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 Definición
 Sistema de medición
 Cómo dibujar ángulos
 Cómo medir ángulos
 Clasificación según su amplitud
 Operaciones en sistema sexagesimal
 Clasificación según lo que suman
 Clasificación según su posición
 RESUMÉN
 Bisectriz del ángulo
 Ejercicios
 Si en el plano se trazan dos rectas ( no paralelas ) quedan
determinadas cuatro porciones limitadas por dos semirrectas 𝐵𝐴 y 𝐵𝐶
ambas con origen B
 Cada una de estas porciones del planos se denominan ‘’Ángulo
convexo’’ y la unión de las otras es un ‘’Ángulo cóncavo’’
 Cómo se nombra al ángulo convexo: 𝐴𝐵𝐶 y el cóncavo 𝐴𝐵𝐶𝑐ó𝑛
ELEMENTOS
𝐵𝐴 y 𝐵𝐶 son los
lados
Vértice B
 Región de puntos
interiores
INICIO
El sistema de medición de ángulo que usaremos en este curso
es el SISTEMA SEXAGESIMAL
Las unidades empleadas son:
Grados Minutos Segundos
1º = 60’ y 1’ = 60’’
Ejemplo:
35º 75’ = 35º + 60’ + 15’
 = 35 º + 1º + 15 = 36º 15’
Juega con la siguiente pagina
http://genmagic.org/mates2/gs1c.swf
INICIO
INICIO
Visita: math2me.com/playlist/curiosidades/transportador-de-papel
Para medir un
ángulo se usa un
transportador
Se ubica sobre uno
de los lados.
Haciendo coincidir el
centro con el vértice y
lado debe pasar por el
0º
La medida será la
indicada en el lugar
donde pasa el otro
lado
Los ángulos de la imagen
𝐴𝑂𝐵 = 20º
𝐴0𝐶 = 75º
𝐴𝑂𝐷 = 90º
𝐴0𝐸 = 100º
𝐴𝑂𝐹 = 140º
𝐴0𝐺 = 180º
INICIO
INICIO
INICIO
Se llaman ángulos
complementarios a los que suma
90º
Se llaman ángulos suplementarios
a los que suma 180º
INICIO
Ejemplos Ejemplos
Por su posición los ángulos pueden ser
CONSECUTIVOS
Son los que tienen un lado y el vértice en
común
NO CONSECUTIVOS
Son todos los pares de ángulos que
no comparten uno de sus lados
ADYACENTE
Forman un ángulo llano
CONSECUTIVOS
COMPLEMENTARIOS
Forman un ángulo recto
OPUESTO POR EL VÉRTICE
Tienen el vértice en común .
Sus lados son semirrectas
opuestas
INICIO
Ejemplos
Dado el siguiente
cuadro del arte
abstracto
identificamos y
marcamos pares de
ángulos:
Consecutivos
No consecutivos
Consecutivos y
complementarios
Adyacentes
Opuestos por el vértice
INICIO
INICIO
 Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta
con origen en el vértice del mismo y que lo
divide en dos partea iguales
Dado un ángulo para trazar La
Bisectriz
1ro Trazar sobre sus lados un arco
con centro en su vértice
2do Luego utilizando un arco
mayor a la mitad del ángulo,
haciendo centro en cada una de las
intersecciones del paso anterior
3er Traza usa do regla una
semirrecta con origen en el vértice y
que pase por el punto marcado con
los dos arco trazados en el 2do paso
INICIO
75º 45’ 32’’
+ 17º 33’ 27’’
36º 56’ 15’’
128º 134’ 74’’
+ -
1’ 60’’
128º 135’ 14’’
+ -
2 120’
130º 14’ 14’’
Como 74’’ es mayor a 60
Se le resta UN grupo de 60’’
Y se los devolvemos como 1’
Como 135’ es mayor a 120
Se le resta DOS grupo de 60’
Y se los devolvemos como 2º
Se suma segundos con segundos,
minutos con minutos y grados con
grados
Volver
75º 45’ 32’’
- 17º 33’ 27’’
58º 12’ 5’’
75º 35’
-
35º 43’ 27’’
39º 51’ 15’’
60’’
34’74º
94’
I) Se resta segundos con segundos,
minutos con minutos y grados con
grados IMPORTANTE: el
siempre tiene que ser que el
MINUENDO
MAYOR
SUSTRAENSO
II) Para poder restar como no tenemos
segundos Se pide 1’ que se transforman
en 60’’
III)Para poder restar como tenemos un
número MENOR en el
Entonces se pide 1º que se transforman
en 60’
MINUENDO
IV) Y ahora a restar
Volver
75º 53’ 45’’
x 3
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225º 161’ 36’’
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227º 41’ 36’’
+ 2 - 120’’
Volver
Aquí debemos actuar como en la
suma: si se obtienen cantidades
, se debe
la cantidad de
que sea posible y se
MAYORES a 60 RESTAR
GRUPOS de 60
AGREGAN
a la UNIDAD SIGUINTE
7 7º 4 6’ 3 6’’ 3
1 7 2 5º
2º
En la división se empieza divido los
GRADOS hasta obtener el RESTO
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+ 6 0’’
9 6 ‘’
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A este RESTO lo transformamos
en minutos y se lo sumamos a
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En este momento corresponde
dividir los MINUTOS
Se procede de la misma forma
con el RESTO y
Por último se dividen los
SEGUNDOS
0 6
0
1 6
1’
Volver
Se llaman ángulos complementarios
a los que suma 90º
Si α = 35º 29’ es complementario con β
Entonces 35º 29’ + β = 90º
Por lo tanto β = 90º - 35º 29’
90º
35º 27’
-
89º
60’
Como tenemos 0’
Pedimos 1º que es
Igual 60’
54º 33’33’
Ahora si podemos
restar minutos con
minutos y grados
con grados
¿Cuál es el valor de x?
• 35º
• 15º
• 25º
• NA
X + 55º + 20º = 90º
X + 75º = 90º
X = 90º - 75º
X = 15º
Volver
Se llaman ángulos suplementarios
a los que suma 180º
Si α = 145º 29’ es suplementario con β
Entonces 145º 29’ + β = 180º
Por lo tanto β = 180º - 145º 29’
180º
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60’
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Ahora si podemos
restar minutos con
minutos y grados
con grados
¿Cuál es el valor de x?
• 35º
• 15º
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35º + X + 40º = 180º
X + 75º = 180º
X = 180º - 75º
X = 105º
Volver
¿Cuál es el valor de x?
20º + 2x+10º+ 60º =180º
2x+ 90º =180º
2x =180º - 90º
x =90º : 2
x = 45º y β = 100 º
Agudo
Recto
Obtuso
Agudo
Agudo
Agudo
Recto
Recto
Obtuso
Obtuso
Llano
Complementarios
Suplementarios
Consecutivos
Adyacentes
Opuestos por el
vértice
60º 150º
37º
127º
14º
104º
65º
 Hallar el valor de θ
Se tarta de un par de ángulos consecutivos
que forman un ángulo de amplitud 82º
 Hallar el valor de  y θ
Son cinco ángulos consecutivos que
completan un giro.
 Hallar el valor de θ
Entre los tres ángulos que forman un llano
y hay un ángulo recto
 Hallar el valor de x
Ten en cuenta que los ángulos opuestos por
el vértice tienen la misma amplitud
 𝟑𝒙 + 𝟏𝟐𝟎º = 𝟐𝟕𝟎º
 𝟑𝒙 + 𝟏𝟎º = 𝟐𝒙 + 𝟒𝟎º
 𝟒𝒙 + 𝟏𝟎º + 𝟓𝒙 + 𝟐𝟎º + 𝟔𝒙 = 𝟏𝟖𝟎º
 𝒙 − 𝟐𝟎º + 𝒙 − 𝟑𝟎º = 𝒙
2x =x+10º
x =100º:2
x
x+ (180º-120º):2=90º
3x =x+16
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Ángulos: definición, medición, clasificación y operaciones

  • 1.
  • 2.  Definición  Sistema de medición  Cómo dibujar ángulos  Cómo medir ángulos  Clasificación según su amplitud  Operaciones en sistema sexagesimal  Clasificación según lo que suman  Clasificación según su posición  RESUMÉN  Bisectriz del ángulo  Ejercicios
  • 3.  Si en el plano se trazan dos rectas ( no paralelas ) quedan determinadas cuatro porciones limitadas por dos semirrectas 𝐵𝐴 y 𝐵𝐶 ambas con origen B  Cada una de estas porciones del planos se denominan ‘’Ángulo convexo’’ y la unión de las otras es un ‘’Ángulo cóncavo’’  Cómo se nombra al ángulo convexo: 𝐴𝐵𝐶 y el cóncavo 𝐴𝐵𝐶𝑐ó𝑛 ELEMENTOS 𝐵𝐴 y 𝐵𝐶 son los lados Vértice B  Región de puntos interiores INICIO
  • 4. El sistema de medición de ángulo que usaremos en este curso es el SISTEMA SEXAGESIMAL Las unidades empleadas son: Grados Minutos Segundos 1º = 60’ y 1’ = 60’’ Ejemplo: 35º 75’ = 35º + 60’ + 15’  = 35 º + 1º + 15 = 36º 15’ Juega con la siguiente pagina http://genmagic.org/mates2/gs1c.swf INICIO
  • 6. Para medir un ángulo se usa un transportador Se ubica sobre uno de los lados. Haciendo coincidir el centro con el vértice y lado debe pasar por el 0º La medida será la indicada en el lugar donde pasa el otro lado Los ángulos de la imagen 𝐴𝑂𝐵 = 20º 𝐴0𝐶 = 75º 𝐴𝑂𝐷 = 90º 𝐴0𝐸 = 100º 𝐴𝑂𝐹 = 140º 𝐴0𝐺 = 180º INICIO
  • 9. Se llaman ángulos complementarios a los que suma 90º Se llaman ángulos suplementarios a los que suma 180º INICIO Ejemplos Ejemplos
  • 10. Por su posición los ángulos pueden ser CONSECUTIVOS Son los que tienen un lado y el vértice en común NO CONSECUTIVOS Son todos los pares de ángulos que no comparten uno de sus lados ADYACENTE Forman un ángulo llano CONSECUTIVOS COMPLEMENTARIOS Forman un ángulo recto OPUESTO POR EL VÉRTICE Tienen el vértice en común . Sus lados son semirrectas opuestas INICIO Ejemplos
  • 11. Dado el siguiente cuadro del arte abstracto identificamos y marcamos pares de ángulos: Consecutivos No consecutivos Consecutivos y complementarios Adyacentes Opuestos por el vértice INICIO
  • 13.  Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta con origen en el vértice del mismo y que lo divide en dos partea iguales Dado un ángulo para trazar La Bisectriz 1ro Trazar sobre sus lados un arco con centro en su vértice 2do Luego utilizando un arco mayor a la mitad del ángulo, haciendo centro en cada una de las intersecciones del paso anterior 3er Traza usa do regla una semirrecta con origen en el vértice y que pase por el punto marcado con los dos arco trazados en el 2do paso INICIO
  • 14. 75º 45’ 32’’ + 17º 33’ 27’’ 36º 56’ 15’’ 128º 134’ 74’’ + - 1’ 60’’ 128º 135’ 14’’ + - 2 120’ 130º 14’ 14’’ Como 74’’ es mayor a 60 Se le resta UN grupo de 60’’ Y se los devolvemos como 1’ Como 135’ es mayor a 120 Se le resta DOS grupo de 60’ Y se los devolvemos como 2º Se suma segundos con segundos, minutos con minutos y grados con grados Volver
  • 15. 75º 45’ 32’’ - 17º 33’ 27’’ 58º 12’ 5’’ 75º 35’ - 35º 43’ 27’’ 39º 51’ 15’’ 60’’ 34’74º 94’ I) Se resta segundos con segundos, minutos con minutos y grados con grados IMPORTANTE: el siempre tiene que ser que el MINUENDO MAYOR SUSTRAENSO II) Para poder restar como no tenemos segundos Se pide 1’ que se transforman en 60’’ III)Para poder restar como tenemos un número MENOR en el Entonces se pide 1º que se transforman en 60’ MINUENDO IV) Y ahora a restar Volver
  • 16. 75º 53’ 45’’ x 3 225º 159’ 135’’ 225º 161’ 36’’ + 2º - 120’ 227º 41’ 36’’ + 2 - 120’’ Volver Aquí debemos actuar como en la suma: si se obtienen cantidades , se debe la cantidad de que sea posible y se MAYORES a 60 RESTAR GRUPOS de 60 AGREGAN a la UNIDAD SIGUINTE
  • 17. 7 7º 4 6’ 3 6’’ 3 1 7 2 5º 2º En la división se empieza divido los GRADOS hasta obtener el RESTO + 1 2 0’ 1 6 6’ + 6 0’’ 9 6 ‘’ 5 5’ 3 2 ‘’ A este RESTO lo transformamos en minutos y se lo sumamos a los del DIVIDENDO En este momento corresponde dividir los MINUTOS Se procede de la misma forma con el RESTO y Por último se dividen los SEGUNDOS 0 6 0 1 6 1’ Volver
  • 18. Se llaman ángulos complementarios a los que suma 90º Si α = 35º 29’ es complementario con β Entonces 35º 29’ + β = 90º Por lo tanto β = 90º - 35º 29’ 90º 35º 27’ - 89º 60’ Como tenemos 0’ Pedimos 1º que es Igual 60’ 54º 33’33’ Ahora si podemos restar minutos con minutos y grados con grados ¿Cuál es el valor de x? • 35º • 15º • 25º • NA X + 55º + 20º = 90º X + 75º = 90º X = 90º - 75º X = 15º Volver
  • 19. Se llaman ángulos suplementarios a los que suma 180º Si α = 145º 29’ es suplementario con β Entonces 145º 29’ + β = 180º Por lo tanto β = 180º - 145º 29’ 180º 145º 27’ - 179º 60’ Como tenemos 0’ Pedimos 1º que es Igual 60’ 134º 33’33’ Ahora si podemos restar minutos con minutos y grados con grados ¿Cuál es el valor de x? • 35º • 15º • 105º • NA 35º + X + 40º = 180º X + 75º = 180º X = 180º - 75º X = 105º Volver ¿Cuál es el valor de x? 20º + 2x+10º+ 60º =180º 2x+ 90º =180º 2x =180º - 90º x =90º : 2 x = 45º y β = 100 º
  • 23.  Hallar el valor de θ Se tarta de un par de ángulos consecutivos que forman un ángulo de amplitud 82º  Hallar el valor de  y θ Son cinco ángulos consecutivos que completan un giro.  Hallar el valor de θ Entre los tres ángulos que forman un llano y hay un ángulo recto  Hallar el valor de x Ten en cuenta que los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma amplitud
  • 24.  𝟑𝒙 + 𝟏𝟐𝟎º = 𝟐𝟕𝟎º  𝟑𝒙 + 𝟏𝟎º = 𝟐𝒙 + 𝟒𝟎º  𝟒𝒙 + 𝟏𝟎º + 𝟓𝒙 + 𝟐𝟎º + 𝟔𝒙 = 𝟏𝟖𝟎º  𝒙 − 𝟐𝟎º + 𝒙 − 𝟑𝟎º = 𝒙
  • 25. 2x =x+10º x =100º:2 x x+ (180º-120º):2=90º 3x =x+16