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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS.pptx

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  1. 1. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA Y FÍSICA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN POR: SERGIO LUIS SANTAMARIA MEJIA “Año del Fortalecimiento de la Soberanía Nacional” UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN
  2. 2. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Un triángulo oblicuángulo es aquel que no contiene un ángulo recto. Para resolver el triángulo mencionado se requieren de ciertas propiedades que se conocen como las leyes trigonométricas, entre ellos la ley de senos, la ley de cosenos y la de tangentes. 𝑨 𝑩 𝑪 𝒃 𝒂 𝒄 𝜶 𝜷 𝜸 Santamaria Mejia Sergio L. Fig. 0
  3. 3. En cualquier triángulo oblicuángulo ABC, sean a, b y c las longitudes de sus lados y ,  y  las medidas de sus ángulos internos, entonces se cumple: 1. LEY DE SENOS 𝑨 𝑩 𝑪 𝒃 𝒂 𝒄 𝜶 𝜷 𝜸 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑎 = 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑏 = 𝑠𝑒𝑛 𝛾 𝑐 DEMOSTRACIÓN • Trazamos una recta paralela al eje y, que corta al eje x en el punto D, entonces 𝑑 𝐶, 𝐷 = ℎ • Trazamos una altura desde el punto A, hasta el punto E • Denominamos m la d(A, D) y n la d(A, E) • Por ángulos suplementarios calculamos el ángulo D𝐴C • Dado el triángulo oblicuángulo ABC en la Fig. 0 𝑬 m 𝑨 𝑩 𝑪 𝒃 𝒂 𝒄 𝜶 𝜷 𝜸 𝒙 𝒚 h 𝑫 n Fig. 1.1 Fig. 1.2
  4. 4. A partir de la Fig. 1.2 I. 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = ℎ 𝑎 → ℎ = 𝑎. 𝑠𝑒𝑛(𝛽) II. 𝑠𝑒𝑛 180° − 𝛼 = ℎ 𝑏 → ℎ = 𝑏. 𝑠𝑒𝑛(𝛼) Igualando (I) y (II) 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝑏𝑠𝑒𝑛(𝛼) 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝛽 ∨ 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑏 = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑎 … … … (∗) III. 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝑛 𝑐 → 𝑛 = 𝑐. 𝑠𝑒𝑛(𝛽) IV. 𝑠𝑒𝑛 𝛾 = 𝑛 𝑏 → 𝑛 = 𝑏. 𝑠𝑒𝑛(𝛾) En el triángulo rectángulo BDC En el triángulo rectángulo ADC En el triángulo rectángulo AEB En el triángulo rectángulo AEC Igualando (III) y (IV) c𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝑏𝑠𝑒𝑛(𝛾) 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝛾 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝛽 ∨ 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑏 = 𝑠𝑒𝑛 𝛾 𝑐 … … … (∗∗) De (*)  (**) 𝑠𝑒𝑛(𝛼) 𝑎 = 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑏 = 𝑠𝑒𝑛 𝛾 𝑐 1. 𝑠𝑒𝑛(𝛼) 𝑎 = 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑏 2. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑎 = 𝑠𝑒𝑛 𝛾 𝑐 3. 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑏 = 𝑠𝑒𝑛 𝛾 𝑐 NOTA Para aplicar la ley de senos es necesario tener en cuenta lo siguiente: • Conocer dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos (LLA) • Conocer dos ángulos y un lado cualquiera (AAL o ALA) RECORDAR 𝑠𝑒𝑛 180° − 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼) Santamaria Mejia Sergio L.
  5. 5. Como se ilustra en la figura, un funicular lleva pasajeros de un punto A, que está a 1,2 millas de un punto B en la base de una montaña, a un punto P en la cima de la montaña. Los ángulos de elevación de P desde A y B son 21° y 65°, respectivamente. (a) Calcule la distancia entre A y P. (b) Calcule la altura de la montaña. SOLUCIÓN EJERCICIO 1 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝛽 𝑦 (𝛾) 𝑆𝑒𝑎: 𝑑 𝐴, 𝑃 = 𝑏 𝑑 𝐵, 𝑃 = 𝑎 ∡𝐴𝐵𝑃 = 180° − 𝛽 = 65° → 𝛽 = 115° Santamaria Mejia Sergio L. ∡𝐴𝐵𝑃 = 𝛽 ∡𝐴𝑃𝐵 = 𝛾 ∡𝐴𝑃𝐵 = 21° + 115° + 𝛾 = 180° → 𝛾 = 44° 𝑏 = 1,2(0,91) 0,69 → 𝑏 = 1,092 0,69 𝑠𝑒𝑛 44° 1,2 = 𝑠𝑒𝑛 21° 𝑎 → 𝑎 = 1,2(𝑠𝑒𝑛 21° ) 𝑠𝑒𝑛(44°) 𝑎 = 1,2(0,36) 0,69 Aplicamos ley de senos para hallar d(A ,P) y d(B, P) 𝑠𝑒𝑛 44° 1,2 = 𝑠𝑒𝑛 115° 𝑏 → 𝑏 = 1,2(𝑠𝑒𝑛 115° ) 𝑠𝑒𝑛(44°) → 𝑏 = 1,58 mi. → 𝑎 = 0,432 0,69 → 𝑎 = 0,63 mi. 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = ℎ Calculamos la altura de la montaña 𝑷 𝑩 𝑯 𝒉 𝟔𝟓° ℎ 0,63 = 𝑠𝑒𝑛(65°) → ℎ = (0,6)𝑠𝑒𝑛(65°) → ℎ = (0,63)(0,91) → ℎ = 0,57 mi. Rpta. (a) b = 1,58 mi. (b) ℎ = 0,57 mi.
  6. 6. En cualquier triángulo oblicuángulo ABC, sean a, b y c las longitudes de sus lados y ,  y  las medidas de sus ángulos internos, entonces se cumple: 2. LEY DE COSENOS 𝑨 𝑩 𝑪 𝒃 𝒂 𝒄 𝜶 𝜷 𝜸 • 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐. cos 𝛼 • 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐. cos 𝛽 • 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏. cos(𝛾) DEMOSTRACIÓN • Trazamos una recta paralela al eje y, que corta al eje x en el punto D, entonces 𝑑 𝐶, 𝐷 = ℎ • Ubicamos las coordenadas de los puntos • Denominamos m la d(A, D) • Por ángulos suplementarios calculamos el ángulo D𝐴C • Dado el triángulo oblicuángulo ABC en la Fig. 1 𝑨(𝟎, 𝟎) 𝑩(𝒄, 𝟎) 𝑪(𝒎, 𝒉) 𝒃 𝒂 𝒄 𝜶 𝜷 𝜸 𝒙 𝒚 h 𝑫(𝒎, 𝟎) m Fig. 2.1 Fig. 2.2
  7. 7. A partir de la Fig. 2.2 V. 𝑠𝑒𝑛 180° − 𝛼 = ℎ 𝑏 → ℎ = 𝑏. 𝑠𝑒𝑛(𝛼) Utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos 𝑑 𝐵, 𝐶 = 𝑎 = 𝑚 − 𝑐 2 + ℎ − 0 2 En el triángulo rectángulo ADC Reemplazando (V) y (VI) en (#) Procediendo en forma análoga NOTA Podemos aplicar la ley de cosenos si tenemos cualquiera de los siguientes casos: • Conocer dos lados y el ángulo entre ellos (LAL) • Conocer tres lados (LLL) VI. cos 180° − 𝛼 = 𝑚 𝑏 → 𝑚 = 𝑏. 𝑐𝑜𝑠(𝛼) (𝑎)2 = 𝑚 − 𝑐 2 + ℎ − 0 2 2 (𝑎)2 = 𝑚 − 𝑐 2 + ℎ − 0 2 2 𝑎2 = 𝑚 − 𝑐 2 + ℎ − 0 2 𝑎2 = 𝑚2 − 2𝑚𝑐 + 𝑐2 + ℎ2 … … … (#) Elevamos al cuadrado ambos miembros 𝑎2 = (𝑏. 𝑐𝑜𝑠 𝛼 )2 −2(𝑏. 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐 + 𝑐2 + (𝑏. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 )2 𝑎2 = 𝑏2 cos2 𝛼 − 2𝑏𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐 + 𝑐2 + 𝑏2 𝑠𝑒𝑛2 (𝛼) Factorizamos 𝑏2 𝑎2 = 𝑏2 cos2 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 − 2𝑏𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐 + 𝑐2 RECORDAR 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + cos2 (𝛼) = 1 𝑎2 = 𝑏2 1 − 2𝑏𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐 + 𝑐2 ∴ 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏. 𝑐. 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎. 𝑐. 𝑐𝑜𝑠 𝛽 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎. 𝑏. 𝑐𝑜𝑠 𝛾 Deducimos fórmulas para hallar la medida de los tres ángulos 2b. c. cos 𝛼 = 𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2 → cos 𝛼 = 𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2 2𝑏𝑐 2a. c. cos 𝛽 = 𝑎2 + 𝑐2 − 𝑏2 → cos 𝛽 = 𝑎2 + 𝑐2 − 𝑏2 2𝑎𝑐 2a. b. cos 𝛾 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2 → cos 𝛾 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2 2𝑎𝑏 Santamaria Mejia Sergio L.
  8. 8. El ángulo en una esquina de un terreno triangular es 73° y los lados que coinciden en esta esquina miden 175 pies y 150 pies de largo. Calcule la longitud del tercer lado y la medida de los ángulos que faltan. EJERCICIO 2 SOLUCIÓN Santamaria Mejia Sergio L. Aplicamos ley de cosenos para hallar d(A, B) = c 𝑐2 = (150)2 +(175)2 −2(150)(175)𝑐𝑜𝑠 73° 𝑐2 = 22500 + 30625 − 52500𝑐𝑜𝑠 73° 𝑐2 = 53125 − 52500(0,29) 𝑐2 = 53125 − 15225 𝑐2 = 37900 𝑐 = 37900 𝑆𝑒𝑎: 𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑐 ∡𝐶𝐴𝐵 = 𝛼 ∡𝐶𝐵𝐴 = 𝛽 → 𝑐 ≈ 194,7 ≈ 195 pies 73° 𝑨 𝑩 𝑪 𝒄 𝜶 𝜷 Hallamos 𝛼 (150)2 = (175)2 +(195)2 −2(175)(195)𝑐𝑜𝑠 𝛼 22500 = 30625 + 38025 − 68250𝑐𝑜𝑠 𝛼 68250𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 68650 − 22500 68250𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 46150 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 46150 68250 → 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 71 105 𝛼 = arccos 71 105 𝛼 ≈ 47,45° ≈ 47,5° Hallamos 𝛽 (175)2 = (150)2 +(195)2 −2(150)(195)𝑐𝑜𝑠 𝛽 30625 = 22500 + 38025 − 58500𝑐𝑜𝑠 𝛽 58500𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 60525 − 30625 58500𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 29900 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 29900 58500 → 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 23 45 𝛽 = arccos 23 45 𝛽 ≈ 59,26° ≈ 59,3°
  9. 9. En cualquier triángulo oblicuángulo ABC, sean a, b y c las longitudes de sus lados y ,  y  las medidas de sus ángulos internos, entonces se cumple: 3. LEY DE LA TANGENTE 𝑨 𝑩 𝑪 𝒃 𝒂 𝒄 𝜶 𝜷 𝜸 DEMOSTRACIÓN Fig. 2.1 • 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 = tan 𝛼+𝛽 2 tan 𝛼−𝛽 2 • 𝑎+𝑐 𝑎−𝑐 = tan 𝛼+𝛾 2 tan 𝛼−𝛾 2 • 𝑏+𝑐 𝑏−𝑐 = tan 𝛽+𝛾 2 tan 𝛽−𝛾 2 A partir de la ley de senos se tiene: 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑎 = 𝑠𝑒𝑛 𝛾 𝑐 ∧ 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑏 = 𝑠𝑒𝑛 𝛾 𝑐 → 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛(𝛾) = 𝑎 𝑐 … … 𝑎 ∧ 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑠𝑒𝑛 𝛾 = 𝑏 𝑐 … … (𝑏) Sumamos y restamos (a) y (b) 𝑎 𝑐 + 𝑏 𝑐 = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛(𝛾) + 𝑠𝑒𝑛(𝛽) 𝑠𝑒𝑛(𝛾) 𝑎 𝑐 − 𝑏 𝑐 = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛾 − 𝑠𝑒𝑛(𝛽) 𝑠𝑒𝑛(𝛾) → 𝑎 + 𝑏 𝑐 = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑠𝑒𝑛(𝛾) … … (𝑚) → 𝑎 − 𝑏 𝑐 = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑠𝑒𝑛(𝛾) … … (𝑛)
  10. 10. Santamaria Mejia Sergio L. Dividimos (m) y (n) 𝑎 + 𝑏 𝑐 𝑎 − 𝑏 𝑐 = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑠𝑒𝑛 𝛾 𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛(𝛽) 𝑠𝑒𝑛(𝛾) 𝑐(𝑎 + 𝑏) 𝑐(𝑎 − 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛(𝛾)((𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽 ) 𝑠𝑒𝑛(𝛾)((𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛 𝛽 ) → (𝑎 + 𝑏) (𝑎 − 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝑠𝑒𝑛 𝑣 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝑣 2 . cos 𝑢 − 𝑣 2 RECORDAR 𝑠𝑒𝑛 𝑢 − 𝑠𝑒𝑛 𝑣 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑢 + 𝑣 2 . sen 𝑢 − 𝑣 2 (𝑎 + 𝑏) (𝑎 − 𝑏) = 2𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝛽 2 cos 𝛼 − 𝛽 2 2𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝛽 2 sen 𝛼 − 𝛽 2 (𝑎 + 𝑏) (𝑎 − 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝛽 2 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝛽 2 . cos 𝛼 − 𝛽 2 sen 𝛼 − 𝛽 2 (𝑎 + 𝑏) (𝑎 − 𝑏) = tan 𝛼 + 𝛽 2 . cot 𝛼 − 𝛽 2 RECORDAR 𝑐𝑜𝑡 𝛼 = 1 tan 𝛼 (𝑎 + 𝑏) (𝑎 − 𝑏) = tan 𝛼 + 𝛽 2 . 1 tan 𝛼 − 𝛽 2 → (𝑎 + 𝑏) (𝑎 − 𝑏) = 𝑡𝑎𝑛 𝛼 + 𝛽 2 tan 𝛼 − 𝛽 2 Procediendo en forma análoga 𝑎 + 𝑐 𝑎 − 𝑐 = tan 𝛼 + 𝛾 2 tan 𝛼 − 𝛾 2 ∧ 𝑏 + 𝑐 𝑏 − 𝑐 = tan 𝛽 + 𝛾 2 tan 𝛽 − 𝛾 2
  11. 11. En un triángulo ABC, si 𝑐 = 13 𝑚 y 𝑏 = 6 𝑚, el ángulo que forman dichos lados es de 40°. Halla los demás elementos que se desconocen del triángulo. EJERCICIO 3. SOLUCIÓN Santamaria Mejia Sergio L. 𝜸 𝑪 𝑨 𝑩 𝟏𝟑 𝒎 𝜷 𝟒𝟎° 𝑆𝑒𝑎: 𝑑 𝐵, 𝐶 = 𝑎 ∡𝐴𝐶𝐵 = 𝛾 ∡𝐴𝐵𝐶 = 𝛽 40° + 𝛽 + 𝛾 = 180° → 𝛽 + 𝛾 = 140° Aplicamos ley de la tangente 13 + 6 13 − 6 = tan 𝛽 + 𝛾 2 tan 𝛽 − 𝛾 2 → 19 7 = tan 140° 2 tan 𝛽 − 𝛾 2 19 7 = tan 70° tan 𝛽 − 𝛾 2 → tan 𝛽 − 𝛾 2 = 7(2,75) 19 𝛽 − 𝛾 2 = arctan 19,25 19 → 𝛽 − 𝛾 = 2 45,37° = 90,74° 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝛽 𝑦 (𝛾) 𝛽 + 𝛾 = 140° 𝛽 − 𝛾 = 90,74° + 2𝛽 = 230,74° → 𝛽 + 𝛾 = 140° 115,37° + 𝛾 = 140° 𝛾 = 140° − 115,37° → 𝛽 = 115,37° ≈ 115,4° → 𝛾 = 24,63° ≈ 24,6° 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 13 + 𝑎 13 − 𝑎 = tan 115,4° + 40° 2 tan 115,4° − 40° 2 → 13 + 𝑎 13 − 𝑎 = tan 77,7° tan(37,7°) (13 + 𝑎)(0,77) = (13 − 𝑎)(4,59) 10,01 + 0,77𝑎 = 59,67 − 4,59𝑎 → 5,36𝑎 = 49,66 𝑎 = 49,66 5,36 → 𝑎 = 9,26 ≈ 9,3 m
  12. 12. Santamaria Mejia Sergio L. • SWOKOWSKI, E. (1996) Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Editorial Iberoamericana, S.A. de C.V. • Vílchez, J. & Ramón J.A. (2014). Funciones trigonométricas y algunas aplicaciones. Web: Autoreseditores.com. BIBLIOGRAFÍA

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