Сфера. Видове сфери

1. Въвеждане на сферата в
гимназиален и
прогимназиален курс на
обучение по геометрия

2. Въведение
От началото на
геометрията са съществували
геометрични еталони, които
по-късно са се превърнали в
наименования на абстрактни
геометрични фигури.
Сферата на гръцки е
Sfayra и означава топка.
През 300 г. пр. Хр.
Евклид включва сферата в
трактата си “Елементи” като
форма описваща въртеливо
движение около фиксиран
диаметър на полукръг.

3. Определения и основни понятия за сфера :
Определения
• Сфера се нарича множеството
от всички точки в
пространството, които се
намират на дадено
разстояние r от дадена точка
O .
• Сферата е ротационна
повърхнина, получена от
въртенето на една
полуокръжност около нейния
диаметър.

4. Определения и основни понятия за сфера :
Основни понятия
• Хорда се нарича отсечка, на която краищата принадлежат на
сферата.
• Секателна права се нарича права, която пресича сферата в две
точки.
• Допирателна права се нарича права, която има със сферата само
една обща точка.

5. • Диаметър се нарича хорда на сферата, която преминава през
нейния център.
• Радиус е отсечка, която съединява центъра на сферата с
произволна точка от нея. Името радиус се употребява в два
смисъла, а именно като отсечка и като число-нейната дължина.
• Сечението на сфера с равнина, която минава през центъра й, се
нарича голяма окръжност на сферата.

6. Взаимно положение на точка и сфера
• Ако разстоянието на точка от пространството до центъра на
сферата е по-малко от радиуса й, то точката се нарича вътрешна
за сферата.
• Ако разстоянието на точка от пространството до центъра на
сферата е по-голямо от радиуса на сферата се нарича външна
точна на сферата.
• Ако една точка лежи едновременно на сфера и равнина, то тази
точка лежи върху най-голямата окръжност на сферата.

7. Видове сфери
 Спираловидна сфера:
Получава се от
разширяването на диаметъра и
завъртането в осите си. Този
тип сфера се използва за
означение в проективната
равнина или в спираловидната
повърхност.
• Допирателна сфера
Това е сфера, която има
точно една обща допирателна
точка с допирателната равнина
на сферата. Общата точка на
сферата и нейната допирателна
равнина се наричат тяхна
допирателна точка.

8. • Сфера на Мьобиус
Това е двойна сфера, по
която можеш да попаднеш от
вътрешната и от външната
страна на повърхността.
• Обръщане на сфера
През 1985 г. Стефан
Смайл доказва, че
математически е възможно
една сфера да се преобърне
отвътре навън без да се получи
остър ръб в равнината й.

9. Теореми и следствия:
Взаимно положение на сфера и равнина
• Теорема за равнина пресичаща сфера
Ако разстоянието 𝑑 от центъра на сфера с радиус 𝑟 до дадена
равнина е по-малко от радиуса на сферата, то сечението на равнината и
сферата е окръжност с радиус 𝑟1. В този случай е в сила равенството 𝑑 =
𝑟2 − 𝑟1
2
.
• Теорема за допирателна равнина към сфера
Една равнина е допирателна към сфера тогава и само тогава, когато
е перпендикулярна да диаметъра на сферата и минава през края му.
• Лице на сфера
Лицето на сфера с радиус 𝑟 е 𝑆 = 4𝜋𝑟2
= 𝑑𝑟2

10. • Взаимно положение на сфера и равнина
Възможни са три следствия:
Ако 𝑂𝑂1 > 𝑟, то точката 𝑂1 е външна
за сферата. В този случай равнината не
пресича сферата.
Ако 𝑂𝑂1 = 𝑟, то точката 𝑂1 е от
сферата. В този случай сферата и равнината
имат точно една обща точка.
Ако 𝑂𝑂1 < 𝑟, то точката 𝑂1 е
вътрешна за сферата.

11. Заключение
Евклид първи описва
сферата като геометрична
фигура. След това човека я е
иползвал с различни цели,
някои от които и до днес
остават тайна, което я прави
една от най- заинтригуващите
фигури.
В наши дни тя е добила
популявност не само от
учебниците по математика, но и
от много архитекти и
дизайнери, използвайки я като
идея в своите проекти.

12. Благодаря Ви за вниманието!