1.
Asíntotas de una función
a) Si una recta L y un punto A que se desplaza a lo
largo de la curva C: y = f(x), la distancia entre la
recta L y el punto A de la curva tiende a cero,
cuando el punto A tiende al infinito; en este caso, la
recta L se denomina asíntota de la curva C.

2.
b) La recta x = a, es una asíntota vertical de la
curva C: y = f(x), si se cumple una de las
siguientes relaciones:
i) lím
x  a
f(x) = ±∞
ii) lím
x  a+
f(x) = ±∞
iii) lím
x  a-
f(x) = ±∞
-∞
+∞

3.
c) La recta y = k, es una asíntota horizontal de
la curva C: y = f(x), si se cumple una de las
siguientes relaciones:
i) lím
x  +∞
f(x) = k
ii) lím
x  -∞
f(x) = k
iii) lím
x  ∞
f(x) = k
Asíntota horizontal

4.
d) La recta y = mx + b, es una asíntota oblicua
de la curva C: y = f(x)
Formas de encontrar los valores de “m” y “b”.
f(x)lím
x  ±∞( )xm =
[f(x) – mx]lím
x  ±∞b =
y = mx + b
Asíntota oblicua

5.
01. Halla las asíntotas de la función:
x2 + x - 1
x - 3
y = f(x) =

6.
-50.0
-40.0
-30.0
-20.0
-10.0
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Gráfica de la función: f(x) = (x2 + x - 1)/(x - 3)
Curva Asíntota oblicua
Asíntotavertical
Asíntota vertical:
x = 3
Asíntota oblicua:
y = x + 4
Asíntota horizontal:
No existe

7.
02. Halla las asíntotas de la función:
x2 + 2x - 8
x2 - 4
y = f(x) =

8.
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Gráfico de la función: f(x) = (x2 + 2x – 8)/(x2 – 4)
Asíntotavertical
Asíntota horizontal
Asíntota vertical:
x = -2
Asíntota oblicua:
No tiene
Asíntota horizontal:
y = 1

9.
2x2
x + 3
y = f(x) =
03. Halla las asíntotas de la función:

10.
-80
-75
-70
-65
-60
-55
-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Gráfico de f(x) = 2x2/(x + 3)
Curva Asíntota oblicua
Asíntota vertical:
x = -3
Asíntota oblicua:
y = 2x - 6
Asíntota horizontal:
No tiene
Asíntotavertical

11.
04. Halla las asíntota de la función:
6x2 + 8x - 3
3x2 + 2
y = f(x) =

12.
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Gráfica de la función de y = (6x2 + 8x - 3)/(3x2 + 2)
Asíntota horizontal
Asíntota vertical:
No tiene
Asíntota oblicua:
No tiene
Asíntota horizontal:
y = 2

13.
Una función real f es continua en un
número x = a si:
Continuidad de una función
lím
x  a
f(x) = f(a)
Si f es continua en a, entonces debe cumplir:
i) f (a) esta definida (esto es, a pertenece al dominio de f )
ii) lím
x  a
f(x) Existe
iii) lím
x  a
f(x) = f(a)

14.
Si f es continua, entonces los puntos (x, f (x)) en la
gráfica de f tienden al punto (a, f (a)) sobre la gráfica.
Así que no existe ninguna brecha en la curva

15.
Discontinuidad evitable o removible.
Tipos de discontinuidad
lím
x  a
f(x)i)
Una función real de variable real f: R  R,
tiene una discontinuidad evitable y removible en
un punto x = a, si:
a)
Existe
ii) El número aDf, o bien aDf se tiene que:
lím
x  a f(x) ≠ f(a), en este caso redefinimos f:
F(x) =
f(x), si x ≠ a
x  a
f(x), si x = a
lím


16.
Discontinuidad no evitable.
i) Discontinuidad de primera especie una
función real es discontinua cuando tiene
límites laterales son infinitos y diferentes.
b)
ii) Discontinuidad de segunda especie de una
función real es discontinuidad en el punto x
= a, si no existe , o si, uno de los
límites laterales es infinito (±∞)
x  a
lím f(x)

17.
Ejemplos:
¿Dónde es discontinua la función?
x2 – x - 2
x - 2
f(x) =
1)

18.
Determina los valores de x para los cuales la
función f es discontinua y evitar si es posible
redefiniendo la función.
x2 – 9
x - 3
f(x) =
2)

19.
Determina los valores de x para los cuales la
función f es discontinua y evitar si es posible
redefiniendo la función.
x3 – 2x2 – 11x + 12
x2 – 5x + 4
f(x) =
3)

20.
Determina los valores de x para los cuales la
función f es discontinua y evitar si es posible
redefiniendo la función.
3x3 + 2x2 – 6x + 1
x2 – x
f(x) =
4)

21.
La recta tangente
La recta
tangente L toca
al círculo en el
punto P.
La palabra tangente surge del verbo
latín tangere, que significa “tocar”.
Recta tangente L a una gráfica
en el punto P.

22.
Halla las asíntotas de la función y representa
gráficamente:
Taller N° 9
02)
x2 - 3
2x - 4
y = f(x) =
01)
x2
2 - x
y = f(x) =
Halla las asíntotas de la función:

23.
Pendiente de una recta
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-2 -1 0 1 2 3 4 5
Gráfico de y = 2x + 1
f(a) = f(1) = 3
(1; 3)
f(a+h) =
f(1+2) = 7
f(a+h)-f(a)=4
(a+h) - (a) = h = 2
Variacióndey
(3; 7)
Variación de x
Pendiente = m =
Variación de x
Variación de y
Pendiente = m =
f(a+h) – f(a)
(a+h) – (a)
Pendiente = m =
7 – 3
2
= 2
m =
y – y1
x – x1
Ecuación punto pendiente

24.
Pendiente de rectas secantes
Pendiente de rectas secantes se
aproximan la pendiente mtan de L.
Si las coordenadas de P son
(a, f(a)) y las coordenadas
de Q son (a + h, f(a+h)),
entonces como se muestra
en la figura, la pendiente
de la recta secante que
pasa por P y Q es:
Cociente
diferencial.

25.
Rectas secantes giran en la
recta tangente L cuando h  0
Recta tangente con pendiente
Cuando el valor de h se hace cada
vez más pequeño (h  0),
entonces los puntos Q(a + h,
f(a+h)) se mueven e la curva cada
vez más cerca de P(a, f(a)); por lo
tanto, la recta secante tiende a
la recta tangente L; o sea, msec 
mtan; cuando h  0.
La recta tangente a la gráfica de f
en (a; f(a)) es la recta que pasa por
el punto (a; f(a)) con pendiente
mtan.

26.
Encuentre la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de y = x2 + 2 en x = 1.
Halla la ecuación de la recta tangente con la
pendiente encontrada.
01).
Aplicaciones

27.
Encuentre la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de f(x) = 2/x en x = 2.
Halla la ecuación de la recta tangente con la
pendiente encontrada.
02).

28.
Encuentre la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de f(x) = x - 1 en x = 5.
03).
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
2.75
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Gráfico de y = x - 1
Series1 Series2

29.
Encuentre la ecuación de la
recta tangente a la parábola
de f(x) = x2 – 8x + 9 en el
punto (3; -6)
04).
-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Gráfico de y = x2 - 8x + 9
Series1 Series2

30.
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
f (x + h) – f (x)
hf’(x) =
lim
h  0
Si y = f(x) y f(x + h), son funciones derivables:
d( y)
dx
=

31.
i) Si y = f (x) = c = 0
d( y)
dx
Algunas reglas de derivación
ii) Si y = f (x) = x = 1
d( y)
dx
iii) Si y = f (x) = xn
= nxn-1
d( y)
dx
iv) Si y = f (x) + g(x) = f ’(x) + g’(x)
d( y)
dx

32.
v)
Si y = f (x). g(x) = f (x).g’(x) + f ’(x).g(x)
d( y)
dx
vi)
Si y =
g(x). f ’(x) - f (x).g’(x)d( y)
dx
f (x)
g(x)
=
[g(x)]2
Si f (x) y g(x), son funciones derivables en x y g(x) ≠ 0,
entonces f /g es diferenciable en x.
Derivación del cociente de dos funciones
Derivación del producto de dos funciones

33.
vii)
d
dx
[(f o g)(x)] = f ’[g(x)].g’(x)
=
Si la función f (x) es diferenciable en u = g(x) y la
función g es diferenciable en x, entonces la composición
y = (f o g)(x) = f [g(x)] es diferenciable en x.
Derivación de una función compuesta (Regla
de la cadena)
En forma equivalente
d(y)
dx
d(y)
du
d(u)
dx
.

34.
Derivada de funciones trigonométricas
Si u = f (x) es una función derivable en x, entonces:
i) Si y = sen[f(x)]
ii)
iii)
= cos[f(x)].f’(x)]
d( y)
dx
Si y = cos[f(x)] = -sen[f(x)].f’(x)]
dx
d( y)
Si y = tan[f(x)] = sec2[f(x)].f’(x)]
dx
d( y)

35.
Derivada de funciones trigonométricas
Si u = f (x) es una función derivable en x, entonces:
iv) Si y = cot[f(x)]
v)
vi)
= -csc2[f(x)].f’(x)]
d( y)
dx
Si y = sec[f(x)] = sec[f(x)].tan[f(x)]. f’(x)]
dx
d( y)
Si y = csc[f(x)] = -csc[f(x)].cot[f(x)]. f’(x)]
dx
d( y)

36.
Derivada de funciones trigonométricas inversas
Si f (x) es una función real derivable en x, entonces:
i) Si y = arc sen [f(x)]
ii)
=
d( y)
dx
f’(x)
1 – [f(x)]2
Si y = arc cos [f(x)] =
d( y)
dx
f’(x)
1 – [f(x)]2
iii) Si y = arc tan [f(x)] =
d( y)
dx
f’(x)
1 + [f(x)]2

37.
Derivada de funciones trigonométricas inversas
Si f (x) es una función real derivable en x, entonces:
iv) Si y = arc cot [f(x)]
v)
=
d( y)
dx
Si y = arc sec [f(x)] =
d( y)
dx
f’(x)
| f(x)|.[f(x)]2 – 1
vi) Si y = arc csc [f(x)] =
d( y)
dx
f’(x)
1 + [f(x)]2
f’(x)
| f(x)|.[f(x)]2 – 1

38.
Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas
i) Si y = e f(x) = e f(x) . f ’(x)
d( y)
dx
ii) Si y = ln[ f(x)]
f ’(x)d( y)
dx f (x)
=
iii) Si y = ax
d( y)
dx
ax.ln(a)=
iv) Si y = a f(x)
d( y)
dx
a f(x). f ’(x).ln(a)=

39.
Aplicación
Halla la derivada de: f (x) =01)
1
x + 1

40.
Halla la derivada de: f (x) =02)
x2 - 1
x2 + 1

41.
Halla la derivada de: f (x) =03)
4x + 6
x2 + 3x + 4

42.
Halla la derivada de:
f (x) =
04)
(3x2 + 4x + 8)x - 1

43.
Halla la derivada de: f (x) =05) e x2 + x

44.
Halla la derivada de:
y = ln(a + x + x2 + 2ax)
06)

45.
Halla la derivada de:
y = ln(x + x2 – 1)
07)
x–
x2 – 1

46.
Halla la derivada de:
y = sen (5x2) - sen (x2)
08)
1
20
1
4

47.
Halla la derivada de:
y =
09)
sen (x) - cos (x)
sen (x) + cos (x)

48.
Halla la derivada de:
y = ln
10)
1 - sen (x)
1 + sen (x)

49.
Halla la derivada de:
y = tan3 (2 )
11)
5x4

50.
Un móvil tiene un movimiento rectilíneo
representado por la ecuación: x = 4t2 + 4t + 1
(x en metros y t en segundos). Halla la
posición x del móvil (en m) cuando su rapidez
es 8 m/s.
12)

51.
Derivada de funciones trigonométricas inversas
Si f (x) es una función real derivable en x, entonces:
i) Si y = arc sen [f(x)]
ii)
=
d( y)
dx
f’(x)
1 – [f(x)]2
Si y = arc cos [f(x)] =
d( y)
dx
f’(x)
1 – [f(x)]2
iii) Si y = arc tan [f(x)] =
d( y)
dx
f’(x)
1 + [f(x)]2

52.
Derivada de funciones trigonométricas inversas
Si f (x) es una función real derivable en x, entonces:
iv) Si y = arc cot [f(x)]
v)
=
d( y)
dx
Si y = arc sec [f(x)] =
d( y)
dx
f’(x)
| f(x)|.[f(x)]2 – 1
vi) Si y = arc csc [f(x)] =
d( y)
dx
f’(x)
1 + [f(x)]2
f’(x)
| f(x)|.[f(x)]2 – 1

53.
Hallar sí: y = arc tan [4x2 – 1]01)
d( y)
dx

54.
Hallar sí:02)
d( y)
dx
y = arc sen [ex] + arc sen [1 – e2x ]

55.
Hallar sí:03)
d( y)
dx
y = arc sen [ln(x)]

56.
Hallar sí:04)
d( y)
dx
y = arc tan
x.sen 
1 – x.cos [ ]

57.
Hallar sí:05)
d( y)
dx
y = ln 1 + sen x
[ ]1 - sen x
2.arc tan [sen x ]+

58.
Hallar sí:06)
d( y)
dx
y = arc tan sen x + cos x
[ ]sen x - cos x

59.
Hallar sí:07)
d( y)
dx
y = arc cos b + a.cos x
[ ]a – b.cos x

60.
Halla la derivada implícita de:
5x3 + 2y5 = ln(x.y)
08)

61.
Halla la derivada implícita de:
3xy2 - 5x + x.y = 4
09)

62.
Halla la derivada implícita de:
x3 - y3 = 3x.y
10)

63.
Calcular la pendiente de la recta tangente
a la gráfica de x2 + 4y2 = 4; en el punto
(2; -1/2)
11)

64.
Calcular la pendiente de la recta tangente
a la gráfica de 3(x2 + y2)2 = 100xy; en el
punto (3; 1)
12)

65.
Dada x2 + y2 = 25. Evaluar la primera y la
segunda derivadas en el punto (-3; 4)
13)

66.
Halla la segunda derivada de la expresión
4y3 = 6x2 + 1
14)

67.
Taller
01) Encuentre la segunda derivada de: x2 + 2xy – y2 = 1.
Halla sí:02)
1 – cos x
1 + cos x
y = arc cotd( y)
dx [ ]

68.
Trabajo grupal
01) Encuentre la segunda derivada de: x2 + 2xy – y2 = 1.
Halla la derivada de:02)
2x - 3
8x + 1

69.
Halla la derivada de:
2x2 - 2x + 1
02)
xy =
Trabajo grupal
01)
Un móvil tiene un movimiento rectilíneo
representado por la ecuación: x = 4t2 + 4t + 1 (x en
metros y t en segundos). Halla la posición x del
móvil (en m) cuando su rapidez es 8 m/s.
03)
Encuentre la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de f(x) = 4/(x – 1) en x = 2.
Halla la ecuación de la recta tangente con la
pendiente encontrada.

70.
Teorema de Rolle
El teorema de Rolle supone la existencia de
una línea tangente horizontal que se ubica
en el punto c de un máximo o un mínimo
formado por la unión de intervalos
crecientes y decrecientes. La importancia
de este teorema radica en que afirma la
existencia de al menos una línea horizontal
entre cada dos intersecciones con el eje x,
siempre y cuando la función sea continua
en dichas intersecciones.
Si una función es continua en un intervalo
cerrado [a, b] y derivable en a, b  tal que f(a) =
f(b), entonces existe un punto c en a, b  en el
que f ’(c) = 0, por lo que la recta que toca el punto
c será horizontal.

71.
Teorema de valor medio
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en a,
b entonces existe al menos un punto c en a, b tal que la línea tangente a la
curva en el punto c es paralela a la secante que une a los puntos (a, f (a)) y
(b, f (b)). Es decir:
f´(c) =
f (b) - f (a)
b - a
Tal f´(c), representa los ceros
de la derivada de f´(c) = f´(x).= m

72.
Ejemplo 1
Si f(x) es continua en [a, b] y
derivable en a, b tal que f(a) = f(b),
entonces existe un punto c en a, b
en el que f ’(c) = 0. Halla el valor de
c entre [-3; 0] y [0; 3] , si f(x) = 9x – x3
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Gráfico de f(x) = 9x – x3

73.
Dada la función f (x) = x2, halla
la ecuación de la línea secante
que pasa por los puntos (a, f(a))
y (b, f(b)) y compare con la
recta tangente al punto (c, f(c));
sabiendo que a = 1 y b = 2.
Ejemplo 2
y = 3x - 2
y = 3x – 2,25
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Gráfico de y = x2
Curva recta secante Recta tangente

74.
Aplicaciones de la derivada
Trazado de gráficas
01) y = f(x) = 3x2 – x3
a)
Construir la gráfica para:

75.
-16
-12
-8
-4
0
4
8
12
16
20
-2 -1 0 1 2 3 4
Gráfico de y = 3x2 - x3
x f(x) f ’(x) Concavidad
-∞; 0 Decreciente
En -∞; 1
m > 0
Positivo en (0; 0)
0; 2 Creciente
En 1; +∞
m < 0
Negativo en (2; 4)
2; +∞ Decreciente
x y
-2 20
-1.75 14.5469
-1.5 10.125
-1.25 6.64063
-1 4
-0.75 2.10938
-0.5 0.875
-0.25 0.20313
0 0
0.25 0.17188
0.5 0.625
0.75 1.26563
1 2
1.25 2.73438
1.5 3.375
1.75 3.82813
2 4
2.25 3.79688
2.5 3.125
2.75 1.89063
3 0
3.25 -2.64063
3.5 -6.125
3.75 -10.5469
4 -16

76.
02) y = f(x) = (1/8)(x4 – 8x2)

77.
x f(x) f '(x) Concavidad
-∞; -2
En -∞; -
1,1547
m > 0
Positivo
-2; 0
En -1,1547;
1,1547
m < 0
Negativo
0; 2
En 1,1547;
+∞
m > 0
Positivo
2; +∞
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Gráfico de y = (1/8)(x4 - 8x2)

78.
Encuentre donde la función f (x) = 3x4 - 4x3 - 12x2 + 5
es creciente y donde es decreciente.
03)

79.
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Gráfico de y = 3x4 - 4x3 - 12x2 + 5
x f(x) Concavidad
-∞; -1
-1; 0
0; 2
2; +∞

80.
04) y = f(x) = x3 – 3x + 2

81.
05) y = f(x) = 2x3 – 6x2 – 3x + 7

82.
06) Construir la gráfica para f(x) = 2|x| - x2; luego
indica sus características.

83.
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-3 -2 -1 0 1 2 3
Gráfico de y = 2|x| - x2
x y
-3 -3
-2.6 -1.56
-2.2 -0.44
-2 0
-1.8 0.36
-1.6 0.64
-1.4 0.84
-1.2 0.96
-1 1
-0.8 0.96
-0.6 0.84
-0.4 0.64
-0.2 0.36
0 0
0.2 0.36
0.4 0.64
0.6 0.84
0.8 0.96
1 1
1.2 0.96
1.4 0.84
1.6 0.64
1.8 0.36
2 0
2.2 -0.44
2.6 -1.56
3 -3
x f (x) f ’(x) Concavidad
-∞; -1
-1; 0
0; 1
1; +∞

84.
Regla de L’Hôpitalb)
lím
x 0
cos mx – cos nx
x2
01)

85.
lím
x  0
ex – 1
sen x
02)

86.
lím
n  0
ex – cos x03)
ex – cos x

87.
lím
x  0
04)
ln x
x - 1( )

88.
lím
x  0
05) ex – e-x – 2x
x - sen x
( )

89.
lím
y  0
06)
ln ( 1 + y)
( )
e y + sen y – 1

90.
Trabajo grupal
01). Construir la gráfica para f(x) = x3 + 2x2 + x + 1; luego
indica sus características.
02). Aplicando la Regla de L’Hôpital, halla el límite de:
lím
x  0 x – sen x( )
tan x – sen x
x f (x) f ’(x) Concavidad
-∞; -1
-1; -1/3
-1/3; +∞