (γ(t))
dt =
dt

b

f (γ(t)) · γ (t) dt =
a

f (z) dz.
γ

Definiciń I.5.6 Sea Γ = γ1 + · · · + γk un recorrido. Se dice que Γ es un recorrido cerrado o contorno si
o
γ1 (a1 ) = γ(bk )

Corolario I.5.3 Si Γ es un contorno dentro de Ω ⊂ C abierto y f : Ω → C continua que admite primitiva,
entonces
f (z) dz = 0.
Γ

CAP´

32

Demostraciń.- Utilizando la definiciń de integral para recorridos y la proposiciń precedente, se tiene
o
o
o

γ3

f (z) dz
Γ

=

γ1

f (z) dz +

γ2

f (z) dz + · · · +

γk

f (z) dz

γ2
γ

= (F (B1 ) − F (A1 )) + (F (B2 ) − F (A2 ))
+ · · · + (F (Bk ) − F (Ak ))
= F (Bk ) − F (Ak ) = 0.

1

γ4

Corolario I.5.4 La funciń f : C − {0} → C dada por f (z) = 1/z no admite primitiva.
o
Ejemplos
2.- Consideremos la funciń f (z) = z m con m natural. F (z) = z m+1 /(m + 1) es una primitiva, de donde
o
z0

z m dz =
Γ

m+1
z0
m+1

Γ

2.- Si bien, 1/z no admite primitiva sobre Ω = C − {0}, podemos restringir Ω de manera que esta funciń
o
admita primitiva. Por ejemplo, considerando Ω1 = C−] − ∞, 0], la determinacion principal de log es
una primitiva. Tomando Ω2 : C − [0, +∞[, la determinaciń log2 : Ω2 → C con arg2 (−1) = π. Por lo
o
1
tanto, podemos evaluar z=1 z dz tomando la circunferencia como el recorrido γ1 + γ2 donde

γ1 (t) = eit ,

t ∈ [−π/2, π/2]

γ2 (t) = eit ,

t ∈ [π/2, 3π/2]

por lo tanto

z=1

1
dz =
z

γ1

1
dz +
z

γ2

1
dz = log(i) − log(−i) + log2 (−i) − log2 (i) = 2iπ.
z

´

33

Proposiciń I.5.3 (cambio de variable) Si f : Ω → C continua, g : U → Ω holomorfa y γ : [a, b] → U
o
arco simple, entonces
f (z) dz =

f (g(ζ))g (ζ) dζ.

g◦γ

γ

Demostraciń.- Se tiene
o
f (z) dz

=

g◦γ

=
b
(f
a

=

b
a

b
a

f (g ◦ γ(t)) · (g ◦ γ) (t) dt

f (g(γ(t))) · (g (γ(t))) · γ (t) dt

◦ g)(γ(t)) · g (γ(t)) · γ (t) dt =

γ

(f ◦ g)(z) · g (z) dz.

Ejemplo
4.- Consideremos nuevamente la integral |z|=1
γ : [0, 2π] → C con γ(t) = t, obtenemos
|z|=1

1
dz =
z

γ

1
z

dz. Planteamos g(z) = eiz que es una funciń holomorfa y
o

1 iz
ie dz = i
eiz

dz = iz|2π = 2iπ.
0
γ

g

2π
Proposiciń I.5.4 Sea f : Ω → C continua, γ : [a, b] → Ω arco simple. Entonces
o
l´ δ(P )→0 (
ım

n
k=1
γ

|zk − zk−1 |) =

f (z) dz ≤ M · L

b
a

|γ (t)| dt = L : longitud del arco.

M = m´xt∈[a,b] |f (γ(t))|
a

(I.5.4)
(I.5.5)

donde P denota particiones o subdivisiones de γ([a, b])
Demostraciń.- Demostraciń.- El punto I.5.4 ya ha sido visto en el curso de Geometr´ dejamos como
o
o
ıa,
ejercicio el repaso de la demostraciń.
o
Demostremos el punto I.5.5. Por el teorema I.5.1, se tiene
n

f (zk )(zk − zk−1 ) .

f (z) dz = l´
ım
δ(P )→0

γ

k=1

Por otro lado
n

n

f (zk )(zk − zk−1 ) ≤
k=1

n

f (z) · |zk − zk−1 | ≤ M
k=1

Pasando al l´
ımite obtenemos la desigualdad I.5.5.

|zk − zk−1 | ≤ M · L.
k=1

CAP´

34

Proposiciń I.5.5 Sea Ω ⊂ C abierto, Γ = γ1 + · · · + γk ⊂ C un recorrido.
o
i) Si fn : Ω → C una sucesiń de funciones continuas que convergen simplemente a f : Ω → C y uniformeo
mente sobre Γ, entonces
f (z) dz = l´
ım

fn (z) dz.

n→∞

Γ

Γ

ii) Si F : Ω × U → C funciń con U ⊂ C abierto tal que para todo u ∈ U fijo la funciń z → F (z, u) es
o
o
continua y si F (z, u) → F (z, u0 ) uniformemente sobre Γ cuando u → u0 ∈ U entonces
l´
ım

u→u0

F (z, u) dz =

F (z, u0 ) dz.

Γ

Γ

Demostraciń.- Mostremos el punto (i). La convergencia uniforme, significa que ∀ > 0, ∃N tal que n ≥ N
o
⇒ ∀z ∈ Γ |fn (z) − f (z)| < . De donde
fn (z) dz −
Γ

(fn (z) − f (z)) dz ≤ L.

f (z) dz =
Γ

Γ

El punto (ii), la convergencia uniforme, significa que ∀ > 0, ∃δ > 0 tal que |u − u0 | < δ implica que ∀z ∈ Γ
se tiene |F (z, u) − F (z, u0 )| < , de donde
F (z, u) dz −
Γ

F (z, u0 ) dz ≤ L.
Γ

Definiciń I.5.7 Un recorrido Γ = γ1 + · · · + γk se dice de tipo H-V (horizontal-vertical) si
o
(γi ) = C.

(γj ) = C o

Proposiciń I.5.6 Sea f : Ω → C continua, γ; [a, b] → C arco simple, entonces ∀ > 0, ∃ recorrido H-V
o
γ1 + · · · + γk tal que γ1 (a1 ) = γ(a) y γk (bk ) = γ(b) y adem´s
a
f (z) dz −
γ

f (z) dz < .
H-V

H-V
γ

K

Ω

´

35

Demostraciń.- Se requiere utilizar algunas propiedades top´logicas del plano complejo, que en el momento
o
o
se enunciar´ sin demostraciń, dejando ´stas para el curso de topolog´ Utilizando el hecho que γ([a, b]) es
a
o
e
ıa.
un compacto, se muestra mediante la nociń de recubrimiento, que existe K ⊂ Ω compacto, tal que Γ ⊂ K ◦ .
o
(Esta es la parte topol´gica). La demostraciń asegura que existe η > 0 tal que D(z, η) ⊂ K ◦ para todo
o
o
z ∈ Γ.
Como K es compacto, f es uniformemente continua sobre K, por lo tanto para > dado, existe δ( ) > 0
tal que
z, z ∈ K y |z − z | < δ( ) ⇒ |f (z) − f (z )| < .
Podemos suponer tambiń que δ( ) < η.
e
Ahora consideremos p = {a = t0 < t1 < · · · < tm = b} una subdivisiń de [a, b] tal que δ(P ) ≤ δ( ),
o
donde
P = {z0 = γ(a) < z1 = γ(t1 ) < · · · < γ(tm ) = zm }, definimos los
zk = zk + (zk+1 − zk ),

z k+1

k = 0, . . . , m − 1.

Por hip´tesis sobre δ(P ), δ( ) se tiene que los segmentos zk zk y
o

z’
k

zk

zk zk+1 estń dentro K.
a
Si es necesario, reducir de tamanò δ(P ), se puede suponer que
n
m−1

f (z) dz −

f (zk )(zk+1 − zk ) <

γ

(I.5.6)

k=0

El recorrido H-V es de la forma H1 + V1 + · · · Hm−1 + Vm−1 , deducimos que:
f (z) dz − f (zk )(zk − zk )

≤

|zk − zk |

(I.5.7)

|zk+1 − zk | .

(I.5.8)

Hk

f (z) dz − f (zk )(zk+1 − zk )

≤

Vk

Por lo tanto,
f (z) dz −
γ

≤

f (z) dz
H−V

≤

m−1
k=0

γ

f (z) dz −

m−1
k=0

m−1
k=0

Vk

f (z) dz

m−1
k=0 (|zk

− zk | + |zk+1 − zk |)

((f (zk ) − f (zk ))(zk+1 − zk )) + (1 + 2L)

≤

L es la longitud de γ. Tomando

f (z) dz +

(f (zk )(zk+1 − zk ) − f (zk )(zk − zk ) − f (zk )(zk+1 − zk ))
+ +

≤

Hk

m−1
k=0

|zk+1 − zk | + (1 + 2L)
≤ (1 + 3L).

= /(1 + 3L) se tiene la proposiciń.
o

CAP´

36

I.6.

Un Teorema de Cauchy

Proposiciń I.6.1 Sea f : Ω → C holomorfa, R = {z ∈ C|a ≤ z ≤ b, c ≤ z ≤ d} ⊂ Ω. Entonces
o
f (z) dz = 0.
∂R

Demostraciń.- Suponemos del contorno (borde del rectńgulo) en sentido positivo.
o
a
Dividimos el rectńgulo R en cuatro subrectangulos iguales R1 , R2 , R3
a
y R4 . Se tiene
4

I=

3

f (z) dz =
R

1

2

f (z) dz +
R1

f (z) dz +
R4

f (z) dz +
R3

f (z) dz.
R4

Se debe observar que las integrales de los lados comunes de los subrectńgulos se anulan, porque tienen sentido opuestos, quedando para el
a
c´lculo final los lados no compartidos.
a
Sea j1 ∈ {1, 2, 3, 4} tal que
f (z) dz ≥
Rj 1

f (z) dz , i = 1, 2, 3, 4.
Ri

Denotando por R1 este subrectńgulo, I1 = R1 f (z) dz.
a
Por otro lado si p es el perim´tro de R, se tiene que el perim´tro p1 de
e
e
1
R es igual a p/2 y si δ es el di´metro de R, δ1 = δ/2 es el diam´tro de
a
e
1
R .
Una verificaciń sencilla da:
o
|I| ≤ 4 |I1 | ,
Podemos construir una sucesiń de subrectńguloes Rk , con k = 1, 2, . . ., de manera que Rk+1 sea un
o
a
subrectńgulo que divide en partes iguales a Rk . Si denotamos por Ik = Rk f (z) dz, δk , pk el diam´tro y el
a
e
perim´tro de Rk se tiene
e
p
δ
|I| ≤ 4k |Ik | , δk = k , pk = k .
2
2
Utilizando el principio de los intervalos encajonados del primer Curso de An´lisis en la parte real e imaginaria
a
de la sucesiń mostramos que
o
l´ Rk = {z0 }.
ım
k→∞

Por hip´tesis f es holomorfa, en particular f es C diferenciable en z0 , de donde podemos escribir
o
f (z) = f (z0 ) + f (z0 )(z − z0 ) + (z − z0 )r(z),

con l´ r(z) = 0.
ım
z→z0

Ahora bien para Rk , se tiene
f (z) dz =
Rk

f (z0 )(z − z0 ) dz +

f (z0 ) dz +
Rk

Rk

r(z)(z − z0 ) dz =
Rk

r(z)(z − z0 ) dz
Rk

I.6. UN TEOREMA DE CAUCHY

37

por que f (z0 ) y f (z0 )(z − z0 ) tienen como primitivas f (z0 )z y f (z0 )(z − z0 )2 /2 respectivamente y sus
integrales sobre contornos son nulas.
Por otro lado
|Ik | =

r(z)(z − z0 ) dz ≤ pk · m´x |r(z)(z − z0 )| .
a
z∈Rk

Rk

Elijamos

> 0, entonces existe η > 0 tal que
|z − z0 | < η ⇒ |r(z)| < ,

m´s todavia, existe K ∈ N tal que k ≥ K se tiene Rk ⊂ D(z0 , η).
a
Por consiguiente, para k ≥ K, se tiene |z − z0 | ≤ δk y |r(z)| ≤ , de donde
|Ik | ≤ pk δk =

pδ
,
4k

por lo que
|I| ≤ 4k ·

pδ
= pδ.
4k

Esto significa que |I| = 0 y en consecuencia I = 0.

Definiciń I.6.1 Sea C = γ1 + · · · + γk un recorrido. Se dir´ que C es un recorrido simple si
o
a
i = j ⇒ γi ([ai , bi ]) ∩ γj ([aj , bj ]) = ∅,
excepto quiz´s γ1 (a1 ) = γk (bk ).
a

Definiciń I.6.2 Se dira que C es un contorno simple o recorrido cerrado simple, si C = γ1 + · · · + γk es
o
un recorrido simple con γ1 (a1 ) = γk (bk ).

Interior de un Contorno Simple
Sea C un contorno simple. En el curso de topolog´ se muestra que existe R > 0 tal que C ⊂ B(0, R)
ıa

z0

Sea z0 ∈ B(0, R). Se dira que z est´ en el interior de C, si
a
para todo camino γ : [0, 1] → C (γ continua) con γ(0) = z
y γ(1) = z0 , se tiene

γ
C

γ([0, 1]) ∩ C = ∅ y z0 ∈ C.
El interior de C es el conjunto
Int C = {z ∈ C|z es un punto interior de C}.
La orientaciń o sentido de C se elige de manera que el
o
interior de C est´ a la izquierda de C.
e

z

CAP´

38

Definiciń I.6.3 D ⊂ C es un dominio simple si D es de la forma
o
D = C ∪ Int C,
donde C es un contorno simple.
Ejemplos
1. Un rectńgulo R es un dominio simple
a

2. Un disco cerrado {z| |z − z0 | ≤ r} es un dominio simple.

3. Un corona {z|r ≤ |z − z0 | ≤ R} no es un dominico simple.

Teorema I.6.1 (Cauchy) Sea f : Ω → C holomorfa, D ⊂ Ω dominio simple, entonces
f (z) dz = 0,
∂D

∂D orientada dejando el interior a la izquierda.
Demostraciń.- Utilizando la proposiciń I.5.6, para
o
o

> 0, existe un recorrido cerrado H-V tal que

f (z) dz =
∂D

f (z) dz < .
H−V

Si es necesario afinar H-V, se puede suponer que es un recorrido simple, lo que nos permite construir una cuadriculaciń del interior de H-V en que los arcos de H-V son
o
lados de algń o algunos rectńgulos. Utilizando el mismo
u
a
argumento que la proposiciń precedente, se tiene
o
f (z) dz =
H−V

f (z) dz = 0,
Ri

por la proposiciń precedente.
o

Ri

I.6. UN TEOREMA DE CAUCHY

39

Por consiguiente
f (z) dz <
∂D

cualquiera que sea

> 0, por lo tanto el teorema es cierto.

Corolario I.6.1 Si f : Ω → C holomorfa, D ⊂ Ω dominio simple, z1 , z2 ∈ D, γi [ai , bi ] → D arcos simples,
con γ(ai ) = z1 y γ(bi ) = z2 con i = 1, 2. Entonces
f (z) dz = γγ2 f (z) dz.
γ1

o

Notaciń.- Como la integral solo depende de las extremidades es v´lida la notaciń
o
a
o
z2

f (z) dz =

f (z) dz.

z1

γ1

Corolario I.6.2 Sea f : Ω → C, D ⊂ Ω, entonces existe F : D → C holomorfa tal que F (z) = f (z).
Demostraciń.- Fijemos z0 ∈ D◦ . Planteamos
o

z

F (z) =

f (ζ) dζ.

z+∆ z

z0

Mostremos que F es holomorfa y que F (z) = f (z). En efecto, consideremos el cociente de Newton

z

z0

q(z) =

F (z + ∆z) − F (z)
∆z

=

1
∆z

z+∆z
f (ζ) dζ
z0

=

1
∆z

−

z
z0

f (ζ) dζ

z+∆z
f (ζ) dζ
z

Supongamos que ∆z es lo suficientemente pequeõ, para que z +
n
t∆z ∈ D para t ∈ [0, 1].
Por otro lado
f (ζ) = f (z) + f (z)(ζ − z) + r(ζ)

con l´
ım

ζ→z

r(ζ)
= 0,
(ζ − z)

de donde para, > 0 dado, existe δ > 0 tal que si |∆z| < δ se tiene
|r(ζ)| < |z − ζ|.

z+∆ z
z

z0

CAP´

40
El cociente de Newton se convierte
q(z) =

1
∆z

z+∆z

f (z) dζ +
z

z+∆z

1
∆z

f (z)(ζ − z) dζ +
z
= 1 ∆z f (z)→0
2

=f (z)

1
∆z

z+∆z

r(ζ) dζ ,
z
|·|≤ |∆z|→0

si ∆z → 0 y tomando como arco, el segmento que une z con z + ∆z.

Corolario I.6.3 Sean D dominio simple y D1 , . . . , Dk ⊂ D◦ dominios simples con Di ∩ Dj = ∅ si i = j.
k

Ω ⊃ (D −

Di ) abierto y f : Ω → C holomorfa. Entonces
i=1

D

f (z) dz + · · ·

f (z) dz =
∂D

D
k

∂D1

f (z) dz.
∂Dk

D
2

D
1

ˆ ˇ
Demostraciń.- Realizamos un corte del dominio simple D en dos subdominios simples: D y D de manera
o
que
los bordes de ambos caminos cubran en su totalidad los bordes
del dominio D y los dominios Di , i = 1, . . . , k. Por lo tanto
D
k

0=

f (z) dz +
ˆ
D

f (z) dz =
ˇ
D

−

f (z) dz +
D

i=1

D
k

f (z) dz
∂Di

ˆ ˇ
porque f es holomorfa sobre los dominios D y D y la integrales se
anulan en los bordes comunes (diferentes sentidos de integraciń)
o

D
1

D
2

Ejemplo
4.- Consideremos D dominio simple con 0 ∈ D◦ , D1 = {z| |z| ≤ r} con r lo suficientemente pequeõ de
n
manera que D1 ⊂ D◦ y por corolario que antecede deducimos que

∂D

1
dz =
z

|z|=r

1
dz = 2iπ.
z

´
I.7. FORMULAS INTEGRALES DE CAUCHY

41

Corolario I.6.4 Sea C un contorno simple y a ∈ C, entonces:
a ∈ Int C

⇐⇒

a ∈ Int C

⇐⇒

1
dz = 2iπ,
C z−a
1
dz = −.
C z−a

o

I.7.

F´rmulas Integrales de Cauchy
o

Teorema I.7.1 Sea f : Ω → C holomorfa. D ⊂ Ω dominio simpler, z0 ∈ D◦ . Entonces
f (z0 ) =

1
2iπ

∂D

f (ζ)
dζ.
ζ − z0

Demostraciń.- Utilizando el corolario I.6.8 y con r > 0 lo suficientemente pequeõ se tiene
o
n
1
2iπ

∂D

f (ζ)
1
dζ =
ζ − z0
2iπ

|ζ−z0 |=r

f (ζ)
dζ
ζ − z0

La parametrizaciń z0 + re2iπt de la circunferencia de centro z0 y radio r da
o
1
2iπ

|ζ−z0 |=r

f (ζ)
dζ =
ζ − z0

1

f (z0 + re2iπt ) dt.
0

El valor de la segunda integral es independiente de r, a condiciń que la circunferencia est´ dentro del
o
e
dominio.
Puesto que f es continua, se puede pasar al l´
ımite r → 0 y la independencia de la integral respecto a r
nos conduce a que
1
2iπ

∂D

f (ζ)
dζ = l´
ım
r→0
ζ − z0

1

1

f (z0 + re2iπt ) dt =
0

f (z0 ) dt = f (z0 ).
0

Teorema I.7.2 Sea f : Ω → C holomorfa, D ⊂ Ω dominio simple y z ∈ D◦ . Entonces f es indefinidamente
C-derivable y
n!
f (ζ)
f (n) (z) =
dζ.
2iπ ∂D (ζ − z)n+1

CAP´

42

Demostraciń.- Por inducciń; para n = 0 es el teorema precedente. Suponemos cierto para n − 1, sea
o
o
z0 ∈ D◦ que lo dejamos fijo.
Como z0 ∈ D◦ , existe r > 0 tal que D(z0 , r) = {z| |z − z0 | < r} ⊂ D. Consideremos el cociente de Newton
y apliquemos la hip´tesis de inducciń
o
o
(n − 1)!
f (n−1) (z) − f (n−1) (z0 )
=
z − z0
2iπ

1
1
−
(ζ − z)n
(ζ − z0 )n

f (ζ)
∂D

1
dζ. z ∈ D(z0 , r) − {z0 }.
z − z0

Definamos la funciń ϕ : ∂D × D(z0 , r) → C dada por
o
ϕ(ζ, z) =

1
1
1
f (ζ) (ζ−z)n − (ζ−z0 )n z−z0 si z = z0 ,
f (ζ) (ζ−zn)n+1 hboxsiz = z0 .
0

La funciń ϕ es continua, lo que conduce a que
o
l´
ım

z→z0

f (n−1) (z) − f (n−1) (z0 )
z − z0

= l´ z→z0
ım
=

(n−1)!
2iπ

∂D

ϕ(ζ, z) dζ

(n−1)!
l´ z→z0 ϕ(ζ, z) dζ
ım
2iπ
∂D
= (n−1)! ∂D ϕ(ζ, z0 ) dζ
2iπ
f
n!
= 2iπ ∂D (ζ−z(ζ) dζ.
n+1
0)

Teorema I.7.3 (Morera) Sea f : Ω → C continua tal que para todo recorrido simple C ⊂ Ω
f (z) dz = 0,
C

entonces f es holomorfa sobre Ω.
Demostraciń.- Fijemos z0 ∈ Ω. Planteamos
o
F (z) =

f (w) dw,
γ

donde γ arco simple con γ(a) = z0 y γ(b) = z. Por hip´tesis F (z) no depende de γ que une z0 con z.
o
Si mostramos que F (z) = f (z), por el teorema I.7.2 F es indefinidamente derivable y por consiguiente
F (z) = f (z) y de donde f es holomorfa.
Ahora verifiquemos que F (z) = f (z).
Consideremos el cociente de Newton, para ∆z lo suficientemente pequeõ,
n
z+∆z

F (z + ∆z) − F (z)
1
=
∆z
∆z

f (ζ) dζ,
z

integrado sobre el segmento z + t∆z, con 0 ≤ t ≤ 1.
Como f es continua, para > 0 fijo, existe δ > 0 tal que |δz| < δ implica que
|f (z) − f (z + t∆z)| ≤ ;
de donde
f (z) −

1
∆z

z+∆z

f (ζ) dζ =
z

1
∆z

z+∆z

(f (z) − f (ζ)) dζ ≤ .
z

I.8. SERIES ENTERAS

I.8.

43

Series Enteras

En el primer aõ de an´lisis se estudi´ a profundidad la nociń de series num´ricas, al igual que las series de
n
a
o
o
e
funciones en el ´mbito real. Las definiciones, propiedades son v´lidas si se remplaza R por C, exceptuando
a
a
la nociń de C-derivabilidad que ser´ vista en esta secciń. Por consiguiente es conveniente que el estudiante
o
a
o
no solo repase el curso de primer aõ de an´lis, sino que lo domine. La primera novedad
n
a
Teorema I.8.1 (Weistraß) Sea Ω un dominio simple, {fn : Ω → C} una sucesiń de funciones holomoro
fas. Si fn → f uniformemente sobre Ω cuando n → ∞, entonces f es holomorfa y fn → f uniformente
sobre Ω cuando n → ∞.
Demostraciń.- Consideremos Γ contorno simple de Ω, por la proposiciń I.5.5 se tiene
o
o
f (z) dz =
Γ

l´ fn (z) dz = l´
ım
ım

Γ n→∞

n→∞

fn (z) dz = 0.
Γ

El teorema de Morera implica que f es holomorfa sobre Ω. Mostremos que fn → f uniformemente. Sea
z ∈ Ω◦ , de donde podemos encontrar r > 0 tal que D(z, r) ⊂ Ω. Aplicando la f´rmula integral de Cauchy se
o
obtiene
f (z) − fn (z)
|f (z) − fn (z)| =

=
1
2π

1
2iπ

f (ζ)
|ζ−z|=r (ζ−z)2

f (ζ)
|ζ−z|=r (ζ−z)2

dζ ≤

1
r

dζ,

sup|ζ−z|=r f( ζ) − fn (zeta) .

Por consiguiente la derivada converge uniformemente.

Recordemos lo que es una serie entera. Sea a0 , a1 , a2 , . . . una sucesiń de coefientes en C y z una variable
o
independiente, entonces
∞

an z n = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · ·

(I.8.1)

n=0

se llama una serie entera. Sin ocuparnos de la cuestiń de convergencia, estas series forman el algebra C[[z]]
o
de las series formales. Para la convergencia, tal como se dijo se retoma las definiciones dadas en el curso
de Primer Aõ de An´lisis, con los respectivos criterios y condiciones de convergencia. Solo agregamos una
n
a
f´rmula para el radio de convergencia.
o
Proposiciń I.8.1 (F´rmula de Hadamard) La serie de potencias con coeficientes {an } ⊂ C tiene como
o
o
radio de convergencia

 lim sup 1 √|a |
n

n
n→∞
R=
(F´rmula de Hadamard)
o
0 si lim supn→∞ n |an | = ∞


n
∞ si lim supn→∞ |an | = 0.
donde lim sup |an | = l´ sup{|ak | |k ≥ n}.
ım
n→∞

n→∞

o

CAP´

44
∞

an z n una serie entera de radio de convergencia R > 0. Entonces:

Teorema I.8.2 Sea
n=0
∞

an z n converge uniformemente sobre |z| ≤ r, ∀r < R.

i)
n=0
∞

ii)

an z n diverge sobre |z| > R.

n=0
∞

iii) f (z) =

an z n es holomorfa sobre |z| < R.

n=0
∞

iv) f (z) =

nan z n , converge uniformemente sobre |z| ≤ r, ∀r < R.

n=1

Demostraciń.- Para los dos primeros puntos revisar el curso de an´lisis de primer aõ. Los puntos iii) y
o
a
n
iv) son consecuencia del teorema de Weirstraßenunciado m´ arriba.
a

Definiciń I.8.1 Sea f : Ω ⊂ C → R, z0 ∈ Ω, f indefinidamente C derivable en z0 , la serie de Taylor de
o
f en el punto z0 es
∞
f (k) (z0 )
ST fz0 (z) =
(z − z0 )k .
n!
k=0

¯
Teorema I.8.3 ((Cauchy-Taylor)) Sea f : Ω → C holomorfa, z0 ∈ Ω, R > 0 tal que D(z0 , R) ⊂ Ω.
Entonces
∞
f (n) (z0 )
f (z) =
(z − z0 )n
n!
n=0
¯
uniformemente sobre D(z0 , R).
¯
Demostraciń.- Sea D un dominio simple que contiene D(z0 , R), esto es posible por Ω es un abierto.
o
Las f´rmulas integrales de Cauchy dan:
o

¦
©¨§¥

f (z)
f

(n)

(z0 )

=
=

1
2iπ

n!
2iπ

f (ζ)
∂D ζ−z

£

¢
¡
¢¡¢
¡
¡ ¢

¤
¨
Por otro lado

1
1
1
=
=
ζ −z
ζ − z0 + z0 − z
(ζ − z0 )(1 −

ζ,

f (ζ)
∂D (ζ−z0 )n+1

1
z−z0 =
ζ − z0
)
ζ−z0

∞
n=0

z − z0
ζ − z0

n

porque |z − z0 | |ζ − z0 | y adem´s la convergencia es uniforme sobre el disco centrado en z0 . Por consiguiente
a
se puede integrar t´rmino a t´rmino garantizando la convergencia uniforme de la serie
e
e
∞

f (z) =

1
2iπ
n=0

∂D

f (ζ)
dz (z − z0 )n .
(ζ − z0 )n+1

I.8. SERIES ENTERAS

45

−1

0

1

Figura I.8.1: Polinomio de Taylor z −

z3
3

+

z5
5

+ ··· +

z2 5
25

en R y en C

Remarca.-Acabamos de ver que una funciń que puede expresarse como una serie de potencias es holomorfa
o
y lo mismo una funciń holomorfa puede expresarse como serie de potencias. Las funciones que tienen esta
o
propiedad se llaman funciones an´liticas; es decir que son indefinidamente derivables y que la serie de Taylor
a
de la funciń coincide con la funciń en la regiń de convergencia.
o
o
o
Remarca.-Si f : Ω → C es holomorfa, entonces el radio de convergencia de la serie de Taylor de f en el
punto z0 ∈ Ω, est´ dada por
a
dist(z0 , ∂Ω),
verificaciń que dejamos como ejercicio.
o
Ejemplo
1. La funciń y = arctan x es completamente lisa para −∞ x∞. y no se comprender´ porque el
o
ıa
polinomio de Taylor no funciona fuera de [−1, 1], pero visto en C, recordando la secciń I.4 vemos que
o
en la determinaciń de arctan que no est´ definida para ±i.
o
a
2. Consideremos la determinaciń principal del logaritmo,
o
log z

=

z
z dζ
dζ
] 1 1+(ζ−1)
1 ζ

= (z − 1) −

z
(1 − (ζ − 1) + (ζ − 1)2 −
1
2
3
4
(z−1)
+ (z−1) − (z−1) + · · ·
2
3
4

=

· · ·) dζ

En la figura I.8.2 se ve que la serie converge para |z − 1| 1, lo que no es sorprendente, porque en
z = 0 log no est´ definido.
a

I.8.1.

C´lculos con Series Enteras
a

A continuaciń se enunciar´ algunas propiedades de las series enteras.
o
a
∞

Proposiciń I.8.2 Sean f (z) =
o

an z n y g(z) =

n=0

∞

bn zn dos series con radios de convergencia ρ1 y ρ2
n=0

respectivamente. Entonces
∞

(an + bn )z n ,

f (z) + g(z) =
∞

(I.8.2)

zn,

(I.8.3)

n=0
n

f (z)g(z) =

ai bn−i
n=0

i=0

las dos series, la suma y la producto, tienen un radio de convergencia ρ ≥ m´ 1 , ρ2 ).
ın(ρ

CAP´

46
n = 12

ℜw
y

x

y

n = 12

ℑw

x

x

n = 24

ℜw
y

x

y

x

n = 24

ℑw

x

x

Figura I.8.2: Gr´ficas de parte real e imaginaria de (z − 1) −
a

(z−1)2
2

+

x

(z−1)3
3

− ··· ±

(z−1)n
n

Demostraciń.- Ver demostraciones en el curso de Primer Aõ de An´lisis.
o
n
a

Para determinar los coeficientes de la serie cociente f (z)/g(z), es suficiente conocer la serie 1/g(z) y se
puede dividir g(z) por el b0 = g(0) = 0 y comenzar la serie g(z) por 1. Adem´s podemos escribir los otros
a
coeficientes de la serie g(z) con signo −. Tenemos la proposiciń:
o
∞
n=1

Proposiciń I.8.3 Sea g(z) = 1 +
o
coeficientes ci de la serie

−bn z n una serie de radio de convergencia ρ 0. Entonces los
∞

1
=
cn z n ,
g(z) n=0
satisfacen c0 = 1 y
n−1

cn =

ck bn−k + bn

(I.8.4)

k=1

y el radio de convergencia es no nulo.
Demostraciń.- Para las relaciones recursivas dadas por (I.8.4) los productos de Cauchy de la serie producto
o
g(z).(1/g(z) = 1 darń lo deseado. Mostremos ahora, que el radio de convergencia de la serie cociente es
a
mayor o igual a 1/2ρ. La f´rmula de Hadamard para el radio de convergencia ρ,asegura que la sucesiń
o
o
|b1 | ,

|b2 |,

3

|b3 |, · · ·

son por q ρ, es decir |bn | ≤ q n . Insertamos sucesivamente esta mayoraciń en (II.8.4) y tenemos
o
|c1 |
|c2 |
|c3 |
|c4 |
.
.
.

≤ q,
≤ q 2 + q 2 = 2q 2 ,
≤ 2q 3 + q 3 + q 3 = 4q 3 ,
≤ 4q 4 + 2q 4 + q 4 + q 4 = 8q 4

De donde aplicando el criterio de la ra´ n-sima, se tiene que 1/g(z) converge para |z| 1/(2q).
ız

I.8. SERIES ENTERAS

47
F(w)
z
£

w
¢

¡

£

O

ƒ(z)

ƒ

O

g

¤

Figura I.8.3: Composiciń de Series
o

Aparte de las operaciones aritm´ticas con series, se tiene la composiciń de series enteras. Para ubicar el
e
o
problema, consideramos las series
∞

∞

an z n ,

f (z) =

bn w n ,

g(w) =
k=1

k=0

observamos que b0 = 0, para asegurar que g(0) = 0 y buscamos determinar los coeficientes cn de la serie
F (w) = f (g(w)). Insertamos la segunda serie en la primera serie y se reordena la serie en potencias de w:
F (w)

= a0 + a1 (b1 w + b2 w2 + b3 w3 + · · ·) + a2 (b1 w + b2 w2 + b3 w3 + · · ·)2 + · · ·
= a0 + a1 b1 w + (a1 b2 + a2 b2 )w2 + (a1 b3 + 2a2 b1 b2 + a3 b3 )w3 + · · ·
1
1
= a0 + c1 w + c2 w2 + c3 w3 + c3 w4 +

Observamos nuevamente que los coeficientes de la nueva serie son determinados recursivamente por expresiones finitas, gracias a que b0 = 0, de coeficientes conocidos.
Para justificar que los reordenamientos son correctos y la prueba que la serie tiene un radio de convergencia
no nulo, mediante el criterio de la serie mayorante. Nuevamente la formula de Hadamard conduce a que
|an | ≤ q n

y

|bn | ≤ pn .

Substituimos z = pw + p2 w2 + p3 w3 + · · · = pw/(1 − pw) para |w| 1/p. Remplazamos z en la serie doble
obteniendo la mayoraciń para la serie doble dada por 1 + qz + qz 2 + · · · = 1/(1 − qz) siempre y cuando
o
|z| q. Remplazando en la mayoraciń de la segunda serie, obtemos una mayoraciń en funciń de w dada
o
o
o
por
1
1
,
pw = (1 − pw)
1 − q 1−pw
1 − (q + 1)pw
mayoraciń v´lida si |w| 1/(p(q + 1)).
o a
Otro problema es el c´lculo de la serie entera de la funciń inversa de una serie entera. Sea w = f (z) con
a
o
w0 = f (z0 ) dada por un desarrollo
w − w0 = a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + a3 (z − z0 )3 + · · · .
Se busca el desarrollo de la funciń inversa z = g(w) bajo la forma
o
z − z0 = b1 (w − w0 ) + b2 (w − w0 )2 + b3 (w − w0 )3 + · · · .

CAP´

48

Despue´s de realizar traslaciones al origen, podemos suponer que z0 y w0 ubicados en el origen, se tiene
e
por consiguiente w = f (g(w)) y utilizamos el reordenamiento de la serie composiciń en potencias de w. Se
o
obtiene
w = a1 b1 w + (a1 b2 + a2 b2 )w2 + (a1 b3 + 2a2 b1 b2 + a3 b3 )w3 + · · ·
1
1
comparando coeficientes, se tiene
1 = a1 b1
0 = a1 b2 + a2 b2
1
0 = a1 b3 + 2a2 b1 b2 + a3 b3
1
.
.
.

⇒
⇒
⇒

0 = a1 bn + valores conocidos

⇒ bn .

b1
b2
b3

La discusiń de la convergencia utilizando el criterio de la serie mayorante es posible, ver H. Cartan I.2.9,
o
pero muy complicada. La cuestiń de la convergencia ser´ resuelta utilizando una ecuaciń diferencial.
o
a
o
Sea F (w) = a0 + a1 w + a2 w2 + a3 w3 + · · · una funciń dada, se busca una funciń w = f (z) con
o
o
dw
= F (w),
dz

w(0) = 0,

remarcando que la traslaciń del sistema de coordenadas al valor inicial ha sido ya realizada. Se plantea,
o
como de costumbre, w = b1 z + b2 z 2 + b3 z 3 + · · · e remplazamos en la ecuaciń diferencial. Se tiene
o
b1 + 2b2 z + 3b3 z 2 + · · · = a0 + a1 (b1 z + b2 z 2 + · · ·) + a2 (b1 z + b2 z 2 + · · ·)2 + · · · .
Comparamos los coeficientes de la serie del lado izquierdo, con la del lado derecho, de donde
b1
b2
b3
.
.
.

= a0 ,
1
a1 b1 ,
=
2
1
=
(a1 b2 + a2 b2 ),
1
3

En este caso el an´lisis de la convergencia es sencillo, mayoramos los bi pasando a los modulos los ai y
a
remplazando los aj por una cota, proe ejemplo |aj | ≤ q j . Esto quiere decir que hemos resuelto la ecuaciń
o
diferencial
dw
1
= (1 + wq + w2 q 2 + · · ·) =
, w(0) = 0.
dz
1 − wq
Esta ultima ecuaciń es de tipo separable, ver curso de Primer Aõ de An´lisis, obteniendo como soluciń,
´
o
n
a
o
despues de integrar e despejar w, teniendo el cuidado de verificar w(0) = 0, se obtiene
√
1 − 1 − 2qz
w=
q
soluciń, cuya serie converge para |z| 1/(2q).
o
Regresemos al caso de determinar la serie de la funciń inversa de w = f (z) = a1 z + a2 z 2 + · · ·. Se tiene
o
dw
= a1 + 2a2 z + 3a3 z 2 + · · · ,
dz
por lo tanto, para la funciń inversa, se tiene
o
dz
1
=
= b 0 + b1 z + b 2 z 2 + · · · ,
dw
a1 + 2a2 z + 3a3 z 2 + · · ·

(I.8.5)

I.8. SERIES ENTERAS

49

donde los coeficientes bi se calculan mediante la serie cociente y esta serie como se ha visto converge. (I.8.5)
es una ecuaciń diferencial que la resolvemos mediante el algoritmo planteado m´s arriba.
o
a
Remarca.- En muchos casos solo se requiere determinar los primeros coeficientes de una serie, por lo que
es conveniente en estos casos utilizar desarrollos en serie limitados a un n´mero finito de terminos y utilizar
u
la notaciń o y O.
o

I.8.2.

Teoremas de Unicidad y Prolongamiento An´litico
a

Definiciń I.8.2 Sea f : Ω → C holomorfa, z0 ∈ Ω. f tiene un cero de orden k en z0 si
o
f (z0 ) = f (z0 ) = · · · = f (k−1) (z0 ) = 0

y

f (n) (z0 ) = 0.

Proposiciń I.8.4 f : Ω → C holomorfa, f tiene un cero de orden k en z0 ∈ Ω si y solamente si existe
o
g : Ω → C holomorfa con g(z0 ) = 0 tal que
f (z) = (z − z0 )k g(z).

o

Teorema I.8.4 Sea Ω ⊂ C abierto conexo y f : Ω → C holomorfa. Si f ≡ 0, entonces todos los ceros de f
son puntos a´
ıslados; es decir, si f (z0 ) = 0 ∃r 0 tal que |z − z0 | r f (z) = 0 ⇒ z = z0 .

Demostraciń.- Mostraremos la contrarec´
o
ıproca “existe un cero no aislado de f , entonces f es identicamente
nula”
Si z0 el cero no aislado de f , entonces para todo disco D(z0 , r) ⊂ Ω f |D(z0 ,r) ≡ 0. En efecto, como
D(z0 , r) ⊂ Ω, f puede escribirse como serie f (z) = a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · ·, para |z − z0 | r. Se
tiene queak = 0 para todo k, sino sea k el entero m´s pequeõ tal que ak = 0 obteniendo
a
n
f (z) = (z − z0 )k (ak + ak+1 (z − z0 ) + · · ·) = (z − z0 )k g(z).
g(z) es holomorfa sobre el disco D(z0 , r) y g(z0 ) = ak . Por continuidad de g g(z) es diferente de 0 en un
vecindario de z0 , por lo tanto z0 ser´ un cero aislado, lo que contradice que z0 no sea un cero aislado. Como
ıa
ak = 0 para todo k, se tiene f (z) = 0 sobre el disco D(z0 , r).
Ahora mostremos que f (z) = 0 para todo z ∈ Ω. Sea z0 ∈ Ω un cero no aislado. Puesto que Ω es un abierto
conexo, tambiń es conexo por arcos. Sea γ : [0, 1] → R un arco tal que γ(0) = z0 y γ(1) = z.
e

CAP´

50

¡¢¡¢¡
¡¢¡¢¡
¥
¡ ¡ ¡
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£¡©£¨ ¡£¡£¡£
¤¡¤¡¤¡¤¡¤
£¡¤£¡£¡£¡¤£
£¤¡¡£¤¡£¤¡
¡£¤£¤£¡¡¡£¤£¤£
¥

Consideremos el subconjunto
I = {t ∈ [0, 1]|f ◦ γ|[0,t] ≡ 0} ⊂ [0, 1].
I = ∅ porque 0 ∈ I. Por consiguiente al ser I no vacio y acotado admite un supremo τ . τ 0, en efecto en un disco D(z0 , r)
la restricciń de f en la porciń del arco incluida en el disco es
o
o
identicamente nula. z1 = γ(τ ) es un cero de f por la continuidad
de γ y f , en efecto es suficente hacer tender t a τ por la izquierda.
τ = 1, porque si τ 1, se tendr´ que z1 = z, en cualquier disco
ıa
D(z1 , r) ⊂ Ω z1 no es un cero aislado, por lo que f es identicamente nula en este disco y en particular en la porciń del arco
o
incluida en ese disco y por lo tanto τ no ser´ el supremo de I.
ıa

Corolario I.8.1 Sea Ω ⊂ C un abierto conexo, f, g : Ω → C holomorfas. Si E = {z|f (z) = g(z)} = ∅ y
contiene un punto no aislado en Emismo, entonces f ≡ g.
Corolario I.8.2 Sea Ω ⊂ C un abierto conexo, f : Ω → C holomorfa. Si existe z0 ∈ Ω tal que f (k) (z0 ) = 0
para todo k ≥ 0, entoces f ≡ 0.
En base al teorema precedente y el primer corolario se tiene las bases para el principio de prolongamiento an´litico. Consideremos una funciń f : Ω → C holomorfa, donde Ω es un abierto. Sea z0 ∈ Ω. Por
a
o
consiguiente, f puede escribirse como una serie entera alrededor de z0 ,
∞

an (z − z0 )n ,

f (z) =

|z − z0 | ρ,

n=0

donde ρ es el radio de convergencia de la serie. Sea z1 = z0 un punto dentro el disco |z − z0 | ρ, entonces
la substituciń z − z0 = z − z1 + (z1 − z0 ) en la serie permite
o
∞

f (z)

∞

an (z − z0 )n =

=
n=0
∞

an ((z1 − z0 ) + (z − z1 ))n
n=0

∞

(z − z1 )n

=
m=0
∞

k=0

n+k
n

an+k (z1 − z0 )k

bn (z − z1 )n .

=
n=0

Remarcamos que las series de la primera fila y la tercera fila son reordenamientos de la serie de la segunda
fila que es una serie doble. El reordenamiento est´ permitido porque para z fijo con |z1 − z0 | + |z − z1| ρ
a
la serie doble converge absolutamente; en efecto
∞

|an | (|z − z1 | + |z1 − z0 |)∞
n=0

I.8. SERIES ENTERAS

51

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¢¡ ¡ ¡ ¡ ¡¢ ¢ ¢ ¢
¡¢¡¢¡¢¡¢¡ ¡¡
¢¡ ¡ ¡ ¡ ¡¢¡¡
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¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¡¢ ¢
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¤

Figura I.8.4: Principio del Prolongamiento An´litico
a
converge absolutamente.
La conclusiń es que si |z − z1 | ρ − |z1 − z0 |, la serie
o

∞

bn (z − z1 )n converge y representa la misma

n

funciń f (z). Pero es posible que el radio de convergencia sea mayor que ρ − |z1 − z0 | y por lo tanto converga
o
en una regiń fuera del disco inicial. Viendo la Figura I.8.4, la funciń f (z) ha sido prolongada de manera
o
o
unica. Este procedimiento puede ser repetido y permite llenar una regiń de m´s en m´s hasta llegar a
´
o
a
a
un borde natural. La unicidad del prolongamiento se garantiza en tanto que los discos llenan un dominio
simplemente conexo (sin huecos).

I.8.3.

Otros Resultados de las Funciones Holomorfas

Por lo que se ha visto hasta ahora, las funciones holomorfas tienen un comportamiento ejemplar y previsible,
nada que ver con la palabra compleja. A continuaciń presentamos una serie de teoremas que mostrarń
o
a
cuń poderosa es la teor´ de las funciones complejas.
a
ıa
Teorema I.8.5 (Desigualdad de Cauchy) Sea f : Ω → C holomorfa, donde Ω es un abierto, z0 ∈ Ω,
R 0 con D(z0 , R) ⊂ Ω y M 0 tal que f (z) ≤ M para todo z ∈ D(z0 , R).
∞

an (z − z0 )n ,

f (z) =

|z − z0 | R,

n=0

Entonces:
i) |an | ≤

M
.
Rn

ii) Si existe n0 con an0 =

M
, entonces an = 0 para todo n = n0 , es decir f (z) = an0 (z − z0 )n0 .
R n0

Demostraciń.- Sin perder generalidad podemos suponer que z0 = 0. Sea ρ R y planteamos I(ρ) =
o
2
2π
f (ρeiθ ) dθ. Tenemos
0
∞

f (ρeiθ )

an ρn eniθ ,

=
n=0

CAP´

52
∞

2π

I(ρ)

∞

am ρm e−miθ

an ρn eniθ

=
0
∞

n=0

dθ

m=0
2π

an am ρm+n
¯

=

ei(n−m)θ dθ
0

m,n=0

2π

si

0

sino

m=n

∞

=

2

|an | ρ2n ≤ 2πM 2 ,

2π

∀ρ R.

n=0

Haciendo ρ → R, se tiene

∞
2

|an | R2 ≤ M 2 ⇒ |an | ≤
n=0

M
.
Rn

Los c´lculos en la doble serie estń justificados porque trabajamos con una serie absolutamente convergente.
a
a

Definiciń I.8.3 Una funciń entera es una funciń f (z) holomorfa sobre todo el plano complejo C.
o
o
o

Teorema I.8.6 (Teorema de Louiville) Toda funciń entera y acotada es constante.
o
Demostraciń.- Sea M la cota es decir |f (z)| ≤ M para todo z ∈ C. Para todo R 0 por la desigualdad
o
de Cauchy se tiene, para n ≥ 1
M
|an | ≤ n ⇒ an = 0,
R
de donde f (z) = a0 .

Teorema I.8.7 (Teorema del Valor Medio) Si f es holomorfa en un disco de radio r y centro z, entonces
π

f (z) =

f (z + reiθ ) dθ.

12π
0

o

¯
Proposiciń I.8.5 Sea f holomorfa en un disco abierto D, continua en D. Si un punto c ∈ D es un punto
o
m´ximo de |f (z)|, entonces f es constante en un vecindario de c.
a

I.8. SERIES ENTERAS

53

Demostraciń.- Si f (c) = 0 el resultado es evidente. Sino planteamos M = |f (c)|. La hip´tesis sobre c
o
o
implica que exista R 0 tal que para todo 0 r R se tenga |f (z)| M para z = c + reiθ , 0 ≤ θ ≤ 2π.

¢
¦ ¤ ¦ ¤
¡ ¥£ ©¨ ¥£

¨

§¡ ¥£
¦ ¤

¢

¡

¦ ¤
©¨ ¥£

¯
Observemos la imagen de esta circunferencia ubicada en el disco D(0, M ). Mediante una rotaciń llevamos
o
f (c) al eje real y despues de la sustracciń g(θ) = f (z) − f (c) = f (c + reiθ ) − f (c) este punto se convierte el
o
origen, ver figura m´s arriba. Por el teorema del valor medio
a
2π

g(θ) dθ = 0.
0

¯
La curba g(θ) ∈ D(−M, M ), por lo que (g(θ)) ≤ 0, salvo si g(θ) = 0. La continuidad de g y el valor de
¯
la integral implican que (g(θ) = 0 para todo θ. Ahora bien, el unico punto, donde el disco D(−M, M ) en
´
cuestiń toca el eje imaginario es O. De esta manera g(θ) = 0 y como f (z) es constante sobre el borde de
o
D(c, r) la continuidad de f implica que f sea constante en este disco.

Teorema I.8.8 (Principo del M´ximo) Sea f : Ω → C holomorfa no constante, D ⊂ Ω dominio simple,
a
entonces para todo z0 ∈ D◦
|f (z0 )| sup |f (z)| .
z∈∂D

Demostraciń.- Sea M = sup |f (z)|. Si los puntos m´ximos se encuentran sobre ∂D, entonces el teorema
o
a
z∈D

es correcto, sino existe c ∈ D◦ con |f (c)| = M . Consideremos el conjunto E = {z ∈ D|f (z) = f (c)}, ahora
bien por la continuidad de f E es cerrado en D y por la proposiciń precedente E es abierto en D, como D
o
es un dominio simple, por lo tanto conexo, E = D lo que contradice la hip´tesis de que f no es constante.
o

Teorema I.8.9 (Fundamental del Algebra) Todo polinomio de grado mayor o igual a 1 y coeficientes
complejos
P (z) = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a0
existe un z ∈ C tal que p(z) = 0.
Demostraciń.- Supongamos que el teorema no es correcto; es decir que existe un polinomio de grado
o
mayor o igual a 1 p(z) que no admita raices. Por lo tanto p(z) = 0 para todo z y la funciń f (z) = 1/p(z)
o
es entera.

CAP´

54
¡

z

g(z)
p

ap(∗)
¥

¤

£

¥

∼
δ
¦

δ

ε

¢

g

¢

¡

Figura I.8.5: Demostraciń Teorema de la Aplicaciń Abierta
o
o
Por otro lado, se tiene que
l´ f (z) = 0,
ım

z→∞

¯
lo que significa que existe R 0 tal que |z| R ⇒ |f (z)| 1. Para el disco D(0, R) aplicamos el principio
del maximo, con lo que la funciń f (z) es acotada. El teorema de Liouville implica que f (z) es constante, lo
o
que contradice que p sea un polinomio de grado mayor o igual a 1.

Teorema I.8.10 (Teorema de la Funciń Abierta) Sea Ω un abierto y f una funciń holomorfa no
o
o
constante, entonces para todo abierto U ⊂ Ω f (U ) es un abierto.
Demostraciń.- Se debe mostrar que la imagen de un disco D(z0 , δ) contiene un disco D(f (z0 ), ). En el
o
caso en que f (z0 ) = 0, la funciń es biyectiva en un vecindario de z0 y el resultado es trivial.
o
El caso f (z0 ) = 0, si es necesario realizar traslaciones, suponemos que z0 = 0 y f (z0 ) = 0 Sea an (n ≥ 2)
el primer termino no nula de la serie de Taylor de f alrededor de 0. Podemos escribir
f (z) = an z n (1 + b1 z + b2 z 2 + · · ·).
Veamos el caso en que todos los bk = 0. f (z) actua sobre un disco de radio δ convirtińdolo en un disco de
e
radio = |an | δ n , recorriendolo n veces. Es decir cada punto del disco D(0, ), a excepciń del origen, tiene
o
exactamente n preim´genes.
a
El caso en que existen bk no nulos, para |z| lo suficientemente pequeõ, utilizando la serie binomial de
n
Newton, ver Curso Primer Aõ de An´lisis, se tiene
n
a
(1 + b1 z + b2 z 2 + · · ·)1/n = 1 + c1 z + c2 z 2 + · · · ,
de donde
f (z) = an (z(1 + c1 z + c2 z 2 + · · ·))n = an (g(z))n .
˜
˜
Sea δ 0, como g (0) = 0, exite δ 0 tal que D(0, δ) ⊂ g(D(0, δ)). Por ultimo, al elevar a la potencia n
´
˜
estamos en el caso en que los bk son nulos. Por consiguiente = |an | δ n .

I.9. SERIES DE LAURENT

I.9.

55

Series de Laurent

En la secciń precedente hemos estudiado el hecho que las funciones que son holomorfas sobre un disco,
o
admiten desarrollos en serie de potencias. En esta secciń se pretende generalizar este desarrollo en serie de
o
potencias a regiones m´s generales.
a
Definiciń I.9.1 Sean a ∈ C, 0 ≤ r R. La corona de centro a, radio inferior r y radio superior R es el
o
conjunto
C(a, r, R) = {z ∈ Z|r |z − a| R}.

Considermos una funciń f (z) holomorfa sobre una corona C(a, r, R), planteamos
o

1
2iπ

C

f (ζ)
dζ,
(ζ − a)k+1

(I.9.1)

donde C es un recorrido cerrado dentro la corona, a ∈ Int C.

¢¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
¡ ¢¡ ¢¡¡ ¢¡ ¢¡¡ ¢¡¡ ¢¡ ¢¡¡ ¢¡

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¢ ¡¡¡¢  ¡¡¡¢  ¡¡¢  ¡¡¡¢  ¡¡ ¢
¡¢¢¡¢¢¡¡¢¢¡¢¢¡¡¢¢¡¡¢¢¡¢¢¡¡¢¢¡
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¡ ¢¡ ¢¡¡ ¢¡ ¢¡¡ ¢¡¡ ¢¡ ¢¡¡ ¢¡
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¢ ¡¡¡¢  ¡¡¡¢  ¡¡¢  ¡¡¡¢  ¡¡ ¢
¡¢¢¡¢¢¡¡¢¢¡¢¢¡¡¢¢¡¡¢¢¡¢¢¡¡¢¢¡
¡¢¡¢¡¡¢¡¢¡¡¢¡¡¢¡¢¡¡¢¡
£
¢ ¢¡¢¡¢¡¢ ¢¡¢¡¢¡¢ ¢¡¢¡¢ ¢¡¢¡¢¡¢ ¢¡¢¡¢ ¢
¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡
¢ ¡¢¡¢¡¢  ¡¢¡¢¡¢  ¡¢¡¢  ¡¢¡¢¡¢  ¡¢¡ ¢

¡¢ ¡¢ ¡¡¢ ¡¢ ¡¡¢ ¡¡¢ ¡¢ ¡¡¢ ¡

¢ ¢¡¢¡¢¡ ¢¡¢¡¢¡ ¢¡¢¡ ¢¡¢¡¢¡ ¢¡¢¡ ¢
¡ ¡ ¡¢¡ ¡ ¡¢¡ ¡¢¡ ¡ ¡¢¡ ¡¢
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¡¢¡¤ ¢¡¡¢¡¢¡¡¢¡¡¢¡¢¡¡¢¡

¢ ¢¡¡¡¢ ¢¡¡¡¢ ¢¡¡¢ ¢¡¡¡¢ ¢¡¡¢ ¢
¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡
¡ ¢¡ ¢¡¡ ¢¡ ¢¡¡ ¢¡¡ ¢¡ ¢¡¡ ¢¡
¢ ¡¡¡ ¢ ¡¡¡ ¢ ¡¡ ¢ ¡¡¡ ¢ ¡¡ ¢

ak =

ak no depende de C, consecuencia de uno de los corolarios del teorema de Cauchy. La serie de Laurent de f
respecto a la corona C(a, r, R) es
∞

k=+∞

∞

a−k (z − a)−k +

ak (z − a)k =
k=−∞

k=1

ak (z − a)k .

(I.9.2)

k=0

Teorema I.9.1 Sean 0 ≤ R1 R2 ≤ +∞, a ∈ C y f holomorfa sobre la corona C(a, R1 , R2 ). Entonces
para todo ρ1 , ρ2 con R1 ρ1 ≤ ρ2 R2 , se tiene
k=+∞

ak (z − a)k

f (z) =
k=−∞

uniformemente sobre ρ1 ≤ |z − a| ≤ ρ2 .

Demostraciń.- Sean ρ1 , ρ2 con R1 ρ1 ≤ ρ2 R2 , como la corona C(a, R1 , R2 ) es un conjunto abierto,
o

CAP´

56
existen ρ1 y ρ2 tales que

©
¤¨

¢
£¡
¢©¨

¢

Por otro lado, la f´rmula integral de Cauchy da
o
1
2iπ
|ζ−z|=r

f (ζ)
1
dζ =
ζ −z
2iπ

Γ2

f (ζ)
dζ −
ζ −z

f (ζ)
dζ .
ζ −z

Γ1

¤

f (z) =

f (ζ)
dζ.
ζ −z

Sobre Γ2 , es decir la circunferencia de centro a y radio ρ2 , se tiene
1
1
1
=
=
ζ −z
(ζ − a) − (z − a)
(ζ − a) 1 −
Como

z−a
ζ−a

≤

ρ2
ρ2

z−a
ζ−a

.

1, se tiene que
1
1
=
ζ −z
ζ −a

∞

z−a
ζ −a

k=0

k

¯
uniformente. Por consiguiente, al existir convergencia uniforme sobre el disco D(a, ρ2 ), se tiene
1
2iπ

Γ2

f (ζ)
dζ =
ζ −z

∞
k=0

1
2iπ

f (ζ)
dζ (z − a)k .
(ζ − a)k+1

Γ2

ak , k≥0

Sobre Γ1 , es decir la circunferencia de centro a y radio ρ1 , se tiene
1
1
1
=
=−
ζ −z
(ζ − a) − (z − a)
(z − a) 1 −
Como

ζ−a
z−a

≤

ρ1
ρ1

ζ−a
z−a

.

1, se tiene que
1
1
=−
ζ −z
z−a

∞
k=0

ζ −a
z−a

k

uniformente. Por consiguiente, al existir convergencia uniforme sobre {z| |z − a| ≥ ρ1 }, se tiene
1
2iπ

Γ1

f (ζ)
dζ = −
ζ −z

∞
k=1

1
2iπ

Γ1

f (ζ)
dζ (z − a)−k .
(ζ − a)−k+1
a−k , k≥1

¥¡
¤

|ζ−z|=r

¤¨

Γ1

f (ζ)
dζ +
ζ −z

¢¨

Γ2

f (ζ)
dζ =
ζ −z

¦

Sea z ∈ {z|ρ1 ≤ |z − a| ≤ ρ2 . Para r 0 lo suﬁcientemente
peque˜o D(z, r) ⊂ C(a, ρ1 , ρ2 ). Por lo tanto, de acuerdo a otro
n
colorario del teorema de Cauchy sobre integrales, se tiene

§

R1 ρ1 ρ1 ≤ ρ2 ρ2 R2 .

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