1. Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy
GIẢI TÍCH 12
I.KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1) Đạo hàm của các hàm số đơn giản :
( ) 0
/
=C ( ) 1
/
=x
( ) x
x
2
1/
= ( ) 1/ −
= nn
nxx
2) Các quy tắc tính đạo hàm :
( ) ///
vuvu +=+ ( ) ///
vuvu −=− ( ) ///
. uvvuvu +=
2
///
v
uvvu
v
u −
=





//
.. ukuk = ,
Rk ∈ 2
//
1
v
v
v
−=





2
//
.
v
v
k
v
k
−=




 ( ) ////
.. uvwwuvvwuwvu ++=
2
/
11
xx
−=





( )2
/
dcx
bcad
dcx
bax
+
−
=





+
+
k
u
k
u //
=





, Rk ∈
xux uyy ///
.=
(Đạo hàm của hàm số hợp )
3)Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản:
Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của các hàm số hợp ( ( )xuu = )
( ) 1/
. −
= αα
α xx ( ) /1/
.. uuu −αα
α
2
/
11
xx
−=





2
//
1
v
v
v
−=





( ) x
x
2
1/
= ( ) u
u
u
2
/
/
=
( ) xx cossin
/
= ( ) uuu cos.sin //
=
( ) xx sincos
/
−= ( ) uuu sin.cos //
−=
( ) x
x
x 2
2
/
tan1
cos
1
tan +== ( ) ( )uu
u
u
u 2/
2
/
/
tan1
cos
tan +==
( ) ( )x
x
x 2
2
/
cot1
sin
1
cot +−=−= ( ) ( )uu
u
u
u 2/
2
/
/
cot1.
sin
cot +−=−=
( )
/x x
e e= ( )
/ /
.u u
e u e=
( ) aaa xx
ln.
/
= ( ) auaa uu
ln.. //
=
( )
x
x
1
ln
/
= ( )
u
u
u
/
/
ln =
( )
ax
xa
ln.
1
log
/
= ( )
au
u
ua
ln.
log
/
/
=
4) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số :
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba : dcxaxaxy +++= 23
( )0≠a
- TXĐ : RD =
- Tính đạo hàm /
y ; giải phương trình 0/
=y tìm yx ⇒
- Tính giới hạn :nếu 0>a lim
x
y
→+∞
= +∞ ; lim
x
y
→ −∞
= −∞ ; nếu 0<a lim
x
y
→ +∞
= −∞ ; lim
x
y
→ −∞
= +∞ ,
- Lập bảng biến thiên ( xét dấu /
y ), suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến ,điểm cực đại ,cực tiểu của hàm số.
- Đồ thị :
+ Cho các điểm lân cận của điểm cực đại , cực tiểu .
+ Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . Đồ thị của hàm số có một tâm đối xứng .
1

2. Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy
Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba: dcxaxaxy +++= 23
( )0≠a
Nếu 0>a Nếu 0<a
Nếu phương trình 0/
=y có 2
nghiệm phân biệt 21 ; xx
+ Hàm số có hai cực trị
+ Hàm số có 1 điểm uốn
y
2x 1x x
y
2x 1x x
Nếu phương trình 0/
=y có nghiệm
kép 21 xxx ==
+ Hàm số có không có cực trị
+ Hàm số có 1 điểm uốn
y
x
y
x
Nếu phương trình 0/
=y vô nghiệm
+ Hàm số có không có cực trị
+ Hàm số có 1 điểm uốn
y
x
y
x
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương : cbxaxy ++= 24
( )0≠a
- TXĐ : RD =
- Tính đạo hàm /
y ; giải phương trình 0/
=y tìm yx ⇒
- Tính giới hạn : nếu 0>a lim
x
y
→+∞
= +∞ ; lim
x
y
→−∞
= +∞ ; nếu 0<a lim
x
y
→+∞
= −∞ ; lim
x
y
→−∞
= −∞
- Lập bảng biến thiên (xét dấu /
y ), suy ra khoảng đồng biến ,nghịch biến; điểm cực đại ,cực tiểu của hàm số
- Đồ thị :
+ Cho các điểm lân cận của điểm cực đại , cực tiểu .
+ Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . Đồ thị của hàm số đối xứng qua trục Oy .
Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn: cbxaxy ++= 24
( )0≠a
Nếu 0>a Nếu 0<a
Nếu phương trình 0/
=y có 3
nghiệm phân biệt 1 2 3; ;x x x .
+ Hàm số có ba cực trị
y
1x 3x x
y
1x 3x x
2
O O
O O
O O
O O

3. Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy
Nếu phương trình 0/
=y có 1
nghiệm 0=x
+ Hàm số có không có cực trị
y
x
y
x
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm phân thức :
dcx
bax
y
+
+
= , ( )0,0 ≠−≠ bcada
- TXĐ :






−=
c
d
RD c
d
xy −≠∀> ;0/
, nếu 0>− bcad
- Tính đạo hàm
( )2
/
dcx
bcad
y
+
−
=
c
d
xy −≠∀< ;0/
, nếu 0<− bcad
- Tính giới hạn và kết luận các đường tiệm cận : lim
x
a
y
c→+∞
= ; lim
x
a
y
c→−∞
=
c
a
y =⇒ là tiệm cận ngang
Nếu
c
d
xy −≠∀> ;0/
thì
+∞=
−
−→
c
d
x
ylim
và
−∞=
+
−→
c
d
x
ylim
Nếu
c
d
xy −≠∀< ;0/
thì và
−∞=
−
−→
c
d
x
ylim +∞=
+
−→
c
d
x
ylim
- Lập bảng biến thiên :
Nếu
c
d
xy −≠∀> ;0/
Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng ; à ;
d d
v
c c
   
−∞ − − +∞ ÷  ÷
   
và không có cực trị .
Nếu
c
d
xy −≠∀< ;0/
3
x
∞− c
d
− ∞+
/
y + +
y c
a
∞+
c
a
∞−
x
∞− c
d
− ∞+
/
y
y c
a
∞− +∞
c
a
O
d
x
c
⇒ = −
là tiệm cận đứng
O

4. Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy
Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng ; à ;
d d
v
c c
   
−∞ − − +∞ ÷  ÷
   
và không có cực trị .
- Cho điểm đặc biệt :
+ Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung (nếu có): Cho
d
b
yx =⇒=0
+ Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành (nếu có): Cho
a
b
xbaxy −=⇔=+⇔= 00
- Vẽ đồ thị :
+ Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị .
+ Đồ thị gồm hai nhánh đối xứng nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận hay điểm 





−
c
a
c
d
I ; .
+Ta vẽ hai đường tiệm cận trước , rồi vẽ 2 nhánh riêng biệt đối xứng nhau qua I .
Các dạng đồ thị của hàm phân thức :
dcx
bax
y
+
+
= , ( )0,0 ≠−≠ bcada
4
/
0y < /
0y >
y
x
c
d
x −=
y
O
x
c
a
y =
Oc
a
y=

5. Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy
5) Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số :
a) Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình cho trước ( ) 0, =mxg ( )1
Cách giải :
+ Đưa phương trình( )1 về dạng : ( ) BAmxf += , trong đó ( )xfy = là đồ thị ( )C đã vẽ và BAmy += ( )d
là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox .
+ Số nghiệm của phương trình( )1 là số hoành độ giao điểm của đồ thị ( )C và ( )d
+ Dựa vào đồ thị biện luận (có 5 trường hợp ), thường dựa vào CĐy và CTy của hàm số để biện luận .
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( )xfy = tại điểm ( ) ( )CyxM ∈00 ;
Cách giải : Phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C của hàm số ( )xfy = tại điểm ( ) ( )CyxM ∈00 ; có dạng :
( ) ( )/
0 0 0y f x x x y= − + ( )2 . Thế ( )0
/
00 ;; xfyx đã cho hoặc vừa tìm vào ( )2 ta được tiếp tuyến cần tìm.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( )xfy = biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước:
Cách giải : Phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C của hàm số ( )xfy = có dạng : ( )0 0y k x x y= − + ( )3
Gọi ( )0 0;M x y là tọa độ tiếp điểm . Do tiếp tuyến có hệ số góc k nên ( )/
0f x k= , giải phương trình tìm được
( )000 xfyx =⇒ .Suy ra phương trình tiếp tuyến (3)
d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C của hàm số ( )xfy = biết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với
một đường thẳng cho trước.
Cách giải : Phương trình tiếp tuyến có dạng : ( )0 0y k x x y= − + ( )4
Gọi ( )0 0;M x y là tọa độ tiếp điểm .
+ Nếu tiếp tuyến song song với đthẳng baxyd +=: thì ( ) axf =0
/
, giải pt tìm được ( )000 xfyx =⇒ .
Kết luận phương trình tiếp tuyến .
+ Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng baxyd +=: thì ( ) ( )
a
xfaxf
1
1. 0
/
0
/
−=⇔−= .
Giải phương trình này tìm được ( )000 xfyx =⇒ . Kết luận phương trình tiếp tuyến .
e) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )xfy = trên đoạn [ ]ba; :
Cách giải :
+ Tính ( )xf /
, giải phương trình ( ) 00
/
=xf tìm nghiệm [ ]bax ;0 ∈ ; Tính các giá trị : ( )af ; ( )0xf ; ( )bf
+ Kết luận : [ ]
( ) ( ) ( ) ( ){ }0
;
(f ) ; ;axa b
x max f a f x f bm = ; [ ]
( ) ( ) ( ) ( ){ }0
;
f ; ;
a b
M in x Min f a f x f b=
f) Tìm tham số m để hàm số ( )xfy = có cực trị (cực đại, cực tiểu ):
Cách giải : + Tính đạo hàm /
y , tính ∆ hoặc /
∆ của /
y .
+ Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì phương trình 0/
=y có hai nghiệm phân biệt { ma
⇒⇔ ≠
>∆
0
0
g) Tìm tham số m để hàm số ( )xfy = đạt cực trị tại 0xx = :
Cách giải : + Tính đạo hàm ( )xfy //
= ;
+ Hàm số đạt cực trị tại 0xx = ( ) mxf ⇒⇔ 0
/
h) Tìm tham số m để hàm số ( )xfy = đạt cực đại tại 0xx = :
Cách giải :+ Tính đạo hàm ( )xfy //
= ; + Tính đạo hàm ( )xfy ////
= ;
+ Hàm số đạt cực đại tại 0xx =
( )
( )
{ mxf
xf
⇒⇔ =
<
0
0
0
/
0
//
5

6. Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy
i) Tìm tham số m để hàm số ( )xfy = đạt cực tiểu tại 0xx = :
Cách giải : + Tính đạo hàm ( )xfy //
= ; + Tính đạo hàm ( )xfy ////
=
+ Hàm số đạt cực tiểu tại 0xx =
( )
( )
{ mxf
xf
⇒⇔ =
>
0
0
0
/
0
//
k) Tìm tham số m để hàm số ( )xfy = luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên TXĐ D của nó.
Cách giải : + Tìm MXĐ D của hàm số ( )xfy = . + Tính đạo hàm ( )xfy //
= , tính ∆ hoặc /
∆ của /
y .
+ Hàm số ( )xfy = đồng biến trên D { mDxy a
⇒⇔∈∀≥⇔ >
≤∆
0
0
/
0
+ Hàm số ( )xfy = nghịch biến trên D { mDxy a
⇒⇔∈∀≤⇔ <
≤∆
0
0
/
0
l) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của hàm số ( )xfy =
Cách giải 1 : + Tìm điểm cực đại ( )AA yxA ; và điểm cực tiểu ( )BB yxB ; của hàm số ( )xfy =
+ Viết phương trình đường thẳng
AB
A
AB
A
yy
yy
xx
xx
AB
−
−
=
−
−
:
Cách giải 2 : Cho hàm số bậc ba ( )xfy =
+Tính y’. Viết lại ( ) ( )'. xy y g h x= + .Gọi 1 2,x x lần lượt là hai điểm cực trị, ta có ( ) ( )1 2' 0; ' 0y x y x= = .
+ Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là ( )y h x= .
Cho hàm số hữu tỷ
( )
( )
f x
y
g x
=
,
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
( )
( )
'
'
f x
y
g x
= .
II . LŨY THỪA, LÔGARIT, PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1. Tính chất của lũy thừa:
Với 0; 0a b≠ ≠ và với các số nguyên m, n ta có:
1. .m n m n
a a a +
= ; 2.
m
m n
n
a
a
a
−
= ; 3. ( )
n
m mn
a a= 4. ( ) .
n n n
ab a b= ; 5.
n n
n
a a
b b
 
= ÷
 
Cho ,m n là những số nguyên: Với 0a > thì m n
a a m n> ⇔ > ; Với 0 1a< < thì m n
a a m n> ⇔ <
2. Lôgarit:
1. Định nghĩa:
log
log 1 0;log 1
log ,
, , 0a
a a
b
a
b
a
a b b
a b b b
= =
= ∀ ∈
∀ ∈ >
¡
¡
2. So sánh hai logarit cùng cơ số
a. Khi 1α > thì
log logb c b cα α> ⇔ >
b. Khi 0 1α< < thì
log logb c b cα α> ⇔ <
3. Các quy tắc tính lôgarit:
( )log log loga a abc b c= +
log log loga a a
b
b c
c
 
= − ÷
 
log loga ab bα
α=
4. Với số a dương khác 1, số dương b và số
nguyên dương n , ta có:
1
log loga a b
b
= − ;
1
log logn
a ab b
n
= ;
1
log
log
a
b
b
a
= ; log .log 1a bb a =
5. Với ,a b là số dương khác 1 và c là số dương,
ta có:
log
log
log
a
b
a
c
c
b
= hay log .log loga b ab c c=
3. Gỉai phương trình mũ và lôgarit :
• Daïng cô baûn:
1.
f (x)
a =
g(x)
a ⇔ f(x) = g(x) ; 2.
f (x)
a = b ( vôùi b > 0 ) ⇔ f(x) = log a b
6

7. Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy
3. log a f(x) = log a g(x) ⇔
f (x) 0
f (x) g(x)
>
=



4.
log f (x) ba
0 a 1
=
< ≠



⇔ f(x) =
b
a ;
• Ñaët aån phuï :
1.
2f (x)
a +β.
f (x)
a + γ = 0 ; Ñaët : t =
f (x)
a , t > 0; 2. b f (x)
a
+ +β.
b f (x)
a
−
+ γ = 0 ; Ñaët : t =
f (x)
a , t > 0
• Lôgarit hoaù hai veá :
4. Giải bất phương trình mũ và lôgarit
1.
f (x)
a >
g(x)
a ⇔
f (x) g(x) khi a 1
f (x) g(x) khi 0 a 1
> >
< < <



;
2.
f (x)
a > b Neáu b > 0 f(x) > log a b neáu a > 1; f(x) < log a b neáu 0 < a < 1
4. log a f(x) > log a g(x) (*) Ñk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a ≠ 1 . a>1, (*) ⇔ f(x) > g(x) ; 0<a<1, (*) ⇔ f(x) <
g(x)
5. log a f(x) > b . Neáu a > 1 : bpt laø f(x) >
b
a . Neáu 0 < a < 1 bpt laø 0 < f(x) <
b
a
5. Đồ thị hàm số mũ- lôgarit
O x
a >1
y
1
Đồ thị hàm số mũ
O
x
y
0< a <1
1
Đồ thị hàm số lôgarit
O
x
a >1
y
1
O x
y
0< a <1
1OO
III .NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
1. Nguyên hàm
Công thức nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Một số công thức mở rộng
1. 0dx C=∫ ; 2. 1dx dx x C= = +∫ ∫
3.
1
1
x
x dx C
α
α
α
+
= +
+∫ ( )1α ≠ − ; 4.
1
lndx x C
x
= +∫
5. sin cosxdx x C= − +∫ ; 6. cos sin ;xdx x C= +∫
7. 2
1
tan ;
cos
dx x C
x
= +∫ 8. 2
1
cot .
sin
dx x C
x
= − +∫
9.
ln
x
x a
a dx C
a
= +∫ , ( )0 1 ;a< ≠ 10. ;x x
e dx e C= +∫
11. ( )
( )
( )
1
1
ax b
ax b dx C
a
α
α
α
+
+
+ = +
+∫ ( )1α ≠ − ; 12.
ln1 ax b
dx C
ax b a
+
= +
+∫
13. ( )
( )cos
sin
ax b
ax b dx C
a
+
+ = − +∫
14 ( )
( )sin
cos
ax b
ax b dx C
a
+
+ = +∫
15.
( )
( )
2
tan1
;
cos
ax b
dx C
ax b a
+
= +
+∫
16.
( )
( )
2
cot1
.
sin
ax b
dx C
ax b a
+
= − +
+∫
17. ( )
;
ax b
ax b e
e dx C
a
+
+
= +∫
2. Tích phân
a/. Tính chất: Giả sử các hàm số ,f g liên tục trên K và , ,a b c là ba số bất kì thuộc K . Khi đó ta có:
1. ( ) 0
a
a
f x dx =∫ 3. ( ) ( ) ( )
b c c
a b a
f x dx f x dx f x dx+ =∫ ∫ ∫ 5. ( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx=∫ ∫
( với .k ∈¡ )
7

8. Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy
2. ( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −∫ ∫ 4. ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫ ∫
b/ Phương pháp đổi biến số: ( ) ( ) ( )( )
( )'
b u b
a u a
f u x u x dx f u du  = ∫ ∫
Trong đó: ( )u u x= có đạo hàm liên tục trên K , hàm số ( )y f u= liên tục và sao cho hàm hợp ( )f u x   xác
định trên K ; a và b là hai số thuộc K .
c/ Phương pháp tích phân từng phần: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )' | '
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx= −∫ ∫ Hay |
b b
b
a
a a
udv uv vdu= −∫ ∫
Trong đó các hàm số ,u v có đạo hàm liên tục trên K và ,a b là hai số thuộc K
d/ Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng.
+ Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi:
( ) ( ):
: 0
2 : ;
C y f x
Ox y
dt x a x b
 =

=
 = =
là ( )
b
a
S f x dx= ∫
+ Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi:
( ) ( )
( ) ( )
1
2
:
:
2 : ;
C y f x
C y g x
dt x a x b
 =

=
 = =
là ( ) ( )
b
a
S f x g x dx= −∫
e/ Ứng dụng của tích phân để tính thể tích vật thể tròn xoay
+ Thể tích khối tròn xoay được tạo nên do hình phẳng được giới hạn bởi:
( ) ( ):
: 0
2 : ;
C y f x
Ox y
dt x a x b
 =

=
 = =
quay quanh trục hoành là: ( )
2b
a
V f x dxπ  =  ∫
+ Thể tích khối tròn xoay được tạo nên do hình phẳng được giới hạn bởi:
( ) ( ):
: 0
2 : ;
C x g y
Oy x
dt y a y b
 =

=
 = =
quay quanh trục tung là: ( )
2b
a
V g y dyπ  =  ∫
IV. SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC.
A. SỐ PHỨC (DẠNG ĐẠI SỐ)
1/ Số i: qui ước 2
1i = − ; Tập số phức:£ ;
2/ Số phức dạng đại số : z = a bi+ ( trong đó: a là phần thực, b là phần ảo a, b là các số thực, i là đơn vị ảo )
3/ Số phức bằng nhau: Cho 1 1 1 2 2 2, zz a bi a b i= + = + :
1 2
1 2
1 2
= z
a a
z
b b
=
⇔ 
=
4/ Biểu diễn hình học số phức: Điểm M biểu diễn cho số phức z a bi= + : ( ) ( ) ( );M a b hay M a bi hay M z+
5/ Cộng, trừ, nhân hai số phức: Cho 1 1 1 2 2 2, zz a bi a b i= + = +
a/ ( ) ( )1 2 1 2 1 2z z a a b b i+ = + + + ; b/ ( ) ( )1 2 1 2 1 2z z a a b b i− = − + − ; c/ ( )1 2 1 2 1 2 1 2 2 1.z z a a bb a b a b i= − + +
6/ Số phức liên hợp của z a bi= + là: z a bi a bi= + = − ( Chú ý: z z= )
7/ Môđun của số phức z a bi= + : 2 2
z a b= + ;
8/ Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số:
1
2
1
z z
z
−
=
9/ Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn 2
z w= được gọi là một căn bậc hai của w.
a/ w là số thực: + Căn bậc hai của 0 là 0
+ 0a > : có 2 căn bậc hai là à -a v a ;
8

9. Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy
+ 0a < : có 2 căn bậc hai là à -a i v a i− − . Chú ý: Hai căn bậc hai của -1 là i và -i
b/ w là số phức: ( ), ; 0w a bi a b b= + ∈ ≠¡ :
( ),z x yi x y= + ∈¡ là căn bậc hai của w khi và chỉ khi: ( )
22
z w x yi a bi= ⇔ + = +
Do ( )
2 2 2
2x yi x y xyi+ = − + nên
2 2
2
2
x y a
z w
xy b
 − =
= ⇔ 
=
Mỗi cặp số thực ( );x y nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai z = x yi+ của số phức w.
10/ Phương trình bậc hai: ( )2
0 1 ,( 0; , ,Az Bz C A A B C+ + = ≠ là những số phức). Xét 2
4B AC∆ = −
+ Nếu 0∆ ≠ , (1) có 2 nghiệm phân biệt: 1 2,
2 2
B B
z z
A A
δ δ− + − −
= = ,(với δ là một căn bậc hai của ∆ )
+ Nếu 0∆ = , (1) có nghiệm kép: 1 2
2
B
z z
A
= = −
Chú ý: Nếu ∆ là số thực dương, (1) có 2 nghiệm: 1 2,
2 2
B B
z z
A A
− + ∆ − − ∆
= = .
Nếu ∆ là số thực âm, (1) có 2 nghiệm: 1 2,
2 2
B i B i
z z
A A
− + −∆ − − −∆
= = .
B. SỐ PHỨC DẠNG LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG ϕ
1/ Acgumen của số phức z: Số đo ( radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen
của z, ϕ một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng: 2kϕ π+
2/ Dạng lượng giác của số phức: ( )cos sinz r iϕ ϕ= + , ( trong đó r z= ; ϕ một acgumen của z )
3/ Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác:
Nếu ( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2 1 2cos sin ; cos sin , ( 0, 0)z r i z r i r rϕ ϕ ϕ ϕ= + = + ≥ ≥
Thì ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2cos sinz z rr iϕ ϕ ϕ ϕ= + + +   ; ( ) ( )1 1
1 2 1 2 2
2 2
cos sin ( 0)
z r
i khi r
z r
ϕ ϕ ϕ ϕ= − + − >  
4/ Công thức Moa-vrơ và ứng dụng: a/ Công thức Moa-vrơ: ( ) ( )cos sin cos sin
n n
r i r n i nϕ ϕ ϕ ϕ+ = +  
b/ Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
( )cos sinz r iϕ ϕ= + có 2 căn bậc 2 là: 1 cos sin
2 2
z r i
ϕ ϕ 
= + ÷
 
; 2 cos sin cos sin
2 2 2 2
z r i r i
ϕ ϕ ϕ ϕ
π π
      
= − + = + + + ÷  ÷  ÷ 
      
HÌNH HỌC 12
I. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Khối chóp: Thể tích
1
3
V = Sđ .h , với h: chiều cao, Sñ : diện tích đáy.
2. Khối lăng trụ: Thể tích V = Sđ . h ,với h là chiều cao, Sñ là diện tích đáy
9
O
b
a
M
x
y
Khối chóp có một cạnh bên
vuông góc với đáy.
h
Khối tứ diện đều
h
Khối chóp có một cạnh
bên vuông với đáy là
hình bình hành
h
Khối chóp đều.
hh
Khối chóp có đáy là
một tam giác bất kì
h
Khối chóp có đáy
là một tứ giác
Trường hợp đáy là
một hình thang
h
Khối chóp đáy là hình
thang có cạnh bên
vuông góc với đáy.
hh
Khối chóp có
đáy là một hình
thang cân
h
Khối chóp có đáy
là một hình thang
vuông
h
hcb
ah
Khối hộp
( các mặt đều là hình
bình hành).
Khối hộp chữ nhật Khối lập phương
Khối lăng trụ có đáy là
một tam giác bất kì.
h
Khối lăng trụ đứng có
đáy là một tam giác
bất kì.
h

10. Diện tích hình tròn: 2
S Rπ= (với R là bk)
Chu vi đường tròn: 2 Rπ
Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq = rlπ ( với l là đường sinh)
Diện tích toàn phần của hình nón: Stp= Sxq + Sđ
Thể tích của khối nón:
1
3
V = Sđ .h , (với h là chiều cao).
Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy
3. Khối nón:
4. Khối trụ:
* Diện tích hình tròn: 2
S Rπ= (với R là bk)
* Chu vi đường tròn: 2 Rπ
* Diện tích xung quanh của hình trụ: 2xqS Rhπ=
( với h là chiều cao và h= l là đường sinh)
* Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp= Sxq + 2Sđ
* Thể tích của khối trụ: V = Sđ .h
5. Khối cầu: a. Diện tích mặt cầu: 2
4S Rπ= ; b. Thể tích khối cầu:
34
3
V Rπ=
6. Diện tích các đa giác cần nhớ:
a. ABC∆ vuông ở A :
1
S= AB.AC
2
; b. ABC∆ đều cạnh a: diện tích
2
a 3
S=
4
; đường cao:
a 3
h=
2
c. Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh; d. Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng
e. Diện tích hình thoi : S =
1
2(chéo dài x chéo ngắn); f. Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao
g. Diện tích hình thang :
1
2
S = [(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao]; h. Diện tích hình tròn : 2
S .Rπ=
II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1: TỌA ĐỘ VECTƠ - TỌA ĐỘ ĐIỂM
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
' ' ' ' ' '
' ' '
' ' '
1.Cho ; ; ; ; ; : ; ; ; ; ;
2.Cho ; ; ; ; ; ; cùng
u x y z v x y z u v x x y y z z k u kx ky kz
x y z
u x y z v x y z u v u kv k
x y z
= = ± = ± ± ± =
= = ⇔ = ⇔ = = =
r r r r r
r r r ur r r
phöông
3.Nếu điểm ( ); ;M M MM x y z chia đoạn AB ; 4. Nếu ( ); ;I I II x y z là trung điểm
theo tỉ số 1k ≠ thì
1
1
1
A B
M
A B
M
A B
M
x kx
x
k
y ky
y
k
z kz
z
k
−
= −

−
=
−
−
= −
của đoạn AB thì:
2
2
2
A B
I
A B
I
A B
I
x x
x
y y
y
z z
z
+
=

+
=

+
=

5. Nếu ( ); ;G G GG x y z là trọng tâm ; 6. Nếu ( ); ;E E EE x y z là trọng tâm
của tam giác ABC thì :
3
3
3
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
z z z
z
+ +
=

+ +
=

+ +
=

tứ diện ABCD thì:
4
4
4
A B C D
E
A B C D
G
A B C D
G
x x x x
x
y y y y
y
z z z z
z
+ + +
=

+ + +
=

+ + +
=

10
R
H
h
B
S
A
R
hh
R

11. Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy
BÀI 2: TÍCH VÔ HƯỚNG – TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG.
Cho ( ) ( )1 1 1 2 2 2; ; ; ; ;a x y z b x y z= =
r r
1. Tích vô hướng của hai vectơ: 1 2 1 2 1 2. . . .a b x x y y z z= + +
r r
là một số thực; 1 2 1 2 1 2 0a b x x y y z z⊥ ⇔ + + =
r r
2. Độ dài vectơ:
2 2 2
1 1 1a x y z= + +
r
3. ( ); ;B A B A B AAB x x y y z z= − − −
uuur
; ( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B AAB x x y y z z= − + − + − (khoảng cách giữa hai điểm A và B)
4.Bình phương vô hướng:
22 2 2 2
1 1 1a a x y z= = + +
r r
5.Góc giữa hai vectơ: Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ a
r
và b
r
thì
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.
os
. .
x x y y z za b
c
a b x y z x y z
ϕ
+ +
= =
+ + + +
r r
r r
6.Tích có hướng của hai vectơ:
+Định nghĩa: ( )1 1 1 1 1 1
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
, ; ; . . ; . . ; . .
y z z x x y
a b y z y z z x z x x y x y
y z z x x y
 
  = = − − − ÷ 
 
r r
là một vectơ.
+Tính chất:
+. , ; ,a b a a b b   ⊥ ⊥   
r r r r r r
; +. a
r
cùng phương với b
r
khi và chỉ khi , 0a b  = 
r r r
+. , . sina b a b ϕ  = 
r r r r
(ϕ là góc giữa hai vectơ a
r
và b
r
)
7.Diện tích tam giác ABC là:
1
,
2
ABCS AB AC =  V
uuur uuur
8.Ba vectơ a
r
, b
r
, c
r
đồng phẳng khi và chỉ khi: , . 0a b c  = 
r r r
Hệ quả: Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi và chỉ khi: , . 0AB AC AD  ≠ 
uuur uuur uuur
9.Thể tích của khối hộp ABCD. A’B’C’D’: , . 'V AB AD AA =  
uuur uuur uuur
( AB,AD, AA’ là 3 cạnh xuất phát từ đỉnh A)
10.Thể tích của khối tứ diện ABCD là:
1
, .
6
V AB AC AD =  
uuur uuur uuur
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Phương trình mặt phẳng ( )α đi qua điểm ( )0 0 0 0; ;M x y z và có vectơ pháp tuyến ( ); ;n A B C=
r
là:
( ) ( ) ( )0 0 0 0A x x B y y C z z− + − + − = Hay 2 2 2
0 ,( 0)Ax By Cz D A B C+ + + = + + ≠
2. Phương trình của các mặt phẳng tọa độ:
+ Mặt phẳng (Oxy): z = 0; + Mặt phẳng (Oyz): x = 0; + Mặt phẳng (Oxz): y = 0
Chú ý: mp ( )α 2 2 2
0 ,( 0)Ax By Cz D A B C+ + + = + + ≠ . Nếu ( ) ( )/ /β α thì ( ) ( ): ' 0 'Ax By Cz D D Dβ + + + = ≠
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
Phương trình đường thẳng:
Đường thẳng d đi qua ( )0 0 0 0; ;M x y z và có vectơ chỉ phương ( ); ;u a b c=
r
. Khi đó:
a. Phương trình tham số của đường thẳng d:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +

= +
 = +
( )t R∈
b. Phương trình chính tắc của đường thẳng là: ( )0 0 0
. . 0
x x y y z z
a b c
a b c
− − −
= = ≠
BÀI 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG, GIỮA ĐƯỜNG THẲNG- MẶT PHẲNG
1. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng: Cho 2 mp ( ) ( ): 0; : ' ' ' ' 0Ax By Cz D A x B y C z Dα β+ + + = + + + =
+ ( )α cắt ( )β ⇔ : : ': ': 'A B C A B C≠ ( Hai vectơ không cùng phương ).
11

12. Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy
+ ( ) ( )/ /
' ' ' '
A B C D
A B C D
α β ⇔ = = ≠
+ ( ) ( )
' ' ' '
A B C D
A B C D
α β≡ ⇔ = = =
2. VTTĐ giữa hai đường thẳng:
PP1:
Bước 1: Giải hệ pt hai đường thẳng d1 và d2:
+ Hệ có 1 nghiệm ⇒ d1 cắt d2; + Hệ có vô số nghiệm ⇒ d1 ≡ d2; + Hệ vô nghiệm ta có bước 2:
Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương 1u
ur
của đường thẳng d1 và vectơ chỉ phương 2u
uur
của đường thẳng d2
+Nếu 1u
ur
cùng phương 2u
uur
thì d1 // d2 ; + Nếu 1u
ur
kh ông cùng phương 2u
uur
thì d1 chéo d2
PP2: Tìm vectơ chỉ phương 1u
ur
của đường thẳng d1 và vectơ chỉ phương 2u
uur
của đường thẳng d2
TH1: Nếu 1u
ur
cùng phương 2u
uur
th ì ta tìm 1 1M d∈
+ Nếu 1 2 1 2/ /M d d d∉ ⇒ ; + Nếu 1 2 1 2M d d d∈ ⇒ ≡
TH2: Nếu 1u
ur
không cùng phương 2u
uur
thì ta tìm 1 1M d∈ v à 2 2M d∈
+ Nếu 1 2 1 2, . 0u u M M  = ⇒ 
ur uur uuuuuur
d1 cắt d2; + Nếu 1 2 1 2, . 0u u M M  ≠ ⇒ 
ur uur uuuuuur
d1 và d2 chéo nhau.
Ghi chú: 1.Đường thẳng 1 2 1 2. 0d d u u⊥ ⇔ =
ur uur
2.Để chứng minh d1 và d2 chéo nhau ta chứng minh: 1 2 1 2, . 0u u M M  ≠ 
ur uur uuuuuur
3. Vị trí giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng ∆ đi qua ( )0 0 0 0; ;M x y z và có vectơ chỉ phương ( ); ;u a b c=
r
và mặt phẳng ( ) : 0Ax By Cz Dα + + + = có vectơ ( ); ;n A B C=
r
a. ( )
( )
( )0
. 0
/ /
u n u n
M
α
α
 = ⊥
∆ ⇔ 
∉
r r r r
; b. ( )
( )
( )0
. 0u n u n
M
α
α
 = ⊥
∆ ⊂ ⇔ 
∈
r r r r
; c. ∆ cắt ( )α . 0u n⇔ ≠
r r
* Chú ý: ( ) , 0u kn u nα  ∆ ⊥ ⇔ = ∨ = 
r r r r r
BÀI 6: KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ điểm ( )0 0 0 0; ;M x y z đến mp ( ) : 0Ax By Cz Dα + + + = là:
( )( ) 0 0 0
0 2 2 2
;
Ax By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
2. Một số dạng toán về khoảng cách:
a. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ đi qua điểm ( )0 0 0 0; ;M x y z có vectơ chỉ phương u
r
: ( )
0,
,
u M M
d M
u
 
 
∆ =
r uuuuuur
r
b.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1∆ và 2∆ . 1∆ đi qua điểm M1 và có vectơ chỉ phương 1u
r
; 2∆ đi qua điểm
M2 và có vectơ chỉ phương 2u
r
là: ( )
1 2 1 2
1 2
1 2
, .
,
,
u u M M
d
u u
 
 
∆ ∆ =
 
 
ur uur uuuuuur
ur uur
c.Cho đường thẳng ( )/ / α∆ thì ( )( ) ( )( ), ,d d Mα α∆ = , với ( )M ∈ ∆
d.Cho mp ( ) ( )/ /α β thì ( ) ( )( ) ( )( ), ,d d Mα β β= , với ( )M α∈
e.Chiều cao h của hình chóp S. ABCD: ( )( ),h d S ABCD=
BÀI 7: GÓC
12

13. Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy
1. Góc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng 1∆ và 2∆ lần lượt có các vectơ chỉ phương là
( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2; ; , ; ;u a b c u a b c= =
ur uur
. Gọi ( )¼
1 2,ϕ = ∆ ∆
( ) 1 2 1 2 1 2
1 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
os os ,
.
a a bb c c
c c u u
a b c a b c
ϕ
+ +
= =
+ + + +
ur uur
. Chú ý: 1 2 1 2. 0u u∆ ⊥ ∆ ⇔ =
ur uur
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đhẳng ∆ có VTCP ( ); ;u a b c=
uur
và mp ( )α có VTPT ( ); ;n A B C=
r
( ) 2 2 2 2 2 2
sin os ,
.
Aa Bb Cc
c u n
A B C a b c
ϕ
+ +
= =
+ + + +
r r
(ϕ l à góc giữa đường thẳng ∆ và mp ( ∆))
3. Góc giữa hai mặt phẳng:
Cho hai mp ( ) : 0Ax By Cz Dα + + + = có VTPT ( ); ;n A B C=
r
và ( ) : ' ' ' ' 0A x B y C z Dβ + + + = có vectơ pháp tuyến
( )' '; '; 'n A B C=
r
là: ( ) 2 2 2 2 2 2
' ' '
os os , '
. ' ' '
AA BB CC
c c n n
A B C A B C
ϕ
+ +
= =
+ + + +
r ur
BÀI 8: MẶT CẦU
a. Phương trình mặt cầu (S):
1. Dạng 1: Mặt cầu (S) tâm ( ); ;I a b c ; bán kính R có pt là: ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
x a y b z c R− + − + − =
2. Dạng 2: Pt ( )2 2 2 2 2 2
2 2 2 0 0x y z ax by cz D a b c D+ + − − − + = + + − > , tâm ( ); ;I a b c , bán kính 2 2 2
R a b c D= + + −
b. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu:
Cho mặt cầu (S): ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
x a y b z c R− + − + − = và mp ( ) : 0Ax By Cz Dα + + + =
• Nếu ( )( ),d I Rα > thì mp( )α không cắt mặt cầu (S).
• Nếu ( )( ),d I Rα = thì mp( )α tiếp xúc mặt cầu (S) tại H ( ( )IH α⊥ tại H). Mặt phẳng( )α được gọi là tiếp diện của
(S) tại H.
• Nếu ( )( ),d I Rα < thì mp( )α cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) có phương trình là
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
0
x a y b z c R
Ax By Cz D
 − + − + − =

+ + + =
Đường tròn (C) được gọi là đường tròn giao tuyến.
• Tâm H của đường tròn (C) là hình chiếu của tâm I trên mp ( )α .
LƯỢNG GIÁC, GIẢI TÍCH 11
I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ:
1. Các hệ thức cơ bản: 2. Công thức biểu diễn theo tanx:
3. Các cung liên kết:
a. Cung đối: α và −α b. Cung bù: α và π −α c. Cung phụ: α và
2
π
−α
13
cos( ) cos
sin( ) sin
n( ) n
cot( ) cot
ta ta
−α = α
−α = − α
−α = − α
−α = − α
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) n
cot( ) cot
ta
π − α = α
π − α = − α
π − α = − α
π − α = − α
sin cos ; cos sin
2 2
tan cot ; cot tan
2 2
π π   
− α = α − α = α ÷  ÷
   
π π   
− α = α − α = α ÷  ÷
   
1. 2
2tan
sin2
1 tan
x
x
x
=
+
; 2.
2
2
1 tan
cos2
1 tan
x
x
x
−
=
+
; 3. 2
2tan
tan 2
1 tan
x
x
x
=
−1. 2 2
sin x cos x 1+ = ; 2.
sin
tanx
cos
x
x
=
3.
1
tan
cot
x
x
= ; 4.
cos
cot x
sin
x
x
=
5. 2
2
1
1 tan
cos
x
x
+ = ; 6. 2
2
1
1 cot
sin
x
x
+ =
( ) ( )
( ) ( )
1. sin 2 sin ; 2. os +k2 =cos ;
3. tan +k =tan ; 4. cot +k cot ;
k c
k Z
α π α α π α
α π α α π α
+ =
= ∈

14. Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy
d. Cung sai kém nhau π: α và π + α e. Cung hơn kém nhau
2
π
: α và
2
π
+ α
4. Bảng giá trị lượng giác của cung và góc đặc biệt:
α 0
0 0
30 0
45 0
60 0
90 0
120 0
135 0
150 0
180
0
6
π
4
π
3
π
2
π 2
3
π 3
4
π 5
6
π π
sinα 0 1
2
2
2
3
2
1 3
2
2
2
1
2
0
cosα 1 3
2
2
2
1
2
0 1
2
− 2
2
−
3
2
−
1−
tanα 0 1
3
1 3 P 3− 1− 1
3
−
0
cotα P 3 1 1
3
0 1
3
− 1− 3− P
PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
1. Phöông trình löôïng giaùc cô baûn: 2. Phương trình lượng giác đặc biệt:
sin u = sin v ⇔ 


+−=
+=
ππ
π
2
2
kvu
kvu
( k ∈ Z ) 1. sin u = 1⇔ 2
2
u k
π
π= + ; 2. sin u = -1 ⇔
2
2
u k
π
π= − + ;
3. sin 0u u kπ= ⇔ = ( k ∈ Z )
14
tan( ) tan
cot( ) cot
sin( ) sin
cos( ) cos
π+α = α
π+α = α
π+α = − α
π+α = − α
sin cos ; cos sin
2 2
tan cot ; cot tan
2 2
π π   
+ α = α + α = − α ÷  ÷
   
π π   
+ α = − α + α = − α ÷  ÷
   
5.Công thức cộng
1.cos( ) cos cos sin sina b a b a b+ = −
2.cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +
3.sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +
4.sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −
5.
tan tan
tan( )
1 tan tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
6.
tan tan
tan( )
1 tan tan
a b
a b
a b
−
− =
+
6.2. Công thức nhân ba
1. 3
cos3 4cos 3cosa a a= −
2. 3
sin3 3sin 4sina a a= −
3.
3
2
3tan tan
tan3
1 3tan
a a
a
a
−
=
−
6.1. Công thức nhân đôi
1.
2 2
2 2
cos2 cos sin
2cos 1 1 2sin
a a a
a a
= − =
= − = −
2. sin 2 2sin cosa a a=
3. 2
2 tan
tan 2
1 tan
a
a
a
=
−
7. Công thức biến đổi
tích thành tổng
1.
1
cos cos [cos( ) cos( )]
2
a b a b a b= + + −
2.
1
sin sin [cos( ) cos( )]
2
a b a b a b
−
= + − −
3.
1
sin cos [sin( ) sin( )]
2
a b a b a b= + + −
6. 3. Công thức hạ bậc:
1. 2 1 cos2
cos
2
a
a
+
= ; 2. 2 1 cos2
sin
2
a
a
−
=
3. 2 1 cos2
tan
1 cos2
a
a
a
−
=
+
8. Công thức biến đổi
tổng thành tích
1. cos cos 2cos cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
2. cos cos 2sin sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
3. sin sin 2sin cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
4.sin sin 2cos sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =
9. Một số công thức cơ bản
1.cos sin 2 cos( )
4
a a a
π
+ = − ; 2. cos sin 2 sin( )
4
a a a
π
+ = +
3. cos sin 2 cos( )
4
a a a
π
− = + ; 4. cos sin 2 sin( )
4
a a a
π
− = − −
5. 4 4 2 2
cos sin 1 2sin cosa a a a+ = − ; 6. 4 4
cos sin os2a a c a− =
7. 6 6 2 2
cos sin 1 3sin cosa a a a+ = − ; 8. ( )6 6 2 2
cos sin os2a 1 sin cosa a c a a− = −
9.
( )sin
t ana tan
cos .cos
a b
b
a b
+
+ = ; 10.
( )sin
t ana-tan
cos .cos
a b
b
a b
−
=

15. Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy
cos u = cos v ⇔
2
2
u v k
u v k
π
π
= +
 = − +
( k ∈
Z )
4. cosu = 1⇔ 2u k π= ; 5. cos u = -1 ⇔
2u kπ π= + ;
6. os 0
2
c u u k
π
π= ⇔ = + ( k ∈ Z )
tanu = tanv ⇔ u = v + kπ ( k ∈
Z )
7. tan u = 1⇔ 4
u k
π
π= + ; 8. tan u = -1 ⇔
4
u k
π
π= − + ;
9. tan 0u u kπ= ⇔ = ( k ∈ Z )
cotu = cotv ⇔ u = v + kπ ( k ∈
Z )
10. cot u = 1⇔ 4
u k
π
π= + ; 11. cot u = -1 ⇔
4
u k
π
π= − + ;
12. cot 0
2
u u k
π
π= ⇔ = + ( k ∈ Z )
3. Phöông trình baäc hai , bậc ba đối với một hàm số lượng giác:
Đặt ẩn phụ: sinx; t = cosxt = , điều kiện: 1 1t− ≤ ≤ ; Đặt ẩn phụ:
2 2
sin x; t = cos xt = , điều kiện: 0 1t≤ ≤ ;
4. Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx: acosx + bsinx = c (1) trong ñoù a2
+ b2
≠ 0.
Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: 2 2 2
a b c+ ≥ .
Caùch giải : chia hai vế phương trình cho
2 2
a b+ , đưa pt về dạng :sin u = sin v hoặc cos u = cos v
5. Phöông trình ñaúng caáp bậc hai đối với sinx vaø cosx : asin2
x + bsinx cosx + c.cos2
x = 0 .
+ Xeùt cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm .
+Xeùt cos 0x ≠ chia hai veá cuûa phöông trình cho cos
2
x roài ñaët t = tanx, pt trở thành pt
2
.tan .tanx+c = 0a x b+
6. Phöông trình đối xứng : a( sinx + cosx ) + b sinxcosx + c = 0 .
a) Ñaët t = sinx + cosx = 2 os x -
4
c
π 
 ÷
 
, ñieàu kieän 22 ≤≤− t khi ñoù sinx.cosx =
2
12
−t
Ta ñöa phöơng trình ñaõ cho veà phöông trình baäc hai hoặc bậc 3 theo t . Gỉai chọn t, suy ra nghiệm x.
b) Phöông trình coù daïng :a( sinx - cosx ) + bsinxcosx + c = 0 . Ñaët t = sinx – cosx = 2 sin x -
4
π 
 ÷
  ,
ñieàu kieän 22 ≤≤− t khi ñoù sinx.cosx =
2
1 2
t−
. Ta giải tương tự 6a).
7. Phương trình tích: A.B.C = 0 0 0 0A B C⇔ = ∨ = ∨ = ; 8. Tổng các bình phương:
2
2 2
2
0
0
A
A B
B
 =
+ = 
=
HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP- TỔ HỢP - NHỊ THỨC NIUTƠN. XÁC SUẤT
1. Hoán vị:
a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép
hoán vị các phần tử của tập A.
b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n; 0!=1! = 1.
2. Chỉnh hợp:
15

16. Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số k ∈¥ mà 1 k n≤ ≤ . Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi
đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu k
nA là: ( ) ( )
( )
k
n
n!
A n. n 1 ... n k 1
n k !
= − − + =
−
.
3. Tổ hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số k ∈¥ mà 1 k n≤ ≤ . Một tập hợp con của A có k phần tử được gọi
là một tổ hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu k
nC là:
( )
( ) ( )k
n
n n 1 ... n k 1n!
C
k! n k ! k!
− − +
= =
−
c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:
+ ( )* k n k
n nCho a, k :C C 0 k n−
∈ = ≤ ≤¥ ; + ( )* k k k 1
n 1 n nCho a, k : C C C 1 k n−
+∈ = + ≤ ≤¥
4. Khai triển nhị thức Niutơn: ( )
n
n k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n n
n n n n n
k 0
a b C a b C a C a b .. C a b .. C b− − −
=
+ = = + + + + +∑
Nhận xét:
+ Trong khai triển nhị thức Niuton ( a+b)n
có n + 1 số hạng.
+ Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n.
+ Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau.
+ Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu Tk+1 thì:
k n k k
k 1 nT C a b−
+ =
+
0 1 2 n n
n n n nC C C ... C 2+ + + + = ;
+ ( ) ( )
k n0 1 2 3 k n
n n n n n nC C C C ... 1 C ... 1 C 0− + − + + − + + − = .
5. XAÙC SUAÁT
1. Bieán coá
Khoâng gian maãu Ω: laø taäp caùc keát quaû coù theå xaûy ra cuûa moät pheùp thöû.
Bieán coá A: laø taäp caùc keát quaû cuûa pheùp thöû laøm xaûy ra A. A ⊂ Ω.
Bieán coá khoâng: ∅; Bieán coá chaéc chaén: Ω; Bieán coá ñoái cuûa A: A A= Ω ;
Hôïp hai bieán coá: A ∪ B .Giao hai bieán coá: A ∩ B (hoaëc A.B);
Hai bieán coá xung khaéc: biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.A ∩ B = ∅
Hai bieán coá ñoäc laäp: neáu xác suất xaûy ra bieán coá naøy khoâng aûnh höôûng ñeán xác suất xaûy ra của
bieán coá kia.
2. Xaùc suaát
Xaùc suaát cuûa bieán coá: P(A) =
( )
( )
n A
n Ω
=
AΩ
Ω ; 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(Ω) = 1; P(∅) = 0
(Với n(A): là số trường hợp thuận lợi để biến cố A xảy ra; n( Ω ) là số trường hợp đồng khả năng của không gian mẫu)
Xác suất của biến cố đối: P( A) = 1 – P(A);
Qui taéc coäng: nếu A ∩ B = ∅ thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Vôùi A, B baát kì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A.B);
Qui taéc nhaân: Neáu A, B ñoäc laäp thì P(A.B) = P(A). P(B)
(Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng: 2a c b+ = .
Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân: 2
.a c b= )
16

17. Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy
ĐẠI SỐ 10
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC, CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Cách giải phương trình bậc hai: ax2
+ bx + c = 0 ( a ≠ 0) (1) , ta có: ∆ = b2
– 4ac
∆ > 0
a
b
x
2
1
∆+−
= ,
a
b
x
2
2
∆−−
=
∆ = 0
Nghiệm kép
a
b
xx
2
21 −==
∆ < 0 Vô nghiệm
Nếu phương trình bậc 2: ax2
+ bx +c = 0 (*) có 2 nghiệm x1 , x2 (a ≠ 0) thì tổng và tích 2 nghiệm đó thỏa:
Hệ thức Vi-ét:
1 2
1 2.
b
x x
a
c
x x
a

+ = −

 =

Chú ý:
+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x1 = 1 và x2 =
c
a
+ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x1 = -1 và x2 =
c
a
−
Hệ quả: Nếu 2 số u, v có tổng S = u + v và tích P = u.v thì chúng là nghiệm của phương trình: x2
– S.x + P = 0
2 .PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN
a/ 2
0B
A B
A B
≥
= ⇔ 
=
; b/ 0 ( 0)
A B
A B
A hayB
=
= ⇔ 
≥ ≥
3 .BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN
a/
2
0
0
A
A B B
A B
 ≥

< ⇔ >
 <
; b/ 2
00
0
BB
A B
A A B
≥< 
> ⇔ ∨ 
≥ > 
; c/
2
0
0
A
A B B
A B
 ≥

≤ ⇔ ≥
 ≤
4 .PHÖÔNG TRÌNH COÙ DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI
a/ 0 0
A B A B
A B
B B
= = − 
= ⇔ ∨ 
≥ ≥ 
; b/ 


−=
=
⇔=
BA
BA
BA ;
5.BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI
a/



>
<<−
⇔<
0B
BAB
BA ; b/ A B A B A B> ⇔ <− ∨ > ; c/
22
BABA >⇔>
6. a. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi)
Cho hai số không âm ;a b . Ta có:
2
a b
ab
+
≥ . Dấu “=” xảy ra khi a = b.
b. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
17
nếu x ≥ 0
nếu x < 0

18. Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy
0
0
x
x
x
>
= 
− >
.Từ định nghĩa suy ra: với mọi x R∈ ta có: |x| ≥ 0; |x|2
= x2
; x ≤ |x| và -x ≤ |x|
Định lí: Với mọi số thực a và b ta có:
|a + b| ≤ |a| + |b| (1); |a – b| ≤ |a| + |b| (2)
|a + b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b ≥ 0; |a – b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b ≤ 0
HÌNH HỌC 10
18

19. Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy
I. PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG MAËT PHAÚNG
Baøi 1. VECTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ
1. Điểm
→→→
+=⇔ 21),( yexeOMyxM .
2. Cho A( xA, yA ), B( xB, yB );
a. ),( ABAB yyxxAB −−=
→
; b.
2 2
( ) ( )B A B AAB x x y y= − + − ; c. Toïa ñoä trung ñieåm I cuûa AB :






+
=
+
=
2
2
BA
BA
yy
y
xx
x
d. Toïa ñoä ñieåm M chia AB theo tæ soá k ≠ 1 :






−
−
=
−
−
=
k
yky
y
k
xkx
x
BA
BA
1
.
1
.
3.Pheùp toaùn : Cho ),( 21 aaa =
→
, ),( 21 bbb =
→
a.



=
=
⇔=
→→
22
11
ba
ba
ba ; b. ),( 2211 bababa ±±=±
→→
; c. ),(. 21 mamaam =
→
; d. 2211 bababa +=
→→
e.
2
2
2
1 aaa +=
→
; f. 02211 =+⇔⊥
→→
bababa ; g. 2
2
2
1
2
2
2
1
2211
.
,
bbaa
baba
baCos
++
+
=




 →→
Baøi 2 . ÑÖÔØNG THAÚNG
1/. Phöông trình tham soá :



+=
+=
tayy
taxx
20
10
, vectô chæ phöông laø: ),( 21 aaa =
→
2/. Phöông trình toång quaùt : Ax + By + C = 0 ( A2
+ B2
≠ 0)
a. Vectô phaùp tuyeán: ),( BAn =
→
; b. Vectô chæ phöông laø: ),( ABa −=
→
( hay ),( ABa −=
→
)
c.Heä soá goùc cuûa ñöôøng thaúng laø ( 0)
A
k B
B
= − ≠
3/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua M( x0, y0) coù heä soá goùc k : 0 0( )y y k x x− = −
4/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A(xA, yA) vaø B(xB, yB) : (x – xA)(yB – yA) = (y – yA)(xB – xA)
hay
AB
A
AB
A
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
5/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( ñoïan chaén): 1=+
b
y
a
x
19

20. a amh
a
bc
MH CB
A
Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy
II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
A. Tam giaùc thöôøng ( caùc ñònh lyù)
Ñònh lí haøm soá Cosin 2 2 2
2 .a b c bc cosA= + − ⇒
2 2 2
2
b c a
cosA
bc
+ −
=
Ñònh lí haøm soá Sin 2
a b c
R
sinA sinB sinC
= = = ⇒ 2 . ;sin
2
a
a R sinA A
R
= =
Ñònh lí haøm soá Tan
2
2
A B
tan
a b
A B a btan
−
−
=
+ +
Caùc chieáu
cCosBbCosCa +=
Ñoä daøi ñöôøng trung tuyeán 4
)(2 222
2 acb
ma
−+
=
Ñoä daøi ñöôøng phaân giaùc
2 .
2
a
A
bc Cos
l
b c
=
+
Dieän tích tam giaùc thường
1. cba chbhahS
2
1
2
1
2
1
=== ; 2. prS =
2. R
abc
S
4
= ; 4. ))()(( cpbpappS −−−=
5. abSinCacSinBbcSinAS
2
1
2
1
2
1
===
1. Tam giác đều cạnh a: a) Đường cao: h =
a 3
2
; b) S =
2
a 3
4
c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
2. Tam giác vuông: S =
1
2
ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)
3. Tam giác vuông cân a) S =
1
2
a2
(2 cạnh góc vuông bằng nhau) ; b) Cạnh huyền bằng a 2
4. Tam giác cân: S =
1
ah
2
(h: đường cao; a: cạnh đáy)
5. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)
6. Hình thoi: S =
1
2
d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)
7. Hình vuông: a) S = a2
b) Đường chéo bằng a 2
8. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
9. Đường tròn: a) C = 2πR (R: bán kính đường tròn) b) S = πR2
(R: bán kính đường tròn)
Chuù yù:
1. ( ) ( ) ( )
2 2 2
S A B C
r p a tan p b tan p c tan
p
= = − = − = − với rlà bán kính đường tròn bàng tiếp tam giác.
2. 4 2 2 2
abc a b c
R
S sinA sinB sinC
= = = =
Vôùi a, b, c :caïnh tam giaùc; A, B, C: goùc tam giaùc;
20

21. H
B C
A
Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy
ha: Ñöôøng cao töông öùng vôùi caïnh a; ma:Ñöôøng trung tuyeán veõ töø A
3.R, r :Baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi, noäi tieáp tam giaùc, 2
cba
p
++
= là nửa chu vi tam giaùc.
B. Heä thöùc löôïng tam giaùc vuoâng:
1.
2
.AH BH CH= ;
2. . .AH BC AB AC= ;
3. BCBHAB .2
= ;
4. 2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= + hay 2 2 2
1 1 1
h a c
= + ;
5. CBCHAC .2
= ;
6.
222
ACABBC +=
Chúc các em ôn tập hiệu quả và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi sắp tới !
21