UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA.
UNI-RUPAP
FACULTAD DE LA TECNOLOGIA DE LA CONSTRUCCION.
FTC.
Departamento de Vías y Transporte.
Topografía. II
Práctica No. 1:
Título de la Práctica: Determinación de la altura de puntos por nivelación
trigonométrica (Nivelación de un área).

Índice
OBJETIVOS...........................................................................................1
INTRODUCCIÓN...................................................................................2
ANTECEDENTES HISTÓRICOS...........................................................3
IMPORTANCIA Y APLICACIONES DE LA PRÁCTICA. .....................4
ASPECTOS GENERALES......................................................................4
DESARROLLO DE CAMPO..................................................................5
Integrantes de la cuadrilla. ....................................................................5
Equipo empleado en el levantamiento. ..................................................5
Explicación paso a paso del levantamiento realizado en campo. .............6
Tabla de resumen de datos levantados en campo....................................7
CALCULOS. ..........................................................................................8
Todas las ecuaciones y formulas empleadas...........................................8
Pasos realizados en los cálculos. ...........................................................9
Tabla de los resultados obtenidos........................................................13
CONCLUSIONES.................................................................................13
Análisis e interpretación de los resultados............................................13
Recomendaciones...............................................................................13
ANEXOS..............................................................................................14
Referencias bibliográficas...................................................................15

1
OBJETIVOS
1. Adquirir conocimientos teóricos y prácticos acerca de la nivelación
trigonométrica y el cálculo de desniveles o alturas, aplicado en la zona de
estudios.
2. Desarrollar habilidades en la aplicación de los diferentes métodos para la
determinación de alturas y desniveles en puntos inaccesibles.
3. Realizar el cálculo de desniveles o alturas conociendo o desconociendo la
distancia horizontal.
4. Recordar el buen manejo y utilidad de los instrumentos ocupados en la práctica
de campo.
5. Determinar de manera práctica las diferencias de nivel entre varios puntos con
respecto a un BM.

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INTRODUCCIÓN
La altimetría se podría definir como una parte de la topografía que se dedica a medir las
alturas y estudiar los métodos y técnicas para la representación del relieve de un terreno.
Es fundamental para determinar y representar de la manera más fiel posible la altura o
bien cota de cada uno de los puntos respecto al plano de referencia. En definitiva, se
trata de una rama de la topografía clave para representar, mediante diferentes
operaciones matemáticas, la forma y relieve de un terreno.
La altimetría es una rama de la topografía que estudia los diferentes métodos existentes
para medir la altura de los diferentes desniveles del terreno, tomando como referencia
un valor de base.
Dentro de la Topografía se trabaja con el fin de obtener y conocer la mayor cantidad de
información posible y a la vez precisa de un terreno; de esta manera es como hemos
visto, a lo largo de este curso, diferentes procedimientos que nos permiten conocer las
dimensiones de un terreno tales como el Área y Perímetro.
Es muy fácil entender por qué la altimetría es fundamental para un topógrafo
profesional, basta con echar un vistazo a las aplicaciones de la altimetría en la
topografía. Sin la aplicación de la altimetría, un topógrafo no podría realizar ninguno de
estos trabajos:
 Proyectos de carreteras y canales con pendientes predeterminadas
 Situar obras de construcción con elevaciones predeterminadas
 Determinar las peculiaridades de drenaje y permeabilidad de superficies
 Calcular volúmenes de tierra
 Crear puntos de control a través del corrimiento de una elevación
 Medir parcelas (La parcela hace referencia a una porción de tierra, que forma
parte de una extensión de terreno mayor. Esta puede ser utilizada de diversas
formas, y para diversos fines.)
Estos trabajos serán realizados con diferentes herramientas que permitan medir
elevaciones y alturas de una manera exacta y fiel a la realidad.

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ANTECEDENTES HISTÓRICOS.
Remontémonos alrededor del año 3000 a. de C. los babilonios y egipcios utilizaban ya
cuerdas y cadenas para la medición de distancias. Hasta el año 560 a. de C. no se tienen
referencias de nueva instrumentación hasta que Anaximandro introdujo el “Gnomon”.
Entre los primeros usuarios de este nuevo instrumento encontramos a Metón y
Eratóstenes para la determinación de la dirección Norte y la circunferencia de la tierra
respectivamente.
También podemos evidenciar a la Dioptra como un antecedente del nivel. En la época
de Ptolomeo, en el siglo II, era un instrumento astronómico considerado como obsoleto,
habiendo sido sustituida por la esfera armilar. Adaptada a la topografía, la dioptra es
similar al teodolito, o el tránsito del topógrafo, que data del siglo XVI.
La “Dioptra” o plano horizontal para la medición de ángulos y nivelación tenía su
principio en un tubo en “U” con agua el cual servía para horizontalizar la plataforma.

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Los aparatos con nivel se encuentran descritos en la Geometría Practique desde 1702 y
por ello se dan algunos experimentos, en el trabajo de Leonardo Christophsturm se dice
que hay algunos detalles que hacen muy pesado el manejo del instrumento.
El Groma o gruma era un instrumento topográfico romano. Se componía de un
pentagrama vertical con travesaños horizontales montados en ángulo recto sobre un
soporte. Cada pieza transversal tenía una línea de plomada colgando verticalmente en
cada extremo. Se utilizaba para medir líneas rectas y ángulos rectos, es decir, cuadrados
o rectángulos. Se estabilizaron en un terreno elevado y apuntaron en la dirección en que
se iba a utilizar.
IMPORTANCIAY APLICACIONES DE LA PRÁCTICA.
Como ya sabemos, la nivelación es el arte de determinar las diferencias en elevación de
puntos sobre la superficie terrestre con el propósito de:
 Trazar contornos lineales.
 Dibujar secciones verticales que representan la forma de una superficie
 Establecer puntos a una elevación determinada
Por lo que, una de las aplicaciones más usuales e importantes de la nivelación, es la
obtención de perfiles del terreno, a lo largo de una obra de ingeniería o en una dirección
dada. Las obras hidráulicas como canales y acueductos, las vías de comunicación y
transporte, ya sean caminos, carreteras y/o calles, avenidas, e incluso vías férreas, están
formadas por una serie de trazos rectos y otra serie de trazos en curvas generalmente
circulares acedadas a los trazos rectos.
Las nivelaciones nos ayudarán a resolver las incógnitas de diferencias altimétricas, para
definir cotas de obra de plataforma, pendientes de evacuación de aguas en vías públicas,
desniveles de tuberías, nivelación de explanaciones tales como autovía, campos de
fútbol o de cultivo, diques, jardines, pistas de aeropuerto, etc.
Para el ingeniero es de vital importancia tener las habilidades requeridas para efectuar
cualquier tipo de nivelación en proyectos determinados, en obras de ingeniería civil
donde es necesario el trabajo de tuneladora, se requiere de un seguimiento de la
respuesta del terreno, de sus movimientos verticales, al túnel que realiza esta máquina, y
a las inyecciones de material para estabilizar el túnel.
ASPECTOS GENERALES.
 Método de Nivelación Simple.
Es el más recomendable y el que ha de usarse, siempre que sea posible, por eliminar
todos los errores sistemáticos del nivel, incluso los de defectuosa corrección, así como
los de esfericidad y refracción.
Usando el método de nivelación simple como lo hemos dicho antes el cual se utiliza el
nivel en el punto más conveniente el cual ofrezca mejores condiciones de visibilidad. La
primera lectura se hace sobre la mira colocada en el punto estable y fijo que se toma
como un BM el cual podrá ser conocido o asumido

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Recordemos que consiste en estacionar un nivel a la mitad de la distancia que separa los
dos puntos cuyo desnivel pretendemos hallar; la diferencia de las lecturas de mira nos
dará siempre el desnivel, aun estando descorregido el instrumento; ya que al ser el
ángulo α de la visual con la horizontal el mismo en las dos posiciones y equidistar de
una y otra mira, se cometerán los mismos errores en el minuendo y en el sustraendo.
 Método de Nivelación compuesta.
Puede ocurrir que el terreno tenga fuerte pendiente y, desde la estación donde está el
nivel de anteojo, la visual horizontal dirigida a la mira no bisecte a ésta, o pase por
encima de la misma.
Cuando los puntos cuyo desnivel se desea hallar están situados a gran distancia, es
imposible la nivelación simple (una sola estación), debiéndose efectuar varias
estaciones.
Han de tomarse una serie de puntos intermedios, obteniéndose el desnivel entre cada
dos consecutivos, recorriendo el itinerario a partir de uno de sus extremos; lo que recibe
el nombre de nivelación geométrica compuesta. El método más usado para calcular los
desniveles parciales es el del punto medio, que con una sola estación elimina los errores
instrumentales
 Determinación altura instrumental
La lectura que se tomó sobre el punto de cota (BM), este valor se mide con una cinta
desde la superficie del BM o punto de estación hasta el centro de mira del teodolito, en
este caso ya materializado y obtenemos la altura de instrumento.
DESARROLLO DE CAMPO.
Integrantes de la cuadrilla.
 Composición de la cuadrilla.
Observador: 2
Estadalero: 1
Cadeneros: 2
Anotador: 1
Equipo empleado en el levantamiento.
• Cinta agrimensora:
Su función principal es el de la medición de puntos exactos para su longitud total dado
los cintazo requeridos por la cuadrilla. Las cintas de agrimensor se construían
únicamente en acero, ya que la fuerza necesaria para tensarla podría producir su
deformación si estuvieran construidas en un material menos resistente a la tracción. Casi
han dejado de fabricarse en este material tan pesado y las actuales suelen ser de fibra de
vidrio, material más ligero y de iguales prestaciones.

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• Plomada
Es uno de los instrumentos más antiguos, sencillos y usados en la construcción. Está
compuesto básicamente por una pesa o masa de forma cilíndrica o cónica amarrada en
un extremo por alguna cuerda de la que cuelga. Su principal función es indicar la
posición exacta de la vertical con respecto al punto que esta sobre ella.
• Teodolito o Transito
El Teodolito o tránsito es el aparato universal para la Topografía, debido a la gran
variedad de usos que se le dan, puede usarse para medir y trazar ángulos horizontales y
direcciones, ángulos verticales, y diferencias en elevación; para la prolongación de
líneas; y para determinación de distancias. Aunque debido a la variedad de fabricantes
de tránsitos éstos difieren algo en cuanto a sus detalles de construcción, en lo que
respecta a sus características esenciales son sumamente parecidos.
• Martillo y Clavos.
El martillo es una herramienta utilizada para golpear un objetivo, causando su
desplazamiento, hundimiento o deformación. Su uso más común es para clavar, calzar
partes o romper objetos. Los martillos son a menudo diseñados para un propósito
especial, por lo que existen una gran variedad de diseños. Y junto con las chapas o tapas
sirve para marcar el final de cada cintazo de medida exigida por la cuadrilla.
• Estadal
Una estadía o mira topográfica, es una regla graduada que es utilizada mediante un nivel
para calcular desniveles, o lo que es lo mismo, diferencias de altura. Con una mira,
igualmente se pueden calcular distancias a través de la trigonometría, o bien con un
telémetro estadimétrico integrado en el interior de un nivel topográfico, un teodolito, o
un taquímetro.
Explicación paso a paso del levantamiento realizado en campo.
Se empezó la práctica de Campo el día 20 de junio del año 2020, a las 13:00 horas, en
donde se tuvo que plantar el teodolito para empezar la práctica.
Como primer paso para plantar el teodolito es tratar de que el trípode este lo más
horizontal posible con respecto a la base, luego colocar el instrumento a usar en nuestro
caso el teodolito y nivelarlo, luego fijar un punto en la poligonal ya sea fuera o dentro
de ella en donde será nuestro BM.
Ahora nos orientamos al norte magnético que será en donde empezaremos a dar lectura
de los ángulos horizontales. Luego visamos el vértice más cercano el cual fue el vértice
5 y tomamos lectura de sus ángulos Hz y, ahora medimos su distancia por medio de
nivelación simple y repetimos este procedimiento en cada vértice siguiente a favor de
las manecillas del reloj.

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Ahora buscaremos detalles para ponerlos en la poligonal, se escoge un punto inaccesible
fuera de la poligonal para aplicar la nivelación trigonométrica. Se escogió un poste de
tendido eléctrico para calcular su altura como referencia de la misma y para aplicación
de los métodos de nivelación.
Tabla de resumen de datos levantados en campo.
Tabla de resumen de los datos levantados en campo.
Est. Pto obv. Dist. hs hi hc s(m) ∡𝐻𝑧 Hi ∡𝑍 Observaciones.
BM
5 0,867 0,7 0,778 35°06'24" 1,328 95°45'20" MOJON
4
0,3
94°40'40"
96°53'26"
1,5 93°24'17"
3
0,2
143°48'54"
93°48'46"
0,5 92°57'17"
2 1,866 1,731 1,8 189°39'53" 93°19'20"
1
0,5
314°58'31"
93°10'39"
0,3 94°18'00"
7
(LUMINARIA)
11,41 320°50'28"
95°46'30" ∡ 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
60°18'22" ∡ 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
8 (POSTE) 25,23 145°33'58"
92°10'03" ∡ 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
77°27'32" ∡ 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

8
CALCULOS.
Todas las ecuaciones y formulas empleadas.
Tangencial modificado:
DH=
ℎ𝑐1−ℎ𝑐2
tan ∡𝑉1− tan ∡𝑉2
Caso mixto punto en depresión:
DHij=
ℎ𝑐1− ℎ𝑐2
tan 𝛼𝑉1− tan 𝛼𝑉2
∆H= hc1-V-Hi ; ∆H=V2+hc2-Hi
Caso mixto punto en elevación:
∆H= hc1-V1-Hi
∆H=V2+hc2-Hi

9
 Para calcular verticales:
V1= (DH)(tan∡𝑉1)
V2= (DH)( tan∡𝑉2)
 Altura de un punto inaccesible:
h= 𝑉1 + 𝑉2
 Desnivel entre el punto de radiación y los diferentes vértices de la poligonal:
∆H= ±V+(Hi-hc)
 Elevación en cada vértice:
𝐸𝑙𝑣𝐴 =𝐸𝑙𝑣𝐵𝑀 ± ∆H
V= 𝐷𝐻𝐵𝑀−1 ∗ (tan ∝ 𝑉)
 Para calcular las coordenadas:
Xj= Xi±Dij*senAzij ó senRij
Yj= Yi±Dij*cosAzij ó cosRij
 Para calcular distancias de un punto a otro de la poligonal
𝑑1−2=√(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
 Para calcular rumbos
𝑅1−2 =tan−1 ∆𝑋
∆𝑌
Pasos realizados en los cálculos.
 Calculamos la distancia del BM a cada punto de la poligonal.
𝑑𝐵𝑀 − 5=100(0.867-0.700)𝑐𝑜𝑠2
(95°45′20"− 90°)=16.53m
𝑑𝐵𝑀 − 4=
0.300−1.5
tan(96°53'26"-90°)-tan(93°24'17"−90°)
=19.56m
𝑑𝐵𝑀 − 3=
0.200−0.500
tan(93°48'46"-90°)-tan(92°57'17"−90°)
=19.96m
𝑑𝐵𝑀 − 2=100(1.866-1.731)𝑐𝑜𝑠2
(93°19′20"− 90°)=13.45m
𝑑𝐵𝑀 − 1=
0.500−0.300
tan(93°10'39"-90°)-tan(94°18'00"−90°)
=10.164m

10
 Calculamos distancias verticales.
𝐷𝑉𝐵𝑀 − 5=16.53tan(95°45′20" − 90°)=1.67m
1. 𝐷𝑉𝐵𝑀 − 4=19.56tan(96°53′26" − 90°)=2.36m
2. 𝐷𝑉𝐵𝑀 − 4=19.56tan(93°24′17" − 90°)=1.16m
1. 𝐷𝑉𝐵𝑀 − 3=19.96 tan(93°48′46" − 90°)=1.33m
2. 𝐷𝑉𝐵𝑀 − 5=19.96tan(92°57′17" − 90°)=1.03m
𝐷𝑉𝐵𝑀 − 2=13.45tan(93°19′20" − 90°)=0.78m
1. 𝐷𝑉𝐵𝑀 − 1=10.164tan(93°10′39" − 90°)=0.56m
2. 𝐷𝑉𝐵𝑀 − 1=10.164tan(94°18′00" − 90°)=0.76m
 Calculamos desniveles.
∆𝐻𝐵𝑀 − 5=-1.67+(1.328 − 0.778)=-1.12
1. ∆𝐻𝐵𝑀 − 4=-2.36+(1.328 − 0.300)=-1.332
2. ∆𝐻𝐵𝑀 − 5=-1.16+(1.328 − 1.500)=-1.332
1. ∆𝐻𝐵𝑀 − 3=-1.33+(1.328 − 0.200)=-0.202
2. ∆𝐻𝐵𝑀 − 3=-1.33+(1.328 − 0.500)=-0.202
∆𝐻𝐵𝑀 − 2=-0.78+(1.328 − 1.800)=-1.252
1. ∆𝐻𝐵𝑀 − 1=-0.56+(1.328 − 0.500)=0.268
2. ∆𝐻𝐵𝑀 − 1=-0.76+(1.328 − 0.300)=0.268
 Calculamos las elevaciones.
𝐸𝑙𝑣5=100-1.12=98.88
𝐸𝑙𝑣4=100-1.332=98.668
𝐸𝑙𝑣3=100-0.202=99.798
𝐸𝑙𝑣2=100-1.252=98.748
𝐸𝑙𝑣1=100+0.268=100.268
 Calculamos las coordenadas. BM(100,100)
𝑋𝐵𝑀−5= 100+16.53SEN35°06’24”=109.50

11
𝑌𝐵𝑀−5=100+16.53COS35°06’24”=113.52
𝑋𝐵𝑀−4=100+19.56SEN94°40’40”=119.49
𝑌𝐵𝑀−4=100+19.56COS94°40’40”=98.4
𝑋𝐵𝑀−3=100+19.96SEN143°18’54”=111.92
𝑌𝐵𝑀−3=100+19.96COS143°18’54”=84
𝑋𝐵𝑀−2=100+13.45SEN189°39’53”=97.74
𝑌𝐵𝑀−2=100+13.45COS189°39’53”=86.74
𝑋𝐵𝑀−1=100+10.164SEN314°58’31”=92.81
𝑌𝐵𝑀−1=100+10.164COS314°58’31”=107.18
 Calculamos distancias de un vértice a otro de la poligonal.
𝑑5−4=√(119.49 − 109.50)2 + (98.4 − 113.52)2=18.12m
𝑑4−3=√(111.92 − 119.49)2 + (84 − 98.4)2=16.27m
𝑑3−2=√(97.74 − 111.92)2 + (86.74 − 84)2=14.44m
𝑑2−1=√(92.81 − 97.74)2 + (107.18 − 86.74)2=21.03m
𝑑1−5=√(109.5 − 92.81)2 + (113.52 − 107.18)2=17.85m
 Calculamos los rumbos de cada lado de la poligonal.
𝑅5−4=tan−1 119.49−109.50
98.4−113.52
=S33°27’12”E
𝑅4−3=tan−1 111.92−119.49
84−98.4
=S27°43’50”O
𝑅3−2=tan−1 97.74−111.92
86.74−84
=N79°03’49”O
𝑅2−1=tan−1 92.81−97.74
107.18−86.74
=N13°33’37”O
𝑅1−5 =tan−1 109.5−92.81
113.52−107.18
=N69°11’59”E

12
 Calculo de área por coordenadas
x y
5 109,5 113,52
4 119,49 98,4
3 111,92 84
2 97,74 86,74
1 92,81 107,18
5 109,5 113,52
A=
Ʃ𝑋∗𝑌− Ʃ𝑌∗𝑋
2
A=
51531.465−52574.1422
2
=521.34𝑚2
A=
51531.465−52574.1422
2
=738.48𝑣𝑟𝑠2
 Calculo de la altura de la luminaria.
ℎ = 𝑉1 + 𝑉2
𝑉1 = 11.41tan(05°46´30") = 1.154
𝑉2 = 11.41tan(90° − 60°18´22") = 6.507
ℎ = 1.154+ 6.507 = 7.66𝑚
 Calculo de la altura del poste.
ℎ = 𝑉1 + 𝑉2
𝑉1 = 25.23tan(02°10´03") = 0.9549
𝑉2 = 25.23tan(90° − 77°27´32") = 5.6124
ℎ = 0.9549 + 5.6124 = 6.56𝑚

13
Tabla de los resultados obtenidos.
CONCLUSIONES.
Análisis e interpretación de los resultados.
Obteniendo resultados óptimos y en base a la poligonal en estudio, obtuvimos el
desnivel, coordenadas, rumbos y distancias de cada vértice de la poligonal, lo cual nos
sirvió para el cálculo de áreas y la determinación de altura y rumbos de los detalles
tomados en campo.
Recomendaciones.
Es importante consignar muy bien las lecturas de los hilos estadimétricos; esto permite
organizar los datos arrojados por las mediciones y darles sentido, lo que es crucial para
el posterior trabajo de oficina. Se determinó, a la hora de realizar el trabajo de oficina,
que para representar una vista de perfil en altimetría de un terreno, es más conveniente
tomar escalas distintas para las distancias horizontales con respecto a las verticales, de
tal forma que se exageren más estas últimas y se hagan más visibles.
El nivel debe ubicarse dentro del terreno en un punto donde se alcance a observar los
diferentes puntos señalados en nuestro alineamiento de perfil. No puede estar ubicado
en el punto más bajo, necesariamente debe estar a una altura superior a los puntos que
se determinara la cota de altura.
Una vez concluida la práctica de campo y en vista de mejorar futuros encuentros
podemos expresar las siguientes recomendaciones: Mejorar la comunicación con el
grupo al momento de realizar los diferentes trabajos de campo.
tabla de datos calculados
EST.
PTO.
OBV.
DIST.
Hz hs hc hi Hi Z H ELV.
BM
5 16,53 35°06'24" 0,867 0,778 0,7
1,328
95°45'20" 1,12 98,88
4 19,56 64°40'40"
0,3 96°53'26"
1,3332 98,668
1,5 93°24'17"
3 19,96 143°48'54"
0,2 93°48'46"
-0,202 99,798
0,5 92°57'17"
2 13,45 189°39'53"0 1,866 1,8 1,731 93°19'20" -1,252 98,748
1 10,164 314°58'31"
0,5 93°10'39"
0,268 100,268
0,3 94°18'00"
7 11,41 320°50'28"
95°46'30"
60°18'22"
8 25,23 145°33'58"
92°10'03"
77°27'32"

14
Organizar las horas de consulta con la docente encargada de impartir las prácticas de
campo. Registrar los datos levantados de manera clara y ordenada para evitar
confusiones al momento de realizar los cálculos.
Anexos.
Visor del teodolito:
Cadeneros:

15
Referencias bibliográficas.
1. https://perfiltopografia.es/altimetria-topografia/
2. https://www.certicalia.com/blog/como-leer-mira-topografica
3. https://grupograsa.es/la-importancia-del-nivelado-del-terreno/
4. https://www.academia.edu/17687271/HISTORIA_DEL_NIVEL_TOPOGRAFI
CO
5. https://g-se.com/altimetria-bp-L57cfb26e7b3cb