1. ng d ng tích phân tính di n tích, th tích
NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH DI N TÍCH, TH TÍCH
I. DI N TÍCH HÌNH PH NG XÁC NH B I Ư NG CONG y = f(x)
1. DI N TÍCH HÌNH PH NG GI I H N B I 1 Ư NG CONG:
( C ) : y = f ( x )

1.1. Bài toán: Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i Ox : y = 0
 x = a, x = b
y 
f(x) > 0 y
O a b x
S
S
O a b x
b f(x) < 0
1.2. Công th c t ng quát : S= ∫
a
f ( x ) dx
1.3. Công th c khai tri n:
b y f(x) > 0
a. S = ∫ f ( x ) dx a n u f(x) ≥ 0
a f(x) > 0
b
S3 x
∫
b. S = − f ( x ) dx n u f(x) ≤ 0
a
O a
S1
c d b
S2
c d b
c. S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
f(x) < 0
a c d
2. DI N TÍCH HÌNH PH NG GI I H N B I 2 Ư NG CONG:
( C1 ) : y = f ( x )

2.1. Bài toán: Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i ( C2 ) : y = g ( x )

 x = a, x = b
b
2.2. Công th c t ng quát: S= ∫
a
f ( x ) − g ( x ) dx
y y
f(x) f(x) g(x)
S x S1 S2 x
O a b O a c b
g(x) g(x) f(x)
217

2. Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương
2.3. Công th c khai tri n:
b
a. S = ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx
a
n u f(x) ≥ g(x) ∀x∈[a, b]
b
b. S = ∫ ( g ( x ) − f ( x ) ) dx
a
n u f(x) ≤ g(x) ∀x∈[a, b]
c b
c. S = ∫
a
( f ( x ) − g ( x ) ) dx + ∫ ( g ( x ) − f ( x ) ) dx
c
3. DI N TÍCH HÌNH PH NG GI I H N B I CÁC Ư NG CONG T C T KHÉP KÍN
( C1 ) : y = f ( x )

3.1. Bài toán 1: Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i 
( C2 ) : y = g ( x )

y
x = a f(x)
Bư c 1: Gi i phương trình: f ( x ) = g ( x ) ⇔ 
x = b
 S
b
g(x) x
Bư c 2: S d ng S = ∫a
f ( x ) − g ( x ) dx
O a b
y
3.2. Bài toán 2: Tìm di n tích hình ph ng g(x) C f(x)
( C1 ) : y = f ( x ) A h(x)

 S
S gi i h n b i ( C2 ) : y = g ( x ) B

( C3 ) : y = h ( x )
 O a c b x
Bư c 1: Gi i phương trình tương giao → tìm hoành giao i m
C ≡ ( C1 ) ∩ ( C2 ) gi i phương trình f(x) = g(x)
C ≡ C1 ∩ C2



A ≡ C ∩ C
 A ≡ ( C2 ) ∩ ( C3 ) gi i phương trình g(x) = h(x)
 2 3

B ≡ C ∩ C
 B ≡ ( C3 ) ∩ ( C1 ) gi i phương trình h(x) = f(x)


 3 1
c b
Bư c 2: S d ng S = ∫a
( f ( x ) − h ( x ) ) dx + ∫ ( g ( x ) − h ( x ) ) dx
c
4. CHÚ Ý:C n ph i i n " vdt" vào k t qu cu i cùng trong các bài toán
tính di n tích hình ph ng
218

3. ng d ng tích phân tính di n tích, th tích
5. CÁC BÀI T P M U MINH H A
Bài 1. Tính S: {( P ) : x
1
2
= ay ; ( P2 ) : y 2 = ax } ( a > 0)
y
Gi i
 x2  2 x4
y = y = 2 a
( P1 ) ∩ ( P2 ) :  a ⇔  a (P )
1
 y2 = ax  y2 = ax
  S
x 4
 = ax  4 3
x = a x  x = 0, y = 0 O a x
⇔  a2 ⇔ 2 ⇔
 y2 = ax  y = ax
  x = a, y = a (P )
 2
a
a
 x2  2 a x3  2a 2 a 3 a 2
0
∫
S =  ax −
 a 
 dx = 
 3
x x−  =
3a  3
−
3a
=
3
( vdt)
0
{
Bài 2. Tính S: (C ) : y 2 − 2y + x = 0 ; ( D ) : x + y = 0 }
y
Gi i
(C ) : y 2 − 2y + x = 0
 (C ) : x = − y 2 + 2y
 3
 ⇔ 
( D ) : x + y = 0
 ( D ) : x + y = 0
 2
x S
 y = 0; x = 0 + 1
(C ) ∩ ( D ) : − y 2 + 2y + y = 0 ⇔  y
=
 y = 3; x = −3 0
3 3
-3
S = ( − y 2 + 2y ) − ( − y )  dy =
 ∫  ∫ (−y
2
+ 2y + y ) dy y +2
2 y O 1 x
x=-
0 0
3 3
 y3 3y 2  1 3 9
∫
= ( − y + 3y ) dy =  − +
2
 = − ⋅ 27 + ⋅ 9 = ( vdt)
0
 3 2 
0
3 2 2
{
Bài 3. Tính S: ( P ) : y 2 = 2x ; ( D ) : x − 2y + 2 = 0 ; Ox : y = 0 }
y
Gi i
 2  y2 = 2 ( 2y − 2 )
( P ) ∩ ( D ) ⇔  y = 2x ⇔ 
 
2
x = 2y − 2  x = 2y − 2
  1
 y2 − 4y + 4 = 0  y = 2
 S
⇔ ⇔ 2
x = 2y − 2
 x = 2 (D)
-2 O x
2
2
 y2   y3  8 (P)
0
∫
S =  − ( 2y − 2 )  dy = 
 2   6
− y 2 + 2y  =
 6
( vdt) -2
0
219

4. Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương
1
{ (
Bài 4. Tính S: ( P ) : y = − x 2 − 8x + 7 ; ( H ) : y =
3
7−x
x −3
) }
Gi i y
( P ) ∩ ( H ) : − 1 ( x 2 − 8x + 7 ) = 7 − x
3
3 x −3 (P) S
O
x = 0
x ( x 2 − 11x + 28 ) x = 4 -1 1 3 4 7 x
⇔ =0⇔ 
3 (3 − x ) 7
x = 7
 3 (H)
7
 1 7 − x
4
∫
S =  − ( x 2 − 8x + 7 ) −
 3 x − 3

dx
7
7
 x 2 8x 4 4   x3 4x 2 4 
4
∫
= −
 3
+ − −  dx =  − +
3 3 x − 3  9 3 3
− x − 4ln x − 3  = 9 + 8ln 2 ( vdt)
 4
{
Bài 5. Cho: ( P ) : y 2 = 2x ; ( C ) : x 2 + y 2 = 8 . }
(P) chia (C) thành 2 ph n, tìm t s di n tích c a 2 ph n ó.
Gi i y
2
 y2 
Nhìn vào
0
 2∫
th ta có: S2 = 2  8 − y 2 −  dy 2
2 2 2
S
y3 8 O 2 2 2
∫ ∫
2 2
=2 8 − y dy − y dy = 2I − = 2I −
3 3 x
0 0 0
2
-2
Xét I = ∫
0
8 − y 2 dy . t y = 2 2 sin t ⇒ dy = 2 2 cos tdt
2 π4 π4
∫ ∫ ∫
2 2
I= 8 − y dy = 8 − 8sin t .2 2 cos tdt = 8 1 − sin 2 t cos tdt
0 0 0
π4 π4 π4
(1 + cos 2t ) dt = 4  t + 1 sin 2t  π 1
∫ cos ∫
2
=8 t dt = 4   = 4 +  = π + 2
0 0
 2 0  4 2
8 8 4 2
V y S2 = 2I − = 2π + 4 − = 2 π + ( vdt). Ta có: S1 + S2 = π ( 2 2 ) = 8π
3 3 3
6π − 4 18π − 4 9π − 2
⇒ S1 = 8π − 2π +
3 (
4 = 6π − 4 ( vdt) ⇒ S1 =
3 ) 3 = =
S2 2π + 4 6π + 4 3π + 2
3
220

5. ng d ng tích phân tính di n tích, th tích
{
Bài 6. Tính S: ( P ) : y = x 2 − 4x + 3 ; ( D ) : y = x + 3 }
Gi i
 x + 3 = x 2 − 4x + 3  x 2 − 5x = 0  x = 0, y = 3
( P) ∩ ( D) :  ⇔ 2 ⇔
 x = 5, y = 8
2
 x + 3 = − x + 4x − 3  x − 3x + 6
  y
x = 1 8
( P ) ∩ Ox : y = 0 ⇒ x 2 − 4x + 3 = 0 ⇔ 
x = 3
1
S = ( x + 3) − ( x 2 − 4x + 3)  dx +
 ∫ 
0 S3
3
3
+ ( x + 3) + ( x 2 − 4x + 3)  dx +

∫  S1
S2
1
5
+ ( x + 3) − ( x 2 − 4x + 3)  dx
 ∫  -3 O
3 1 2 3 5 x
-1
1 3 5
= ∫ ( − x 2 + 5x ) dx + ∫ ( x 2 − 3x + 6 ) dx + ∫ ( − x 2 + 5x ) dx
0 1 3
1 3 5
 x 3 5x 2   x 3 3x 2   x 3 5x 2  109
= − +  + − + 6x  +  − +  = ( vdt)
 3 2 
0
 3 2 1  3 2 
3
6
 3x 12x π
Bài 7. Tính S: ( C1 ) : y = 1 − 2 sin 2 ; ( C2 ) : y = 1 + ; ( D) : x = 
 2 π 2
Gi i y
7 A
3x
( C1 ) : y = 1 − 2 sin 2 = cos 3x
2
Nhìn vào th ta có: S = SANOI − 3SOIK
π6 π6
7 +1 π
= ∫
⋅ − 3 cos3xdx = 2π − sin3x = 2π − 1
2 2 0 0
S
Bài 8. Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i 1 B M
N
(P): y = x2 − 2x + 2 và các ti p tuy n c a (P) C
O π π π x
i qua A(2; −2). 6 3 2
221

6. Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương
Gi i
ư ng th ng qua A có d ng (d): y = k(x − 2) − 2.
 x 2 − 2x + 2 = k ( x − 2 ) − 2

(d) là ti p tuy n c a (P) khi 
( x 2 − 2x + 2 )′ = [ k ( x − 2 ) − 2]′

2x − 2 = k
 2x − 2 = k
  x = 0; k = −2
⇔  2 ⇔ 2 ⇔  x = 4; k = 6
 x − 2x + 2 =
 ( 2x − 2 )( x − 2 ) − 2  x − 4x = 0
 
V y 2 ti p tuy n c a (P) i qua A là: (d1): y = −2x + 2 ti p xúc v i (P) t i
y
B(0, 2) và (d2): y = 6x −14 ti p xúc v i (P) t i C(4, 10). 10
{
V y S: ( P) : y = x2 − 2x + 2; ( d1 ) : y = −2x + 2 ; ( d2 ) : y = 6x −14 }
2 4
S = ( x2 − 2x + 2) − ( −2x + 2)  dx + ( x2 − 2x + 2) − ( 6x − 14)  dx
 ∫  
∫ 
0 2
2 4 2 4
(P)
∫ ∫ ( x − 8x + 16) dx = ∫ x dx + ∫ ( x − 4) d ( x − 4)
2
= x 2 dx + 2 2
0 2 0 2
2 s2
2 3 4
x3 ( x − 4) 8   −8  8 8 16
= + =  − 0 +  0 −  = + = ( vdt) O
s1
3 0 3 3   3 3 3 3
2 1 2 7 4 x
3
 d1 d
x2 27  2
Bài 9. Tính S: ( P1 ) : y = x2 ; ( P2 ) : y = ; ( H) : y =  2
 27 x
y
Gi i 9
x2
( P1 ) ∩ ( P2 ) : x2 = ⇔x =0⇒y =0
27 (P1 )
9 (H)
27 2
s2
( P1 ) ∩ ( H) : x2 = ⇔ x3 = 27 ⇔ x = 3 3
x
s1
x2 27 (P2 )
( P2 ) ∩ ( H) : = ⇔ x3 = 272 ⇔ x = 9
27 x
O 3 6 9 x
Nhìn vào th ta có:
3 9 3 9
 2 x2   27 x 2  26x 3  x3 
0
 ∫
S = x −  dx + 
27  3
−
 x 27  ∫
 dx =
81 0
+  27 ln x − 
 81 
3
 26   1
=  − 0  +  27 ln 9 − 27 ln 3 − 9 +  = 27 ln 3 ( vdt)
 3   3
222

7. ng d ng tích phân tính di n tích, th tích
 x2 2 8
Bài 10. Tính S: ( P1 ) : y = x 2 ; ( P2 ) : y = ; ( H1 ) : y = ; ( H 2 ) : y = 
 4 x x
y
Gi i
2 (P )
1
( P1 ) ∩( H1 ) : x2 = ⇔ x3 = 2 ⇔ x = 3 2 ⇒ y = 3 4 (P )
2
x 4
8
( P1 ) ∩( H2 ) : x2 = ⇔ x3 = 8 ⇔ x = 2 ⇒ y = 4
x 3
16
s2 (H2)
2
x 2 3
4 S1
( P2 ) ∩( H1 ) : = ⇔ x3 = 8 ⇔ x = 2 ⇒ y = 1
4 x 1 (H1)
2
x 8
( P2 ) ∩( H2 ) : = ⇔ x3 = 32 ⇔ x = 2 3 4 ⇒ y = 2 3 2 O 3
2 2 2 4
3
x
4 x
3
3 2 32

2
2
32
 8 x2   x3   x3 
3 
∫
S =  x 2 −  dx +
x ∫
2
 −  dx =  − 2ln x  +  8ln x − 
x 4   3 3  12 
= 4 ln 2 ( vdt)
2 2 2
{
Bài 11. Tính S: ( P ) : y 2 = 4x; ( C ) : y 2 = ( 4 − x )
3
}
Gi i
Phương trình c a (P) và (C) u ch n i v i y, vì th S là mi n nh n Ox làm
tr c i x ng. G i S1 là ph n n m trên tr c Ox, khi ó S = 2S1
y
( P) ∩ ( C) : 4x = ( 4 − x)3 ⇔ x3 −12x2 + 52x + 64 = 0
(P)
2 2
⇔ ( x − 2) ( x −10x + 32) = 0 ⇔ ( x − 2) ( x − 5) + 7 = 0
2 2
 
(C)
1
⇔x =2⇒y=2 2 S1
( P ) ∩ Ox : 4x = 0 ⇔ x = 0 O 2 3 4 x
-1
( C ) ∩ Ox : ( 4 − x )3 = 0 ⇔ x = 4
2 4 2 1 4 3 -2 2
S1 = ∫
0
4x 2 dx + ∫
2
∫ 0
∫
( 4 − x )3 dx = 2 x 2 dx − ( x − 4) 2 d ( x − 4)
2
2 4
4
3
2 5 8 2   8 2  64 2 128 2
= x2 − ( x − 4) 2 = − 0 −  0 + = . V y S = 2S′ =
3 0 5 2  3   5  15 15
( ) 1 2
 P :x = y
Cách 2: S:  4 ⇒ S1 =
2 2 2
1 
∫
 4 − y 3 − y 2  dy =
 4 
128 2
15
(
( vdt) )
 ( C ) : x = 4 − y2 3 0

223

8. Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương
{
Bài 12. Tính S: ( P ) : y 2 = 2x; ( C ) : 27y 2 = 8 ( x − 1)
3
}
Gi i y
G i S′ là ph n n m phía trên tr c Ox, t tính ch t 2 2 (P)
c a 2 hàm ch n suy ra tính i x ng khi ó S = 2S′.
Do y ≥ 0 ⇒ (x − 1) ≥ 0 ⇒ x ≥ 1
2 3
S1
(C)
( P) ∩ ( C) : 2x = 8 ( x −1)3 O 1 4
27 x
2
⇔ ( x − 4) ( 2x +1) = 0 ⇒ x = 4 ⇒ y = 2 2
( P) ∩ Ox : 2x = 0 ⇔ x = 0 ; ( C) ∩ Ox: ( x −1)3 = 0 ⇔ x =1 2 2
 4
( )3  4 1 4 3
 2x − 8 x − 1  dx = 2 2 x 2 dx − 4 2 ( x − 1) 2 d ( x − 1) = 68 2
S = 2S1 = 2 
1
∫ 27

 1
∫ 3 3 1 ∫ 15
x2 y2
Bài 13. Tính di n tích hình elip gi i h n b i (E): + 2 =1
a2 b
Gi i
2 2
x y
Phương trình 2
+ 2 = 1 ch n i v i x và y nên elip nh n O là tâm i x ng.
a b
G i S 1 là di n tích c a ph n elip thu c góc ph n tư (I) trên m t ph ng Oxy.
a
{
⇒ S1 : x = 0; y = 0; y =
b 2
a
a − x2 } và S = 4S1 = 4
b
∫
a0
a 2 − x2 dx y
b
x = 0 ⇒ α = π 2 S1
t x = acosα:  ; Khi ó O
x = a ⇒ α = 0 a x
a 0 π2
b 4b ( 2 1 − cos 2α
S=4
a ∫
0
a 2 − x 2 dx = ∫
a π2
−a sin 2 α ) dα = 4ab ∫
0
2
dα = πab ( vdt)
{
Bài 14. Tính S: 0 ≤ y ≤ 1; y = ( x + 1) ; x = sin πy
2
}
Gi i
2
x = sin πy ∈ [ −1,1] ⇒ x + 1 ≥ 0; mà 0 ≤ y ≤ 1 nên y = ( x + 1) ⇔ x = y − 1
1
1
 1 2
3
 2 1
S= ∫(
0
)
sin πy − y + 1 dy =  − cos πy − y 2 + y  = +
 π 3 0 π 3
( vdt)
224

9. ng d ng tích phân tính di n tích, th tích
TH TÍCH KH I TRÒN XOAY
I. VX SINH B I DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Ox:
y
( C ) : y = f ( x ) (C)

S: Ox : y = 0 S
 ∆ , ∆ : x = a, x = b
 1 2 a
O b x
b
Công th c : Vx = π ∫ f 2 ( x ) dx
a
II. VX SINH B I DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Ox:
y (C1)
( C1 ) : y = f ( x )
 S
( C ) : y = g ( x )
S:  2 (C2)
0 ≤ g ( x ) ≤ f ( x ) a
∆ , ∆ : x = a, x = b O b x
 1 2
b
Công th c: Vx = π ∫ f 2 ( x ) − g 2 ( x )  dx
 
a
( C1 ) : y = f ( x )

III. VX SINH B I DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Ox: S: 
( C2 ) : y = g ( x )

x = a
Bư c 1: Gi i phương trình: f ( x ) = g ( x ) ⇔ 
x = b
b
Gi s 0 ≤ g(x) ≤ f(x),∀x∈[a, b]. Khi ó: Vx = π f ( x ) − g ( x )  dx ∫
2 2
Bư c 2:  
a
IV. VX SINH B I DI N TÍCH: Ư NG CONG B C HAI f(x, y) = 0 QUAY XUNG QUANH Ox:
Bư c 1: Tách ư ng cong b c hai f(x, y) = 0 thành
y
( C1 ) : y = f1 ( x )

(C1)

( C2 ) : y = f 2 ( x )

và gi s 0 ≤ f2(x) ≤ f1(x) (C2)
Bư c 2: Xác nh c n x = a, x = b. O a b x
b
 ∫
Khi ó: Vx = π f12 ( x ) − f 22 ( x )  dx
a

225

10. Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương
V. Vy SINH B I DI N TÍCH S C A 1 TH QUAY XUNG QUANH Oy: y
( C ) : y = f ( x )
 f(b)
Oy : x = 0
S: 
∆1 : y = f ( a ) S
∆ : y = f ( b )
 2 (C)
−1
Bư c 1: y = f(x) ⇔ x = f (y) f(a)
f (b)
2
∫ f ( y ) 
 
−1
Bư c 2: Vy = π dy O a b x
( )
f a
VI. Vy SINH B I DI N TÍCH S C A 2 TH QUAY XUNG QUANH Oy:
y
( C1 ) : y = f ( x )

( C ) : y = g ( x )
S:  2 f(b)
∆1 : y = f ( a ) = g ( m )

∆ 2 : y = f ( b ) = g ( n ) (C2 )
S
(C1)
( C1 ) : y = f ( x ) ⇔ x = f −1 ( y )

Bư c 1:  −1 f(a)
( C2 ) : y = g ( x ) ⇔ x = g ( y )

O m a n b x
f (b)
Bư c 2: Gi s 0≤g
−1
( y ) ≤ f −1 ( y ) ⇒ Vy = π ∫(
f (a )

2
f −1 ( y )  −  g −1 ( y )  dy
  
2
)
VII. Vy SINH B I DI N TÍCH: Ư NG CONG B C 2 f(x, y) = 0 QUAY XUNG QUANH Oy:
( C1 ) : x = f1 ( y )

Bư c 1: Tách ư ng cong b c hai f(x, y) = 0 thành 
( C2 ) : x = f 2 ( y )

và gi s 0 ≤ f2(y) ≤ f1(y)
b
Bư c 2: Xác  ∫
nh c n x = a, x = b. Khi ó: Vx = π f12 ( y ) − f 22 ( y )  dy
a
VIII. PHƯƠNG PHÁP BAO TR TÍNH Vy KHI DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Oy:
b
Công th c:
∫
Vy = 2π xf ( x ) dx
a
CHÚ Ý:C n ph i i n " vtt" vào k t qu cu i cùng trong các bài toán tính
th tích kh i tròn xoay
226

11. ng d ng tích phân tính di n tích, th tích
IX. CÁC BÀI T P M U MINH H A
Bài 1. Tìm Vx sinh b i S: {( C ) : y = ln x ; Ox : y = 0; ( ∆ ) : x = 2} quay quanh Ox
Gi i
2 2 2
Xét ( C ) ∩ Ox : ln x = 0 ⇔ x = 1 ⇒ Vx = π ∫ ( ln x ) dx = π x ( ln x ) 1 − π ∫ x d ( ln x )
2 2 2
1 1
2 2
= 2π ( ln 2 ) − 2π ∫ ln x dx = 2π ( ln 2 ) − 2π x ln x 1 + 2π ∫ x d ( ln x )
2 2 2
1 1
2
= 2π ( ln 2 ) − 4π ln 2 + 2π ∫ dx = 2π ( ln 2 ) − 4π ln 2 + 2π = 2π ( ln 2 − 1)
2 2 2
( ®vtt )
1
{ }
Bài 2. Tính Vx khi S: ( L ) : y = x ln (1 + x 3 ) ; y = 0 ; x = 1 quay quanh Ox.
Gi i
1 + x > 0

3
 x > −1
ln (1 + x ) ⇒ 
3
⇒ ⇒y≥0
(1 + x 3 ) ≥ 0 1 + x 3 ≥ 1
y=x ⇔ x≥0
ln
 
1 1
( L) ∩ Ox : x ln (1 + x3 ) = 0 ⇔ x = 0 ⇒ Vx = π x2 ln (1 + x3 ) dx = π ln (1 + x3 ) d ( x3 + 1)
∫
0
3∫
0
1 1 1
π( 3 ) ( π 2π ln 2 π 3 π ( 2 ln 2 − 1)
x + 1 ln 1 + x ) − ∫ ( x + 1) d ln (1 + x ) =
3 3 3
=   − x =
3 0 3 0
3 3 0 3
{ }
Bài 3. Cho S: ( C) : y = 1 2 ; ( D) :x =1;y = 0, x = 0 . Tính Vy khi S quay quanh Oy
1+ x
y
Gi i
1
1 1
y= 2
> 0 ⇒ (C) : x2 = −1 (C) (D)
1+ x y
1/2
( C ) ∩ Oy : x = 0 ⇒ y = 1


( C ) ∩ ( D ) : x = 1 ⇒ y = 1 2

O 1 x
12 1
π  1 1
⇒ Vy = π dy + π  1 − 1 dy = πy 0 + π ( ln y − y ) 1 2
 1
∫ ∫
12
y = + π  − ln −  = π ln 2
0 1 2  2  2 2
227

12. Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương
2
Bài 4. Cho S: x 2 + ( y − b ) ≤ a 2 ; 0 < a ≤ b y
B
a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox
I b
b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy A C
Gi i
D
2 2 2 2 2 2
a. Ta có: x + ( y − b ) ≤ a ⇔ ( y − b ) = a − x -a O a x
⇒ A1 B 2 A2 : y = b + a 2 − x 2 ; A1 B1 A2 : y = b − a 2 − x 2
a
 2 2

∫ ( ) − (b − )
2 2 2 2
Vx = π  b + a − x
 a −x  dx

−a
a a
x 0 a
∫ ∫
2 2 2 2
= 4πb a − x dx = 8πb a − x dx . t x = asint ⇒
t 0 π/2
−a 0
dx a cost dt
π2 π2
∫ a (1 − sin t ) a cos t dt = 4πa b ∫ 2 cos
2 2 2 2
Vx = 8πb t dt
0 0
π2
π2
∫ (1 + 2 cos 2t ) dt = 4πa
2 2 2 2
= 4πa b b ( t + sin 2t ) = 2π a b ( ®vtt )
0
0
2 2
b. Ta có: x 2 + ( y − b ) ≤ a 2 ⇔ x 2 = a 2 − ( y − b )
2 2
⇔ B1 A 2 B2 : x = a 2 − ( y − b ) ; B1 A1 B2 : x = − a 2 − ( y − b )
Do các cung B1 A 2 B2 , B1 A1 B2 i x ng nhau qua Oy nên
b +a b+a
 3 2a3  4πa 3
a 2 − ( y − b )2  dy = π a 2 y − 1 ( y − b )3 
Vy = π
b −a
∫   
 3 
 b −a
= π  2a −

=
3  3
( vtt)
( x − 4 )2 y 2
Bài 5. Cho S là di n tích c a (E): + =1
4 16
a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy
Gi i
228

13. ng d ng tích phân tính di n tích, th tích
( x − 4 )2 y 2 y
2
( x − 4 )2
⇔ y = 4 4 − ( x − 4) 
2 2
a. (E): + =1⇔ =1−  
4 16 16 4
( E ) ∩ Ox : 4 − ( x − 4 )2 = 0 ⇔ x = 2; x = 6
2 2
⇔ ABC : y = 2 4 − ( x − 4 ) ; ADC : y = −2 4 − ( x − 4 )
Do các cung ABC, ADC i x ng nhau qua Ox nên
6 2 6
∫ (2 ) dx = 4π  4 − ( x − 4 )  d ( x − 4 )
∫
2 2
Vx = π 4 − ( x − 4)  
2 2
6
 ( x − 4 )3   8 8  128π
= 4π  4 ( x − 4 ) −  = 4π  8 − + 8 −  = ( ®vtt )
 3 2  3 3 3
( x − 4 )2 y 2 ( x − 4 )2 y
2
y
b. (E): + =1⇔ =1−
4 16 4 16 B
4
1
⇔ ( x − 4) =
2
(16 − y2 )
4
A C
1 2 O 2 4 6 x
⇔ BAD : x = 4 − 16 − y
2
1 2
BCD : x = 4 + 16 − y -4
2 D

4
1 2 
2
 1 2 
2
 4
∫ ∫
2
Vy = π  4 + 16 − y  −  4 − 16 − y   dy = 8π 16 − y dy
−4 
 2   2   −4
π2
y −4 4
t y = 4sint ⇒ t ⇒ Vy = 8π ∫ 16 (1 − sin 2 t ) 4 cos t dt
−π/2 π/2
−π 2
dy 4 cost dt
π2 π2
π2
= 64π ∫
−π 2
2 cos 2 t dt = 64π
−π 2
∫ (1 + 2 cos 2t ) dt = 6 4π ( t + sin 2t )
−π 2
= 64π2 ( ®vtt )
 2 a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox
( P ) : y = 2x − x
Bài 6. Cho S: 
Ox : y = 0
 b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy
229

14. Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương
Gi i y
a. ( P ) ∩ Ox : 2x − x 2 = 0 ⇔ x = 0; x = 2 1
2 2
2 2
∫ ( 2x − x ) dx = π∫ ( 4x − 4x + x ) dx
2 3 4
⇒ Vx = π
0 0
2
4 1  16 O 2 x
= π  x 3 − x 4 + x 5  = π ( ®vtt )
3 5  0 15
2
b. ( P ) : y = 2x − x 2 ⇔ ( x − 1) = 1 − y
⇒ OA : x = 1 − 1 − y ; AB : x = 1 + 1 − y
y
1 A
⇒ Vy = π  1 + 1 − y  dy
2 2
 ∫(
0
) − (1 − 1− y ) 
1
1 1
∫ ∫
12
= 4π 1 − y dy = −4π (1 − y ) d (1 − y )
0 0
B
1
8π 8π O 2 x
=− (1 − y )3 2 = ( ®vtt )
3 0 3
{
Bài 7. Tìm Vx khi quay S: y = cos6 x + sin 6 x ; y = 0; x = 0; x =
π
2}quanh Ox.
Gi i
π2 2 π2
∫( ) ∫ ( cos x + sin x ) dx
6 6 6 6
Vx = π cos x + sin x dx = π
0 0
π2 π2
 3 
= π ∫ ( cos2 x + sin 2 x ) ( cos2 x + sin 2 x ) − 3sin 2 x cos2 x  dx = π ∫ 1 − sin 2 2x  dx
2
 
0 0
 4 
π2 π2 2
 3( ) 5 3  5π
=π ∫
0
1 − 8 1 − cos 4x  dx = π  8 x + 32 sin 4x  = 16
   0
( ®vtt )
( P ) : y = x 2 ( x > 0 ) a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox

Bài 8. Cho S: ( D1 ) : y = −3x + 10
( D ) : y = 1 b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy
 2
230

15. ng d ng tích phân tính di n tích, th tích
y
Gi i
a. ( D1 ) ∩ ( D 2 ) : −3x + 10 = 1 ⇔ x = 3 4
( P ) ∩ ( D2 ) : x 2 = 1 ⇒ x = 1 > 0
(P) D1
( P ) ∩ ( D1 ) : x 2 = −3x + 10 ⇒ x = 2 > 0 ; y = 4 S
1 D2
2 3
= π ∫ ( x − 1) dx + π ∫ ( −3x + 10 ) − 1 dx
4 2
Vx   1 2 3 x
O
1 2
2 3
 x5   1 ( −3x + 10 )3  31π 61π
= π − x + π ⋅ − x = + 6π = ( ®vtt )
 5 1  −3 3 2 5 5
10 − y
b. ( P ) : y = x 2 ( x > 0 ) ⇔ x = y ; ( D1 ) : y = −3x + 10 ⇔ x =
3
4 
(10 − y )2 2 π
4 4
Vy = π 
∫ 9
− ( ) y  dy =
 9 ∫
2
∫
( y − 10 ) d ( y − 10 ) − π ydy
1 1 1
4
 π ( y − 10 ) π 
3
152π 15π 101π
= ⋅ − y2  = − =
9 3 2 1 27 2 54
2 2
y
Bài 9. Cho S là di n tích c a (E): x 2 + 2 = 1 (0 < b < a)
a b
a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy
Gi i y
B
2 2 2 2 2
y y b
a. (E): x2 + 2 = 1 ⇔ 2 = 1 − x2 ⇔ y2 = 2 ( a 2 − x 2 )
a b b a a
A
O x
⇔ BA : y = b a 2 − x 2 ; CA : y = −b a 2 − x 2
a a
C
Do các cung BA, AC i x ng nhau qua Ox nên
a
πb2  x3 
a a
2
πb2 4πab2
Vx = π ∫(a
−a
b a −x
2 2
) dx = 2 ( a − x ) dx = 2  a 2 x −  =
a −a ∫
2
a 
2
3  −a 3
( vtt)
231

16. Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương
2 2 2 2 2
y y a
b. (E): x 2 + 2 = 1 ⇔ x 2 = 1 − 2 ⇔ x 2 = 2 ( b 2 − y 2 )
a b a b b y
B
⇔ AB : x = a b 2 − y2
b
BC : x = −a b 2 − y 2 C A
b
O x
Do các cung AB, BC i x ng nhau qua Oy nên
b
2πa 2  2 y3 
b b
2
2πa 2 4πa 2 b
∫( ) dy =
a b2 − y2 ( b − y ) dy = 2  b y −  =
∫
2 2
Vy = 2π ( vtt)
0
b b2 0 b  3 0 3
{ }
Bài 10. Cho S: ( P1 ) : y = 4 − x 2 ; ( P2 ) : y = x 2 + 2 . Tính Vx khi S quay quanh Ox
y
Gi i
4
(P2 )
( P1 ) ∩ ( P2 ) : 4 − x 2 = x 2 + 2 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ±1
1
3
⇒ V = 2π ( 4 − x ) − ( x + 2)  dx
2 2 2
∫
2
 
0 2
1 (P1 )
1
 x  3
= 24π ∫ (1 − x ) dx = 24π  x −
2
 = 16π ( ®vtt )
0
 3 0 O
2 1 1 2 x
Bài 11. Tính th tích kh i tròn xoay t o nên khi cho hình tròn tâm I(2, 0) bán
kính R = 1 quay quanh tr c Oy.
Gi i y
C
Phương trình (I, R): (x − 2)2 + y2 = 1
2
⇔ ( x − 2 ) = 1 − y2 ⇔ x = 2 ± 1 − y2 A I B
O 1 2 3 x
⇒ CA : x = 2 − 1 − y 2 ; BC : x = 2 + 1 − y 2
1 1

)  dy = 16π∫
2 2
∫(
⇒ Vy = 2π  2 + 1 − y 2 ) − (2 − 2 2
 1− y 
 1 − y dy
0 0
π2 π2
∫ ∫ cos
2 2
t y = sint ⇒ dy = costdt ⇒ Vy = 16π 1 − sin t cos t dt = 16π t dt
0 0
π2 π2
 1 
= 8π ∫ (1 + cos 2t ) dt = 8π  t + sin 2t 
2
= 4π ( ®vtt )
0
 2 0
232

17. ng d ng tích phân tính di n tích, th tích
Bài 12. Cho S: {( P ) : y = 2x ; ( D ) : y = 2x + 4} .
2
y
Tính Vx khi S quay quanh Ox 8
Gi i
( C ) ∩ ( D ) : 2x 2 = 2x + 4 ⇔ x 2 − x + 2 = 0 ⇒ x = −1 ∨ x = 2
4
2
⇒ Vx = π ( 2x + 4 ) − 4x  dx
∫
2 4
  2
−1
2
x
 3π ( 2x + 4 )3 4πx 5  288 -1 O 2
= −  = ( ®vtt )
 2 5  −1 5
 x2 27 
Bài 13. Cho S: ( P1 ) : y = x2 ; ( P2 ) : y = ; ( H) : y = 
 27 x
Gi i
y
2 9
x
( P1 ) ∩ ( P2 ) : x2 = ⇔x =0⇒y =0
27
27
( P1 ) ∩ ( H) : x2 = ⇔ x3 = 27 ⇔ x = 3
x (P1 )
2
9 (H)
x 27 2
( P2 ) ∩ ( H) : = ⇔ x3 = 272 ⇔ x = 9 s2
27 x 3
Nhìn vào th ta có: s1
(P2 )
3 9 9
27 2 x4
∫
Vx = x 4 dx +
0
∫
3
x2
dx −
0
27 2∫dx O 3 6 9 x
5 3 9 9
x 27 2 x5 243  81 1  583 (
= − − 2 = − ( 81 − 243) −  −  = ®vtt )
5 0
x 3
27 .5 3 5  5 15  3
27
b. ( P1 ) : x = y ; ( P2 ) : x = 27y ; ( H) : x = (x, y ≥ 0)
y
3 9 3 9
 2 2
  27 2   27 
⇒ Vy =  ∫(
0
27y ) ( ) − y ∫
 dy +  y −
3
( )
y ∫ ∫
 dy = 26ydy +  y − y  dy
 0 3 
9
2 3  1 2 81 9
= 13y +  27 ln y − y  = 117 + 27 ln 9 − 27 ln 3 − + = 81 + 27 ln 3 ( ®vtt )
0
 2 3 2 2
233

18. Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương
Bài 14. Cho S: {( C) : y = x, ( D) : y = 2 − x, y = 0} . Tính Vy khi S quay quanh Oy
Gi i
y
( C) : x = y2 ( y ≥ 0) ; ( D ) : x = 2 − y
2
⇒ ( C) ∩ ( D ) : y2 = 2 − y ⇔ y2 + y − 2 = 0 (C)
⇔ (x − 1)(y + 2) = 0 ⇔ y = 1 ≥ 0 1
1
Vy = π ( 2 − y ) − y 4  dy
∫
2
 
0 O 2 x
1 (D)
1 3 y 
5
32π
= π  ( y − 2) −  = ( ®vtt )
3 5  0 15
2 2
Bài 15. Cho ( H ) : x − y = 1 và (D) là ti p tuy n c a (H) i qua A(2, −1) v i
16 4
h s góc dương. Tính th tích kh i tròn xoay t o b i mi n ph ng gi i
h n b i (H), (D) và tr c Ox khi quay quanh tr c Oy.
Gi i y
(D)
(D) i qua A(2, −1) nên 1,5
(H)
(D): y = k(x − 2) − 1
O 2
⇔ (D): kx − y − ( 2k + 1) = 0 4
16 4 5 x
-1 A 5
Ta có: (D) ti p xúc (H)
8
2 2 2 3
⇔ 16k − 4 = ( 2k + 1) ⇔ 12k − 4k − 5 = 0
5 1 5 8 6 16
⇔ k= ∨ k = − (lo i) ⇒ (D): y = x − ⇔ x = y +
6 2 6 3 5 5
2
( D ) ∩ ( H ) : 4y 2 + 16 =  6 y + 16  ⇔ 4y 2 − 12y + 9 = 0 ⇔ y = 3 ; x = 5


 5 5 2
32
 232
 6y + 16  
2
 4y3  3 2
⇒ Vy = π ( 4y + 16) − 
0 
∫  5  
  dy = π 
 3
+ 16y  −
0
36π
25 0
y+ 8 d y+ 8
3 3 ∫( ) ( )
3 32
9  36π
= π  + 24  −
2  75
y+8
3 ( ) 0
=
72π
25
( ®vtt )
234

19. ng d ng tích phân tính di n tích, th tích
{2
Bài 16. Cho S: ( C ) : y = ( x − 2 ) , ( D ) : y = 4 . }
a. Tính Vx khi S quay quanh Ox b. Tính Vy khi S quay quanh Oy
Gi i y
(P)
2
a. ( P ) ∩ ( D ) : ( x − 2 ) = 4 ⇔ x = 0, x = 4 (D)
4
⇒ Vx = π 16 − ( x − 2 )  dx
∫
4
 
0
S
4
 ( x − 2 )5  256π
= π 16x −  = ( ®vtt )
 5 0 5
O 2 4 x
b. ( P ) : x − 2 = ± y ⇒ AI : x = 2 − y ; IB: x = 2 + y
4
⇒ Vy = π  2 + y  dy
2 2
 ∫(
0
) − (2 − y ) 
4 4
16π 3 2 128π
= 8π ∫
0
ydy =
3
y
0
=
3
( ®vtt )
 y
2
y
2

Bài 17. Cho S: ( P1 ) : x = ( y ≤ 0 ) ; ( P2 ) : x = − + 3y ( y ≤ 2 ) ; ( D ) : x = 4
 4 2 
a. Tính S b. Tính Vx khi S quay quanh Ox
y
Gi i (P2 )
6
2 2 (D)
y y 2 y = 0
a. =− + 3y ⇔ y − 4y ⇒ 
4 2 y = 4 4
2
y
( P1 ) ∩ ( D ) : = 4 ⇒ y = −4 < 0 2
4
2 O
−y y = 2
( P2 ) ∩ ( D ) : + 3y = 4 ⇒  4 x
2 y = 4 > 2 S
Nhìn vào th suy ra:
(P1 )
0
 y2 
2
 y2  -4
−4
∫
S = 4 −
 4 
 dy +  4 +
0
 2
− 3y  dy
 ∫
0 2
 y 
3
 y
3
3y 
2
 16   4 
=  4y −  +  4y + −  =  16 −  +  8 + − 6  = 14 ( ®vdt )
 12  −4  6 2 0  3  3 
235

20. Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương
2
y
b. ( P1 ) : x = ( y ≤ 0 ) ⇔ y = −2 x
4
4 4
2 2 4
⇒ Vx = π ∫ ( −2
0
x ) dx = 4π x dx = 2πx
∫
0
0
= 32π ( ®vtt )
y
 x 2
3
9
Bài 18. Cho S: ( C ) : y = ; ( P) : y = x  .
 3 
Tính Vx khi S quay quanh Ox.
Gi i
3 (P)
(C) ∩ ( P ) : x = x 2 ⇔ x = 0
x = 3
3  O
 2 2  3 
3
 4 x6  2 3 3 x
(C)
Vx = π ( x ) −  x   dx = π  x −
∫  dx ∫
0
  3   0
 9 
3
 x5 x7  486
= π −  = π ( ®vtt )
 5 63  0 35
{ 3
Bài 19. Cho S: ( C ) : y 2 = ( 4 − x ) ; ( P ) : y 2 = 4x . }
Tính Vx, Vy khi S quay quanh Ox, Oy
y
Gi i 2 2
(P)
A
( C ) ∩ ( P ) : ( 4 − x )3 = 4x
(C)
⇔ x 3 − 12x 2 + 52x − 64 = 0
S
N
⇔ ( x − 2 ) ( x − 5 ) + 7  = 0
2
  O 2 4 x
⇔ x = 2 ⇒ y = ±2 2
( C ) ∩ Ox : ( 4 − x )3 = 0 ⇔ x = 4 B
-2 2
( P ) ∩ Ox : 4x = 0 ⇔ x = 0
3 3
OA : y = 4x ; AN : y = ( 4 − x ) ; OB : y = − 4x ; BN : y = − ( 4 − x )
Do (C), (P) nh n Ox làm tr c i x ng nên:
2 4 2 4
dx + π∫ ( )
2
2 2 π
∫( 4x ) ( 4 − x )3 4
Vx = π dx = 2πx − (4 − x) = 12π ( ®vtt )
0 2
0 4 2
2 2
 2
y4 
2 2
 y4 
∫ ( ) 1024 2
3 2
∫ π ( ®vtt )
43 23
Vy = 2π  4− y −  dy = 2π 16 + y − 8y −  dy =
0
 16  0
 16  35
236

21. ng d ng tích phân tính di n tích, th tích
237