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Definición de Conjuntos. Operaciones con conjuntos. Números Reales Desigualdades. Definición de Valor Absoluto Desigualdades con Valor Absoluto

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MATEMÁTICAS
Republica Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la
Educación Superior Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco”
Programa Nacional de Formación Distribución y Logística
Barquisimeto-Edo Lara
Tatiana Garcia, 0202
Gerardo Gómez, 0202
Reynaldo Carmona, 0202
Franyeris Sánchez, 0202
Materia: Matemáticas
Profe: María
DEFINICIÓN DE CONJUNTOS
En matemáticas, un conjunto es una colección o agrupación de objetos, elementos o números.
Estos objetos, elementos o números se llaman "elementos" o "miembros" del conjunto. Los
conjuntos se representan mediante listas o agrupaciones de estos elementos entre llaves {}.
• Por ejemplo, el conjunto de números pares se puede representar como {2, 4, 6, 8, ...},
donde los números mencionados son los elementos del conjunto.
• Otro ejemplo es el conjunto de los colores primarios en pintura, que se representa como
{rojo, azul, amarillo}.Los conjuntos en matemáticas pueden ser finitos (con un número
determinado de elementos) o infinitos (con un número ilimitado de elementos).
• También pueden ser conjuntos vacíos, es decir, conjuntos sin elementos. Además, los
conjuntos pueden ser comparados y operados mediante diferentes operaciones, como la
unión, la intersección, la diferencia y el complemento, entre otras. Estas operaciones
permiten combinar o extraer elementos de uno o más conjuntos.
OPERACIONES CON CONJUNTOS
Las operaciones con conjuntos también conocidas como
álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones
sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las
operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión,
intersección, diferencia, diferencia simétrica y
complemento.
Ejemplo 1.
• dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y
B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos
será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
También se puede graficar del siguiente modo:
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la
unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
NÚMEROS REALES
Los números Reales, se denotan con la letra ® y se definen como el conjunto de números que agrupa o incluye los
números naturales (N), enteros (Z), racionales (Q) e irracionales (I).
También se puede decir, que cualquier número racional o irracional es un número real, R = Q ∪ I.
Por esta razón, se dice que todos los números pertenecen al conjunto R, excluyendo los números complejos.
Tampoco son números reales: Las fracciones del tipo. , ya que la división por cero no está definida. Por
ejemplo:
La raíz cuadrada de un número negativo , po por no estar definida dentro de los números reales.
La raíz par de cualquier número negativo de la forma r donde “n”es un número par.
El conjunto de los números reales tiene varias características, se dice con infinitos R ∈ (-∞,+∞). Siguen un orden y se
pueden representar en la recta real. Por último, pueden ser expresados como un número decimal.
Ejemplo
Determinar qué tipo de números son los
expuestos a continuación:
1
4/2
1/3
-5
-5,2
√2
√-1
i2
número π (pi)
0
Solución:
1 → es un número entero
4/2 → 4/2 = 2 por lo que es un
número entero
1/3 → es un número real racional
-5 → es un número entero
-5,2 → es un número real racional
√2 → es un número real irracional
√-1 → √-1 = i por lo que es un número
imaginario
i2= -1 → por lo que es un número
entero
número π (pi) → es un número real
irracional
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  • 1. MATEMÁTICAS Republica Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco” Programa Nacional de Formación Distribución y Logística Barquisimeto-Edo Lara Tatiana Garcia, 0202 Gerardo Gómez, 0202 Reynaldo Carmona, 0202 Franyeris Sánchez, 0202 Materia: Matemáticas Profe: María
  • 2. DEFINICIÓN DE CONJUNTOS En matemáticas, un conjunto es una colección o agrupación de objetos, elementos o números. Estos objetos, elementos o números se llaman "elementos" o "miembros" del conjunto. Los conjuntos se representan mediante listas o agrupaciones de estos elementos entre llaves {}. • Por ejemplo, el conjunto de números pares se puede representar como {2, 4, 6, 8, ...}, donde los números mencionados son los elementos del conjunto. • Otro ejemplo es el conjunto de los colores primarios en pintura, que se representa como {rojo, azul, amarillo}.Los conjuntos en matemáticas pueden ser finitos (con un número determinado de elementos) o infinitos (con un número ilimitado de elementos). • También pueden ser conjuntos vacíos, es decir, conjuntos sin elementos. Además, los conjuntos pueden ser comparados y operados mediante diferentes operaciones, como la unión, la intersección, la diferencia y el complemento, entre otras. Estas operaciones permiten combinar o extraer elementos de uno o más conjuntos.
  • 3. OPERACIONES CON CONJUNTOS Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento.
  • 4. Ejemplo 1. • dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: También se puede graficar del siguiente modo: Ejemplo 2. Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
  • 5. NÚMEROS REALES Los números Reales, se denotan con la letra ® y se definen como el conjunto de números que agrupa o incluye los números naturales (N), enteros (Z), racionales (Q) e irracionales (I). También se puede decir, que cualquier número racional o irracional es un número real, R = Q ∪ I. Por esta razón, se dice que todos los números pertenecen al conjunto R, excluyendo los números complejos. Tampoco son números reales: Las fracciones del tipo. , ya que la división por cero no está definida. Por ejemplo: La raíz cuadrada de un número negativo , po por no estar definida dentro de los números reales. La raíz par de cualquier número negativo de la forma r donde “n”es un número par. El conjunto de los números reales tiene varias características, se dice con infinitos R ∈ (-∞,+∞). Siguen un orden y se pueden representar en la recta real. Por último, pueden ser expresados como un número decimal.
  • 6. Ejemplo Determinar qué tipo de números son los expuestos a continuación: 1 4/2 1/3 -5 -5,2 √2 √-1 i2 número π (pi) 0 Solución: 1 → es un número entero 4/2 → 4/2 = 2 por lo que es un número entero 1/3 → es un número real racional -5 → es un número entero -5,2 → es un número real racional √2 → es un número real irracional √-1 → √-1 = i por lo que es un número imaginario i2= -1 → por lo que es un número entero número π (pi) → es un número real irracional 0 → es un número entero
  • 7. DESIGUALDADES Una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos ( en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad.) Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenados, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados • La notación a<b significa a es menor que b; Estás relaciones se conocen como desigualdades estrictas , puesto que a no puede ser iguale a b ; también puede leerse como “estrictamente menor que ’’ o “ estrictamente mayor que ” • La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b ; • La notación a ≥ b significa que a es mayor o igual o igual que b ; Este tipo de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias ( o no estrictas).
  • 8. • Resuelve y grafica la desigualdad • 3x−5>1 • Solución: • Empezamos escribiendo el problema original: • 3x−5>1 • Para despejar la variable, sumamos 5 a ambos lados de la desigualdad: • 3x−5+5>1+5 • Luego de simplificar, la expresión se reduce a: • 3x>6 • Para resolver, dividimos ambos lados por 3: •Graficamos la desigualdad con un punto abierto, ya que el 2 no está incluido en la solución. La solución es todos los números hacia la derecha del 2: Ejemplo:
  • 9. DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO El valor absoluto o módulo de un número real x, detonado por x ,es el valor de x sin considerar el signo sea este positivo o negativo. Por ejemplo, el valor absoluto de 3 es 3 y el valor absoluto – 3 es 3 . Algunos autores extienden la noción de valor absoluto a los números complejos, donde el valor absoluto coincide con el módulo. El valor absoluto está vinculado con las nociones de magnitudes y normas en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto un número R puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones , anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales
  • 10. DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro. La desigualdad | x | <3 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4 Así x > -3 y <3 el conjunto solución es {x|-3 < x <3 , x eR} Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b y si entonces si |a| > b, entonces a > b o a < -b
  • 11. • Ejemplo • Resolver la inecuación |5x + 2| >7 Solución Por lo que el conjunto solución es el intervalo (1, 8) - 3