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Resumos matemática

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Resumos matemática

  1. 1. Índice Exatas Handbook Álgebra Elementar e Conjuntos Funções Logaritmos 5 6 7 Trigonometria 8 Progressões 14 Matrizes e Determinantes 16 Sistemas Lineares 22 Análise Combinatória 23 Binômio de Newton 24 Números Complexos 26 Polinômios 29 Geometria Analítica 32 Geometria Espacial 39 Geometria Plana 43 Fernando H. FerrazÁlgebra Elementar Logaritmos xSimbologia logab = x Û a = bÙ (e) Î (pertence) onde:Ú (ou) Ï (não pertence) a, b, x ÎR| (tal que) É (contém) a>0ea¹1eb>0$ (existe) É (não contém) Decorrências da definição$ (não existe) Ì (contido) loga1 = 0 (" 0 < a ¹ 1)" (qualquer que seja) Ë (não contido) logaa = 1 (" 0 < a ¹ 1)Æ (vazio) logba a = b (0 < a ¹ 1 e b > 0)Conjuntos logab = logac Û b = c (0 < a ¹ 1, b > 0 e c > 0)Interseção Propriedades operatórias A Ç B = { x | x Î A Ù x ÎB } logab + logac = log abcUnião logab - logac = log a b A È B = { x | x Î A Ú x ÎB } a c logab = a . logabDiferença log ab = 1 . log b a a a A - B = { x | x Î A Ù x ÏB } Mudança de baseComplementar B logcb se B Ì A então CA = A - B logab = logca 5 7
  2. 2. Trigonometria FunçõesRazões Trigonométricas Estudo da função Uma relação R: A ® B será uma função de A em B, seSeja um triângulo retângulo, fixando um ângulo agudo a, e somente se:temos: - D(R) = A - Cada elemento x Î A se relaciona (forma par) com um único elemento B. a Notação: f : A ® B ou y = f(x) b Função do 2º grau - f: R ® R, definida por f(x) = ax2 + bx + c a c - D(f) = Rseno - é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e ahipotenusa: - Coordenadas do vértice: V = ( -b ; -D 2a 4a ) - Se a > 0, valor mínimo = yv. sena = ba - Se a < 0, valor máximo = yv.cosseno - é a razão entre o cateto oposto ao ângulo ea hipotenusa: cosa = catangente - é a razão entre o cateto oposto ao ângulo eo cateto adjacente ao ângulo: tga = b c8 6
  3. 3. Para lembrar... De 1 temos: sen2a + cos2a = 1Lembre-se da frase: “Corri, caí e tomei uma cotg2a + 1 = cossec2a 2 2coca”. tg a + 1 = sec acorri - co/hip (cateto oposto/hipotenusa) = seno De 2 temos:caí - ca/hip (cateto adjacente/hipotenusa) = tga = sena cotga = cosa cosa senacosseno 1 1coca - co/ca (cateto oposto por adjacente) = seca = cosa cosseca = senatangente Triângulos QuaisquerValores notáveis Seja um triângulo abc, qualquer: 11 C 30° 45° 60° b a 1 Ö2 Ö3 sen 2 2 2 A B c Ö3 Ö2 1 cos 2 2 2 Lei dos Senos: tg Ö3 a = b = c 1 Ö3 3 senA senB senCRadianos - Graus Lei dos Cossenos: 180° = p rad a² = b² + c² - 2bc.cosA y° = x rad b² = a² + c² - 2ac.cosB x = y° p c² = b² + a² - 2ab.cosC 180° 9 11Transformação de Arcos PG (Progressões Geométricas) Arcos negativos: Termo geral n-1 an = a1 . q sen(-a) = -sena tg(-a) = -tga Soma dos termos cos(-a) = cosa a1 - an . q a1 . (1 - qn) Sn = 1-q Û Sn = 1-qAdição/Subtração de arcos: sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a PG infinita (-1 < q < 1) sen(a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a a1 cos(a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b S= 1-q cos(a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b Média da PGtg(a + b) = tg a + tg b tg(a - b) = tg a - tg b Seja uma PG(...,a,b,c,...) 1 - tg a . tg b 1 + tg a . tg b b =Ö a . c Arco dobro: sen(2a) = 2 . sen a . cos a 2tga tg(2a) = Escrevendo 3 termos consecutivos cos(2a) = cos²a - sen²a 1 - tg²a -1 (...,xq ,x,xq) Arco metade: sen(x/2) = ± Ö1 - cos x 2 cos(x/2) = ± 1 + cos x Ö 2 1 - cos x tg(x/2) = ± Ö 1 + cos x 13 15
  4. 4. Ciclo Trigonométrico Ö3 Relações Trigonométricas Fundamentais tangente sena cosa seno p/2 (90º) 1 1 (120º) 2p/3 p/3 (60º) Ö3/2 (135º) 3p/4 p/4 (45º) Ö2/2 (150º) 5p/6 1/2 p/6 (30º) Ö3/3 tga 1 cotga(180º) p -1 -Ö3/2 -Ö2/2 -1/2 1/2 Ö2/2 Ö3/2 1 0 (0º) cosseno 10 2p (360º) seca cosseca A partir desse hexágono, podemos retirar todas as -1/2 (210º) 7p/6 11p/6 (330º) relações trigonométricas fundamentais. Notemos as -Ö3/3 -Ö2/2 7p/4 (315º) seguintes propriedades: (225º) 5p/4 -Ö3/2 1) Somamos o quadrado de dois vértices dos (240º) 4p/3 -1 5p/3 (300º) triângulos azuis (tendo que a reta base do -1 3p/2 (270º) segmento de reta formado por esses dois vértices deve ser paralela ao eixo tg-cotg) e igualamos à ‘ponta’ do triângulo. 2) Seguindo as setas, igualamos o primeiro vértice à razão dos dois vértices seguintes. -Ö3 12 10 Matrizes ProgressõesMatriz m x n é uma tabela de números reais, dispostosem m linhas e n colunas. PA (Progessões Aritméticas) M= [ a11 a12 a13 a21 a22 a23 . . . . . . . . . ... ... ... ... ... a1n a2n . . . [ Termo geral Soma dos termos an = a1 + (n - 1) . r Sn = (a1 + an) . n 2 am1 am2 am3 ... amn Média da PAOnde aij indica a posição de cada elemento, sendo i = Tendo-se uma PA(...,a,b,c,..)linha e j = coluna. a+c b= 2Casos EspeciaisMatriz quadrada: m = nMatriz linha: m = 1 Reescrevendo 3 termos consecutivosMatriz coluna: n = 1Matriz nula: aij = 0, " i, j. PA(...,x - r, x, x + r)Adição de matrizesTendo as duas matrizes o mesmo número de linhas ecolunas, soma-se cada elemento um a um.Propriedades associativa: (A + B) + C = A + (B + C) comutativa: A + B = B + A elemento neutro: A + O = 0 + A = A16 14
  5. 5. elemento oposto: A + (-A) = O. Determinantes Determinante de matriz de ordem 2Multiplicação de um numero real por uma matrizMultiplica-se todos os elementos da matriz pelo a b = ad - bcnúmero real. c d Determinante de matriz de ordem 3Multiplicação de duas matrizes a11 a12 a13 a11 a12Dadas duas matrizes A e B, o produto AB só existe se onúmero de colunas de A for igual ao número de linhas a21 a22 a23 a21 a22de B, pois A é do tipo m x n e B é do tipo n x p.O produto AB é uma matriz que tem o número de a31 a32 a33 a31 a32linhas de A e o número de colunas de B, pois C = AB é Repetimos as duas primeiras colunas ao lado dodo tipo m x p. determinante e a seguir multiplicamos os elementos naAinda pela definição, deve-se obter cada elemento cik direção das flechas. Os produtos dos elementosda matriz AB da seguinte forma: indicados pelas flechas azuis são somados e os dos(I) Toma-se a linha i da matriz A. elementos indicados pelas flechas vermelhas são(II) Toma-se a coluna k da matriz B. subtraídos. Está é a regra de Sarrus, só válida para(III) Coloca-se a linha i de A na ‘vertical’ ao lado da determinantes de ordem 3.coluna k de B.(IV) Calcula-se os n produtos dos elementos que Menor complementarficaram lado a lado. Se aij é um elemento da matriz A de ordem n, então o(V) Somam-se esses n produtos, obtendo cik. menor complementar do elemento aij é o determinante que se obtém retirando-se a linha i e a coluna j da matrizPropriedades A. Indicamos o menor complementar do elemento aij por associativa: (AB).C = A . (BC) Mij. distributiva à dir.: (A + B) . C = AC + AB distributiva à esq.: A.(B+C) = AB + AC Complemento algébrico ou cofator Indica-se por Aij e é dado por:Transposta de uma matriz 17 i+j Aij = (-1) . Mij 19Determinantes do produto de matrizesSendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem Análise Combinatóriaentão: Fatorial det(A.B) = detA . detB n! = n . (n - 1) . (n - 2) ... 3 . 2 . 1 Þ n . (n - 1)! 1! = 1Determinante de inversa de uma matriz: 0! = 1 1 detA-1 = detA Princípio multiplicativo Se um evento A pode ocorrer de m maneiras distintasObs.: uma matriz A só é inversível se, e somente se, e a seguir, um evento B pode ocorrer de n maneirasdetA ¹ 0. distintas, então o número de probabilidades de ocorrer A seguido de B é m vezes n. Arranjos simples São agrupamentos onde a ordem com que os elementos participam é considerada e não existe repetição de elementos. É dado pela fórmula: n! An,p = (n - p)! Permutações simples São arranjos onde n = p. Pn = n! Combinações simples São agrupamentos onde não importa a ordem dos elementos. n! Cn,p = (n - p)! p! 21 23
  6. 6. Teorema de Laplace Sendo A uma matriz do tipo m x n, a transposta de A, t O determinante de uma matriz quadrada de ordem que se indica por A, é a matriz do tipo n x m que se n(n>1), é igual à soma dos produtos dos elementos de obtém trocando as linhas por colunas da matriz A. Isto uma fila (linha ou coluna) pelos seus respectivos é, a 1ª linha de At é igual à 1ª coluna de A, a 2ª linha de At cofatores. é igual a 2ª coluna de A e assim sucessivamente. Propriedades dos determinantes Propriedades - detAt = detA t t (A ) = A t t t - Trocando-se a posição de duas filas paralelas de uma (A + B) = A + B matriz, seu determinante não se altera em módulo, t (a . A) = a . A t apenas trocando de sinal. (AB)t = Bt . At - Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo. Matriz Identidade - Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma fila qualquer In = (aij)nxn onde aij = 1 (se i = j) e aij = 0 (se i ¹ j) de uma matriz por um número, seu determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. Propriedade - Sendo A, uma matriz quadrada de ordem n, e a o um A . In = In . A = A número real, então: det(a . A) = an . det A Inversão de matrizes - Se uma fila de uma matriz é formada por somas de A matriz inversa da matriz quadrada A, se existir, será duas parcelas, então seu determinante é igual à soma de indicada por A-1 e será tal que: outros dois determinantes: o primeiro formado com as A . A-1 = A-1 . A = In primeiras parcelas e o segundo formado com as segundas parcelas, inalteradas as demais filas. Propriedades - Teorema de Jacobi: um determinante não se altera -1 -1 (A ) = A quando se soma a uma de suas filas uma outra fila t -1 -1 t (A ) = (A ) paralela previamente multiplicada por uma constante. -1 -1 (AB) = B . A -1 20 18Binômio de Newton Sistemas linearesNúmero binomial Todo sistema com uma ou mais equações do tipo: n n! ( a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b ( p = (n - p)! p! Regra de CramerBinomais complementares Um sistema linear de n equações a n incógnitas n ( n ( pode ser resolvido pela regra de Cramer:( ( p e k são binomiais complementares se: p + k = n D D Dxn x1 = x1 , x2 = x2 , ..., xn = D D DIgualdade de binomiais n ( n ( Classificação( ( p = k Û p = k ou p + k = n - Se D ¹ 0, sistema possível e determinado. - Se D = Dx1 = Dx2 = ... = Dxn = 0, sistema possível eTriângulo de Pascal indeterminado 1 - Se D = 0 e (Dx1 ¹ 0 ou Dx2 ¹ 0 ou ... Dxn ¹ 0) o 1 1 sistema é impossível. 1 2 1 1 3 3 1 Sistemas lineares homogêneos 1 4 6 4 1 É o sistema linear que possui os termos 1 5 10 10 5 1 independentes de todas as suas equações iguais a 1 6 15 20 15 6 1 zero. n n Para um sistema linear homogêneo teremos: (n (n n ( ( ( ( ( ( ( 0 1 ( 2 ... n-1 n - Se D ¹ 0, o sistema admitirá uma única solução que será (0;0;0;...;0), chamada solução trivial.Propriedades - Se D = 0, o sistema será possível e indeterminado- A soma dos binomiais de uma linha é igual a 2n, onde n é o admitindo infinitas soluções.“numerador” dos binomiais.24 22
  7. 7. - Relação de Stifel: a soma de dois binomiais “vizinhos” Potências de i i0 = 1 {de uma mesma linha é igual ao binomial situadoimediatamente abaixo do segundo número somado. i1 = i i2 = -1 n r i = i, n Î N n ( n n+1 ( ( ( p + p+1 = p+1( ( i3 = -i i4 = 1:Binômio de Newton onde: r = 0, 1, 2 ou 3: n 4 n n n n-1 1 n n-2 2 n n q n(x + a) = ( ( 0 x+ 1 ( x a + ( 2 x a + ... + ( n a ( ( ( r nobs.: o desenvolvimento (x + a) é formado de n + 1 restotermos. Adição/Subtração/Mutiplicação Na adição e subtração, adicionam-se e subtraem-seTermo Geral separadamente as partes complexas e as imaginárias. Na multiplicação usa-se a propriedade distributiva, e Tp+1 = (n p ( . xn - p . ap do fato que i² = -1. DivisãoOnde Tp+1 representa o termo de ordem p + 1 dodesenvolvimento de (x + a)n. z1 z1 . z2 z2 = z2 z2 Representação Gráfica y O número complexo z = a + bi é representado pelo ponto b P P(a;b) no plano de Argand- Gauss. |z| P: é o afixo de z; Ox: eixo real; q x Oy: eixo imaginário. 25 O a 27 r1. r2. r3 + r1. r2.r4 + ... + rn-2 . rn-1.rn = - a3 Polinômios a0 n r1. r2.r3 ... rn = (-1) . an P(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an a0Polinômio identicamente nulo PropriedadesP(x) º 0 Û P(a) = 0, " a - Se a soma dos coeficientes de um dado polinômio P(x) é 0, então P(x) admite 1 como raiz.P(x) º 0 Û a0 = a1 = ... = an-1 = an = 0 - Se a soma da diferença dos coeficientes simétricos de um dado polinômio P(x) é 0, então P(x) admite -1 comoPolinômios idênticos raiz.A(x) º B(x) Û A(a) = B(a), " a.Grau de um polinômioÉ o maior expoente de x, com coeficiente não nulo, queaparece em P(x). gr(P) ou dPSe P(x) º 0, não se define gr(P).Divisão de polinômios A(x) B(x) R(x) Q(x)Temos que: A(x) º B(x) . Q(x) + R(x)(desde que gr(R) < gr(B) ou R(x) º 0).Teorema do restoO resto da divisão de um polinômio P(x) por x - a é igual aP(a). 29 31
  8. 8. Módulo z = a + bi Þ r = |z| =Ö a² + b² Números Complexos Unidade ImagináriaArgumentoÉ o ângulo q determinado pelo eixo real Ox e o i² = -1segmento OP, medido no sentido anti-horário a partir Definição de número complexodo eixo real. z=a+b.i cosq = a senq = b onde: |z| |z|Forma trigonométrica z = a + bi Û z = |z| . (cosq + i . senq) { a Î R, a = parte real b Î R, b = coeficiente da p. imaginária i = unidade imaginária números imaginários puros:Operações na Forma Trigonométrica São os complexos onde a = 0 e b ¹ 0 Multiplicação números reais: São os complexos onde b = 0. z1z2 = r1r2[cos(q 1+ q2) + i . sen(q 1+ q2)] Conjugado de um número complexo Divisão Dado um complexo: z = a + b . i, definimos como z1 r1 seu conjugado: z = a - b . i z2 = r2 [cos(q 1- q2) + i . sen(q 1- q2)] Igualdade de Complexos Potenciação Iguala-se a parte real com a outra parte real e o zn = rn . [cos(nq) + i . sen(nq)] coeficiente da parte imaginária com o coeficiente da outra parte imaginária.28 26 Teorema de D’Alambert Geometria Analítica Um polinôimo P(x) é divisível por x - a, se e somente se, P(a) = 0. Distância entre dois pontos Teorema fundamental da algebra dAB = Ö (Dx)² + (Dy)² Toda equação algébrica de grau n, onde n > 0, admite Ponto médio pelo menos uma raíz complexa. M ( x + x , y 2+ y A 2 B A B ( Teorema da decomposição P(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an, pode ser fatorado em: Baricentro do triângulo P(x) = a0(x - r1) . (x - r2) ... (x - rn) onde r1, r2,... rn são as G ( x + x3 + x , y + y3 + y A B C, A B ( C raízes de P(x). Multiplicidade de uma raiz Área do Triângulo Se P(x) = (x - r)m . Q(x) e Q(r) ¹ 0, então r é uma raiz xA yA 1 com multiplicidade m de P(x) = 0. x y 1 A = 1 . mód B B 2 xC yC 1 Teorema das raízes complexas Seja P(x) um polinômio de grau n, onde n > 1, com Alinhamento de três pontos coeficientes reais, se P(z) = 0, então P(z) = 0, onde z = a Se A, B e C são colineares, detS = 0. Onde S é a + bi e z = a - bi (com a Î R e b Î R*). matriz formada com as coordenadas dos três pontos. Relações de Girard n n-1 Equação geral da reta Seja a0x + a1x + ... + an-1x + an = 0, e suas raízes r1, r2, ..., rn: a.x + b.y + c = 0 r1 + r2 + r3 + ... + rn = - a1 a 0 r1.r2. + r1. r3 + ... + rn-1.rn = a2 a0 32 30
  9. 9. Obtendo eq. geral pelo determinante Observação: Na equação de uma circunferência, temos, necessariamente: xA yA 1 · Os coeficientes de x² e y² são iguais, inclusive xB yB 1 = 0 Þ ax + by + c = 0 em sinal e não nulos. Se o coeficiente de x² for x y 1 diferente de 1, deve-se dividir toda a equação por ele.Equação reduzida · Não pode existir termo x.y na equação. a c r: ax + by + c = 0 Þ y = - b x + - b · O termo independente p é tal que: Þ Þ R² = a² + b² - p > 0 y=m.x+n (numa circunferência o raio é sempre positivo)m = coeficiente angular ou declividade Posições relativas entre reta e circunferência · Reta e circunferência secantes: r Dx m = -a = Dy = tga C y2 b B dCr < R b Dx Dy a = inclinação · Reta e circunferência tangentes: y1 A a C r dCr = R x1 x2n = coeficiente linear: ordenada do ponto em que a reta · Reta externa à circunferência:(não vertical) intercepta o eixo das ordenadas. dCr > R C 33 35Propriedade do lugar geométricoA soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos Geometria Espacialfocos F1 e F2 é constante e igual ao segmento A1A2. Esfera PF1 + PF2 = 2aHipérbole 4 . p . R3 V= 3 R B1 S = 4 . p . R2 b c Cilindro Reto F1 A1 O a A2 F2 B2 V=B.H 2 V=p.R .H H SL (área lateral) = 2 . p . R . H ST (área total) = 2pR(R + H)F1 e F2 ® focos RO ® centroA1A2 ® eixo real ou transverso Secção meridianaB1B2 ® eixo imaginário É o retângulo resultante da intersecção do cilindro com um2c ® distância focal plano que contém os centros das2a ® medida do eixo real H bases.2b ® medida do eixo imaginário Quando o cilindro é eqüilátero H c ® excentricidade R = 2R; neste caso a secção a meridiana é um quadrado.relação notável: a² = b² + c² 37 39
  10. 10. Elipse Equação da reta, dado um ponto e o coeficiente B1 angular r: y - y0 = m(x - x0) b a Posição relativa de duas retas A1 c A2 Se duas retas r e s são paralelas mr = ms. F1 O F2 Se duas retas r e s são perpendiculares mr = -1 ms Distância de ponto a reta B2 Dado o ponto P(x0,y0), e a reta r: ax + by + c = 0:F1 e F2 ® focosO ® centro | ax0 + by0 + c | dpr =A1A2 ® eixo maior Ö a² + b²B1B2 ® eixo menor Equação da circunferência2c ® distância focal y2a ® medida do eixo maior (x;y) R2b ® medida do eixo menor b (a;b) (x - a)² + (y - b)² = R² c ® excentricidade x² + y² -2a.x - 2b.y + p = 0 arelação notável: a² = b² + c² a xEquação reduzida Cálculo do centro e do raio (x - x0)² (y - y0)² = 1 para o eixo principal x² + y² -2a. x - 2b. y + p = 0 + paralelo ao eixo x a² b² Þ Þ para o eixo principal metade (x - x0)² (y - y0)² = 1 paralelo ao eixo y b² + a² com sinal trocado Þ C(a;b)36 34 p (termo indenpendente) Þ p = a² + b² - R²Cone reto Equação reduzida (x - x0)² (y - y0)² = 1 para o eixo real a² - b² paralelo ao eixo x 1 . p . R2 . H para o eixo real g H g V= (y - y0)² (x - x0)² = 1 3 - paralelo ao eixo y a² b² SL= p . R . g R Propriedade do lugar geométrico ST = pR (R + g) A diferença da distância de qualquer ponto da hipérbole aos focos F1 e F2 é constante e igual ao segmento A1A2. Secção meridiana PF1 + PF2 = 2a É o triângulo resultante da intersecção do cone com um g plano que contém o vértice do cone e o centro da base. Obs.: o cone eqüilátero é R aquele em que g = 2R; neste caso a secção meridiana é um triângulo eqüilátero. q q = 2pR rad ou q = 360R graus g g g 2pR40 38
  11. 11. Paralelepípedo retângulo Geometria Plana É um prisma de seis faces, todas retangulares. Ângulo Tipos de ângulos D c Ângulo reto = 90º b Ângulo agudo = entre 0º e 90º a Ângulo obtuso = entre 90º e 180º Ângulo raso = 180º V = a . b. c Ângulo complementares = soma = 90º S = 2 . (ab + ac + bc) Ângulos suplementares = soma = 180º D = Öa2 + b2 + c 2 Polígonos Cubo Soma dos ângulos internos: Si = (n - 2) . 180º V = a³ Soma dos ângulos externos (p/ convexos): d a S = 6 . a² Se = 360º D = aÖ3 Número de diagonais: c D = n . (n - 3) 2 Pirâmide Polígonos regulares Base: em forma de polígono. 1 .B .H - Todos os lados de mesma medida e Faces laterais: são triângulares. V= - Todos os ângulos internos iguais. 3 Obs.: Pirâmide regular: a base é um polígno Triângulos regular; as faces laterais são triângulos isósceles. São os polígonos de 3 lados 41 43Quadriláteros Teorema da bissetriz interna aa x= y a b a b paralelogramo x y losango Semelhança de triângulosRetângulo 4 ângulos retosLosango 4 lados iguais A MQuadrado 4 ângulos retos e 4 lados iguais c b z y H hTrapézios b b a a N PUm par de lados paralelos, chamados de bases; os B a C xoutros dois lados não sao paralelos. ^ ^ B=N=bTrapézio isósceles: lados não paralelos são iguais; os ^ ^ C=P=a } Þ DABC ~ DMNP Þângulos adjacentes das bases são iguais.Trapézio retângulo: tem dois ângulos retângulos Þ a = b = c =k Þ per(DABC) = kTrapézio escaleno: os lados não paralelos são x y z per(DMNP)desiguais. H =k área(DABC) = k2Quadrilátero inscritível h área(DMNP)Se e somente se os ângulos opostos somam 180º. AplicaçõesQuadrilátero circunscritível ASe e somente se a soma de dois lados opostos é igual à Sendo M e N pontos médios:soma dos outros dois lados. 45 B M N C Þ { MN // BC MN = BC 2 47
  12. 12. Propriedades angulares Tetraedro regularSoma dos ângulos internos = 180º É uma pirâmide de base triângular regular; todas asSoma dos ângulos externos = 360º quatro faces são triângulos eqüiláteros.Teorema do ângulo externo: “Cada ângulo externo éigual à soma dos dois internos não adjacentes.”Segmentos notáveis a H a a² . Ö3altura - ângulo de 90º em relação a base, unindo ao B= 4ângulo oposto.bissetriz - divide o ângulo em duas partes.mediatriz - perpendicular ao meio do segmento. a amediana - une o ponto médio ao ângulo oposto. a . Ö6 H= 3Pontos notáveisOrtocentro Intersecção das alturasIncentro Intersecção das bissetrizes a² . Ö2 V = 12Circuncentro Interceção das mediatrizesBaricentro Intersecção da medianasClassificaçãoEqüilátero 3 lados iguais: 3 ângulos de 60ºIsósceles 2 lados iguais, ângulos da base com medidas iguais.Escaleno lados todos diferentesRetângulo 1 ângulo retoAcutângulo 3 ângulos agudosObtusângulo 1 ângulo obtuso, 2 agudos.44 42 Tangências D C Retas e circunferências M N - São tangentes quando tem um único ponto em comum. - O raio traçado no ponto de tangência é perpendicular à B reta tangente. A - De um ponto externo a uma circunferência é possívelABCD: Trapézio M e N: pontos médios. traçar duas tangentes de comprimentos iguais: PT1 = PT2 - O centro da circunferência tangente aos lados de um MN = AB + CD (base média) ângulo se encontra na bissetriz desse ângulo. 2 T1Propriedades do baricentro do triângulo bissetriz P A tangente P G N C { AG = 2GM BG = 2GN CG = 2GP Circunferências tangentes T2 - São tangentes quando têm um único ponto comum. B M - O ponto de tangência e os dois centros sempre estãoRelações Métricas em Triângulos Retângulos sobre a mesma reta. ah = bc c b h² = mn h b² = am n m c² = an Teorema de Tales a r a = x a x r // s b y b y s 48 46
  13. 13. Áreas das figuras planasÁrea dos polígonos Quadrado Retângulo Paralelogramo A=l.l A=b.h h A=b.h h l b b Triângulos 2 A =b 2 h . l l A = l . Ö3 h 4 b l Losango Trapézio b d D D.d A = (B +2b). h A= 2 h BÁrea do círculo e suas partes R R R r R a 2 A = p . R2 A = pR . a A = p (R2 - r2) 360nota: C = 2 . p . R 49 Powered by
  14. 14. Bem-vindo ao Exatas Handbook, volumeMatemática. Aqui o leitor encontrará um guia básico paraa Matemática Elementar, baseado nas maisconfiáveis fontes, indo desde noções de álgebra atégeometria plana. Boa leitura!

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