สูตร

1. สรุปสูตร (ภาคตัดกรวย). 1
เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย
จุด 2 จุด
1. |𝐴𝐵| = √(𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)2
2. 𝑚𝐴𝐵 = tan⁡(𝜃)=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
3. 𝑃 (
𝑛𝑥1+𝑚𝑥2
𝑛+𝑚
,
𝑛𝑦1+𝑚𝑦2
𝑛+𝑚
)⁡
หมายเหตุ ! จุดกึ่งกลาง AB คือ (
𝑥1+𝑥2
2
⁡,
𝑦1+𝑦2
2
)⁡
Ex
1. |𝐴𝐵| ⁡= √(2 − 4)2 + (3 − 7)2
|𝐴𝐵| ⁡= √20
2. 𝑚𝐴𝐵 =
7−3
4−2
=
4
2
= 2
3. 𝑃 (
3(4)+2(2)
3+2
⁡,
3(7)+2(3)
3+2
)
= 𝑃 (
16
5
⁡,27
5
)
จุดเกิน 2 จุด
1. จุดตัดเส้นมัธยฐาน คือ
(
𝑥1+𝑥2+𝑥3
3
⁡,
𝑦1+𝑦2+𝑦3
3
)
2. พื้นที่รูป n เหลี่ยม
=
1
2
|
𝑥1⁡
𝑦1⁡
𝑥2
𝑦2
⁡⁡…
…
⁡𝑥𝑛
⁡𝑦𝑛
⁡⁡𝑥1
⁡⁡𝑦1
|
1. จุดตัดเส้นมัธยฐานคือ
(
1+3+(−1)
3
,
2+5+4
3
) = (1,
11
3
)
2. พื้นที่ 3 เหลี่ยม
=
1
2
|
1
2
⁡⁡⁡⁡3
⁡⁡⁡⁡5
⁡⁡⁡−⁡1⁡⁡
⁡⁡⁡⁡⁡⁡4
⁡⁡1
⁡⁡2
|
=
1
2
(5 + 12 − 2 − 6 + 5 − 4) = 5
⊖⁡⁡⊖⁡⁡⁡⁡⊖⁡⁡⊖
⊖
⊖
⊕⁡⁡⁡⊕⁡⁡⁡⁡⊕⁡⁡⁡⊕
⊖
⊖
5⁡⁡⁡⁡12⁡⁡⁡ − 2
⊖
⊖
⁡⁡⁡−6⁡⁡⁡⁡5⁡⁡ − 4⁡
⊖
⊖
𝑐(𝑥3, 𝑦3)
𝐴(𝑥1, 𝑦1)
𝐵(𝑥2, 𝑦2)
𝑐(−1, 4)
𝐴(1, 2)
𝐵(3, 5)
𝜃
P
𝐵(𝑥2, 𝑦2)
A(x1, y1)
m
n
A(2, 3)
3
2
P
B(4, 7)

2. 2 สรุปสูตร (คณิต)
เส้นตรง ผ่านจุด (𝑥1, 𝑦1)⁡,⁡ มีความชัน m
1. สร้างสมการใช้ 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
2. หาความชันใช้ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐
1. 2. 3.
ขนานกัน 𝑚1 = 𝑚2 ตั้งฉากกัน 𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1
Ex เส้นตรงผ่านจุด (1, 2) , ความชัน 𝑚 =
3
4
 สร้างสมการเส้นตรงคือ
𝑦 − 2 =
3
4
(𝑥 − 1)
4y − 8 = 3𝑥 − 3
3x − 4y + 5 = 0
ระยะจากจุดถึงเส้นตรง
𝑑 =
|𝐴𝑥1+𝐵𝑦1+𝐶|
√𝐴2
+𝐵2
Ex
𝑑 =
|3(1)+4(−2)−1|
√32
+42
𝑑 =
6
5
ระยะจากเส้นตรงถึงเส้นตรง
𝑑 =
|𝐶1−𝐶2|
√𝐴2
+𝐵2
Ex
𝑑 =
|5−(−1)|
√32
+42
𝑑 =
6
5
วงกลม
จุดคงที่ = จุดศูนย์กลาง (h, k)
นิยาม ระยะคงที่ = รัศมี (r)
สมการ
(𝑥 − ℎ)2
+ (𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
Ex 𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥 + 6𝑦 − 4 = 0
Soln
(𝑥 − 1)2
+ (𝑦 + 3)2
= 4 + 1 + 32
(𝑥 − 1)2
+ (𝑦 + 3)2
= 14
 วงกลมมีจุดศูนย์กลาง (1, -3) , รัศมียาว √14
เส้นตรง 2 เส้น
เส้น
𝑚1
𝑚2 ทามุม θ
𝑚1
𝑚2
θ
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑚1 − 𝑚2
1 + 𝑚1 ∙ 𝑚2
d
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
(𝑥1⁡, 𝑦1) d
3𝑥 + 4𝑦 − 1 = 0
(1, −2)
6𝑥 + 8𝑦 + 10 = 0
3𝑥 + 4𝑦 + 5 = 0
÷ 2
3𝑥 + 4𝑦 − 1 = 0
d
จุดคงที่
ระยะคงที่
𝑚1 𝑚2
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶2 = 0
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶1 = 0
d

3. สรุปสูตร (ภาคตัดกรวย). 3
ระวัง 1!
1.เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส
(𝑚เส้นสัมผัส × mรัศมี = −1)
2.ระยะทางจากจุดศูนย์กลางถึงเส้นสัมผัส
คือ “รัศมี”
Ex
Soln
3𝑥 + 4𝑦 − 1 = 0⁡⁡⁡𝑚 =
−3
4
 𝑚𝐿1
=
4
3
และ 𝑟 =
|3(1)+4(2)−1|
√32+42
=
10
5
= 2
ระวัง 2!
จากรูปวงกลมตัดเส้นตรงจะหา |𝑄𝑅|
ได้จาก |𝑄𝑅| = 2|𝑆𝑅|
|𝑆𝑅|2
= |𝑃𝑅|2
− |𝑃𝑆|2
|𝑃𝑅| = 𝑟
|𝑃𝑆| =
|𝐴𝑥1+𝐵𝑦1+𝐶|
√𝐴2
+𝐵2
Ex จงหา |QS|
Soln |𝑄𝑆| = 2|𝑅𝑆|
|𝑃𝑆| = 𝑟 = 5
|𝑃𝑅| =
|3(1)+4(2)−1|
√32
+42
= 2
จาก |𝑅𝑆|2
= |𝑃𝑆|2
− |𝑃𝑅|2
|𝑅𝑆|2
= 52
− 22
= 21
|𝑅𝑆| = √21
 |𝑄𝑆| = 2|𝑅𝑆| = 2√21
พาราโบลา
นิยาม
จุดคงที่ = จุดโฟกัส
เส้นตรงคงที่ = เส้นไดเรกตริกซ์
, ,
Ex
สมการ รูป
𝑥2
= 4𝑦 ∪
𝑦2
= −9𝑥 ⊃
𝑦2
+ 9𝑥 − 5𝑦 = 0 ⊃
𝑥2
+ 8𝑥 + 5𝑦 − 1 = 0 ∩
𝑥2
− 8𝑥 + 5𝑦 + 100 = 0 ∩
ส่วนประกอบ
 จุดยอด (V) 𝑉(3, 1)
 จุดโฟกัส (F) 𝐹(5, 1)
 เส้นไดเรกตริกซ์ 𝑥 = 1

แกนสมมาตร 𝑦 = 1
 ลาตัสเรกตรัม (LR) 𝐿𝑅 = |4𝑐| = |4(2)|
= 8
Ex (𝑦 − 1)2
= 8(𝑥 − 3)
Soln
พาราโบลาตะแคงขวา
4𝑐 = 8⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑐 = 2
พาราโบลา
c+
c-
c+
c-
(𝑥 − ℎ)2
= 4𝑐(𝑦 − 𝑘) (𝑦 − 𝑘)2
= 4𝑐(𝑥 − ℎ)
Ax + By + C = 0
R
𝑃(𝑥1, 𝑦1)
Q
S
(1, 2)
3𝑥 + 4𝑦 − 1 = 0 L1
3x + 4y - 1 = 0
Q
R
S
𝑃(1,2)
ให้ r = 5
เส้นไดเรกตริกซ์
แกนสมมาตร
LR F
|C|
V
|C|
เส้นไดเรกตริกซ์
X
V F
1 2 3 4 5
y
1
F จุดคงที่
เส้นตรงคงที่

4. 4 สรุปสูตร (คณิต)
วงรี
นิยาม
จุดคงที่ = จุดโฟกัส
 +  = ค่าคงที่ = 2a
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 +
(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1
(𝑥−ℎ)2
𝑏2 +
(𝑦−𝑘)2
𝑎2 = 1
Ex
𝑥
4
2
+
𝑦
9
2
= 1
𝑥
9
2
+
𝑦
4
2
= 1
ส่วนประกอบ
หมายเหตุ a > b เสมอ
Ex
(𝑥−1)
16
2
+
(𝑦−2)
9
2
= 1
วงรีรีตามแกน 𝑥⁡, 𝑎 = 4⁡, 𝑏 = 3
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
= 16 − 9 = 7
𝑐 = √7
1. จุดศูนย์กลาง 𝐶 (1,2)
2. จุดยอด 𝑉⁡, 𝑉′ (5,2), (−3,2)
3. จุดโฟกัส 𝐹⁡, 𝐹′ (1 + √7, 2)(1 − √7, 2)
4. แกนเอก = 2𝑎 2(4) = 8
5. แกนโท = 2𝑏 2(3) = 6
6. 𝐿𝑅 =
2𝑏
𝑎
2 2(3)2
4
=
9
2
7. ความเยื้องศูนย์กลาง
𝑒 =
𝑐
𝑎
√7
⁡⁡4
8. ผลบวกคงที่ = 2𝑎 2(4) = 8
จุดคงที่ จุดคงที่
 
y
x
วงรี
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
LR
แกนโท
แกนเอก
c c
F C F V
b
V
a a
𝑦
𝑋
𝑉′ 𝑉
𝑐
2
5
−3 −1 1

5. สรุปสูตร (ภาคตัดกรวย). 5
ไฮเปอร์โบลา
นิยาม
จุดคงที่ = จุดโฟกัส
− ค่าคงที่ = 2𝑎
(𝑥−ℎ)2
𝑎2
−
(𝑦−𝑘)2
𝑏2
= 1
(𝑦−𝑘)2
𝑎2 −
(𝑥−ℎ)2
𝑏2 = 1
Ex
𝑥
16
2
−
𝑦
25
2
= 1
𝑥
16
2
−
𝑦
8
2
= 1
𝑦
9
2
−
𝑥
7
2
= 1
ส่วนประกอบ⁡
1. จุดศูนย์กลาง 𝐶 (1,2)
2. จุดยอด 𝑉⁡, 𝑉′ (5,2), (−3,2)
3. จุดโฟกัส 𝐹⁡, 𝐹′ (6, 2), (−4,2)
4. แกนตามขวาง = 2𝑎 2(4) = 8
5. แกนสังยุค = 2𝑏 2(3) = 6
6. 𝐿𝑅 =
2𝑏
𝑎
2 2(3)2
4
=
9
2
8. ผลต่างคงที่ = 2𝑎 2(4) = 8
หมายเหตุ a, b ใครจะยาวกว่ากัน หรือเท่ากันก็ได้
Ex
(𝑥−1)
16
2
−
(𝑦−2)
9
2
= 1
Soln
ไฮเปอร์โบลาตามแกน 𝑥
𝑎 = 4⁡, 𝑏 = 3
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
= 16 + 9 = 25
𝑐 = 5
หมายเหตุ!
(𝑥−ℎ)
𝑎2
2
−
(𝑦−𝑘)
𝑏2
2
= 0 เช่น⁡
(𝑥−1)
16
2
−
(𝑦−1)
16
2
= 1
(1) สมการเส้นกากับ (2) ไฮเปอร์โบลามุมฉาก คือ
(𝑦−𝑘)
𝑎2
2
−
(𝑥−ℎ)
𝑏2
2
= 0 ไฮเปอร์โบลาที่มี 𝑎 = 𝑏 หรือ 𝑥𝑦 = 𝑐⁡⁡⁡; ⁡⁡⁡𝑐 ≠ 0
ไฮเปอร์โบลา
𝑥
จุดคงที่ จุดคงที่
 
x
y
สมการเส้นกากับ
𝑉′
แกนตามขวาง
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
แกนสังยุค
𝐹′ 𝐹
𝑉
𝐶
𝑏
𝑐 𝑐
𝐿𝑅 𝑎 𝑎
𝑦
𝐹
𝑥
5⁡⁡6
1
𝐹′
−3
𝑐
2 𝑉
𝑉′