2. Esta relación de pertenencia
que se establece entre los
objetos o elementos es absoluta
y posiblemente discernible y
observable por cualquier
persona. Entre los objetos o
elementos susceptibles de
integrar o conformar un
conjunto se cuentan por
supuesto cosas físicas, como
pueden ser las mesas, sillas y
libros, pero también por entes
abstractos como números o
letras.
Un conjunto es la
agrupación, clase, o
colección de objetos o en su
defecto de elementos que
pertenecen y responden a la
misma categoría o grupo de
cosas, por eso se los puede
agrupar en el mismo
conjunto.
Algunas consideraciones básicas a tener
en cuenta cuando de conjuntos se trata es
que los mismos se pueden determinar de
dos maneras: por extensión y
comprensión. Por extensión cuando se
describe uno a uno los componentes de
un conjunto A que contiene números
naturales menores a 8, por ejemplo: A =
{1,2,3,4,5,6,7}. Y se dice que está
determinado por comprensión cuando
solo se enumera una característica común
que reúnen todos los elementos que lo
componen. Por ejemplo: el conjunto A está
formado por colores primarios A = {rojo}.
También puede darse que dos conjuntos
sean iguales entre sí porque comparten la
totalidad de los elementos que los
componen.
Tradicionalmente, para describir los elementos
que integran un conjunto se abren unas llaves y
en caso de ser necesario, al tratarse de más de
un elemento, se los separa a través de la
utilización de comas. A la hora de representar
los conjuntos puede ser que nos encontremos
con las siguientes situaciones: unión, que es el
conjunto de todos los elementos contenidos en
al menos uno de ellos; la intersección que
implica reunión en un mismo conjunto de todos
aquellos elementos que se repiten o comparten
un par de conjuntos. El primero se representa
con los dos conjuntos unidos y pintados del
mismo color, marcando esa unión y en el
segundo caso se pinta como común la unión
del medio de estos dos conjuntos, que es
donde se congregan los mismos elementos.

3. La teoría de conjuntos es la rama de la
matemática que estudia a los conjuntos. Fue
introducida como disciplina por el
matemático ruso Georg Cantor, quien
definió al conjunto como la colección de
elementos finitos o infinitos y lo utilizó para
explicar las matemáticas.
Cantor estudió el conjunto de números
racionales y naturales y fue
revolucionario su descubrimiento de los
conjuntos de números infinitos, ya que
develó la existencia de infinitos de
diferentes tamaños al asegurar que
siempre se puede encontrar un infinito
mayor.
Los descubrimientos de Cantor no fueron
bien recibidos en el ámbito matemático de
finales del siglo XIX. Sin embargo, hoy es
considerado un visionario en el estudio
de lo que él denominó los transfinitos,
estudio que contribuyó al de los
conjuntos abstractos e infinitos.

4. Sus elementos pueden contarse o enumerarse
en su totalidad. Por ejemplo: los meses del
año, los días de la semana o los continentes.
Sus elementos no se pueden contar o
enumerar en su totalidad, debido a que no
tienen fin. Por ejemplo: los números
Está compuesto por un único elemento. Por
ejemplo: La Luna es el único elemento en el
conjunto “satélites naturales de la Tierra”.
Dos o más conjuntos están compuestos por elementos idénticos.
Sus elementos difieren en
clase y categoría
La cantidad de elementos entre
dos o más conjuntos es la
misma.
No presenta ni contiene
elementos.
Sus elementos presentan una
misma clase o categoría.

5. En Matemáticas
empleamos diversos
conjuntos de números,
los más elementales
son:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
.
El conjunto de los
números naturales, o
números que sirven
para contar.
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,
5, ... }.
El conjunto de los números
enteros, o números que sirven
para designar cantidades enteras
(positivas o negativas).
Q = {...., -7/2,..., -7/3, ..., -5/4,... -5/1,
...0, ..., 2/133, ... 4/7 ... } .
El conjunto de los números
racionales, o números que pueden
ser expresados como un cociente
(quotient) entre dos enteros, fracción,
p/q. Observen que algunos números
con infinitos decimales tal como el
2,33333... pertenece a este conjunto,
puesto que: 2,33333... = 7/3.
No obstante, en Q no se hallan
algunos números como 1,4142136...
(raíz cuadrada de 2) , o el 3,141592...
(el número p ) que poseen infinitos
decimales pero no pueden
expresarse en la forma p/q. A estos
números se les llama "números
irracionales".
R = Q U {"números irracionales"} .
El conjunto de los números reales,
formado por la unión de Q y de
todos los números irracionales.
Este conjunto suele denominarse
recta real , pues los puntos de una
recta pueden ponerse en
correspondencia con los infinitos
números de R.
Segmento de una recta, [a,
b], son todos los números
reales comprendidos entre
a y b, es decir, los números
x tales que son mayores (o
iguales) a "a" y menores (o
iguales) a "b".
Para un número real, x,
llamamos valor absoluto de
este número, expresado |x|,
al número real que queda
cuando se le considera
positivo . Por ejemplo
|-7| = 7,
|+5,31| = 5, 31
(para los números positivos
se les deja como están, para
los negativos se les cambia
de signo).

6. Dado un conjunto C y
una propiedad P de un
elemento genérico de
C, los elementos de C
que poseen esa
propiedad forman un
nuevo conjunto S
llamado subconjunto de
C
Por ejemplo,
para el
conjunto de
los números
reales, R
La propiedad de
que un número
coincida con su
parte entera, dicha
propiedad sólo la
cumplen los
números enteros
Todo conjunto C es
subconjunto de sí
mismo, por otra parte el
conjunto vacío (el que
no posee ningún
elemento), expresado
por F, es subconjunto
de cualquier otro
conjunto
A un
subconjunto
de C también
se le llama
parte de C.

7. Sea un conjunto con unos
ciertos elementos, consideremos
el conjunto N de los números
naturales N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }.
Para expresar que un
determinado elemento pertenece
a N se utiliza el símbolo""(igual
que el símbolo del euro pero con
una sola raya central ). Este
mismo símbolo pero tachado se
interpreta como que "el elemento
no pertenece al conjunto"
En teoría de conjuntos, y más
generalmente en el ámbito de
las matemáticas, se utilizan
unas determinadas notaciones
que conviene indicar desde el
principio.

8. Estos dos símbolos sirven para aludir a la
cantidad de los elementos del conjunto, el
primero hace referencia a "al menos uno", el
segundo se refiere a "todos sin excepción"
Se lee: " existe al menos un elemento n perteneciente al
conjunto N tal que (la coma se lee aquí "tal que") n es
mayor que 1000". En realidad, hay muchos elementos en
N mayores que 1000, pero con este símbolo nos
referimos a que hay por lo menos uno, es decir, negamos
que no haya ninguno con la propiedad que viene a
continuación..
Se lee: " cualquiera que sea el elemento n del
conjunto N se tiene que (aquí la coma se lee "se
tiene que") n es mayor o igual a 0". [NOTA: las
comas son separadores entre símbolos en una
definición, y se leen como a uno le dé la gana
siempre que completen el significado a la frase).

9. Dados dos conjuntos A y B, se define
unión de los conjuntos A y B, , al conjunto
formado por los elementos que
pertenecen a A ó a B.
Dados dos conjuntos A y B, se define
intersección de los conjuntos A y B, , al
conjunto formado por los elementos
que pertenecen a la vez a A y a B.
Si la intersección de dos conjuntos es el
conjunto vacío, entonces se dice que estos dos
conjuntos son disjuntos (también llamados,
quizás más apropiadamente, "disyuntos").

10. Unión:
Intersecci
ón:
Unión e
intersecció
n:

11. Las operaciones con conjuntos
también conocidas como
álgebra de conjuntos, nos
permiten realizar operaciones
sobre los conjuntos para
obtener otro conjunto. De las
operaciones con conjuntos
veremos las siguientes unión,
intersección, diferencia,
diferencia simétrica y
complemento.
Unión o
reunión de
conjuntos
Es la operación que nos permite formar
un conjunto, sólo con los elementos
comunes involucrados en la operación.
Es decir dados dos conjuntos A y B, la
de intersección de los conjuntos A y B,
estará formado por los elementos de A y
los elementos de B que sean comunes,
los elementos no comunes A y B, será
excluidos. El símbolo que se usa para
indicar la operación de intersección es
el siguiente: ∩.
Diferencia de
conjuntos.
Diferencia de
simétrica de
conjuntos
Es la operación que nos permite formar
un conjunto, en donde de dos
conjuntos el conjunto resultante es el
que tendrá todos los elementos que no
sean comunes a ambos conjuntos. Es
decir dados dos conjuntos A y B, la
diferencia simétrica estará formado por
todos los elementos no comunes a los
conjuntos A y B. El símbolo que se usa
para indicar la operación de diferencia
simétrica es el siguiente: △.
Complemen
to de un
conjunto
Es la operación que nos permite formar un conjunto
con todos los elementos del conjunto de referencia o
universal, que no están en el conjunto. Es decir dado
un conjunto A que esta incluido en el conjunto
universal U, entonces el conjunto complemento de A
es el conjunto formado por todos los elementos del
conjunto universal pero sin considerar a los
elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta
operación el complemento de un conjunto se denota
con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo
como esto A' en donde el conjunto A es el conjunto
del cual se hace la operación de complemento.

12. Los números reales
son el conjunto que
incluye los números
naturales, enteros,
racionales e
irracionales. Se
representa con la letra
ℜ.
La palabra real se usa para
distinguir estos números
del número imaginario i,
que es igual a la raíz
cuadrada de -1, o √-1. Esta
expresión se usa para
simplificar la interpretación
matemática de efectos
como los fenómenos
eléctricos.
Además de las
características
particulares de cada
conjunto que compone el
súper conjunto de los
números reales,
mencionamos las
siguientes
características.
Orden
Todos los
números
reales
tienen un
orden
En el caso
de las
fracciones
y decimales
Integr
al
La característica de
integridad de los números
reales es que no hay
espacios vacíos en este
conjunto de números. Esto
significa que cada conjunto
que tiene un límite
superior, tiene un límite
más pequeño.
Infinit
ud
Los números
irracionales y
racionales son
infinitamente
numerosos, es decir,
no tienen final, ya sea
del lado positivo como
del negativo.
Expansi
ón
decimal
Un número real es una
cantidad que puede
ser expresada como
una expansión
decimal infinita. Se
usan en mediciones
de cantidades
continuas, como la
longitud y el tiempo.
Cada número real se
puede escribir como un
decimal. Los números
irracionales tienen cifras
decimales interminables e
irrepetibles, por el
ejemplo, el número pi π
es aproximadamente
3,14159265358979...

13. La suma de dos
números reales es
cerrada, es decir, si
a y b ∈ ℜ, entonces
a+b ∈ ℜ.
La suma de
dos números
reales es
conmutativa,
entonces
a+b=b+a.
La suma de
números es
asociativa, es
decir, (a+b)+c=
a+(b+c).
La suma de un
número real y
cero es el
mismo
número;
a+0=a.
Para cada número
real existe otro
número real
simétrico, tal que
su suma es igual a
0:
a+(-a)=0
La multiplicación
de dos números
reales es
cerrado: si a y b
∈ ℜ, entonces a .
b ∈ ℜ.
La
multiplicación
de dos
números es
conmutativa,
entonces a .
b= b. a.
El producto de
números
reales es
asociativo:
(a.b).c= a.(b .c)
En la
multiplicación,
el elemento
neutro es el 1:
entonces, a .
1= a.
Para cada número
real a diferente de
cero, existe otro
número real
llamado el inverso
multiplicativo, tal
que: a . a-1 = 1.
Si a, b y c ∈
ℜ, entonces
a(b+c)= (a .
b) + (a . c)

14. Una desigualdad es
una expresión
matemática que
contiene un signo de
desigualdad.
De la definición de
desigualdad, lo mismo
que de la escala de los
números algebraicos,
se deducen algunas
consecuencias, a
saber:
1º Todo
número
positivo es
mayor que
cero
2º Todo
número
negativo es
menor que
cero
3º Si dos números
son negativos, es
mayor el que tiene
menor valor
absoluto
Una desigualdad
que contiene al
menos una variable
se llama inecuación.
(La punta del signo
< siempre señala el
menor)

15. Desigualdad matemática es una
proposición de relación de orden existente
entre dos expresiones algebraicas
conectadas a través de los signos: desigual
que ≠, mayor que >, menor que <, menor o
igual que ≤, así como mayor o igual que ≥,
resultando ambas expresiones de valores
distintos.
•Por tanto, la relación de desigualdad
establecida en una expresión de esta
índole, se emplea para denotar que dos
objetos matemáticos expresan valores
desiguales. Algo a notar en las
expresiones de desigualdad matemática
es que, aquellas que emplean:
mayor que >
Menor que <
Menor o igual que ≤
Mayor o igual que ≥
Estas son desigualdades que
nos revelan en qué sentido la
una desigualdad no es igual.
Ahora bien, los
casos de
aquellas
desigualdades
formuladas
como:
Menor que <
Mayor que >
Son desigualdades
conocidas como
desigualdades
“estrictas”.
Menor o igual que ≤
Mayor o igual que ≥
Son desigualdades
conocidas como
desigualdades “no
estrictas o más bien,
amplias”.
La desigualdad matemática
es una expresión que está
formada por dos miembros.
El miembro de la izquierda, al
lado izquierdo del signo igual
y el miembro de la derecha, al
lado derecho del signo de
igualdad. Veamos el ejemplo
siguiente:
3x + 3 < 9
La solución del
enunciado anterior
nos revela el
planteamiento de
desigualdad de las
expresiones.

16. Si se multiplica ambos
miembros de la
expresión por el mismo
valor, la desigualdad se
mantiene.
Si dividimos ambos
miembros de la
expresión por el
mismo valor, la
desigualdad se
mantiene.
Si restamos el mismo
valor a ambos
miembros de
expresión, la
desigualdad se
mantiene.
Si sumamos el mismo
valor a ambos
miembros de la
expresión, la
desigualdad se
mantiene.
Hay que tener presente
que las desigualdades
matemáticas poseen
también las siguientes
propiedades:
Si se multiplica ambos
miembros de la
expresión por un
número negativo, la
desigualdad cambia de
sentido.
Si se divide ambos
miembros de la
expresión por un
número negativo, la
desigualdad cambia
de sentido.
Para terminar, hemos de destacar
que desigualdad matemática e
inecuación son diferentes. Una
inecuación se genera mediante una
desigualdad, pero podría no tener
solución o ser incongruente. Sin
embargo, una desigualdad podría no
ser una inecuación. Por ejemplo
3 < 5
Se cumple la desigualdad,
ya que 3 es menor que 5.
Ahora bien, no es una
inecuación puesto que no
tiene incógnitas.

17. El valor absoluto representa la distancia
desde el origen o cero de una recta
numérica hasta un número o un punto.
Geométricamente los valores absolutos
de |x| son números reales de x y es un
valor geométrico sin tener en cuenta su
signo, sea este positivo (+) o negativo (-).
Así, por ejemplo, 5 es el valor absoluto de
+5 y de -5. Los valores absolutos están
representados por dos líneas verticales,
tales como |x| (el cual se lee como módulo
de x).
El valor absoluto se
representa como |A|,
donde A es el número
cuyo valor absoluto
tiene que ser
determinado.
El valor absoluto se
define como:
|x| = x si x ≥ 0
|x| = -x si x < 0
Si a es un número real, su valor
absoluto es un número real no
negativo definido de las dos
siguientes maneras:
|x| = √(x2)
|x| es igual al máximo de
{ x, -x }

18. Los números opuestos tienen
igual valor absoluto.
Ejemplo:
|5| = |−5| = 5
El valor absoluto de un producto es igual al producto
de los valores absolutos de los factores.
Ejemplo:
|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|
|−10| = |5| · |2|
10 = 10
El valor absoluto de una suma es menor o igual que la
suma de los valores absolutos de los sumandos.
Ejemplo:
|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|
|3| ≤ |5| + |2|
3 ≤ 7
Distancia
La distancia entre dos números reales a y b, que se
escribe d(a, b), se define como el valor absoluto de la
diferencia de ambos números:
d(a, b) = |b − a|
Ejemplo: La distancia entre −5 y 4 es:
d(−5, 4) = |4 − (−5)| = = |4 + 5| = |9|

19. Estas
desigualdade
s o
inecuaciones
son resueltas
de manera
muy sencilla
al aplicar las
siguientes
propiedades
del valor
absoluto.
Ellas las
recordamos
de la
interpretació
n geométrica
del valor
absoluto.
Se tiene
una
proposició
n similar
para
desigualda
des con
valor
absoluto no
estrictas, ≤
y ≥ .
Así que para
resolver una
desigualdad
con valor
absoluto del
lado izquierdo y
una constante
positiva en el
otro miembro,
solo hay que
identificar con
alguna de las
dos formas,
aplicar la
equivalencia,
resolver las
desigualdades
de la
equivalencia
para pasar a
determinar el
conjunto
solución de la
desigualdad en
base a la
condición de la
equivalencia.
una
desigualdad
con el valor
absoluto de un
lado y un
número
negativo en el
otro lado,
desigualdades
como |x−3|>0,
con el 0 en un
lado de la
desigualdad,
pueden ser
resueltas
usando el
hecho que un
valor absoluto
es siempre
mayor o igual a
cero y es cero
si y sólo si el
argumento del
valor absoluto
es cero.
Así, en el caso
de la
desigualdad
|x−3|>0 se
quiere
determinar
todos los x para
los cuáles el
valor absoluto
es positivo: al
conjunto de
todos los
números reales
hay que quitarle
los puntos que
hacen el
argumento del
valor absoluto
igual a 0. Hay
que quitarle un
sólo valor: 3. En
definitiva, el
conjunto
solución de la
desigualdad
planteada es
R−{3}.

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