Unefm Ciencias de la Salud Ingeniería Biomédica

1. Universidad Nacional Experimental
“Francisco de Miranda”
Área Ciencia de la Salud
Programa de Ingenierı́a Biomédica
Unidad Curricular: Calculo Numérico
Lapso Acádemico 2019- I
Prof. Lcdo. Jaime Morales
TOPICO SOLUCIÓN NUMÉRICA
DE E.D.O. CON P.V.I.
h
H
R
a
Santa Ana de Coro; Junio 2019

2. PROBLEMAS MODELADOS
Planteamiento:
Se sabe de observaciones experimentales que, con una exactitud satisfactoria,el vaciado
de un tanque es rejido por la ley de Torricelli.
TEOREMA DE TORRICELLI
El teorema de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo
de un lı́quido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de
la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un
lı́quido por un orificio. ”La velocidad de un lı́quido en una vasija abierta, por un orificio,
es la que tendrı́a un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacı́o desde el nivel del
lı́quido hasta el centro de gravedad del orificio”:
Donde:
vt =
s
2g
h +
v0
2
2g
Vt Es la velocidad teórica del lı́quido a la salida del orificio.
V0 Es la velocidad de aproximación.
h Es la distancia desde la superficie del lı́quido al centro del orificio.
g Es la aceleración de la gravedad.
Para velocidades de aproximación bajas, la mayorı́a de los casos, la expresión anterior se
transforma en:
vr = cr
p
2gh
Donde:
Vr es la velocidad real media del lı́quido a la salida del orificio.
Cr es el coeficiente de velocidad.
Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de un orificio
de pared delgada, es un poco menor que la ideal, debido a la viscosidad del fluido y otros
factores tales como la tensión superficial, de ahı́ el significado de este coeficiente de velocidad.

3. VACIADO DE TANQUES
El vaciado de tanques y recipientes es un proceso en régimen no estacionario dado que
tenemos una salida de masa del sistema a una velocidad variable que dependerá del nivel
de lı́quido en el mismo. Al no haber ingreso de masas al tanque, esta descarga provocará un
cambio en el contenido inicial del equipo, de modo que podemos plantear el balance general
de masas y energı́a del sistema de la siguiente forma:
1
2
mv2
= mgh ⇒ v =
p
2gh
Esta ecuación es conocida en hidrodinámica, la ley de Torricelli el cual establece que la
velocidad v de el flujo (o salida) del agua a través de un agujero de bordes agudos en el
fondo de un tanque lleno con agua hasta una altura (o profundidad) h es igual a la velocidad
de un objeto (en este caso una gota de agua), que cae libremente desde una altura h; esto
es,
v =
p
2gh
Donde g es la aceleración de la gravedad. Esta última expresión se origina al igualar la
energı́a cinética, 1
2(mv2
), con la energı́a potencial, mgh, despejando v.
h
A0
Aw
Modelo Matemático Del Vaciado De Tanques
h
a
Aw
h
+
A(h)
nivel 2
nivel 1

4. Se considera un recipiente lleno de agua hasta una altura h, donde A es el área de la
sección transversal constante, y a es el área de un orificio de sección transversal por el que
fluye el agua, el cual está ubicado en la base del tanque.
Sea h la altura del agua en el tanque en un tiempo t (nivel 1) y h + Ah la altura en un
tiempo t + At (nivel 2). Se desea establecer la altura del lı́quido en el tanque en cualquier
instante t y el tiempo que este demora en vaciarse.
La cantidad de agua que se pierde cuando el nivel baja de 1 a 2 es igual a la cantidad de
agua que se escapa por el orificio. Sea h(t) la altura del liquido en el tanque en cualquier
instante t y V (t) el volumen del agua del tanque en ese instante. La velocidad v del agua
a través del orificio es
v =
p
2gh
Donde g es la gravedad. La ecuación anterior representa la velocidad que una gota de agua
adquirirá al caer libremente desde la superficie del agua hasta el agujero. En condiciones
reales, hay que tomar en cuenta la contracción que sufre un chorro de agua en un orificio,
por lo que se obtendrá
v = C
p
2gh
Donde c es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1. En algunos problemas,
cuando el coeficiente de descarga no se indica, se asume que c = 1. Según el Teorema de
Torricelli, la razón con la que el agua sale pro el agujero (variación dl volumen de liquido
en el tanque respecto al tiempo) se puede expresar como el área del orificio de salida por la
velocidad v del agua. Esto es
dv
dt
= −av
Sustituyendo en la ecuación
dv
dt
= −ac
p
2gh
Si A(h) denota el área de la sección transversal horizontal del tanque a la altura h,
aplicando el método del volumen por secciones transversales se obtiene

5. Z h
0
A(h)dh
Derivando respecto a t y aplicando el teorema fundamental del cálculo
dv
dt
= A(h)
dh
dt
Comparando las ecuaciones

6. A(h)
dh
dt
= −ac
√
2gh
Esta es una ecuación diferencial de variables separables, la cual al resolver sujeta a la
condición de conocer la altura inicial h0 para el tiempo t = 0, permite obtener la variación
de la altura del liquido en el tanque en función del tiempo.
La constante C depende de la forma del orificio:
Si el orificio es de forma rectangular, la constante C = 0, 8. Si el orificio es de forma
triangular, la constante 0, 65 6 C 6 0, 75. Si el orificio es de forma circular, la constante
C = 0, 6. Y en algunos casos viene especificada.
Modelo Problemas de mezclas
El modelo Problemas de mezclas: Como una de las aplicaciones de las ecuaciones lineales
de primer orden consideremos un tanque que tiene una solución (una mezcla de soluto y
solvente) como sal disuelta en agua. Hay un flujo tanto de entrada como salida y queremos
calcular la cantidad (t) de soluto que hay en el tanque en el tiempo t, en una función de la
cantidad x(0) = x0 al momento t = 0. Supóngase que la solución tiene una concentración
de Ci gramos de soluto por litro cuando fluye hacia el tanque con una tasa constante de ri
litros por segundo, en tanto que la contenida en el tanque (que se mantiene bien mezclada
mediante agitamiento) fluye hacia afuera a una tasa constante de r0 litros por segundo.
Para establecer una ecuación diferencial para x(t), estimemos que el cambio ∆t segundos
es riCi∆t gramos. para comprobarlo, obsérvese cómo la cancelación de dimensiones verifica
nuestro calculo:

7. ri
litros
segundos
Ci
gramos
litros
(∆r segundos)
Produce una cantidad medida en gramos.
La cantidad de soluto que fluye hacia afuera del tanque durante el mismo intervalo de
tiempo depende de la concentración C0(t) en el tanque al instante t. Pero, como se observa
en la figura 1 C0(t) =
x(t)
V (t)
, en donde C(t) denota el volumen(no constante a menos que
ri = r0 ) de la solución en el tanque al instante t.
Entonces,
∆x = {gramos que ingresan} − {gramos que salen} = riCi∆t − r0C0∆t
Luego dividimos entre ∆t
∆x
∆t
= riCi − r0C0
.
Por último, tomamos el lı́mite cuando ∆t → 0; si todas las funciones utilizadas son
continuas y x(t) es diferenciable, entonces el error en la aproximación también tiende a 0 y
obtenemos la ecuación diferencial
Entrada
Salida
Volúmen
Capacidad
dx
dt
= riCi − r0C0
en donde riCi y r0 son ecuaciones constantes, pero C0 indica la concentración variable
C0(t) =
x(t)
V (t)

8. del soluto en el tanque a la hora t. Ası́ la cantidad x(t) de soluto en el tanque satisface
la ecuación diferencial

9. dx
dt
= riCi −
r0
V
x. (01)
Si V0 = V (0), entonces V (t) = V0 + (ri − r0)t, ası́ la Ec. (01) es una ecuación diferencial
lineal de primer orden para la cantidad x(t) de soluto en el tanque.

10. OBJETIVOS DIDÁCTICOS:
a) Modelar y formular matemáticamente los problemas planteados donde interviene una
ecuación diferencial ordinaria con problemas de valor inicial.
b) Aproximar la solución numérica de una ecuación diferencial ordinaria con problemas de
valor inicial evaluar en un intervalo determinado.
INSTRUCCIONES GENERALES: Lea detenidamente e interprete correctamente cada
una de las partes de la práctica.
Aplicar el método de Euler y Runge Kutta para hallar la solución aproximada de
ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con valor inicial en los ejercicios
propuestos.
Aplicar el método de Runge Kutta para hallar la solución aproximada de ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden con valor inicial en los problemas planteados.

11. Ejercicios Propuestos:
a)





















dy
dt
=
7
25
t3
−
69
50
t2
+
13
10
t +
73
100
y(0) = 0
Intervalo de estudio 0 ≤ t ≤ 4
N = 10 (Interaciones)
Exacta: y(t) = 7
100t4
− 23
50t3
+ 13
20t2
+ 73
100t
b)























dy
dt
=
3t2
+ 4t + 2
2(y − 1)
y(0) = 3
Intervalo de estudio 0 ≤ t ≤ 2
h = 1/5
Exacta: y(t) = 1 +
p
4 + 2t + 2t2 + t3
c)





















dy
dt
= 2 sen(t) cos(t)
y(0) = 1
Intervalo de estudio 0 ≤ t ≤ 1
N = 6 (Interaciones)
Exacta: y(t) = −1/2 cos(2t) + 3/2

12. Problemas propuestos:
1. Un tanque con una capacidad de 200 galones (gal) contiene inicialmente 10 lb de sal
disuelta en 180 gal de agua. Hacia el tanque fluye salmuera que contiene 0.2 lb/gal a
razón de 2 gal/min, y la mezcla fluye hacia fuera del tanque a razón de 1 gal/min
¿Cuánta sal contiene el tanque de acuerdo a los tiempos indicado en el tabla 1
(realizar cuadro).
¿Cuánta sal contiene el tanque al momento de llenarse?
Entrada 2 gal/min
Salida 1 gal/min
Volúmen 180 galones de agua
Capacidad 200 galones
Nota: El video que tienes como ayuda es para que observes como determinar
dx
dt
es la
ecuación diferencial que vas a resolver con Rung Kutta
2. Un tanque en forma de cono circular recto, de altura H radio R y vértice por debajo
de la base, está totalmente lleno con agua.
¿Determine el tiempo aproximado de vaciado total, si H = 20 pies ft, R = 8 pies
ft, el radio de a = 0, 16 pies ft y C = 1?.
Determine el volúmen del agua en el tanque aproximado, transcurrido 5 minutos
aproximado de acuerdo al tamaño de paso que usted determino para número de
interaciones.
h
H=20
R=8
a
Nota: El video que tienes como ayuda es para que observes como determinar A(h) de
este tanque y
dh
dt
es la ecuación diferencial que vas a resolver con Rung Kutta

13. BIBLIOGRAFIA
Dennis G. Zill, Ecuaciones Diferenciales 6a
Edición.
Eduardo Espinoza Ramos, Ecuaciones Diferenciales-Aplicaciones 5a
Edición.
Murray R. Spiegel, Ecuaciones Diferenciales Aplicadas 3a
Edición.
Boyce Diprima, Ecuaciones Diferenciales y probleamas con valores de frontera 4a
Edic-
ción.
NAGLE, R. KENT, Ecuaciones Diferenciales y probleamas con valores de frontera 4a
Edicción.