Pt mũ, logarit

Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit
PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Công th c hàm s mũ và logarit

1. Phương trình và b t phương trình mũ cơ b n
ð so sánh hai lũy th a thì chúng ta ph i chuy n hai lũy th a v cùng cơ s và so sánh hai
s mũ c a chúng. Trong trư ng h p so sánh BðT (b t phương trình ) thì ta ph i chú ý ñ n
s ñơn ñi u c a hàm s mũ ( t c là ph i so sánh cơ s v i 1). Ta xét các phương trình –
b t phương trình cơ b n sau.
1. a f (x) = a g(x) ⇔ f (x) = g(x) .
log a b
2. a f (x) = b = a ⇔ f (x) = log a b .
=b ⇔ f (x) = g(x)log a b .
f (x) g(x)
3. a
4. a f (x) > a g(x) (1)
+ N u a>1 thì (1) ⇔ f (x) > g(x)
+ N u 0<a<1 thì (1) ⇔ f (x) < g(x)
a > 0
Hay (1) ⇔  .
(a − 1)(f (x) − g(x)) > 0
ð gi i phương trình – b t phương trình mũ thì ta ph i tìm cách chuy n v các phương
trình – b t phương trình cơ b n trên.

Ví d 1: Gi i các phương trình sau
2 + 3x − 4
1) 2x = 4x −1 2) (2 + 3)3x +1 = (2 − 3)5x + 8
x
= 36.32 − x 2 x +1 . 42x −1 .83− x = 2 2.0,125
3
3) 8x+2 4)

Gi i:
2
+ 3x − 4
1) pt ⇔ 2x = 22x − 2 ⇔ x 2 + 3x − 4 = 2x − 2 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔ x = 1;x = −2
2) Ta có: (2 + 3)(2 − 3) = 1 ⇒ (2 − 3) = (2 + 3) −1 .
9
⇒ pt ⇔ (2 + 3)3x +1 = (2 + 3) −5x − 8 ⇔ 3x + 1 = −5x − 8 ⇔ x = − .
8
3) ðK: x ≠ −2
3x x −4
4− x x−4
Pt ⇔ 2x+2 = 2 .3 2
⇔ 2x+2 = 34 − x ⇔ log 3 2 = 4 − x
x+2
x = 4
⇔ (x − 4)(x + 2 + log 3 2) = 0 ⇔  .
 x = −2 − log3 2
x +1 4x − 2 3 x +1 4x − 2 3
+ + 9 − 3x −3
4) Pt ⇔ 2 2 .2 3 .29 − 3x = 2 2 .2−3 ⇔ 2 2 3 = 22

Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 1

62
⇔x= là nghi m c a phương trình .
7
Chú ý : N u trong bài toán có x
thì ñi u ki n c a x là : x ≥ 1;x ∈ ℕ .

Ví d 2: Gi i phương trình :
3 2 +x 2 −x
1) 2 x. 4 x .3x 0.125 = 4 3 2 2) 2 x − 4.2 x − 22x + 4 = 0

Gi i:
 1
x ≥
1) ðK :  3 . Vì các cơ s c a các lũy th a ñ u vi t ñư c dư i d ng lũy th a cơ s 2
3x ∈ ℕ

nên ta bi n ñ i hai v c a phương trình v lũy th a cơ s 2 và so sánh hai s mũ.
x 1 1 x x −1 7
2. 1 3x
Phương trình ⇔ 2 .2 x 3 .( ) =2 2
.2 3 ⇔ 2 2 .2 3 2 2x = 23
8
x x 1
+ −
7 x = 3
x x 1 7
⇔ 2 2 3 2x = 23
⇔ + − = ⇔ 5x − 14x − 3 = 0 ⇔ 
2
1.
2 3 2x 3 x = −
 5
K t h p v i ñi u ki n ta có x = 3 là nghi m c a phương trình .
2) Các lũy th a tham gia trong phương trình ñ u cơ s 2. Ta ñi tìm quan h gi a các s mũ
ta th y (x2 + x) − (x2 − x) = 2x ⇒ x2 + x = (x2 − x) + 2x .
2 2
−x −x
Ta có: PT ⇔ 2x .22x − 4.2x − 22x + 4 = 0 .
2 2
−x −x
⇔ 2x (22x − 4) − (22x − 4) = 0 ⇔ (22x − 4)(2x − 1) = 0
 22x = 4 x = 1
⇔ 2 ⇔ .
 2x − x = 1  x = 0


Ví d 3: Gi i các b t phương trình sau:
1) 2 x > 43x −1
x +1 x+2 x+2 x +1
3) 3 +5 ≥3 +5
1 2 1 2x 2 + x +1
2) ( ) 2x +1 ≤ (0,125)3x + 2
1
4) (x + )2
≤ (x 2 + )1− x
2 2 2
Gi i:
2
1) BPT ⇔ 2 x > 26x − 2 ⇔ x > 6x − 2 ⇔ x < .
5
x
5 3 3
2) BPT ⇔ 25.5 − 5.5 > 9.3 − 3.3 ⇔ 20.5 > 6.3 ⇔   > ⇔ x > log 5 .
x x x x x x
 3  10 3
10


2x 2 +1 3x + 2 9x + 6
1 1 1
3) BPT ⇔   ≤  =  ⇔ 2x 2 + 1 ≥ 9x + 6 ⇔ 2x 2 − 9x − 5 ≥ 0
2 8 2
1
⇔ x ∈ (−∞; − ] ∪ [5;+∞) .
2
1
4) Vì x 2 + > 0 nên ta có các trư ng h p sau
2
1 1
* x2 + = 1 ⇔ x = ± .
2 2
 2 1  1  x ≤ −1
x + > 1 | x |> 
* 2 ⇔ 2 ⇔ 1 .
x >
 2 2x 2 + 2x ≥ 0 
2x + x + 1 ≥ 1 − x   2
 2 1  1
 x + <1 | x |< 1
* 2 ⇔ 2 ⇔− < x ≤ 0.
 2x 2 + 2x ≤ 0 2
2x + x + 1 ≤ 1 − x
2

1 1
V y nghi m c a b t phương trình là: x ∈ (−∞; −1] ∪ [ − ;0] ∪ [ ; +∞) .
2 2
Chú ý : Ta có th gi i bài 4 như sau:
1
BPT ⇔ (x 2 − )(2x 2 + 2x) ≥ 0 . L p b ng xét d u ta cũng tìm ñư c t p nghi m như trên
2

Ví d 4: Tìm t t c các c p s th c (x;y) th a mãn ñ ng th i các ñi u ki n sau :
2
|x − 2x − 3| − log 3 5
3 = 5− (y + 4) (1) và 4 | y | − | y − 1| + (y + 3) 2 ≤ 8 (2).
Gi i:
Vì | y | +1 ≥| y − 1|⇒ 4 | y | +1− | y − 1|≥ 0 nên t (2) ⇒ (y + 3) 2 ≤ 9 ⇒ y ≤ 0
⇒ (2) ⇔ y 2 + 3y ≤ 0 ⇔ −3 ≤ y ≤ 0 (*).
2
− 2x − 3|
M t khác (1) ⇔ 3|x = 5− y − 3 ⇒ − y − 3 ≥ 0 ⇒ y ≤ −3 (**)
2
Tư (*) và (**) ta có y = −3 ⇒ 3|x − 2x − 3| = 0 ⇔ x 2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1;x = 3 .
Th l i ta th y các giá tr này th a mãn (1) và (2).
V y (x; y) = (−1; −3), (3; −3) là nh ng c p (x;y) c n tìm.

Chú ý : 1) V i bài toán trên ta th y (2) là B t phương trình m t n nên ta tìm cách gi i (2)
và ta dư ñoán bài toán th a mãn t i nh ng ñi m biên c a y.
2) Ta có th gi i (2) b ng cách phá b d u tr tuy t ñ i ta cũng tìm ñư c nghi m c a (2) là
−3 ≤ y ≤ 0 , tuy nhiên cách làm v y cho ta l i gi i dài.



1
Ví d 5: Gi i và bi n lu n phương trình : |x −1|
= 2m − 1 .
2
Gi i:
1
* N u 2m − 1 ≤ 0 ⇔ m ≤ thì phương trình vô nghi m.
2
1 1
* N u m > ⇒ PT ⇔ 2|x −1| = (2) .
2 2m − 1
1
+) V i = 1 ⇔ m = 1 ⇒ (2) ⇔ 2|x −1| = 1 ⇒ (2) có 1 nghi m x = 1.
2m − 1
+) V i m ≠ 1 ⇒ (2) có 2 nghi m phân bi t x = 1 ± log 2 (2m − 1) .

Bài t p:
Bài 1: Gi i các phương trình sau:
1) 2x + 2x +1 + 2x + 2 = 3x + 3x +1 + 3x + 2 + x +5
= 27 2x +1
2
2) 32x
x −1
x 2 − 5x + 6 x −3 x 2 − 5x + 4
3) 5 =2 4) 2 x
.5 x = 10 5) (x + 3) 2
= (x 2 + 3) x + 4
x +5 x +17
6) 32 x −7 = 0,25.128 x − 3 ( x=10). 7) x x
= xx (x=1;x=4)
2x − 2
3 9 x 9
8)   = . 9) 2x.x +1 27 x . 5x = 180 .
4 16 16
x 2 −3x + 2 x 2 + 6x +5 2x 2 +3x + 7
10) 4 +4 =4 + 1.
Bài 3: Gi i các b t phương trình sau:
x −3 x +1
x 2 − 4x x−4 2
−x
1) 3 ≤2 2) 10 + 3) x −1
< ( 10 − 3) x +3
3) (4x 2 + 2x + 1) x ≤1
2
2x 2 + x −1 −3
4) | x − 1| >1 5) (x 2 + x + 1) 2x < (x 2 − x + 1) x
x −|x −1|
2.3x − 2 x + 2 2
x − 2x 1
6) ≤1 7) 3 ≥ 
3 −2
x x
3
2 2 2
8) 4x 2 + x.2 x +1 + 3.2 x > x 2 .2 x + 8x + 12
Bài 4: Tìm m ñ phương trình sau có nghi m duy nh t
3m − 1
= 2m + 1 .
|x 2 − m + 2|
5
2
− 4x + 3|
 1 |x
 4 2
Bài 5: Tìm m ñ phương trình  
 
 = m − m + 1 có b n nghi m phân bi t.
5


2) Các phương pháp gi i PT – BPT mũ:

1. Phương pháp ñ t n ph

Cũng như PT – BPT vô t và lư ng giác, ñ gi i PT – BPT mũ ta có th dùng phương pháp
ñ t n ph . T c là ta thay th m t bi u th c ch a hàm s mũ b ng m t bi u th c ch a n
ph mà ta ñ t và chuy n v nh ng phương trình – b t phương trình ma ta ñã bi t cách
gi i. Phương pháp ñ t n ph r t phong phú và ña d ng, ñ có ñư c cách ñ t n ph phù
h p thì ta ph i nh n xét ñư c quan h c u các cơ s có trong phương trình.

Ví d 1: Gi i phương trình:
2
1) 2.16 x − 15.4 x − 8 = 0 2) 4cos 2x + 4cos x − 3 = 0 .
Gi i:

1) Nh n xét cơ s ta th y 16 chính là bình phương c a 4, t c là ta có: 16 x = (42 ) x = (4 x ) 2
Nên ta ñ t: t = 4x , t > 0 ⇒ 16 x = (4 x ) 2 = t 2 .
3
Phương trình tr thành: 2t 2 − 15t − 8 = 0 ⇔ t = 8 ⇔ 22x = 23 ⇔ x = .
2
2) Vì s mũ c a hai lũy th a trong phương trình là hai hàm s lư ng giác và hai hàm s
này bi u th qua nhau b i h th c cos 2x = 2cos 2 x − 1 nên ta chuy n s mũ c a hai lũy
th a ñó v m t hàm lư ng giác.
2 2
Ta có phương trình ⇔ 42 cos x
+ 4.4cos x
− 12 = 0 .
cos 2 x
ð t t=4 , t > 0 , ta có phương trình : t 2 + 4t − 12 = 0 ⇔ t = 2
2x π π
⇔ 22 cos = 2 ⇔ 2cos 2 x = 1 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = + k .
4 2
Nh n xét: Ta có d ng t ng quát c a bài toán trên là: F(a f (x) ) = 0 .V i d ng này ta ñ t
t = a f (x) , t > 0 và chuy n v phương trình F(t) = 0 , gi i tìm nghi m dương t c a phương
trình, t ñó ta tìm ñư c x. Ta thư ng g p d ng: m.a 2f (x) + n.a f (x) + p = 0 .
V i BPT ta cũng làm tương t .

Ví d 2: Gi i các b t phương trình:

1) 2 x − 21− x < 1
2 2
2) 9 x − 2x − x − 7.3 x − 2x − x −1 ≤ 2
Gi i:
2
1) BPT ⇔ 2 x − < 1. ð t t = 2 x , t ≥ 1, ta có:
x
2
2
t − < 1 ⇔ t2 − t − 2 < 0 ⇔ 1 ≤ t < 2 ⇔ 2 x < 2 ⇔ 0 ≤ x < 1.
t



x 2 − 2x − x x 2 − 2x − x
2) BPT ⇔ 3.9 − 7.3 ≤ 6.
x 2 − 2x − x
ð t t =3 , t > 0 , ta có b t phương trình :
3t 2 − 7t − 6 ≤ 0 ⇔ t ≤ 3 ⇔ x 2 − 2x − x ≤ 1 ⇔ x 2 − 2x ≤ x + 1
 x 2 − 2x ≥ 0 x ≤ 0 V x ≥ 2
  1
⇔ x + 1 ≥ 0 ⇔  x ≥ −1 ⇔ − ≤ x ≤0 V x ≥ 2.
 2  x ≥ −1/ 4 4
 x − 2x ≤ (x + 1)2 

Ví d 3: Gi i các b t phương trình :
1
4
x+
x +4 x
1) 2.3 +9 2 ≥9 x 2) 32x − 8.3x + x+4
− 9.9 x+4
>0.

Gi i:
1) Trong b t phương trình
4x− x 4x− x
Chia hai v BPT cho 9 x
ta ñư c: 2.3 + 3.9 ≥ 1.
4x− x 1 4
ð t t =3 ⇔ 3 x − x ≥ 3−1
, t > 0 , ta có BPT: 3t 2 + 2t − 1 ≥ 0 ⇔ t ≥
3
1+ 5 7+3 5
⇔ 4 x − x ≥ −1 ⇔ x − 4 x − 1 ≤ 0 ⇔ 4 x ≤ ⇔0≤x≤ .
2 2
2) Chia hai v BPT cho 9 x + 4 ta ñư c: 32(x- x+4) − 8.3x − x + 4 − 9 > 0
ð t t = 3x − x+4
, t > 0 , ta có: t 2 − 8t − 9 > 0 ⇔ t > 9 ⇔ 3x − x + 4 > 32
x + 2 > 0
  x > −2

x− x+4 >2⇔x+2> x+4 ⇔ ⇔ 2 ⇔ x > 0.
(x + 2) > x + 4  x + 3x > 0
2
 

Ví d 4: Gi i các phương trình sau:
2 2 1 12
−x
− 22 + x − x = 3
3x x
1) 2 x 2) 2 − 6.2 − 3(x −1)
+ x
= 1.
2 2

Gi i:
2 −x 4 2 − x) 2 −x
1) PT ⇔ 2 x − = 3 ⇔ 22(x − 3.2 x − 4 = 0.
x2 − x
2
2 −x  x = −1
ð t t = 2x , t > 0 . Ta có: t 2 − 3t − 4 = 0 ⇔ t = 4 ⇔ x 2 − x − 2 = 0 ⇔  .
x = 2
8 12 8 2
2) ð t t = 2 x , t > 0 ta có: t 3 − 6t − 3 + = 1 ⇔ (t 3 − 3 ) − 6(t − ) − 1 = 0 .
t t t t
2 8  2  4   2  2 
ð t y = t − ⇒ t 3 − 3 =  t −   t 2 + 2 + 2  =  t −  (t − ) 2 + 6  = y(y 2 + 6)
t t  t  t   t  t 

2
Nên ta có phương trình : y3 − 1 = 0 ⇔ y = 1 ⇔ t − = 1 ⇔ t 2 − t − 2 = 0 ⇔ t = 2 ⇔ x = 1.
t
Ví d 5: Gi i phương trình :
1) (5 + 24) x + (5 − 24) x = 10 2) (7 + 4 3) x − 3(2 − 3) x + 2 = 0 .
Gi i:
Nh n xét hai cơ s ta th y: (5 + 24)(5 − 24) = 1 ⇒ (5 + 24) x (5 − 24) x = 1. Do v y
1
n u ñ t t = (5 + 24) x , t > 0 ⇒ (5 − 24) x = và phương trình ñã cho tr thành
t
1
t + = 10 ⇔ t 2 − 10t + 1 = 0 ⇔ t = 5 ± 24 .
t
T ñây ta tìm ñư c x = ±1 .
Nh n xét: Bài toán trên có d ng t ng quát như sau:
1
m.a f (x) + n.b f (x) + p = 0 , trong ñó a.b = 1 . ð t t = a f (x) , t > 0 ⇒ b f (x) = .
t

2) Ta có: 7 + 4 3 = (2 + 3)2 và (2 − 3)(2 + 3) = 1 nên ta ñ t t = (2 + 3) x , t > 0 ta có
3
phương trình : t 2 − + 2 = 0 ⇔ t 3 + 2t − 3 = 0 ⇔ (t − 1)(t 2 + t + 3) = 0 ⇔ t = 1
t
⇔ (2 + 3) = 1 ⇔ x = 0 .
x

2 2 2
1) 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = 0 2) 9 − x + 2x +1
− 34.15 2x − x + 252x − x +1
=0

Gi i:
1) Nh n xét các cơ s ta có: 9 = 32 ;4 = 22 ;6 = 3.2 , do ñó n u ñ t a = 3x ,b = 2 x , ta có:
6a 2 − 13ab + 6b2 = 0 ñây là phương trình ñ ng c p b c hai ñ i v i a,b. Chia hai v PT
x
2 a  3
  ta ñư c: 6t 2 − 13t + 6 = 0 ⇔ t = 3 , t = 2 .
cho b và ñ t t = =  
 
b  2 2 3
T ñây ta có: x = ±1 .

Nh n xét: Ta có d ng t ng quát c a phương trình trên là:
m.a 2f (x) + n.(a.b) f (x) + p.b 2f (x) = 0 . Chia 2 v phương trình cho b 2f (x) và ñ t
a
t = ( ) f (x) , t > 0 . Ta có PT: mt 2 + nt + p = 0 .
b

2 2 2
2) PT ⇔ 9.9 2x − x − 34.152x − x + 25.252x − x = 0


2 2
2(2x − x ) 2x − x 2x − x 2
3 3 3
⇔ 9  − 34   + 25 = 0 ⇔ 9t − 34t + 25 = 0 (V i t =   , t > 0 ).
2
5 5 5
25
⇔ t = 1; t = .
9
2x − x 2
3
* t =1⇔   = 1 ⇔ 2x − x 2 = 0 ⇔ x = 0;x = 2 .
5
2x − x 2 −2
25 3 3
* t= ⇔  =  ⇔ x 2 − 2x − 2 = 0 ⇔ x = 1 ± 3 .
9 5 5

Ví d 7:Gi i phương trình:
1) 125x + 50x = 23x +1 2) 3.8x + 4.12 x − 18x − 2.27 x = 0 .
Gi i:
3x 2x
5 5
1) PT ⇔ 5 3x
+ 5 .2 = 2.2
2x x 3x
⇔  +  −2=0
2 2
x
5
ð t t =   , t > 0 ta ñư c: t 3 + t 2 − 2 = 0 ⇔ (t − 1)(t 2 + 2t + 2) = 0 ⇔ t = 1 ⇔ x = 0 .
2
V y phương trình có nghi m x = 0 .
3x 2x x x
2 2 2 2
2) PT ⇔ 3   + 4.  −   − 2 = 0 . ð t t =   , t > 0 ta ñư c:
3 3 3 3
2
3t 3 + 4t 2 − t − 2 = 0 ⇔ (t + 1)(3t 2 + t − 2) = 0 ⇔ t = ⇔ x = 1 .
3

Ví d 8: Tìm m ñ các phương trình sau có nghi m
7+3 5 x 7−3 5 x
1) 4 x + 5.2 x + m = 0 2) ( ) + m( ) = 8.
2 2
Gi i:
1) ð t t = 2x , t > 0. Phương trình tr thành: t 2 + 5t = − m (1). Suy ra phương trình ñã cho
có nghi m ⇔ (1) có nghi m t > 0 .
V i t > 0 ta có hàm f (t) = t 2 + 5t > 0 và liên t c nên phương trình ñã cho có nghi m
⇔ −m > 0 ⇔ m < 0 .
x
7+3 5 m
2) ð t : t =   , t > 0 , ta có phương trình : t + = 8 ⇔ t − 8t = − m (2)
2

 2  t
Suy ra phương trình ñã cho có nghi m ⇔ (1) có nghi m t > 0 .
Xét hàm s f (t) = t 2 − 8t v i t > 0 , ta có: f (t) = (t − 4) 2 − 16 ≥ −16 nên phương trình ñã
cho có nghi m −m ≥ −16 ⇔ m ≤ 16 .


Ví d 9: Tìm m ñ b t phương trình sau có nghi m:
1) 9 x + m.3x + 1 ≤ 0 2) 32x − m.3x + x + 4 − 9.9 x + 4 < 0 .
Gi i:
t2 + 1
1) ð t t = 3 , t > 0 . B t phương trình tr thành: t + mt + 1 ≤ 0 ⇔
x 2
≤ − m (3).
t
B t phương trình ñã cho có nghi m ⇔ (3) có nghi m t > 0 ⇔ Min f (t) ≤ − m (*).
t >0
t2 + 1 t2 − 1
Xét hàm s f (t) = v i t > 0 . Ta có f '(t) = 2 ⇒ f '(t) = 0 ⇔ t = 1 . T ñây suy ra
t t
Min f (t) = f (1) = 2 ⇒ (*) ⇔ −m ≥ 2 ⇔ m ≤ −2 .
t >0

Chú ý : BPT : f (x) ≤ k ( f(x) ≥ k ) có nghi m trên D ⇔ Min f (x) ≤ k ( Max ≥ k)
D D

2) Chia hai v c a BPT cho 3x + x+4
ta ñư c:
9
3x − x + 4 − 9.3 x + 4 − x − m < 0 ⇔ f (t) = t − < m (**), trong ñó t = 3x − x + 4
t
Xét hàm s u(x) = x − x + 4 v i x ≥ −4 . Ta có
1 1 15 15 17
u '(x) = 1 − ⇒ u '(x) = 0 ⇔ x + 4 = ⇔ x = − ⇒ u(x) ≥ u(− ) = −
2 x+4 4 4 4 4
17
−
Suy ra t ≥ 3 4 .
1
Xét hàm s f(t) trên D = [ ; +∞) , ta có f(t) là hàm ñ ng bi n nên
814 3
1 1 − 729 3
Min f (t) = f ( 4 ) = ⇒ BPT ñã cho có nghi m ⇔ (**) có nghi m t ∈ D
D 81 3 814 3
1 − 729 3
⇔ m > Min f(t) = .
D 814 3
Chú ý : 1) bài toán trên chúng ta thư ng m c sai l m là khi ñ t t ta cho r ng ñi u ki n
c a t là t > 0 ! D n ñ n ñi u này là do chúng ta không xác ñ nh t p giá tr c a u(x) và lúc
ñó ta s cho l i gi i sai!.
2) BPT f (x) ≥ k (f (x) ≤ k) ∀x ∈ D ⇔ Min f (x) ≥ k (Max f (x) ≤ k) .
D D

Ví d 10: Tìm t t c các giá tr c a tham s a sao cho b t phương trình sau ñư c nghi m
ñúng v i m i x ≤ 0 : a.2 x +1 + (2a + 1)(3 − 5) x + (3 + 5) x < 0 .
Gi i:
BPT ⇔ 2a.2 x + (2a + 1)(3 − 5) x + (3 + 5) x < 0


x x
3+ 5  3− 5 
⇔  + (2a + 1)   + 2a < 0
 2   2 
x x
3+ 5  1 3− 5 
ð t t =  ,0 < t ≤ 1 ∀x ≤ 0 ⇒ =   và b t phương trình tr thành:
 2  t  2 
1 t2 + 1
t + (2a + 1) + 2a < 0 ⇔ t 2 + 1 < −2a(t + 1) ⇔ < −2a (I )
t t +1
t2 + 1
Xét hàm s f (t) = v i t ∈ D = (0;1] .
t +1
t 2 + 2t − 1
Ta có: f '(t) = ⇒ f '(t) = 0 ⇔ t = −1 + 2 ⇒ Max f (t) = f (1) = 1 .
(t + 1) 2 (0;1]

1
BPT ñã cho nghi m ñúng ∀x ≤ 0 ⇔ (I ) ñúng ∀t ∈ (0;1] ⇔ −2a > Max f (t) ⇔ a < − .
(0;1] 2
2 2 2
−x −x −x
Ví d 11: Tìm m ñ bpt m.9 2x − (2m + 1)6 2x + m.4 2x ≤ 0 nghi m ñúng v i
1
m i x th a mãn | x |≥ .
2
Gi i:
2x 2 − x
2x 2 − x 3
Chia hai v b t phương trình cho 4 và ñ t t =   ta có b t phương trình :
2
m.t 2 − (2m + 1)t + m ≤ 0 ⇔ t ≥ m(t 2 − 2t + 1) (*).
1 1 1
Xét hàm s u(x) = 2x 2 − x v i | x |≥ , có u '(x) = 4x − 1 ⇒ u(x) ≥ u( ) = 0 ∀ | x |≥
2 2 2
1
⇒ t ≥ 1 ∀ | x |≥ .
2
* V i t=1 ta th y (*) ñúng.
t
* V i t > 1 ⇒ (*) ⇔ f (t) = 2 ≥ m (**)
t − 2t + 1
−t 2 + 1
Ta có f '(t) = < 0 ∀t > 1 ⇒ f (t) ngh ch bi n trên (1; +∞)
(t − 1) 4
Mà lim f (t) = 0 ⇒ f (t) > 0 ∀t > 1. Suy ra (**) ñúng ∀t > 1 ⇔ m ≤ 1.
t →+∞



2. Phương pháp ñánh giá.
N i dung phương pháp này là d a vào tính ñơn ñi u c a hàm s mũ ñ tìm nghi m c a
phương trình. ðư ng l i chính là ta d ñoán m t nghi m c a phương trình r i d a vào
tính ñơn ñi u c a hàm s mũ ch ng minh phương trình có nghi m duy nh t.

1) 4 x + 3x = 5 x 2) 3x = 4 − x
Gi i:
1) Ta khó tìm ñư c m i liên h gi a các cơ s xu t hi n trong bài toán. Tuy nhiên ta nh n
th y phương trình có nghi m x=2. Ta tìm cách ch ng minh x=2 là nghi m duy nh t c a
phương trình. ð làm ñi u này ta chia hai v phương trình cho 5x (Nh m t o ra hàm s
x x
4 3
VT ngh ch bi n) ta ñư c:   +   = 1 (1).
5 5
G i f (x) là VT c a (1) ⇒ f (x) là hàm ngh ch bi n và f (2) = 1 .
* x > 2 ⇒ f (x) < f (2) = 1 ⇒ (1) vô nghi m.
* x < 2 ⇒ f (x) > f (2) = 1 ⇒ (1) vô nghi m.
V y phương trình có nghi m duy nh t x = 2 .

2) Ta có: PT ⇔ 3x + x = 4 (2)

Ta th y VT c a (2) là m t hàm ñ ng bi n và x=1 là m t nghi m c a phương trình và ñây
cũng là nghi m duy nh t c a phương trình ñã cho.
2
−4
1) 3.4 x + (3x − 10)2 x + 3 − x = 0 2) 4x + (x 2 − 4)2x − 2 = 1 .

Gi i:

Ví d 2: Gi i và bi n lu n phương trình:
2 2
5x + 2mx + 2 − 52x + 4mx +m + 2 = x 2 + 2mx + m

Bài t p:
Bài 1: Gi i các phương trình sau
x −1 x +5
1) 34x + 8 − 4.32x + 5 + 27 = 0 2) 3.2 x +1 − 2 2 + 4 = 0
3) (5 − 21) x + 7(5 + 21) x = 2x + 3 4) ( 5 + 2 6 )sin x + ( 5 − 2 6 )sin x = 2



5) 4 x− x −5 − 12.2 x−1− x −5 + 8 = 0
2 2
6)
Bài 2: Gi i các b t phương trình sau:
2x − x 2
x 2 − 2x 1
1) 9 − 2  ≤3
 3

Bài t p
Bài 1: Gi i các phương trình và b t phương trình sau
10) 4 x+1 + 2 x + 2 − 3 = 0
11)
12) 3.16 x + 2.81x = 5.36 x
7) 25x − 6.5x + 5 > 0
13) 22x +1 − 5.6 x − 32x +1 ≥ 0
8) 3x+1 + 18.3− x < 29
14) ( 2 + 3 ) x + ( 2 − 3 ) x = 14
15) ( 7 + 48 ) x + ( 7 − 48 ) x ≤ 14
16)
Bài 2: Tìm m ñ các phương trình và B t phương trình sau có nghi m:
1) m.9x + (m − 1)3x + 2 + m − 1 = 0

2)4x − m.2x +1 + 3 − 2m ≤ 0



PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1.Phương trình cơ b n
 f (x ) = g(x )

* loga f (x ) = loga g (x ) ⇔ 
 f (x ) ≥ 0 (g(x ) ≥ 0)

b
* loga f (x ) = b ⇔ f (x ) = a
* loga f (x ) ≥ loga g(x ) (*)
 f (x ) > g(x )

+ N u a>1 thì (*) ⇔ 
g(x ) > 0

 f (x ) < g(x )

+ N u 0<a<1 thì (*) ⇔ 
 f (x ) > 0

 f (x ) > 0

Chú ý: loga f (x ) có nghĩa ⇔ 
0 < a ≠ 1

2
4) log 1 (x − 3x + 2) ≥ −1
1) log 3 (x − 1) + log 3 (x − 2) = log 3 6
2

2) lg(x 2 − 7x + 6) = lg(x − 1) + 1 5)log 5 (4x + 144) − 4 log5 2 < log 5 5(2x −2 + 1)
2
3) ( 1-x + 1 + x − 2)log2 (x − x ) = 0 6) 2x − 3
log 3 <1
1−x

2. Các phương pháp gi i Phương trình-B t phương trình logarit

Phương pháp ñ t n ph :
loga x
*Công th c ñ i cơ s : logb x == .
loga b
Ví d 1: Gi i các phương trình và b t phương trình sau


1) 1 + log2 (x − 1) = logx −1 4 x3  32
4) log2 x − log2
4
1
2
  + 9 log2 2 < 4 log 1 x
5  8 
2) log5x + log2 x = 1
5 2   x 2
x
5) log 4 (2x 2 + 3x + 2)1 > log2 (2x 2 3x + 2)
3) log2 x +
3 log2 x + 1 − 5 = 0
3

a )lg2 x − lg x 3 + 2 = 0
1 2
c) + =1
4 − lg x 2 + lg x
d )3 logx 16 − 4 log16 x = 2 log2 x

f )5lg x + x lg 5 = 50
g )logx 2 16 + log2x 64 = 3
lg x + 7
h) x 4 = 10lg x +1

i *)9log3 (1− 2x ) = 5x 2 − 5
1)log 1 (4x + 4) ≥ log 1 (22x +1 − 3.2x )
2 2
1 1 8
2) log 2 (x + 3) + log 4 (x − 1) = log2 (4x )
2 4
3) 16 log27x 3 x − 3 log 3x x 2
2
4) 4( log2 x ) − log 1 x + m = 0 x ∈ (0;1)
2
5)log 1 x + 2 log 1 (x − 1) + log2 6 ≤ 0
2 4

6)log 5 (5x − 4) = 1 − x

7)log 3 x > logx 3
1 3
log2 x log2 x
8) 2x 2 ≥ 22

9) log π (log2 (x + 2x 2 − x ) < 0
4


Pt mũ, logarit

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (17)

Similar a Pt mũ, logarit

Similar a Pt mũ, logarit (20)

Más de Thế Giới Tinh Hoa

Más de Thế Giới Tinh Hoa (20)

Pt mũ, logarit