1. Để hiểu hơn về phương pháp quy nạp toán học
Hoàng Ngọc Thế
Thứ tư, 29 Tháng 2 2012 22:57
Phương pháp quy nạp toán học là một phương pháp hay và rất hữu dụng. Tuy nhiên, đối với học
sinh khối 11 thì đây là nội dung khó hiểu và khó áp dụng. Bài viết này của tôi sẽ giúp các bạn
một hướng để hiểu hơn về phương pháp này.
1. Tại sao phải dùng phương pháp quy nạp toán học
Giả sử có 1mệnh đề chứa biến số tự nhiên. Ta cần chứng minh mệnh đề đó. Tại sao phải dùng
phương pháp quy nạp toán học?
Để trả lời câu hỏi này, ta xét các bài toán sau:
Bài toán 1.
Thầy giáo kiểm tra bài cũ lớp 11A4 (có 35 học sinh), thầy gọi theo sổ điểm lần lượt các bạn:
1. Triệu Thị Băng
2. Lê Văn Bách
3. Triệu Thị Điềm
4. Đàm Văn Hanh
5. Dương Thị Hường.
Cả 5 bạn ấy đều học bài. Thầy kết luận: “ ả lớp 11A4 học bài”. Thầy kết luận như vậy có hợp lí
C
không? Nếu không làm thế nào để có kết luận đúng.
Giải
Thầy kết luận như vậy là chưa hợp lí vì có thể các bạn từ số thứ tự 6 đến số thứ tự 35 đều học
1/5

2. Để hiểu hơn về phương pháp quy nạp toán học
Hoàng Ngọc Thế
Thứ tư, 29 Tháng 2 2012 22:57
bài, tức là đa phần cả lớp học bài.
Để thu được kết luận đúng, thầy cần kiểm tra cả lớp (bằng cách kiểm tra 15 phút chẳng hạn).
Bài toán 2.
Người ta kiểm tra trên một quần thể ruồi giấm thấy thế hệ đầu tiên có tính trạng mắt đỏ. Kết
luận: “Tất cả ruồi giấm ở mọi thế hệ của quần thể này đều mắt đỏ ”.
Kết luận như vậy có đúng không? Nếu không làm thế nào để có kết luận đúng?
Giải
Kết luận như vậy chưa chắc đúng vì chưa kiểm tra xem các thế hệ khác có mắt đỏ không?
Ta không thể làm như bài toán 1 vì số lượng ruồi giấm và các thế hệ của quẩn thể là vô số, việc
kiểm tra từng cá thể của từng thế hệ là không thể thực hiện được.
Để thu được kết luận đúng, ta làm như sau
+ Kiểm tra với thế hệ thứ nhất (đời F1);
+ Chứng minh sự di truyền của tính trạng mắt đỏ. Tức là chứng minh rằng nếu đời bố mẹ mắt đỏ
thì đời con mắt đỏ. Khi đó, chắc chắn tất cả các cá thể ở mọi thế hệ đều mắt đỏ vì thế hệ trước
sẽ di truyền lại cho thế hệ sau.
Bài toán 3.
Với $n in mathbb{N}*$, chứng minh rằng
$$1 + 2 + ... + n = dfrac{n(n+1)}{2}, (*).$$
Phân tích
Rõ ràng ta không thể áp dụng cách làm của bài toán 1 cho bài này vì tập các số tự nhiên là vô
hạn. Việc kiểm tra tính đúng đắn của $(*)$ với từng số tự nhiên sẽ mất nhiều thời gian và không
thể hoàn thành được.
Ta nhận thấy có nét giống nhau giữa tập các số tự nhiên và quần thể ruồi giấm. Tập số tự nhiên
có vô hạn phần tử, quần thể ruồi giấm có vô hạn thế hệ. Ta sẽ áp dụng cách làm của bài toán 2
đối với bài toán này.
Coi mệnh đề $(*)$ là một "tính trạng" của "quần thể" các số tự nhiên. Để chứng minh mọi số tự
nhiên đều có " tính trạng $(*)$" ta làm như
sau:
+ Kiểm tra "tính trạng $(*)$" với "thế hệ đầu (F1)" $n = 1$
+ Chứng minh sự “di truyền” của $(*)$ Tức là chứng minh rằng nếu số $n = k$ có " tính trạng
$(*)$" thì $n = k+1$ cũng có "
tính trạng
$(*)$".
Phương pháp chứng minh như vậy gọi là phương pháp quy nạp toán học. Bạn cũng có thể hiểu
phương pháp quy nạp giống như trò chơi Đôminô của người Nhật.
2. Phương pháp và ví dụ
2/5

3. Để hiểu hơn về phương pháp quy nạp toán học
Hoàng Ngọc Thế
Thứ tư, 29 Tháng 2 2012 22:57
Để chứng minh 1 mệnh đề $A$ đúng với mọi số nguyên dương bằng phương pháp quy nạp toán
học, ta thực hiện 2 bước:
- Bước 1 (bước "khởi tạo"). Kiểm tra tính đúng đăn của $A$ với $n=1$
- Bước 2 (bước "di truyền"). Giả sử mệnh đề $A$ đã đúng đến $n = k geq 1$, ta chứng minh
$A$ cũng đúng với $n=k+1$.
Ta sẽ giải bài toán 3.
Bước 1. Với $n=1$, ta có:
$$VT(*)=1=dfrac{1(1+1)}{2} = VP(*)$$
Vậy $(*)$ đúng với $n = 1$.
Bước 2. Giả sử $(*)$ đã đúng đến $n = k geq 1$, tức là:
$$1+2+...+k =dfrac{k(k+1)}{2}, (a).$$
Ta cần chứng minh rằng $(*)$ cũng đúng với $n=k+1$, tức là phải chứng minh:
$$1+2+...+(k+1) =dfrac{(k+1)(k+2)}{2}, (b).$$
Thật vậy:
$VT(b) = 1+2+...+(k+1) = 1+2+...+k+(k+1)=VT(a)+(k+1)$
$=VP(a)+(k+1)=dfrac{k(k+1)}{2}+(k+1)=dfrac{(k+1)(k+2)}{2}=VP(b)$
Ta có đpcm.
Học sinh lớp 11 thường bị vướng khi chứng minh $(b)$. Các em thường không biết bắt đầu từ
đâu. Quan sát lời giải bài toán 3, ta thấy lời giải được tiến hành theo logic sau:
$$VT(b)overset{(1)}{rightarrow}VT(a)overset{(2)}{rightarrow}VP(a)overset{(3)}{rightarrow}VP(b)
$$
Dấu mũi tên $(1)$, ta sử dụng giả thiết hoặc những phép toán, định nghĩa cơ bản đã học.
Dấu mũi tên $(2)$, ta sử dụng giả thiết quy nạp, tức là dùng $(a)$
Dấu mũi tên $(3)$, ta thường phải biến đổi, ước lượng.
Xin đưa ra thêm một số ví dụ.
Ví dụ 1. Với mọi $n in mathbb{N}^*$ ta có: $2^n> n, (1)$.
Giải
Bước 1. Với $n = 1$, ta có: $VT = 2, VP = 1$, Vậy $(1)$ đúng.
Bước 2. Giả sử $(1)$ đúng với $n = k geq 1$, tức là:
3/5

4. Để hiểu hơn về phương pháp quy nạp toán học
Hoàng Ngọc Thế
Thứ tư, 29 Tháng 2 2012 22:57
$$2^k > k, (1a)$$
Ta chứng minh rằng $(1)$ cũng đúng với $n = k+1$. Tức là phải chứng minh:
$$2^{k+1} > k + 1, (1b)$$.
Thật vậy, ta có:
$VT(1b) = 2^{k+1} = 2.2^k = 2VT(1a) > 2VP(1a) = 2k > k + 1 = VP(1b)$ (đpcm)
Vậy $(1)$ đúng với mọi $n$ nguyên dương.
Ví dụ 2. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi:
$$left{ begin{array}{l}
u_1 = frac{1}{3}
u_{n + 1} = frac{{(n + 1)u_n }}{{3n}},forall n ge 1
end{array} right.$$
Chứng minh rằng:
$$u_n = frac{n}{{3^n }},forall n ge 1, (2)$$
Giải
* Với $n=1$ ta có $VT(2) = u_1 = frac{1}{3}; VP(2) = frac{1}{3}$. Vậy $(2)$ đúng với $n=1$.
* Giả sử $(2)$ đúng với $n = k geq 1$, tức là:
$$u_k = frac{k}{3^k}, (2a)$$
Ta chứng minh rằng $(2)$ cũng đúng với $n = k+1$. Tức là phải chứng minh:
$$u_{k+1} = frac{k+1}{3^{k+1}}, (2b)$$
Thật vậy, ta có:
$$u_{k+1} = frac{{(k + 1)u_k }}{{3k}} = frac{{(k + 1)k }}{{3k.3^k}} = frac{k+1}{3^{k+1}}=VP(2b)
(đpcm)$$
4/5

5. Để hiểu hơn về phương pháp quy nạp toán học
Hoàng Ngọc Thế
Thứ tư, 29 Tháng 2 2012 22:57
Vậy $(2)$ đúng với mọi $n$ nguyên dương.
3. Bài tập
Mời các bạn cùng làm thêm các bài tập dưới đây:
Bài tập 1. Chứng minh BĐT Bernoulli:
$$(1+a)^n geq 1+ na, forall n in mathbb{N}^*$$
Bài tập 2. Chứng minh rằng:
$$left (11^{n+1}+12^{2n-1} right )vdots 133, forall n in mathbb{N}^*$$.
Đặt câu hỏi cho tác giả Hoàng Ngọc Thế và trao đổi về vấn đề này tại: http://diendantoan
hoc.net/forum/index.php?showtopic=69099
5/5