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Concreto Armado 235
VIII. Cimentaciones
8.1. INTRODUCCIÓN.
Se llama cimentación al elemento estructural que trasmite las cargas de las columnas y
muros al terreno. La resistencia del suelo es menor que la resistencia del concreto, por
ello, la cimentación tiene mayor área que su respectiva columna o muro para así
reducir los esfuerzos que se trasmiten al terreno.
Las cimentaciones son la base de una estructura y están comprendidas entre la parte
superior o súper-estructura y el suelo o roca que le sirve de base de apoyo. El terreno
debe trabajar bajo una carga tal que no se altere su estado de equilibrio, o sea, que no
se produzcan deformaciones o asentamientos perceptibles que repercutan en los
diferentes elementos de la estructura. Si una columna se asienta más o menos que otra
adyacente, la diferencia genera esfuerzos que pueden ocasionar daños en los elementos
estructurales y no estructurales.
Para limitar los asentamientos, es necesario (1) Trasmitir la carga de la estructura hasta
un estrato de suelo que tenga la resistencia suficiente, y (2) Distribuir la carga sobre un
área suficientemente grande de este estrato para minimizar las presiones de contacto.
Si no se encuentran suelos adecuados justo debajo de la estructura, es necesario
recurrir a cimentaciones profundas como pilotes o pilas para trasmitir la carga hasta
estratos más profundos y de mayor firmeza. Si existe un suelo satisfactorio
inmediatamente debajo de la estructura, es suficiente distribuir la carga mediante
zapatas u otros medios. Estas subestructuras se conocen como cimentaciones
superficiales y es precisamente este tipo de cimentaciones el que se analizará en este
capitulo(59)
.
Superficie estructural o elemento
estructural sustentado
Subestructura o cimentación
superficial
Suelo o roca
La carga de trabajo del terreno debe determinarse por medio de experiencias y
sondajes a cargo de un especialista en mecánica de suelos. En la tabla (VIII-1) se
presentan algunos valores aproximados de la carga de trabajo para diferentes tipos de
terreno. Estos se utilizan solo para diseños preliminares(60)
.
TIPO DE SUELO σat (Kg./cm2
.)
1. Rocas macizas: Granito, diorita, gneis.
2. Rocas laminares: Esquistos, pizarra.
3. Rocas sedimentarias: Caliza arenisca.
4. Cascajo, gravas o gravas arenosas (GW ó GP)
100
40
15
236 Ing°S.Chávez C.
- compactas.
- mediamente compactas (Lima).
- Sueltas.
5. Arenas o arenas con grava bien graduadas (SW).
- Compactas.
- Mediamente compactas.
- Sueltas.
6. Arenas o arenas con grava mal graduadas (SP).
- compactas.
- mediamente compactas.
- Sueltas.
7. Gravas sienosas o gravas –areno-sieno (GM).
- compactas.
- mediamente compactas.
- Sueltas.
8. Arenas sienosas o areno sieno (SM).
9. Gravas arcillosas o arenas arcillosas (GC-SC).
10. Suelos inorgánicos, sienos, arenas finas (ML-CL)
11. Arcillas inorgánicas plásticas, arenas diatomiceas,
sienos elásticos (CH-MH).
5.00
4.00
3.00
3.75
3.00
2.25
3.00
2.50
1.75
2.50
2.00
1.50
2.00
2.00
1.00
1.00
Tabla VIII-1.- Cargas de trabajo para diversos tipos de suelo.
8.1.1. Tipos de Cimentaciones(61)
.
Las cimentaciones superficiales pueden clasificarse como cimentaciones para
muros y cimentaciones para columnas. Los esquemas en planta de los tipos
más comunes se presentan en la figura (VIII-1).
Una cimentación para muro consiste en una franja de concreto reforzado más
ancha que el muro y que distribuye su presión.
Las zapatas para columnas individuales son por lo general cuadradas, algunas
veces rectangulares y representan el tipo de cimentación más sencillo y
económico. Su utilización para columnas exteriores tiene algunas dificultades
si los derechos de propiedad impiden la utilización de zapatas que se extiendan
más alla de los muros exteriores. En este caso, se utilizan zapatas combinadas o
zapatas conectadas para permitir el diseño de una zapata que no se extienda
más alla del muro o columna.
Las zapatas combinadas para dos o más columnas se utilizan también para
columnas interiores con cargas considerables y poco espaciadas entre si, donde
las zapatas individuales, si se hicieran, quedarían casi totalmente traslapadas.
Concreto Armado 237
Las zapatas individuales y las zapatas combinadas para columnas son los tipos
de cimentaciones superficiales más utilizados en suelos con capacidad
razonable de carga. Si el suelo es blando o las cargas de las columnas son
grandes, las áreas requeridas para las zapatas son tan grandes que se convierten
en antieconómicas; en este caso, a menos que las condiciones del suelo exijan
una cimentación profunda, se adopta una solución consistente en una losa de
cimentación o en una cimentación flotante. Este tipo de cimentación consta de
una losa maciza de concreto reforzado que se extiende bajo todo el edificio y
que, en consecuencia, distribuye la carga de la estructura sobre la máxima área
disponible. Esta cimentación, gracias a su propia rigidez también minimiza los
asentamientos diferenciales. En su forma más sencilla, consta de una losa de
concreto reforzado en las dos direcciones. Una forma que proporciona mayor
rigidez consiste en una losa de entrepiso invertida y conformada por vigas
secundarias y principales.
Generalmente cuando el área de cimentación es mayor al 50% del área
disponible, se emplea losa de cimentación y si es menor al 50% del área
disponible, se emplean cimentaciones profundas.
En conclusión diríamos que el tipo de cimentación apropiado para cada
situación depende de varios factores, entre los cuales se tiene:
1. La resistencia y compresibilidad de los estratos del suelo.
2. La magnitud de las cargas de las columnas.
3. La ubicación de la napa freática.
4. La profundidad de cimentación de las edificaciones vecinas.
8.1.2. Presión del suelo.
Cada tipo de terreno tiene sus característica propias y reacción ante cargas
externas de distintos modos. Algunos de los factores que influyen en la
distribución de la reacción del terreno son: La flexibilidad de cimiento al suelo,
el nivel de cimentación y el tipo de terreno. Por ejemplo en la fig. VIII-2, se
presenta la distribución de la presión para dos tipos de suelos: Granular y
cohesivo.
P P
(a) Suelos granulares. (b) Suelos cohesivos.
Fig. VIII-2.- Distribución de presiones de contacto
En el terreno granular se aprecia que la presión en los bordes de la cimentación
es menor que en la zona central debido a la presión ejercida por las cargas
aplicadas tiende a desplazar el suelo en los extremos lo cual disminuye la
reacción. Este desplazamiento depende de la profundidad de cimentación. Si
238 Ing°S.Chávez C.
esta es elevada, la fuerza ejercida por el peso propio del terreno impedirá que el
suelo se desplace. En el suelo cohesivo por el contrario, la presión en los
bordes de la cimentación es mayor que en la sección central. El suelo que
circunda el área cargada ejerce una fuerza de soporte sobre ella por efecto de la
cohesión y por ello la reacción se incrementa.
En el diseño, no es practico considerar la distribución real de la reacción del
suelo, por lo que se asume dos hipótesis básicas:
1. La cimentación es rígida.
2. El suelo es homogéneo, elástico y aislado del suelo circundante.
Estas suposiciones conllevan a que la distribución de la reacción del suelo,
frente a las cargas transmitidas por la columna sea lineal, consideraciones que
ha demostrado dar resultados conservadores, excepto en terrenos cohesivos
como limos o arcillas plásticas.
8.2. CIMIENTOS CORRIDOS.
Las zapatas de muros pueden ser de concreto simple o de concreto armado,
dependiendo de la magnitud de los esfuerzos a los que se encuentran sometidos. Por lo
general, los muros de albañilería no portante tienen cimentación de concreto simple,
mientras que los muros portantes, de concreto o albañilería, utilizan zapatas de
concreto armado, sobre todo en terrenos de mala calidad.
Los cimientos de muros son elementos que trabajan básicamente en una dirección,
presentándose los esfuerzos, principales perpendiculares al muro. En este tipo de
cimentación, sólo se analiza la flexión y corte en esta dirección y no se chequea corte
por punzonamiento.
Dado que el terreno de fundación generalmente se encuentra a una profundidad de
1.00 m., es usual considerar cimientos de 50 a 60 cm. de altura y sobrecimientos de 40
ó 50 cm., ubicados por encima del cimiento. Si el muro es de ladrillo, es recomendable
que los sobrecimientos se continúen 10 ó 20 cm. sobre el nivel del piso terminado, con
el fin de proteger al ladrillo del muro del contacto directo con el terreno.
8.2.1. Diseño de cimiento corrido de concreto simple.
Diseñar el cimiento corrido para el eje (B), sabiendo que el nivel para cimentar
se encuentra a 1.00 m. bajo el nivel del terreno natural, donde σt =1.0 Kg./cm2
.
e aligerado = 20 cm. (1° y 2° nivel)
P.t. = 100 Kg./m2
.
Sentido de las viguetas s/c: 1° piso = 250 Kg./m2
.
2° piso = 150 Kg./m2
.
Muros portantes de ladrillo sólido
(γ = 1800 Kg./m3
.)
.15 4.00 ..15 3.50 .15
(A) (B) (C)
Concreto Armado 239
Azotea
0.20
Sobrecimiento y cimiento:
2.80 (γcº = 2200 Kg./m3
.)
Viga solera: b x h (0.15 x 0.20)
0.20
3.00
0.10
0.10
1.10
1.00
N.C.
Solución.
1. Peso propio de la losa aligerada:
1° Piso = 300 x 3.75 x 1.00 = 1125 Kg.
2° Piso = 300 x 3.75 x 1.00 = 1125 Kg. PD1 = 2250 kg.
2. Peso por piso terminado:
1° Piso = 100 x 3.75 x 1.00 = 375 Kg.
2° Piso = 100 x 3.90 x 1.00 = 390 Kg. PD2 = 765 kg.
3. Peso viga solera:
1° Piso = 0.15 x 0.20 x 2.40 = 72 Kg.
2° Piso = 0.15 x 0.20 x 2.40 = 72 Kg. PD3 = 144 kg.
4. Peso de los muros (p.e. = 1800 Kg./m3
.)
1° Piso = 0.15 x 2.90 x 1800 x 1.00 = 783 Kg.
2° Piso = 0.15 x 2.80 x 1800 x 1.00 = 756 Kg. PD4 = 1539 kg.
5. Sobrecarga:
1° Piso = 250 x 3.75 x 1.00 = 937.5 Kg.
2° Piso = 150 x 3.90 x 1.00 = 585.0 Kg. PL1 = 1522.5 kg.
6. Sobrecimiento:
Considerando h cimiento = 50 cm.  hs/c = 0.60 m., p.e.c° = 2200 Kg./m3
.
peso s/c = (0.15 x 0.60) 2200 x 1.00 = 198 Kg. PD5 = 198 Kg.
7. Cimiento:
Peso = (0.60 x b) 2200 x 1.00 = 1320 b Kg. PD6 = 1320 b Kg.
 PD = 2250 + 765 + 144 + 1539 + 198 + 1320 b = (4896 + 1320 b) Kg.
PD = (4896 + 1320 b) Kg.
PL = 1522.5 kg.
240 Ing°S.Chávez C.
* Dimensionamiento de B:
Bb
B
b
cmKg
Az
P
t 100132050.6418
100
132050.6418
/.0.1 2




6418.50 + 1320 B = 100 B x 102
 B = 0.739  B = 75 cm.
O también, si no se hubiese considerado el peralte del cimiento, podríamos
estimar el peso de la zapata de la siguiente manera:
P = (4896 + 1522.5)
Donde: 2
/.404.1:, cmKgparaCdonde
CPs
Az t
n
 

C = 1.15 para σt = 1 Kg./cm2
.
.82.73100
00.1
5.641815.1
cmBBAz 

 B=75cm
* Chequeo del peralte.
1. Por flexión.- La sección crítica por flexión se ubica en la cara del muro
(elemento sustentado) si dicho muro es de C°. Armado y en la sección que
pasa por el punto medio situado entre la cara del muro y el eje del muro si
es de mampostería o de C°. Simple.
Secciones críticas
m m
σnu = Reacción neta de rotura del terreno actua de
abajo hacia arriba.
σnu
bB
Pu
nu (Kg./cm2
.)
Nota : Para calcular σnu , no se considera el peso propio de la cimentación, pues
esto no afecta el diseño por cortante, punzonamiento y flexión.
22
/.26.1/.26.1
10075
5.15227.148964.1
cmKgcmKg nunu 


 
2
2
Wum
Mu  (Cuando el muro es de C° Armado)
2
)4/( 2
emWu
Mu

 (Cuando el muro es de mampostería)
Concreto Armado 241
Wu = σnu x 100 = 1.26 x 100 = 126 Kg./cm.
e/4 =15/4 = 3.75 .3030
2
1575
cmmm 


    94.760,71
2
05.330126
2
4/
22





emWu
Mu Kg.-cm
h/2 fuct = Esfuerzo último a tracción del c°
fuct = 1.3 cf ' Kg./cm2
.
b = 100 cm. fuct
65.0,
/6
12
2//
23





bh
Mu
bh
hMu
fuct
I
MY

.2557.22
1003.110065.0
94.760,716/6
cm
bfuct
Mu
h 





h = 25 cm. < h = 60 cm. ----------- OK.
2. Por Corte.- La sección critica por cortante se encuentra ubicado a la
distancia “h” o “d” de la cara del elemento sustentado, según se trate de
cimentación de C° simple o de C° Armado respectivamente.
Vu = Wu (m-hv)
30 30
  85.0, 




vnu hmbVu 
hv
B = 75 cm.
  cfv
hb
hmb
hb
Vu
v uc
v
vnu
u '53.0
/








(Para diseñar)
.56.6
10053.085.026.1
3026.1
; cmh
v
m
h v
ucnu
nu
v 








 hv = 6.56 cm. << h = 60 cm.
0.15
0.60 s/c. f’c = 100 Kg./cm2
.+ 25% PM, máx 3”
0.60 c : f’c = 100 Kg./cm2
.+ 30% PG, máx 6”
0.75 m.
242 Ing°S.Chávez C.
8.2.2. Diseño de cimientos corridos de concreto armado.
Son similares a los anteriores con la diferencia que se le adiciona refuerzo
debido a que el ancho es considerable y por consiguiente sus volados son
importantes. En estos casos es usual considerar un refuerzo longitudinal de
temperatura que sin embargo a opinión del autor no es estrictamente necesario,
dado que el cimiento al estar enterrado no tiene mayores problemas en relación
a cambios de temperatura.
Ejemplo.- Diseñar el cimiento corrido de concreto armado, teniendo la
siguiente información; el muro es de concreto armado.
Solución
* Dimensionamiento de B C = 1.12
  .40.1.89.136
8.1
5.65.1512.1
100 mBcmBAz
Az
CP
t 


* Dimensionamiento de h
22
/.34.2/.34.2
140100
5.67.15.154.1
cmKgcmKg
Az
Pu
nunu 


 
* h por corte.
m d    





dmbVu
dmbVu nu
nu


 
d
dm
db
Vu
v nu
u






/
dc uucuc vvcfv  '53.0 (para diseño)
σnu
  .50.57
2
; cm
eB
m
v
m
dv
d
dm
ucnu
nu
uc
nu









.21.16
17553.085.034.2
50.5734.2
cmd 


 d
.5.8
2
91.1
5.7
2
.. cmdcerdc b


r.e. = 7.5 cm. dc
h = d + dc = 16.21 + 8.5 = 24.71 cm.
 h = 25 cm.
d
Concreto Armado 243
* h por flexión (muro de C° A°)
Sección critica





 2
100
2
22
mmWuMu nu
h 5.812,429
90.02
5.5710034.2 2





Mu
Kg.-cm.
.74.9
10029.45
5.812,429/2
max cm
bk
Mu
d
Mu
kbdMn 






.2024.185.874.9 cmhh 
.50.16.0.25 cmdcmh 
* Diseño del As.
As
bcf
fyAs
a
a
dfy
Mu
As 2824.0
'85.0
,
2
/










86.157.686.1
2
5.164200
5.812,429 2








 acmAsa
a
As
As = 6.57 cm2
. ,
As
bA
S
100
  usar Ø ½” @ 0.20
Acero por temperatura:
Asr.c.t = 0.0018 x 100 x h = 0.0018 x 100 x 25 = 4.5 cm2
. usar Ø3/8”@ 0.15
8.3. ZAPATAS AISLADAS.
Las zapatas aisladas son losas rectangulares o cuadradas que sirven de apoyo a las
columnas. La losa es constante o variable, disminuyendo hacia los bordes. También
pueden ser escalonadas como la presentada en la (fig. VIII-3). En este caso, el
elemento debe vaciarse monolíticamente y no por escalones. El peralte mínimo en el
borde de una zapata de sección variable es 15 cm.
244 Ing°S.Chávez C.
Las zapatas aisladas son el tipo más usual de cimentación pues son las más
económicas. La columna puede ser centrada o excéntrica, aunque el primer caso es
más común.
Las zapatas aisladas pueden ser de concreto simple o de concreto armado. Sin
embargo, las primeras no se pueden usar ni sobre pilotes ni en zonas sísmicas.
8.3.1. Zapatas aisladas de concreto simple.
Se usan para cimentar columnas de mampostería, de concreto armado,
pedestales, etc. Este tipo de estructuras no podrán ser empleadas cuando se
apoyan sobre pilotes y su altura mínima será 20 cm.
Para el diseño, por flexión, la sección crítica se ubicará :
* Para zapatas que sostienen columnas de mampostería o de concreto
armado, en la cara del elemento sustentado.
* Para zapatas que sostienen columnas con planchas de base, la sección
crítica esta ubicada al centro entre el borde de la plancha de base y la
cara de la columna.
La resistencia al corte en zapatas de concreto simple se verificará.
* Corte por flexión, la sección crítica se ubica a la distancia h de la cara
de la columna.
* Corte por punzonamiento, la sección crítica se ubica a h/2 de la cara de
la columna.
La columna o pedestal de sección circular o poligonal podrán ser considerados
como elementos de sección cuadrada para ubicar con mayor facilidad las
secciones críticas para el diseño de zapatas por corte y flexión.
Ps = (PD + PL)
Sección por corte
Sección crítica por flexión por flexión
h
h
A
Concreto Armado 245
A
Sección crítica por punzonamiento
Q R n
h/2
B b h/2 (b+h) b bo = 2 (b+t+2h)
bo = Perímetro de corte por
t punzonamiento.
T t+h S n
m t m
Ejemplo: Diseñar la zapata aislada de concreto simple.
PD = 25 Tn. σt = 3 Kg./cm2
. (Carga admisible del terreno)
PL = 15 Tn. f’c = 110 Kg./cm2
.
b x t = 35 x 45 cm.
Solución
1) Dimensionamiento en planta.
t
Psc
Az

 ,
1 Kg./cm2
.-------- 1.15 X = -0.07  c = 1.08
4 Kg./cm2
. ------- 1.04
3 -------- 0.11
2 --------- X
  400,14
3
152508.1


 Az cm2
.
    1253545
2
1
400,14
2
1
 btAzA
    1153545
2
1
400,14
2
1
 btAzB
A = 1.25 m. B = 1.15 m. .40,40.0
2
45.025.1
cmnmmnm 


2) Diseño del peralte.
21.4
115125
157.1254.1




Az
Pu
nu Kg./cm2
.
* h por flexión.
(1) En eje x:


 2
2
1 BmMu nu
(2) 877,595
65.02
4011521.4 2
1





Mu
Kg.-cm.
B En eje y:


 2
2
2 AnMu nu
A 692,647
65.02
4012521.4 2
2





Mu
Kg.-cm.
246 Ing°S.Chávez C.
Sabemos que:
 fuctAóB
Mu
h
bh
hMu
fuct
I
MY 



/6
12/
2//
3

En eje X: 75.47
1103.1115
877,5956
1 


h , En eje Y: 75.47
1103.1125
877,5956
2 


h
 h = 50 cm.
* h por punzonamiento.
A
Q R
B bo = 2 (b+t+2h)
bo = 2 (35 + 45 + 2 h)
ф = 0.85
T S
   




hthbAzVup nu
   
hb
hthbAz
hb
Vup
v
o
nu
o
up





/
,
cfvuc '06.1 Kg./cm2
.(por punzonamiento, según el ACI.) ≈ 1.10 cf ' Kg./cm2
.
 vuc = vu ,
   
 
1101.1
24535285.0
453511512521.4



hh
hh
Resolviendo la ecuación tenemos: h = 20 cm.
* h por corte (unidireccional).
h h 85.18
11053.085.021.4
4021.4







ucnu
nu
v
m
h


h  h = 20 cm.
 De los tres “h” tomamos el mayor: h = 50 cm.
E.T.
f’c = 110 Kg./cm2
.
σt = 3 Kg./cm2
. 1.25
0.50 1.15 0.35
0.45
1.25 m.
Concreto Armado 247
8.3.2. Zapatas aisladas centradas de concreto armado.
El diseño en concreto armado de una cimentación se hace en igual forma que
cualquier otro elemento estructural, es decir, verificándose los requerimientos
de los distintos tipos de esfuerzos actuantes: Cortante, flexión, punzonamiento,
aplastamiento, adherencia y los anclajes.
Proceso de diseño:
1) Dimensionamiento en planta (Az)
El valor del peso de la zapata también se puede estimar así:
σt = 3 ~ ≤ 4 Kg./cm2
.  Pz = 5% P
σt = 2 ~ ≤ 3 Kg./cm2
.  Pz = 10% P
σt = 1 ~ ≤ 2 Kg./cm2
.  Pz = 15% P
σt = ≤ 1 Kg./cm2
.  Pz = 20% P
También podemos estimar Az, así:
n
P
Az

 = área de la cimentación.
σn = σt – γpromedio hf – s/c
σn = σt – γt ht – γc hc – γp hp – s/c
σn = Capacidad portante neta. σt = Carga admisible del terreno.
γt = Peso especifico del suelo. ht = Altura del suelo sobre la Zapata.
γc = Peso especifico del concreto hc = Altura de la cimentación, estimada en
γp = Peso especifico del C° del piso función de la “ld” del refuerzo de la
hp = Altura del piso columna y del r.e.
s/c = sobrecarga del terreno.
248 Ing°S.Chávez C.
Conocida el área, se define las dimensiones de la cimentación cuadrada,
rectangular, circular, etc. y se verifica la presión admisible del suelo no sea
sobrepasada. Si los esfuerzos son superiores a la capacidad del suelo, entonces
es necesario incrementar las dimensiones del elemento.
Si las cargas externas incluyen efectos de sismo se realiza una segunda
comprobación. Bajo este tipo de cargas, que actúan por periodos breves de
tiempo, la capacidad portante del suelo se incrementa. Por ello se considera,
para esta verificación, que la capacidad neta del suelo es:
σn = 1.33 σt – γpromedio hf – s/c
2) Dimensionamiento en elevación.
a. Por longitud de anclaje.- El peralte de la zapata en principio debe
ser capaz de permitir el desarrollo del refuerzo en compresión de la
columna.
b. Por corte bidireccional o punzonamiento.- La sección crítica se
encuentra ubicado a “d/2” de la cara de la columna. Si existe
plancha de base, se ubicará a d/2 de la sección central entre la cara
de la columna y el borde de la plancha.
Al margen de las solicitaciones de corte, el código recomienda que d ≥ 15 cm.,
para zapatas sobre terreno y d ≥ 30 cm. para zapatas sobre pilotes, lo que es
importante en zapatas de sección trapezoidal o escalonada.
Concreto Armado 249
La resistencia del concreto al corte por punzonamiento es igual a la menor
determinada por las siguientes expresiones:
)1(...................'
4
227.0 dbcfVc o
c








)2(...................'227.0 dbcf
b
d
Vc o
o
s








dbcfVc o'1.1 ..................................... (3)
Vc = Resistencia del concreto al corte.
βc = Coeficiente de la dimensión mayor de la columna entre la dimensión
menor.
bo = Perímetro de la sección crítica.
αs = Parámetro igual a 40 para columnas internas, 30, Para columnas externas y
20, para las esquineras.
Nosotros en adelante utilizaremos sólo la ecuación (3), donde el esfuerzo
unitario por punzonamiento es cfvc '1.1 (Kg./cm2
.)
 Vup = Pu – σnu (b + d) (t+d) ó Vup = σnu (Az - Ap)
Vup = σnu [A x B – (b+d)(t+d)] ;
   
db
dtdbBA
db
Vup
v
o
nu
o
up





/
Para diseño : vup = vuc 
    cf
db
dtdbBA
o
nu
'1.1


;
BA
Pu
nu


De esta expresión obtenemos el valor de “d” ;
dc = r.e. + Øb = 7.5 +Ø ¾” ≈ 9.5 cm.
d dc = 9.5 cm.  h = d + dc
r.e dc
c. Corte por flexión.- La sección crítica se encuentra ubicado a la
distancia “d” de la cara de la columna o pedestal. Para columnas
con planchas de acero en la base se ubica a la distancia “d” de la
sección media entre la cara de la columna o pedestal y el borde de la
plancha.
(2) Eje X:  dmB
Vu
nu 

1
B b d Eje Y:
 




dmAVu nu2
t
 
dB
dmB
Bd
Vu
v nu
u





/1
1 = σnu (m-d)
A (1)
 
dA
dnA
Ad
Vu
v nu
u





/2
2 = σnu (n-d)
Ф d
Ф d
250 Ing°S.Chávez C.
 vu1 = vu2 , Los cortantes unitarios son iguales en las dos direcciones.
cfvuc '53.0 . (cortante unitario del concreto); para diseño vuc = vu
 
ucnu
nu
uc
nu
u
v
m
dv
d
dm
v







,  h = d + dc
También se puede tomar el “d” calculado por punzonamiento y verificar así:
  cfv
d
dm
v uc
nu
u '53.0




...OK, si sale lo contrario, aumentar “d”.
3) Comprobación del peso de la zapata.
Pzap = A x B x h x p.e =
Pzasumido = % Ps =
 Pzasumido ≥ Pzapatareal  ......... OK.
4) Diseño por flexión, la sección crítica se encuentra ubicado en la cara de
la columna.



 2
2
1 BmMu nu
------------ t-m
(2)



 2
2
2 AnMu nu
------------ t-m
(1)
En la expresión
AB
Pu
nu  , no se considera el peso propio de la zapata
en el cálculo, pues este no afecta el diseño por cortante, punzonamiento
y flexión; dado que si se considera en el valor de la presión última
(hacia arriba también debe considerarse como carga uniforme repartida
hacia abajo) anulándose.
Eje (1)





/
/
1
2
min
1
2
max
MuKBdMn
MuKBdMn


Eje (2)





/
/
2
2
min
2
2
max
MuKAdMn
MuKAdMn


Si Mn ρmin >

Mu
 Colocar Asmin = ρmin (A ó B) d. ; ρmin = 0.0018
Cálculo de la áreas de acero:
Eje (1)
 
 2/
/1
1
adfy
Mu
As


 ,
Bcf
fyAs
a
'85.0
 , en cara B : As1 =
Eje (2)
 
 2/
/2
2
adfy
Mu
As


 ,
Acf
fyAs
a
'85.0
 , en cara A : As2 =
Concreto Armado 251
5) Verificación por adherencia.- La sección crítica es la misma que para
flexión y se debe verificar que:
   disponiblenec oo ---------- OK.



jd
Vu
nec
u
o

/
; donde: 56
'4.6

db
cf
u Kg./cm2
.
  



BmVu nu1
;
 



AnVu nu2
Eje (1):
 
 


jd
Vu
nec
u
o

/1
-------   conformedisponibleo
Eje (2):
 
 


jd
Vu
nec
u
o

/2
-------   conformedisponibleo
Si  neco >  disponibleo  dicha zapata estará gobernada por
el diseño de adherencia.
6) Verificación por aplastamiento o por transferencia de esfuerzos.
f’c columna.
plano de transferencia A1 = b x t
2 de esfuerzos. A2 = B’ A'
1
f’czapata
A’
1A
Pu
fa  , Esfuerzo de aplastamiento actuante
B B’ b A1 70.0,/'85.0 12  AAcffuac (por aplastamiento)
t fuac = Esfuerzo de aplastamiento permisible o esf.
A2 máximo permisible en la base de la columna
A  fuacfa Conforme, o sea:
 12 /'85.0 AAcffuac ................. > fa =Pu / A1  OK.
2
1
2

A
A
; A1 = Ag (área de la columna)
A2 = Área máxima en la zapata que es geométricamente
igual al área de la columna.
O también: PuAg
A
A
cfPuar 
1
2
'85.0  conforme.
Si Pu > Puar  Pu’ = Pu – Puar  colocar As adicional (Asa)
; Si esta de área de acero adicional < que el área de acero de columna,
entonces no es necesario adicionar refuerzo. Si es mayor entonces el
remanente se coloca en forma de Dowells o bastones.
fy
Pu
Asa


'
252 Ing°S.Chávez C.
El Asa, podemos calcular también así:
fy
AcolremanenteEsfuerzo
Asa



ld
Donde: Esf. remanente = Esf. actuante – Esf. adm.
ld h
Podría también tomarse la carga o esfuerzo “remanente” por
aplastamiento a través de pedestales.
x
cf
Pu
Apedestal
'475.0
'

≥ 2 x
l Si l > ld, no es necesario colocar las patas
Patas
6) Colocación del acero.- Cuando el ancho difiere en gran proporción de su
largo de las barras N1 , se distribuirán uniformemente en el ancho B; las
barras N2 se distribuirán del modo siguiente:
Ejemplo.- Diseñar la zapata aislada centrada de concreto armado; momentos
de carga de gravedad y de sismo despreciables.
PD = 100 Tn. Columna = 40 x 60 cm., Ast = 8 Ø ¾”
PL = 60 Tn. f’c = 210 Kg./cm2
.
fy = 4200 Kg./cm2
.
σt = 2 Kg./cm2
.
Solución
Concreto Armado 253
1) Dimensionamiento de Az
t
cP
Az

 , c = 1.11 para σt = 2 Kg./cm2
., condición: m = n
22
800,88800,88
2
000,16011.1
cmBAAzcmAz 


    99.3074060
2
1
800,88
2
1
 btAzA
    99.2874060
2
1
800,88
2
1
 btAzB
A = 3.10 m , m = (3.10 – 0.60)/2 = 1.25 m.
B = 2.90 m , n = (2.90 – 0.40)/2 = 1.25 m.  m = n = 1.25 m.
2) Dimensionamiento de h.
a) h para satisfacer la longitud de desarrollo en compresión.
.28.44
.09.32420091.1004.0004.0
.28.44
210
420091.108.0
'
08.0
cmld
cmfydbld
cm
cf
fydb
ld





h = 44.28 + 9.5 = 53.78 cm.  h = 55 cm. d = 45.50 cm.
b) h por punzonamiento.-
    cf
db
dtdbBA
o
nu
'1.1


;
69.2
90.210.3
2.24





BA
Pu
nu Kg./cm2
.
   
 
2101.1
26040285.0
604029031069.2



dd
dd
89,900 – (2400 + 40 d + 60 d + d2
) = 10.07 d (100 + 2 d)
d2
+ 52.36 d – 4139.07 = 0
 
28.43
2
07.4139436.5236.52 2


d cm.
d = 43.28 cm.  h = 43.28 + 9.5 = 52.78 cm.  h = 55 cm.
c) h por corte de viga o por corte bidireccional.
48.36
21053.085.069.2
12569.2







ucnu
nu
v
m
d


cm. h = 36.48 + 9.5 = 45.98 cm.
 h = 50.0 cm.
 Usar: h = 55 cm. d = 45.5 cm.
254 Ing°S.Chávez C.
3) Comprobación del peso de la zapata.
Pzapata = 3.10 x 2.90 x 0.55x2.4 = 11.87 Tn.
Pzasumido = 0.11 x 160 = 17.60 Tn.  Pzasumido ≥ Pzreal  OK.
4) Diseño por flexión.
-) Momentos actuantes incrementados.
 
701,771'6
90.02
12529069.2
2
22
1







mBMu nu
Kg.-cm.
 
715,238'7
90.02
12531069.2
2
22
2







nAMu nu
Kg.-cm.
-) Momento máximo nominal.
Eje (1)





........./.756,442'45.4529040.7
......../..245,630'325.4529035.54
1
2
min
1
2
max
OKMucmKgMn
OKMucmKgMn


Eje (2)





........./.154,749'45.4531040.7
......../..607,880'345.4531035.54
2
2
min
2
2
max
OKMucmKgMn
OKMucmKgMn


Calculo de las áreas de acero:
Eje (1)
 2/5.454200
701,771'6
a
As

 ,
Bcf
fyAs
a
'85.0
 = 0.0811 As
a = 2.97 As = 36.63 a = 2.97
Eje (2)
 2/5.454200
715,238'7
a
As

 ,
Acf
fyAs
a
'85.0
 = 0.0759 As
a = 2.97 As = 39.16 a = 2.97
En cara B: As = 36.63 cm2
. <> 18 Ø 5/8” ó 13 Ø ¾”
En cara A: As = 39.16 cm2
. <> 20 Ø 5/8” ó 14 Ø ¾”
Elegimos Ø 5/8”
5) Verificación por adherencia.



jd
Vu
nec
u
o

/
 56/.33.58
59.1
2104.6 2
 cmKgu Kg./cm2
.
 
16.51
5.4588.05685.0
12529069.2
1





 jd
mB
neco
u
nu


cm. <> 10 Ø 5/8”
 
69.54
5.4588.05685.0
12531069.2
2





 jd
nA
neco
u
nu


cm. <> 11 Ø 5/8”
   1nec 10 Ø 5/8” ≤  diso 18 Ø 5/8” conforme
  2nec 11 Ø 5/8” ≤  diso 20 Ø 5/8” conforme
Concreto Armado 255
6) Verificación por aplastamiento:
83.100
6040
000,242



Ag
Pu
fu Kg./cm2
.
07.2
60.0
40.0
10.3
 Xo
Xo
0.40 Xo A2 = 3.10 x Xo = 6.42 cm2
.
0.60 .
17.5
60.040.0
42.6
1
2



A
A
> 2
9.249221070.085.0'85.0
1
2

A
A
cffuac Kg./cm2
.
83.100 fu Kg./cm2
. ≤ fuac = 249.9 Kg./cm2
., conforme.
No falla por aplastamiento.
7) Colocación del acero, Smax = 30 cm.
En B : 16.0
17
016.015.090.2


S  Usar: 18 Ø 5/8” @ 0.16
En A : 15.0
19
016.015.010.3


S  Usar: 20 Ø 5/8” @ 0.15
nota: Dado que la relación del lado A al lado B, no es importante, las barras en
la cara A, se distribuyen también en forma uniforme.
3.10
256 Ing°S.Chávez C.
8.4. ZAPATAS AISLADAS EXCÉNTRICAS.
Son aquellas que sirven para cimentar una columna, y la carga que transmiten al
terreno de fundación no coincide con su centro de gravedad; por lo tanto, las presiones
que ejercen sobre el suelo, no son uniformes. La distancia entre el punto de aplicación
de la carga que transmite la columna, y el centro de gravedad de la zapata, se conoce
como “e” excentricidad.
La excentricidad puede presentarse por diferentes motivos, entre ellos, los más
comunes son:
a. Cuando físicamente y en forma real, la carga real que trasmite la columna no
coincide con el C.G. de la zapata. Esto ocurre cuando la columna se encuentra
en el límite del terreno y por algún otro motivo o limitación especial:
e1 = Excentricidad
Pu
x C.G. B
e1
A
b. Cuando la columna trasmite a la zapata, además de una carga axial, un momento:
c. Cuando, además de una carga axial vertical, la columna trasmite a la zapata
una carga horizontal
Hu
Pu
Pu = Mu = Hul
l =
Pu
C.G.
Concreto Armado 257
La carga Horizontal produce un momento
M = Hul , entonces, este estado de carga e3
es equivalente al del caso (b). B Pu
Pu
Hul
Pu
Mu
e 3
A
En general, una zapata puede presentar excentricidad en razón de uno, dos o los tres
motivos señalados, en forma simultanea. En este caso, la excentricidad total o
resultante es la suma algebraica de las excentricidades parciales: e = e1 + e2 + e3 .
Como criterio de carácter general, no es recomendable la utilización de zapatas
aisladas excéntricas, siendo preferible combinarlas o conectarlas con la cimentación de
la columna más próxima; sin embargo, existen casos en los cuales su utilización es
inevitable por muchas razones, por ejemplo, por la ausencia de columnas cercanas.
Una zapata excéntrica puede presentar problemas de volteo y/o deslizamiento; por ello
es siempre recomendable que la columna respectiva tenga una buena rigidez con
respecto a la de la zapata, para evitar agrietamientos y fallas indeseables en la
columna.
8.4.1. Zapata centrada con carga excéntrica.
En las zapatas cargadas excéntricamente, la reacción del suelo no es uniforme
y tiene una distribución que puede ser trapezoidal o triangular. Si la
excentricidad es grande puede resultar esfuerzos de tracción sobre un lado de la
cimentación. Es recomendable dimensionar de manera que la carga este dentro
del tercio central de manera de evitar esfuerzo de tracción en el suelo que
teóricamente puede ocurrir antes de la redistribución de esfuerzos.
Para estos casos se puede evaluar la presión actuante con la expresión:
I
My
Az
P

1° caso .- Si e < A/6, en este caso el esfuerzo directo de compresión es mayor
que el esfuerzo de flexión.
P
Az
P
>
I
My
e
I
My
Az
P
I
My
Az
P
 21 , 
..,
12
,
2
3
ePM
BA
I
A
y 
σ1
σ2







A
e
Az
P
A
eP
Az
P
BA
AeP
Az
P 6
1
3
..6
12
2/..
232,1







A
e
Az
P 6
11 < σt , 






A
e
Az
P 6
12 < σt
258 Ing°S.Chávez C.
2° caso .- Si e = A / 6
0
6/6
11 






A
A
Az
P

Az
P
A
A
Az
P 26/6
12 




 

Az
P2
0 21   < σt
σ1
σ2
3° caso .- Si e > A / 6
P 





 e
A
xe
Ax
2
3,
23
e
Be
A
P
Bx
PBx
P








2
3
2
.
2
2
..
2
2










e
A
B
P
2
3
2
2 < σt
σ2
e P
x/3
A/3 A/3
4° caso.- Cuando se tienen cargas con excentricidades grandes (que
produciendose tracciones dentro del análisis clásico indicado anteriormente)
pareciera que el comportamiento real de las zapatas y la distribución de las
presiones es diferente produciéndose en la zona de aplicación de la carga una
plastificación del suelo y una redistribución de presiones hacia las zonas en que
uno consideraría tracciones. En este caso se plantea una distribución de
presiones actuantes uniforme.
P e
Lx
xBP 
22
,
e 





 e
L
x
2
2








e
A
B
P
2
2

σ
P
x/2 x/2
x
Concreto Armado 259
Ejemplo: Diseñar en planta la aislada que se muestra a continuación:
M PD = 150 Tn. f’c = 210 Kg./cm2
.
P PL = 50 Tn. fy = 4200 Kg./cm2
.
M = 50 t-m. col = 40 x 60 cm.
σt = 3 Kg./cm2
. Ast = 8 Ø ¾”
Solución
1) Dimensionamiento en planta.
c :
1.04 ------------ 4 Kg./cm2
.  c = 1.08
1.15 ------------ 1 Kg./cm2
.
2
000,72
0.3
000,20008.1
' cm
cPs
Az
t




  33.2784060
2
1
000,72' A
  33.2584060
2
1
000,72' B
 B = B’ + 2 e , .2525.0
200
50
cme
P
M
e 
B = 258.3 + 2 x 25 = 308.33 ≈ 310 cm  B = 310 cm.
.3306013522;135
2
40310
cmAtmAnmsin 











 









./.07.1
./.84.2
330
256
1
330310
000,2006
1 2
2
2,1
cmKg
cmKg
A
e
Az
P

σ1 = 1.07 Kg./cm2
. < σt = 3 Kg./cm2
.
σ2 = 2.84 Kg./cm2
. < σt = 3 Kg./cm2
.  usar: B x A = 3.10 x 3.30 m
2) Dimensionamiento de h.







A
e
Az
Pu
nu
6
1











 



./.57.1
./.19.4
330
256
1
330310
000,295
2
2
2
1
cmKg
cmKg
u
u


88.2
2
19.457.1
2
21




 uu
nu

 Kg./cm2
.
σ1u σnu =2.88 Kg./cm2
. , otros autores recomiendan
σ2u tomar el σnu en la cara de l a columna.
σnu
260 Ing°S.Chávez C.
Luego se sigue el mismo procedimiento que para columnas aisladas centradas con
carga centrada, es decir.
* h por longitud de desarrollo.
* h por punzonamiento.
* h por corte unidireccional.
3) Diseño por flexión (cálculo del As).
4) Diseño por adherencia.
5) Diseño por aplastamiento.
6) Colocación del acero.
8.4.2. Zapata excéntrica con carga excéntrica.
P M.
(2) (1)
PeM
P
M
e 11 
r
A
e 
2
2
r s
e2 S = 2 r (máximo)
A = S + r
B C.G.
A/2 A/2
A
Por carga vertical (+)
Por momentos X
BA
PzapPcol
Area
P
v 



P = Pcol + Pzap.
Y
AB
eP
I
My
M  2
16

Por excentricidad
de la columna
Análisis:
Eje (1):
- Con momento actuante: X + Y - Z : t
BA
eP
BA
eP
BA
P
 2
2
2
1 66
- Sin momento actuante: X - Z : 0
6
2
2

BA
eP
BA
P
Eje (2):
- Con momento actuante: X - Y + Z : 0
66
2
2
2
1

BA
eP
BA
eP
BA
P
- Sin momento actuante: X + Z : t
BA
eP
BA
P
 2
26
h
(-)
(+)
(+)
(-)
Z
AB
eP
I
My
e  2
26

Concreto Armado 261
Ejemplo.- Dimensionar en planta, la siguiente zapata aislada.
M bxt = 30 x 60 cm.
P PD = 45 Tn. f’c = 210 Kg./cm2
.
1.00 m. PL = 30 Tn. fy = 4200 Kg./cm2
.
MD = 7.0 t-m
ML = 5.0 t-m
σt = 1.8 Kg./cm2
.
Límite de propiedad
Solución
Cargas de servicio: Cargas de gravedad:
P = PD + PL = 75 Tn. Pu = 1.4 PD + 1.7 PL = 114 Tn.
M = MD + ML = 12 t-m Mu = 1.4 MD + 1.7 ML = 18.3 t-m.
1) Dimensionamiento en planta:
1.00 m.
.16.0
75
12
1 m
P
M
e 
r = 1.00 m.
B C.G. s = 2 r =2 x 1 = 2.0 m.
e2 A = s + r = 2.0 + 1.0 = 3.0 m.
Excentricidad de la columna:
r s .50100
2
300
2
2 cmr
A
e 
A
Estimación del peso de la zapata:
Sabemos que: σt = 1 Kg./cm2
. ---------- 15 %P
σt = 4 Kg./cm2
. ---------- 4 %P
Entonces para σt = 1.8 Kg./cm2
. , Pzapata = 12 %P = 75 x.12 = 9.00 Tn.
Analizando con las posibilidades de esfuerzo más críticas:
* En el eje (1) con momento actuante:
tv
BA
Pe
BA
Pe
BA
PzP
 


 2
2
2
1 66
80.1
)300(
50000,756
)300(
16000,756
300
9000000,75
22








BBB
B = 61.11 cm.
* En el eje (2) sin momento actuante:
t
BA
Pe
BA
PzP



2
26
.44.29480.1
)300(
50000,756
300
000,84
2
cmB
BB




2
85.8;.300295 mAzcmAB 
262 Ing°S.Chávez C.
2) Dimensionamiento en altura:
Esfuerzo admisible factorizado: 74.2
75
114
8.1 
P
Pu
ttn  Kg./cm2
.
Esfuerzo factorizado en la base:
 Por carga vertical:
43.1
295300
90004.1000,1144.1







BA
PzPu
cv Kg./cm2
. = X
 Por momento:
41.0
300295
16000,11466
22
1




BA
ePu
n Kg./cm2
. = Y
 Por excentricidad de la columna:
29.1
300295
50000,11466
22
2




BA
ePu
col Kg./cm2
. = Z
Posibilidades:
En el eje (1):
a. Con momento actuante: X+Y–Z = 1.43 + 0.41 – 1.29 = 0.55 Kg./cm2
.< σtn
b. Sin momento actuante : X – Z = 1.43 – 1.29 = 0.14 Kg./cm2
. > 0
En el eje (2):
a. Con momento actuante: X - Y + Z = 1.43 - 0.41 + 1.29 = 2.31Kg./cm2
. > 0
b. Sin momento actuante : X + Z = 1.43 + 1.29 = 2.72 Kg./cm2
. < σtn
Diagramas de presiones:
2
21 


nu ó σnu el de la cara de la columna
Para diseñar, podemos tomar el
promedio :
σ1=0.55 Kg./cm2
.
σnu
σ2=2.72 Kg./cm2
.
Luego el procedimiento a seguir para los demás pasos es similar a zapata
aislada con carga centrada.
Cuando la columna está en el límite de propiedad, este tipo de cimentaciones
excéntricas puede diseñarse de la siguiente manera, siempre que la
excentricidad sea moderada y la columna pueda agrandarse lo suficiente para
que tenga la rigidez necesaria para que controle la rotación excesiva de la
zapata.
Concreto Armado 263
P
T T
Lc
h Línea de acción de P
(1) B (1)
h
L.P A
H e H
D R
e R
 
h
eP
h
TThM A
.Re
0Re0
La viga del primer nivel, debe diseñarse
2 A= B considerando adicionalmente la fuerza de
tracción resultante:
h
eP
T
.

A
Para el diseño de la columna debe considerarse una combinación adicional:
Tomando momentos en B:
M1– 1 = R.e – Hh = P.e - Thz = 




 

h
hh
ePh
h
eP
eP Z
Z .
.
. , haciendo:
C
Z
L
h
S 
SL
eP
hL
L
ePM
ZC
C









.
.11
Si la zapata tiene una rigidez apropiada, y si además la rigidez de la columna
es la suficiente para mantener la diferencia de las presiones del terreno
máximo y mínimo a un valor máximo de 1 Kg./cm2
., entonces para el diseño
de la zapata en la dirección de la excentricidad puede considerarse como
aproximación aceptable una presión uniforme del terreno.
Del estudio realizado por el Dr. Ricardo Yamashiro y desarrollado en el
trabajo de tesis del Ing°. Manuel Acevedo “Algunos problemas estructurales
en el diseño de cimentaciones” – UNI-1971, se tiene, criterios para
dimensionamiento de zapatas excéntricas y de columnas para cumplir con las
condiciones expuestas en el párrafo anterior.
Este tipo de zapata debe diseñarse como zapata rígida:
.603.2 3 cm
E
AKo
AhZ 

 donde: hZ: Altura de la zapata ,
A = Longitud de la zapata.
Ko = Coeficiente de balasto del terreno. ,
E = Módulo de elasticidad del concreto.
264 Ing°S.Chávez C.
En el cuadro adjunto se presentan algunos valores referenciales para diferentes
tipos de suelo.
Descripción de los suelos Simbolo
Ko (Kg./cm3
.)
Rango Promedio
Gravas bien graduadas.
Gravas arcillosas.
Gravas mal graduadas.
Gravas limosas.
Arenas bien graduadas.
Arenas arcillosas.
Arenas mal graduadas.
Arenas limosas.
Limos orgánicos.
Arcillas con grava o con arena.
Limos orgánicos y arcillas limosas.
Limos inorgánicos.
Arcillas inorgánicas.
Arcillas orgánicas.
GW.
GC.
GP.
GM.
SW.
SC.
SP.
SM.
ML.
CL.
OL.
MH.
CH.
OH.
14-20
11-19
8-14
6-14
6-16
6-16
5-9
5-9
4-8
4-6
3-5
1-5
1-5
1-4
17
15
11
10
11
11
7
7
6
5
4
3
3
2
Ejemplo.- Diseñar la Zapata aislada que se detalla a continuación:
PD = 60 Tn
PL = 20 Tn. f’c = 210 Kg./cm2
.
fy = 4200 Kg./cm2
.
σt = 2 Kg./cm2
.
γm = 2.1 t/m3
.
Ko = 12 Kg./cm3
.
Col = 30 x 50 cm.
 Dimensionamiento de AZ .-
400,44
2
000,8011.1



t
Z
Psc
A

cm2
.
AZ = A x B = A x 2A = 2 A2
= 44,400  A = 148.99 cm
A = 1.50 m.  .0.3300296
150
400,44
mBB 
A = 1.50 m., B = 3.0 m3.
 Dimensionamiento de h (hmin = 60 cm.)
70697.0
21015000
15012
50.13.23.2 33 


E
KoA
AhZ
hZ = 0.70 m.  d = 60.5 cm., dc = 9.5 cm.
Concreto Armado 265
1889.0
15
016.0.15.00.3


S
0.50
2
50150 
e
e = 50 cm.
1.50
* Diseño por flexión.-
a).- En dirección de la excentricidad. ; m = 100 cm.
67.786
150
207.1604.1
150



Pu
Wu Kg./cm2
.
ó 62.2
300150
000,118



Z
nu
A
Pu
 Kg./cm2
. 
Wu = 786.67 Kg./cm2
.
150
667,366'4
90.02
10030062.2
2
22
1







BmMu nu
Kg.-cm = 43.67 t-m
Mn  max. = 54.35 x 300 x 60.52
= 596.8 t-m. > Mu/ф
Mn  min. = 7.44 x 300 x 60.52
= 81.69 t-m. > Mu/ф
 Asmin =  min. B.d = 0.0018 x 300 x 60.5 = 32.67 cm2
.
As = 32.67 cm2
. <> 16 Ø 5/8“ @ 0.19
b).- Dirección transversal , n = 135 cm.
 
79.39
90.02
13515062.2
2
22
2







AnMu nu
t-m.
Mn  max. = 54.35 x 150 x 60.52
= 298.4 t-m. > Mu/ф
Mn  min. = 7.44 x 150 x 60.52
= 40.85 t-m. > Mu/ф
 Asmin =  min. A.d = 0.0018 x 150 x 60.5 = 16.34 cm2
As = 16.34 cm2
. <> 8 Ø 5/8“ @ 0.19 ,
0.70
50 100
19.0
7
016.0.15.050.1


S
266 Ing°S.Chávez C.
8.5. ZAPATAS COMBINADAS.
8.5.1. Definición y usos.
Zapatas combinadas son aquellas que sirven para cimentar dos o más
columnas a la vez .Su utilización suele ser conveniente en los siguientes casos:
a. cuando dos o más columnas están relativamente cercanas de tal manera que, si se
usarían zapatas aisladas para cada una de ellas, estas llegarían a traslaparse o podrían
resultar de proporciones poco económicas.
Zapata combinada
Zapatas aisladas
b. Cuando una columna exterior está en un límite de propiedad o muy cerca de él, de
manera que una zapata aislada resultaría de proporciones poco económicas o con una
excentricidad excesiva. En este caso resulta conveniente combinar la cimentación de
esta columna con la de la columna interior más cercana:
Antieconómica
Mucha excentricidad
Zapata combinada
Límite de propiedad
c. Para resistir mejor efectos de volteo y/o de esfuerzos horizontales que pueden causar
problemas a las cimentaciones aisladas.
d. Cuando una estructura está constituida por dos o más columnas que se apoyan en un
suelo de baja capacidad portante, es conveniente prever una cimentación única para
evitar asentamientos diferenciales y lograr un mejor comportamiento de la estructura.
Concreto Armado 267
8.5.2. Procedimiento de diseño.
1) Cálculo de AZ (Dimensionamiento en planta).
Con la finalidad de que la zapata ejerza presiones uniformes sobre el suelo, la zapata
debe dimensionarse de tal manera que la resultante P coincida con el C.G. de la
zapata.

  LB
t
PPc
t
cP
AZ 



21
 Longitud de la Zapata: L
P1 s P2   01M
(1) (2) r x R – S P2 = 0
r
R
SP
r 2

R = (P1 + P2)
También: 











 r
t
L
t
r
L
2
2
22
Cálculo de B: AZ = B x L
L
A
B Z

Longitudinalmente la zapata representa una viga cargada hacia arriba, con una luz
igual a la distancia entre pilares y un extremo en voladizo en el pilar interior.
2) Dimensionamiento en altura.
 Reacción neta factorizada: σnu
BL
Pu
nu (Kg./cm2
.) ó
L
PP
w uu
u
21 
 (t/m)
268 Ing°S.Chávez C.
a) h por efecto de viga. (por corte).- El cortante crítico se ubica a la distancia “d” de la
cara del apoyo. Del diagrama de cortante se determina cual es el cortante máximo,
entonces:





WudVuVud
WudVuVud max
cfv
Bd
Vud
v ucu '53.0
/


 (para diseño)
BcfWu
Vu
dcf
Bd
WudVu
'53.0
'53.0




Si dc (conocido)  h = d + dc
b) h por punzonamiento.- (sección crítica a d/2)
d/2 d/2 d/2
d/2 d/2
b+d b+d
t + d/2 t + d
El perímetro crítico por punzonamiento en cada una de las columnas, es:
En la columna exterior: bo1 =2 (t + d/2) + (b + d)
En la columna interior: bo2 =2 (t + d) + 2 (b + d)
La fuerza de corte que produce punzonamiento en cada columna es:
En la columna exterior: Vu1 = Pu1 – σnu [(t + d/2) (b + d)]
En la columna interior: Vu2 = Pu2 – σnu [(t + d) (b + d)]
El cortante unitario por punzonamiento, en cada caso, esta dado por:
   
dbo
dtdbPu
v nu
u



1
1
1
2/
, ф = 0.85
   
dbo
dtdbPu
v nu
u



2
2
2

El corte unitario resistente al punzonamiento del concreto es:
cfvuc '1.1 , Por lo tanto, debe cumplir las dos condiciones siguientes: vu1
≤ vuc , vu2 ≤ vuc
Si no se cumple una de las dos condiciones, es necesario aumentar el peralte
efectivo “d”, hasta un valor que permita su cumplimiento
3) Chequeo del peso de la zapata.
Peso de la zapata = B x L x P.e x h =
Pzapata asumido = % P =
Pzap ≤ PZasumido
4) Diseño del acero (longitudinal)
Concreto Armado 269
a. Diseño por flexión :
 Tramo:
Mu/ф = ------ t-m. (obteniendo del diagrama de la envolvente)
Mn  max = KBd2
= --------------- > Mu/ф
Mn  min = KBd2
= --------------- < Mu/ф
Si Mn  min < Mu/ф
  cBf
Asfy
a
adfy
Mn
As
'85.0
,
2/
/




 As = ------- cm2
<> # Ø @. -----
1
.2



n
erB
S b
Si Mn  min > Mu/ф  Asmin =  minBd ;  min = 0.0018
 En apoyos:
Mu = --------- (cara de apoyo)  Mu/ф =-------- > Mn  min , si sale lo
contrario colocar Asmin
b. Diseño del refuerzo transversal.
 Columna exterior:
n
1
1
bB
Pu
nu

 = ------- (Kg./cm2
.)
B 



 2
2
1nbMu nu
n Mn  max = Kb1d2
= ------------ ≥ Mu/ф
Mn  min = Kb1d2
= ----------- > Mu/ф, si sale lo
b1 contrario, colocar Asmin , Asmin =  min b1d
 Columna interior
n
2
2
bB
Pu
nu

 = ------- (Kg./cm2
.)
B 



 2
2
2nbMu nu
n Mn  max = Kb2 d2
= ------------ > Mu/ф
Mn  min = Kb2 d2
= ------------->Mu/ф, si sale lo
b2 contrario, colocar Asmin =  min b2d
b1 = t + 0.75 d , b2 = t + 1.5 d ,
2
bB
n


El área de acero que evidentemente es diferente para cada columna, se distribuye
uniformemente en las franjas de ancho b1 y b2 , respectivamente.
270 Ing°S.Chávez C.
B
L
Ø Tranversal ØInferior Ø Tranversal
ØSuperior
ØInferior
5) Colocación del refuerzo.
h
b1 b2
Ejemplo.- Diseñar la zapata combinada mostrada en la figura:
PD = 50 Tn. PD = 60 Tn. Col. exterior = 50x50 cm.
PL = 25 Tn. PL = 30 Tn. Col. interior = 50x50 cm.
4.30 m.
f’ccol=210 Kg/cm2
L.P. f’czap=210 Kg/cm2
s = 4.80 m σt =1.6 Kg/cm2
c:
1.15 ---- 1 Kg/cm2
1.04---- 4 Kg/cm2
para σt=1.6 Kg/cm2
c = 1.13
Solución
Cargas de servicio Cargas de rotura:
P1 = 50 + 25 = 75 Tn. Pu1 = 1.4x50 + 1.7x25 = 112.5 Tn.
P2 = 60 + 30 = 90 Tn. Pu2 = 1.4x60 + 1.7x30 = 135 Tn.
1) Dimensionamiento de Az:
2
25.531,11625.531,116
6.1
000,16513.1
cmAz
cP
Az
t




Concreto Armado 271
Cálculo de la longitud de la zapata:
P1=75 Tn. P2=90 Tn.   01M
s = 4.80 P2 S = r R
(1) r (2)
165
80.4902 

R
SP
r
R = 165 Tn. r = 2.62 m.
.75.5.75.574.5
2
50.0
62.222
2
1
mLm
t
rL 












Cálculo de B: Az = B x L  .05.2.20566.202
75.5
531,116
mBcmB 
Reacción neta por unidad de longitud:
10.2./04.43
75.5
5.247
 nuómt
L
Pu
Wu  Kg./cm2
.
2) Dimensionamiento de h.
Reajustando los Pu, debido a Wu = 43.04 t/m., y tratando la zapata como una viga de
un solo tramo , más el volado y para su análisis lo invertimos,lo cual tenemos:
Wu = 43.04 t/m.
.25 4.80 m 0.70
Pu1 = 112.14 Tn. Pu2 = 135.34 Tn.
.34.135;.14.112
80.4
2/70.070.004.432/5.5005.504.43
21 TnPuTnPu 


272 Ing°S.Chávez C.
ó
    35.118
2
25.036.2
04.4336.214.112
2
25.0
22





x
WuPuxMx t-m.
Mu(+)
= 118.35 t-m.
* h por corte de viga.
Vu = 94.45 



d
WudVuVud
04.435.94
Cortante unitario del concreto uucuc vvcfv  '53.0 (para diseño)
40.53
20521085.053.04.430
450,94
'53.0





BcfWu
Vu
d
77.8
2
5.7
2
., "1

 L
erdcdcdh cm.
considerando dc = 9.00 (para zapatas combinadas) tenemos
h = 53.4 + 9 = 62.4  h = 65 cm. , d = 56 cm.
* h por punzonamiento (sección crítica d/2)
(50+d/2) (50+d)
(50+d) (50+d)
. 0.50 4.30 0.50 0.45
Columna exterior:
       dbdtbo
dbo
dbdtPu
v nu
u 


 2/2,
2/
1
1
1

   
  
12.0
5656502/5650285.0
56502/565010.2500,112
1 


uv Kg./cm2
.
94.152101.1'1.1  cfvuc Kg./cm2
. > vu = 0.12 Kg./cm2
. --- OK .
Columna interior:
También podemos verificar que: Vup/ф < Vc, así:
        .4242, 22
22
cmbodbdtbo
dbdtPuVu
Vn nu







dbocfVc '1.1  Vc > Vn
   06.131
85.0
06.106.10.210.1352




Vu
Tn.
49.37856.01024.42101.1 Vc Tn. > Vu2 /ф = Vn conforme OK.
3) Chequeo del peso de la zapata:
Pzapata = 2.05 x 5.75 x 0.65 x 2.4 = 18.39 Tn.
Pzasumido =0.13 x 165 = 21.45 Tn.
Concreto Armado 273
4) Diseño por flexión:
a.Diseño del tramo:
Mu = 118.35 t-m  5.131
90.0
35.118


Mu
t-m.
Mn  max = 54.35 x 205 x 562
= 349.4 t-m > Mu/ф ---- OK.
Mn  min = 7.44 x 205 x 562
= 47.84 t-m < Mu/ф
 
As
As
a
a
As 1148.0
20521085.0
4200
,
2/564200
105.131 5






a = 6.8 As = 59.52 a = 6.8
As = 59.52 cm2
<> 21 Ø ¾“ ó 12 Ø 1“ @ 0.17
17.0
11
0254.015.005.2


S
b. Diseño en los apoyos:
Mu = 4.35 t-m.  Mu/ф =4.83 t-m. < Mn  min = 47.8 t-m. 
Asmin =  min B d = 0.0018 x 205 x 56 = 20.66 cm2
.
As = 20.66 cm2
<> 7 Ø ¾“ @ 31
c. Diseño del acero transversal:
b1 = 92 cm b2 = 134 cm
b1 = t + 0.75 d = 50 + 0.75 x 56 = 92 cm. b2 = t + 1.5 d = 50 + 1.5 x 56 = 134 cm.
Columna exterior.-
./88.54
05.2
5.1121
1 mt
B
Pu
Wu 
31.18
90.02
775.088.54
2
22






MunWu
Mu t-m.
Mn  max = 54.35 x 92 x 562
= 156.81 t-m > Mu/ф ---- OK.
Mn  min = 7.40 x 92 x 562
= 21.35 t-m < Mu/ф 
Colocar: Asmin =  min b1 d = 0.0018 x 92 x 56 = 9.27 cm2
.
As = 9.27 cm2
<> 5 Ø 5/8“ usar 5 Ø 5/8“ @ 0.19
Columna interior.-
./85.65
05.2
1352
2 mt
B
Pu
Wu 
97.21
90.02
775.085.65
2
22






MunWu
Mu t-m.
Mn  max = 54.35 x 134 x 562
= 228.39 t-m > Mu/ф
274 Ing°S.Chávez C.
E.T
f’c=210 Kg./cm2
.
Fy=4200 Kg./cm2
.
σt = 1.6 Kg./cm2
.
r.e = 7.5 cm
Mn  min = 7.40 x 134 x 562
= 31.10 t-m > Mu/ф 
Colocar: Asmin =  min b2 d = 0.0018 x 134 x 56 = 13.51 cm2
.
As = 13.51 cm2
<> 7 Ø 5/8“ usar 7 Ø 5/8“ @ 0.195
8.6. ZAPATA CONECTADA.
Se llama zapatas conectadas a aquellas que están constituidas por dos zapatas, una de
ellas o las dos excéntricas, unidas por una viga llamada de conexión que se encarga de
absorber el momento flector que produce la excentricidad; de esta manera, las zapatas ejercen
presion uniforme sobre el suelo de cimentación.
A
B = 2A ~ 2.5A V.C
Viga de
conexión
10 - 15 cm
S
5.75
B
0.92 1.34
12Ø1"@0.17
7Ø3/4"@0.31
7Ø3/4"@0.31
7Ø 5/8"@ 0.1955Ø 5/8"
0.65
6Ø 1" 6Ø 1"
5Ø 5/8" 4Ø 3/4" 3Ø 3/4" 7Ø 5/8" 4Ø 3/4"
Concreto Armado 275
Las zapatas conectadas suelen utilizarse en los mismos casos que las combinadas,
pero cuando la separación entre las columnas es muy grande de tal manera que una zapata
combinada resultaría de muy poco ancho y/o se generarían momentos flectores muy grandes
en su tramo central. Usualmente una zapata conectada resulta ser más recomendable que una
combinada cuando la separación entre las columnas es mayor de 6.00 m.
La filosofía del análisis es el siguiente:
 La zapata exterior transfiere su carga a la viga de conexión, actuando la zapata
como una losa en voladizo a ambos lados de la viga de conexión se recomienda
dimensionarla en planta, considerando una dimensión transversal igual a 2 ó 2.5
veces la dimensión en la dirección de la excentricidad.
 La viga de conexión debe analizarse como una viga articulada a la columna
exterior e interior, que soporta la reacción neta del terreno en la zapata exterior y
su peso propio.
 La zapata interior se diseña como una zapata aislada. Puede considerarse la
reacción de la viga de conexión. En el diseño de cortante por punzonamiento se
considera la influencia de la viga de conexión en la determinación de la zona
crítica.
 La viga de conexión debe ser lo suficientemente rígida como para evitar el volteo
de la zapata excentrica; por ello se recomienda que su sección transversal tenga
las siguientes dimensiones mínimas.
hmin = s / 7-8 , Bmin. = P1/31 s
El diagrama de cortante y momento flector es el siguiente.
276 Ing°S.Chávez C.
Ejemplo.- Diseñar la zapata conectada cuyos datos se detallan acontinuación :
Límite de propiedad
6.20 m.
b x t = 50 x 50 b x t = 50 x 60
PD = 70 Tn. PD = 100 Tn.
PL = 25 Tn. PL = 45 Tn.
σt = 3.2 Kg./cm2
., f’c = 210 Kg./cm2
., fy = 4200 Kg./cm2
.
Solución
* Zapata exterior.
Estimación: 21
625,35
2.3
9520.120.1
cm
P
Az
t




B = 2 A  Az = B x A = 2 A2
= Az  46.133
2
625,35
A
usar: A = 1.35 m (definitivo)
* Viga de conexión .-
805.77
8
620
87


 h
S
h cm.
5049.0
20.631
95
31
1


 b
S
P
b cm.
usar: b x h = 0.50 x 0.80 m
* Dimensionamiento de zapata exterior:
P1 = 95 Tn.
.25 Wr = 0.96 t/m.
(2)
A = 1.35
0.675 5.775
R1
Wv = 0.50 x 0.80 x 2.4 = 0.96 t/m.  Wv = 0.96 t/m. (peso propio de la viga ).
45.105
2
45.696.0
20.6775.5:0 1
2
112 

 RPRM Tn.
.45.2.44.2
30.3
30.3
32
45.105 21
mBm
A
BBAm
R
Az
t


usar: B x A = 2.45 x 1.35 m , Az = 3.31 m2
.
Concreto Armado 277
* Diseño de la viga de conexión.
P1u = 1.4 PD + 1.7 PL = 1.4 x 70 + 1.7 x 25 = 140.5 Tn.  P1u = 140.5 Tn.
Wvu = 1.4 x 0.96 = 1.34 t/m  Wvu = 1.34 t/m
P1u = 140.5 Tn.
Wvu = 1.34 t/m.
(2)
w1u
5.775
6.20
R1u
67.1550
2
45.634.1
20.6775.5:0 1
2
112 

 uuu RPRM Tn.
./31.115./31.115
35.1
67.155
1
1
1 mtWmt
A
R
W u
u
u 
* Sección de momento máximo: Xo ≤ A (hallamos la sección de momento máximo,
cuando Vx = 0)
Vx = (W1u – Wvu) Xo – P1u = 0
 
.35.123.123.1
34.131.115
5.140
mAmXoXo 

 OK:
  






22
1
1
2
1max
t
XoP
Xo
WWMu uvuu
  






2
50.0
23.15.140
2
23.1
34.131.115
2
Mu = - 51.48 t-m.  Mu = 51.48 t-m.  Mu/ф = 57.2 t-m.
.77.8
2
5.7 "1
cmdc 







, Considerando dc = 9 cm.  d = 71 cm.
Mn  max = 54.35 x 50 x 712
= 136.99 t-m > Mu/ф
Mn  min = 13.44 x 50 x 712
= 33.88 t-m < Mu/ф
 
As
cbf
Asfy
a
adfy
Mu
As 4706.0
'85.0
,
2/
/




a = 9.69 As = 20.59 a = 9.69
As = 20.59 cm2
<> 4 Ø 1“ (20.40 cm2
.)
Refuerzo en la cara inferior:
 
 
min
2
As
As
As 


  2
min
2
72.1171500033.0,30.10
2
59.20
cmAscmAs 
 As = 11.72 cm2
. <> 4 Ø ¾”
278 Ing°S.Chávez C.
* Diseño por corte:
P1u = 140.5 Tn.
V1u V2u
d Wvu
W1u
V1u = (W1u – Wvu) (t1 + d) – P1u = ( 115.31 – 1.34)(0.50 + 0.71) – 140.5
 V1u = - 2.60 Tn.
V2u = (W1u – Wvu) (A) – P1u = ( 115.31 – 1.34)(1.35) – 140.5
 V2u = 13.36 Tn.
 .72.15
85.0
36.13
Tn
Vu


26.27715021053.0 Vuc Tn. > Vu/ф (no necesitamos estribos por corte).
 Usar estribos por montaje: S = 36 Ø = 36 x 1.9 = 68.4 cm
Estribos: Ø 3/8” @ 0.65
NOTA: En zonas muy sísmicas deben confinarse los estribos de la viga de conexión
(viga dúctil) S = 2 d, colocar estribos a d/4 y en el tramo central colocar a d/2
Diseño de la zapata exterior: , Se diseña para un momento flexionante adoptando una
ρ = 0.004
54.63
45.2
67.1551

B
R
Wu u
t/m.
20.30
2
975.054.63
2
22



nWu
Mu t-m.
56.33
90.0
20.30


Mu
t-m.
Mn  max = K A d2
 K = 16.01   = 0.004
KA
Mu
d


/
40.39
13501.16
1056.33 5



d cm.
 h = d + dc = 39.40 + 9 = 48.40  h = 50 cm. d = 41.0 cm.
* Verificación por cortante.
Vud = Wu (n – d) = 63.54 (0.975 – 0.41) = 35.90 Tn.  Vud/ф = 42.24 Tn.
Vc = 0.53 51.424113521053.0'  dAcf Tn.
 Vc = 42.51 Tn. > Vud/ф = 42.24 Tn. OK.
Concreto Armado 279
Si sale lo contrario, hay que aumentar el peralte:
 h = 0.50 m.
* Diseño del area de acero:
Mu/ф = 33.56 t-m  Mn  max = 54.35 x 135 x 412
= 123.34 t-m > Mu/ф
Mn  min = 7.40 x 135 x 412
= 16.79 t-m < Mu/ф
 
As
cbf
Asfy
a
adfy
Mu
As 1743.0
'85.0
,
2/
/




a = 3.55 As = 20.37 a = 3.55
As = 20.37 cm2
<> 7 Ø ¾” @ 0.195 ó 10 Ø 5/8” @ 0.13
 Refuerzo transversal:
Astransversal = 0.0018 x B x h = 0.0018 x 245 x 50 = 22.05 cm2
.
As = 22.05 cm2
<> 8 Ø ¾” @ 0.325 ó 11Ø 5/8” @ 0.23
 Diseño de la Zapata interior.
P1 = 95 Tn. P2 = 145 Tn.
Wx = 0.96 t/m.
lv = 6.45
R1 = 105.45 R2 = P’2
P2efectivo = P’2 = - P2 – P1 + R1 – Wv x 6.45 = - 145 – 95 – 105.45 – 0.96 x 6.45
R2 = P’2 = - 140.74 Tn.
R2u = P2efectivo = - P2u – P1u + R1u – Wvu x Lv = - 216.5 – 140.5 + 155.67 – 1.34 x 6.45
R2u = - 209.97 Tn.
22
40.4
0.32
74.140'
m
P
Az
t


<> 2.10 x 2.10
Usar : B x A = 2.10 x 2.10 Az = 4.41 m2
.
76.4/61.47
10.210.2
97.209' 2


 mt
Az
zP
nu Kg./cm2
.
280 Ing°S.Chávez C.
* Diseño de h por punzonamiento:
Col: bxt=50 x 60
Y
2.10
50 X
60
2.10
    320250
2
1352,
2
135,50 











 dbod
d
bo
d
YdX
   YXAzVup nu 
   
  ucup v
dd
dd
dbo
Vu
v 




 21010.1
320285.0
2/13550100,4476.4/
44,100 – (6750 + 25 d + 135 d + d2
/2) = 2.84 d (2 d + 320)
44,100 – 6750 – 160 d – d2
/2 = 5.68 d2
+ 908.8 d
d2
+ 172.94 d – 6043.69 = 0
d = 29.81 cm,  h = d + dc = 29.81 + 9 = 38.81
h = 40 cm. d = 31 cm.
* Verificación por corte:
Vud = σnu x B (m –d)
Vud = 4.76 x 210 (75 – 31) = 43.98 Tn.  Vud/ф = 51.74 Tn.
.0.503121021053.0 TnVc  < Vud/ф = 51.74 Tn. 
Aumentamos h de 40 cm. a h = 45 cm.  d = 36 cm.
.06.583621021053.0 TnVc 
Vud = 4.76 x 210 (75 – 36) = 38.98 Tn.  Vud/ф = 45.86 Tn.
Vud/ф = 45.86 Tn. < Vc ---- OK.
* Diseño por flexion:
3.33
90.02
7521076.4
2
22







mBMu nu
t-m.
h = 45 cm. , dc = 9 cm. , d = 36 cm.
Mn  max = 54.35 x 210 x 362
= 147.92 t-m > Mu/ф
Mn  min = 7.44 x 210 x 362
= 20.25 t-m < Mu/ф
Concreto Armado 281
4Ø 1"
4Ø 1"
V-C 2.10
2.10
2.45
1.35
11Ø 5/8" @0.23
11Ø 5/8" @0.19
10Ø5/8"@0.13
12Ø5/8"@0.175
hz=0.50
hz=0.45
 
As
cBf
Asfy
a
afy
Mu
As 1120.0
'85.0
,
2/36
/




a = 2.56 As = 22.84 a = 2.56
As = 22.84 cm2
<> 11 Ø 5/8” @ 0.19
Refuerzo transversal.
54.35
90.02
8021076.4 2





Mu
t-m.
a = 2.74 As = 24.44 a = 2.74
As = 24.44 cm2
<> 12 Ø 5/8” @ 0.175
Detalle de refuerzo:
E.T.
f’c = 210 Kg./cm2
.
Fy = 4200 Kg./cm2
.
r.e = 7.5 cm.
σt = 3.2 Kg./cm2
.

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10 cimentaciones

  • 1. Concreto Armado 235 VIII. Cimentaciones 8.1. INTRODUCCIÓN. Se llama cimentación al elemento estructural que trasmite las cargas de las columnas y muros al terreno. La resistencia del suelo es menor que la resistencia del concreto, por ello, la cimentación tiene mayor área que su respectiva columna o muro para así reducir los esfuerzos que se trasmiten al terreno. Las cimentaciones son la base de una estructura y están comprendidas entre la parte superior o súper-estructura y el suelo o roca que le sirve de base de apoyo. El terreno debe trabajar bajo una carga tal que no se altere su estado de equilibrio, o sea, que no se produzcan deformaciones o asentamientos perceptibles que repercutan en los diferentes elementos de la estructura. Si una columna se asienta más o menos que otra adyacente, la diferencia genera esfuerzos que pueden ocasionar daños en los elementos estructurales y no estructurales. Para limitar los asentamientos, es necesario (1) Trasmitir la carga de la estructura hasta un estrato de suelo que tenga la resistencia suficiente, y (2) Distribuir la carga sobre un área suficientemente grande de este estrato para minimizar las presiones de contacto. Si no se encuentran suelos adecuados justo debajo de la estructura, es necesario recurrir a cimentaciones profundas como pilotes o pilas para trasmitir la carga hasta estratos más profundos y de mayor firmeza. Si existe un suelo satisfactorio inmediatamente debajo de la estructura, es suficiente distribuir la carga mediante zapatas u otros medios. Estas subestructuras se conocen como cimentaciones superficiales y es precisamente este tipo de cimentaciones el que se analizará en este capitulo(59) . Superficie estructural o elemento estructural sustentado Subestructura o cimentación superficial Suelo o roca La carga de trabajo del terreno debe determinarse por medio de experiencias y sondajes a cargo de un especialista en mecánica de suelos. En la tabla (VIII-1) se presentan algunos valores aproximados de la carga de trabajo para diferentes tipos de terreno. Estos se utilizan solo para diseños preliminares(60) . TIPO DE SUELO σat (Kg./cm2 .) 1. Rocas macizas: Granito, diorita, gneis. 2. Rocas laminares: Esquistos, pizarra. 3. Rocas sedimentarias: Caliza arenisca. 4. Cascajo, gravas o gravas arenosas (GW ó GP) 100 40 15
  • 2. 236 Ing°S.Chávez C. - compactas. - mediamente compactas (Lima). - Sueltas. 5. Arenas o arenas con grava bien graduadas (SW). - Compactas. - Mediamente compactas. - Sueltas. 6. Arenas o arenas con grava mal graduadas (SP). - compactas. - mediamente compactas. - Sueltas. 7. Gravas sienosas o gravas –areno-sieno (GM). - compactas. - mediamente compactas. - Sueltas. 8. Arenas sienosas o areno sieno (SM). 9. Gravas arcillosas o arenas arcillosas (GC-SC). 10. Suelos inorgánicos, sienos, arenas finas (ML-CL) 11. Arcillas inorgánicas plásticas, arenas diatomiceas, sienos elásticos (CH-MH). 5.00 4.00 3.00 3.75 3.00 2.25 3.00 2.50 1.75 2.50 2.00 1.50 2.00 2.00 1.00 1.00 Tabla VIII-1.- Cargas de trabajo para diversos tipos de suelo. 8.1.1. Tipos de Cimentaciones(61) . Las cimentaciones superficiales pueden clasificarse como cimentaciones para muros y cimentaciones para columnas. Los esquemas en planta de los tipos más comunes se presentan en la figura (VIII-1). Una cimentación para muro consiste en una franja de concreto reforzado más ancha que el muro y que distribuye su presión. Las zapatas para columnas individuales son por lo general cuadradas, algunas veces rectangulares y representan el tipo de cimentación más sencillo y económico. Su utilización para columnas exteriores tiene algunas dificultades si los derechos de propiedad impiden la utilización de zapatas que se extiendan más alla de los muros exteriores. En este caso, se utilizan zapatas combinadas o zapatas conectadas para permitir el diseño de una zapata que no se extienda más alla del muro o columna. Las zapatas combinadas para dos o más columnas se utilizan también para columnas interiores con cargas considerables y poco espaciadas entre si, donde las zapatas individuales, si se hicieran, quedarían casi totalmente traslapadas.
  • 3. Concreto Armado 237 Las zapatas individuales y las zapatas combinadas para columnas son los tipos de cimentaciones superficiales más utilizados en suelos con capacidad razonable de carga. Si el suelo es blando o las cargas de las columnas son grandes, las áreas requeridas para las zapatas son tan grandes que se convierten en antieconómicas; en este caso, a menos que las condiciones del suelo exijan una cimentación profunda, se adopta una solución consistente en una losa de cimentación o en una cimentación flotante. Este tipo de cimentación consta de una losa maciza de concreto reforzado que se extiende bajo todo el edificio y que, en consecuencia, distribuye la carga de la estructura sobre la máxima área disponible. Esta cimentación, gracias a su propia rigidez también minimiza los asentamientos diferenciales. En su forma más sencilla, consta de una losa de concreto reforzado en las dos direcciones. Una forma que proporciona mayor rigidez consiste en una losa de entrepiso invertida y conformada por vigas secundarias y principales. Generalmente cuando el área de cimentación es mayor al 50% del área disponible, se emplea losa de cimentación y si es menor al 50% del área disponible, se emplean cimentaciones profundas. En conclusión diríamos que el tipo de cimentación apropiado para cada situación depende de varios factores, entre los cuales se tiene: 1. La resistencia y compresibilidad de los estratos del suelo. 2. La magnitud de las cargas de las columnas. 3. La ubicación de la napa freática. 4. La profundidad de cimentación de las edificaciones vecinas. 8.1.2. Presión del suelo. Cada tipo de terreno tiene sus característica propias y reacción ante cargas externas de distintos modos. Algunos de los factores que influyen en la distribución de la reacción del terreno son: La flexibilidad de cimiento al suelo, el nivel de cimentación y el tipo de terreno. Por ejemplo en la fig. VIII-2, se presenta la distribución de la presión para dos tipos de suelos: Granular y cohesivo. P P (a) Suelos granulares. (b) Suelos cohesivos. Fig. VIII-2.- Distribución de presiones de contacto En el terreno granular se aprecia que la presión en los bordes de la cimentación es menor que en la zona central debido a la presión ejercida por las cargas aplicadas tiende a desplazar el suelo en los extremos lo cual disminuye la reacción. Este desplazamiento depende de la profundidad de cimentación. Si
  • 4. 238 Ing°S.Chávez C. esta es elevada, la fuerza ejercida por el peso propio del terreno impedirá que el suelo se desplace. En el suelo cohesivo por el contrario, la presión en los bordes de la cimentación es mayor que en la sección central. El suelo que circunda el área cargada ejerce una fuerza de soporte sobre ella por efecto de la cohesión y por ello la reacción se incrementa. En el diseño, no es practico considerar la distribución real de la reacción del suelo, por lo que se asume dos hipótesis básicas: 1. La cimentación es rígida. 2. El suelo es homogéneo, elástico y aislado del suelo circundante. Estas suposiciones conllevan a que la distribución de la reacción del suelo, frente a las cargas transmitidas por la columna sea lineal, consideraciones que ha demostrado dar resultados conservadores, excepto en terrenos cohesivos como limos o arcillas plásticas. 8.2. CIMIENTOS CORRIDOS. Las zapatas de muros pueden ser de concreto simple o de concreto armado, dependiendo de la magnitud de los esfuerzos a los que se encuentran sometidos. Por lo general, los muros de albañilería no portante tienen cimentación de concreto simple, mientras que los muros portantes, de concreto o albañilería, utilizan zapatas de concreto armado, sobre todo en terrenos de mala calidad. Los cimientos de muros son elementos que trabajan básicamente en una dirección, presentándose los esfuerzos, principales perpendiculares al muro. En este tipo de cimentación, sólo se analiza la flexión y corte en esta dirección y no se chequea corte por punzonamiento. Dado que el terreno de fundación generalmente se encuentra a una profundidad de 1.00 m., es usual considerar cimientos de 50 a 60 cm. de altura y sobrecimientos de 40 ó 50 cm., ubicados por encima del cimiento. Si el muro es de ladrillo, es recomendable que los sobrecimientos se continúen 10 ó 20 cm. sobre el nivel del piso terminado, con el fin de proteger al ladrillo del muro del contacto directo con el terreno. 8.2.1. Diseño de cimiento corrido de concreto simple. Diseñar el cimiento corrido para el eje (B), sabiendo que el nivel para cimentar se encuentra a 1.00 m. bajo el nivel del terreno natural, donde σt =1.0 Kg./cm2 . e aligerado = 20 cm. (1° y 2° nivel) P.t. = 100 Kg./m2 . Sentido de las viguetas s/c: 1° piso = 250 Kg./m2 . 2° piso = 150 Kg./m2 . Muros portantes de ladrillo sólido (γ = 1800 Kg./m3 .) .15 4.00 ..15 3.50 .15 (A) (B) (C)
  • 5. Concreto Armado 239 Azotea 0.20 Sobrecimiento y cimiento: 2.80 (γcº = 2200 Kg./m3 .) Viga solera: b x h (0.15 x 0.20) 0.20 3.00 0.10 0.10 1.10 1.00 N.C. Solución. 1. Peso propio de la losa aligerada: 1° Piso = 300 x 3.75 x 1.00 = 1125 Kg. 2° Piso = 300 x 3.75 x 1.00 = 1125 Kg. PD1 = 2250 kg. 2. Peso por piso terminado: 1° Piso = 100 x 3.75 x 1.00 = 375 Kg. 2° Piso = 100 x 3.90 x 1.00 = 390 Kg. PD2 = 765 kg. 3. Peso viga solera: 1° Piso = 0.15 x 0.20 x 2.40 = 72 Kg. 2° Piso = 0.15 x 0.20 x 2.40 = 72 Kg. PD3 = 144 kg. 4. Peso de los muros (p.e. = 1800 Kg./m3 .) 1° Piso = 0.15 x 2.90 x 1800 x 1.00 = 783 Kg. 2° Piso = 0.15 x 2.80 x 1800 x 1.00 = 756 Kg. PD4 = 1539 kg. 5. Sobrecarga: 1° Piso = 250 x 3.75 x 1.00 = 937.5 Kg. 2° Piso = 150 x 3.90 x 1.00 = 585.0 Kg. PL1 = 1522.5 kg. 6. Sobrecimiento: Considerando h cimiento = 50 cm.  hs/c = 0.60 m., p.e.c° = 2200 Kg./m3 . peso s/c = (0.15 x 0.60) 2200 x 1.00 = 198 Kg. PD5 = 198 Kg. 7. Cimiento: Peso = (0.60 x b) 2200 x 1.00 = 1320 b Kg. PD6 = 1320 b Kg.  PD = 2250 + 765 + 144 + 1539 + 198 + 1320 b = (4896 + 1320 b) Kg. PD = (4896 + 1320 b) Kg. PL = 1522.5 kg.
  • 6. 240 Ing°S.Chávez C. * Dimensionamiento de B: Bb B b cmKg Az P t 100132050.6418 100 132050.6418 /.0.1 2     6418.50 + 1320 B = 100 B x 102  B = 0.739  B = 75 cm. O también, si no se hubiese considerado el peralte del cimiento, podríamos estimar el peso de la zapata de la siguiente manera: P = (4896 + 1522.5) Donde: 2 /.404.1:, cmKgparaCdonde CPs Az t n    C = 1.15 para σt = 1 Kg./cm2 . .82.73100 00.1 5.641815.1 cmBBAz    B=75cm * Chequeo del peralte. 1. Por flexión.- La sección crítica por flexión se ubica en la cara del muro (elemento sustentado) si dicho muro es de C°. Armado y en la sección que pasa por el punto medio situado entre la cara del muro y el eje del muro si es de mampostería o de C°. Simple. Secciones críticas m m σnu = Reacción neta de rotura del terreno actua de abajo hacia arriba. σnu bB Pu nu (Kg./cm2 .) Nota : Para calcular σnu , no se considera el peso propio de la cimentación, pues esto no afecta el diseño por cortante, punzonamiento y flexión. 22 /.26.1/.26.1 10075 5.15227.148964.1 cmKgcmKg nunu      2 2 Wum Mu  (Cuando el muro es de C° Armado) 2 )4/( 2 emWu Mu   (Cuando el muro es de mampostería)
  • 7. Concreto Armado 241 Wu = σnu x 100 = 1.26 x 100 = 126 Kg./cm. e/4 =15/4 = 3.75 .3030 2 1575 cmmm        94.760,71 2 05.330126 2 4/ 22      emWu Mu Kg.-cm h/2 fuct = Esfuerzo último a tracción del c° fuct = 1.3 cf ' Kg./cm2 . b = 100 cm. fuct 65.0, /6 12 2// 23      bh Mu bh hMu fuct I MY  .2557.22 1003.110065.0 94.760,716/6 cm bfuct Mu h       h = 25 cm. < h = 60 cm. ----------- OK. 2. Por Corte.- La sección critica por cortante se encuentra ubicado a la distancia “h” o “d” de la cara del elemento sustentado, según se trate de cimentación de C° simple o de C° Armado respectivamente. Vu = Wu (m-hv) 30 30   85.0,      vnu hmbVu  hv B = 75 cm.   cfv hb hmb hb Vu v uc v vnu u '53.0 /         (Para diseñar) .56.6 10053.085.026.1 3026.1 ; cmh v m h v ucnu nu v           hv = 6.56 cm. << h = 60 cm. 0.15 0.60 s/c. f’c = 100 Kg./cm2 .+ 25% PM, máx 3” 0.60 c : f’c = 100 Kg./cm2 .+ 30% PG, máx 6” 0.75 m.
  • 8. 242 Ing°S.Chávez C. 8.2.2. Diseño de cimientos corridos de concreto armado. Son similares a los anteriores con la diferencia que se le adiciona refuerzo debido a que el ancho es considerable y por consiguiente sus volados son importantes. En estos casos es usual considerar un refuerzo longitudinal de temperatura que sin embargo a opinión del autor no es estrictamente necesario, dado que el cimiento al estar enterrado no tiene mayores problemas en relación a cambios de temperatura. Ejemplo.- Diseñar el cimiento corrido de concreto armado, teniendo la siguiente información; el muro es de concreto armado. Solución * Dimensionamiento de B C = 1.12   .40.1.89.136 8.1 5.65.1512.1 100 mBcmBAz Az CP t    * Dimensionamiento de h 22 /.34.2/.34.2 140100 5.67.15.154.1 cmKgcmKg Az Pu nunu      * h por corte. m d          dmbVu dmbVu nu nu     d dm db Vu v nu u       / dc uucuc vvcfv  '53.0 (para diseño) σnu   .50.57 2 ; cm eB m v m dv d dm ucnu nu uc nu          .21.16 17553.085.034.2 50.5734.2 cmd     d .5.8 2 91.1 5.7 2 .. cmdcerdc b   r.e. = 7.5 cm. dc h = d + dc = 16.21 + 8.5 = 24.71 cm.  h = 25 cm. d
  • 9. Concreto Armado 243 * h por flexión (muro de C° A°) Sección critica       2 100 2 22 mmWuMu nu h 5.812,429 90.02 5.5710034.2 2      Mu Kg.-cm. .74.9 10029.45 5.812,429/2 max cm bk Mu d Mu kbdMn        .2024.185.874.9 cmhh  .50.16.0.25 cmdcmh  * Diseño del As. As bcf fyAs a a dfy Mu As 2824.0 '85.0 , 2 /           86.157.686.1 2 5.164200 5.812,429 2          acmAsa a As As = 6.57 cm2 . , As bA S 100   usar Ø ½” @ 0.20 Acero por temperatura: Asr.c.t = 0.0018 x 100 x h = 0.0018 x 100 x 25 = 4.5 cm2 . usar Ø3/8”@ 0.15 8.3. ZAPATAS AISLADAS. Las zapatas aisladas son losas rectangulares o cuadradas que sirven de apoyo a las columnas. La losa es constante o variable, disminuyendo hacia los bordes. También pueden ser escalonadas como la presentada en la (fig. VIII-3). En este caso, el elemento debe vaciarse monolíticamente y no por escalones. El peralte mínimo en el borde de una zapata de sección variable es 15 cm.
  • 10. 244 Ing°S.Chávez C. Las zapatas aisladas son el tipo más usual de cimentación pues son las más económicas. La columna puede ser centrada o excéntrica, aunque el primer caso es más común. Las zapatas aisladas pueden ser de concreto simple o de concreto armado. Sin embargo, las primeras no se pueden usar ni sobre pilotes ni en zonas sísmicas. 8.3.1. Zapatas aisladas de concreto simple. Se usan para cimentar columnas de mampostería, de concreto armado, pedestales, etc. Este tipo de estructuras no podrán ser empleadas cuando se apoyan sobre pilotes y su altura mínima será 20 cm. Para el diseño, por flexión, la sección crítica se ubicará : * Para zapatas que sostienen columnas de mampostería o de concreto armado, en la cara del elemento sustentado. * Para zapatas que sostienen columnas con planchas de base, la sección crítica esta ubicada al centro entre el borde de la plancha de base y la cara de la columna. La resistencia al corte en zapatas de concreto simple se verificará. * Corte por flexión, la sección crítica se ubica a la distancia h de la cara de la columna. * Corte por punzonamiento, la sección crítica se ubica a h/2 de la cara de la columna. La columna o pedestal de sección circular o poligonal podrán ser considerados como elementos de sección cuadrada para ubicar con mayor facilidad las secciones críticas para el diseño de zapatas por corte y flexión. Ps = (PD + PL) Sección por corte Sección crítica por flexión por flexión h h A
  • 11. Concreto Armado 245 A Sección crítica por punzonamiento Q R n h/2 B b h/2 (b+h) b bo = 2 (b+t+2h) bo = Perímetro de corte por t punzonamiento. T t+h S n m t m Ejemplo: Diseñar la zapata aislada de concreto simple. PD = 25 Tn. σt = 3 Kg./cm2 . (Carga admisible del terreno) PL = 15 Tn. f’c = 110 Kg./cm2 . b x t = 35 x 45 cm. Solución 1) Dimensionamiento en planta. t Psc Az   , 1 Kg./cm2 .-------- 1.15 X = -0.07  c = 1.08 4 Kg./cm2 . ------- 1.04 3 -------- 0.11 2 --------- X   400,14 3 152508.1    Az cm2 .     1253545 2 1 400,14 2 1  btAzA     1153545 2 1 400,14 2 1  btAzB A = 1.25 m. B = 1.15 m. .40,40.0 2 45.025.1 cmnmmnm    2) Diseño del peralte. 21.4 115125 157.1254.1     Az Pu nu Kg./cm2 . * h por flexión. (1) En eje x:    2 2 1 BmMu nu (2) 877,595 65.02 4011521.4 2 1      Mu Kg.-cm. B En eje y:    2 2 2 AnMu nu A 692,647 65.02 4012521.4 2 2      Mu Kg.-cm.
  • 12. 246 Ing°S.Chávez C. Sabemos que:  fuctAóB Mu h bh hMu fuct I MY     /6 12/ 2// 3  En eje X: 75.47 1103.1115 877,5956 1    h , En eje Y: 75.47 1103.1125 877,5956 2    h  h = 50 cm. * h por punzonamiento. A Q R B bo = 2 (b+t+2h) bo = 2 (35 + 45 + 2 h) ф = 0.85 T S         hthbAzVup nu     hb hthbAz hb Vup v o nu o up      / , cfvuc '06.1 Kg./cm2 .(por punzonamiento, según el ACI.) ≈ 1.10 cf ' Kg./cm2 .  vuc = vu ,       1101.1 24535285.0 453511512521.4    hh hh Resolviendo la ecuación tenemos: h = 20 cm. * h por corte (unidireccional). h h 85.18 11053.085.021.4 4021.4        ucnu nu v m h   h  h = 20 cm.  De los tres “h” tomamos el mayor: h = 50 cm. E.T. f’c = 110 Kg./cm2 . σt = 3 Kg./cm2 . 1.25 0.50 1.15 0.35 0.45 1.25 m.
  • 13. Concreto Armado 247 8.3.2. Zapatas aisladas centradas de concreto armado. El diseño en concreto armado de una cimentación se hace en igual forma que cualquier otro elemento estructural, es decir, verificándose los requerimientos de los distintos tipos de esfuerzos actuantes: Cortante, flexión, punzonamiento, aplastamiento, adherencia y los anclajes. Proceso de diseño: 1) Dimensionamiento en planta (Az) El valor del peso de la zapata también se puede estimar así: σt = 3 ~ ≤ 4 Kg./cm2 .  Pz = 5% P σt = 2 ~ ≤ 3 Kg./cm2 .  Pz = 10% P σt = 1 ~ ≤ 2 Kg./cm2 .  Pz = 15% P σt = ≤ 1 Kg./cm2 .  Pz = 20% P También podemos estimar Az, así: n P Az   = área de la cimentación. σn = σt – γpromedio hf – s/c σn = σt – γt ht – γc hc – γp hp – s/c σn = Capacidad portante neta. σt = Carga admisible del terreno. γt = Peso especifico del suelo. ht = Altura del suelo sobre la Zapata. γc = Peso especifico del concreto hc = Altura de la cimentación, estimada en γp = Peso especifico del C° del piso función de la “ld” del refuerzo de la hp = Altura del piso columna y del r.e. s/c = sobrecarga del terreno.
  • 14. 248 Ing°S.Chávez C. Conocida el área, se define las dimensiones de la cimentación cuadrada, rectangular, circular, etc. y se verifica la presión admisible del suelo no sea sobrepasada. Si los esfuerzos son superiores a la capacidad del suelo, entonces es necesario incrementar las dimensiones del elemento. Si las cargas externas incluyen efectos de sismo se realiza una segunda comprobación. Bajo este tipo de cargas, que actúan por periodos breves de tiempo, la capacidad portante del suelo se incrementa. Por ello se considera, para esta verificación, que la capacidad neta del suelo es: σn = 1.33 σt – γpromedio hf – s/c 2) Dimensionamiento en elevación. a. Por longitud de anclaje.- El peralte de la zapata en principio debe ser capaz de permitir el desarrollo del refuerzo en compresión de la columna. b. Por corte bidireccional o punzonamiento.- La sección crítica se encuentra ubicado a “d/2” de la cara de la columna. Si existe plancha de base, se ubicará a d/2 de la sección central entre la cara de la columna y el borde de la plancha. Al margen de las solicitaciones de corte, el código recomienda que d ≥ 15 cm., para zapatas sobre terreno y d ≥ 30 cm. para zapatas sobre pilotes, lo que es importante en zapatas de sección trapezoidal o escalonada.
  • 15. Concreto Armado 249 La resistencia del concreto al corte por punzonamiento es igual a la menor determinada por las siguientes expresiones: )1(...................' 4 227.0 dbcfVc o c         )2(...................'227.0 dbcf b d Vc o o s         dbcfVc o'1.1 ..................................... (3) Vc = Resistencia del concreto al corte. βc = Coeficiente de la dimensión mayor de la columna entre la dimensión menor. bo = Perímetro de la sección crítica. αs = Parámetro igual a 40 para columnas internas, 30, Para columnas externas y 20, para las esquineras. Nosotros en adelante utilizaremos sólo la ecuación (3), donde el esfuerzo unitario por punzonamiento es cfvc '1.1 (Kg./cm2 .)  Vup = Pu – σnu (b + d) (t+d) ó Vup = σnu (Az - Ap) Vup = σnu [A x B – (b+d)(t+d)] ;     db dtdbBA db Vup v o nu o up      / Para diseño : vup = vuc      cf db dtdbBA o nu '1.1   ; BA Pu nu   De esta expresión obtenemos el valor de “d” ; dc = r.e. + Øb = 7.5 +Ø ¾” ≈ 9.5 cm. d dc = 9.5 cm.  h = d + dc r.e dc c. Corte por flexión.- La sección crítica se encuentra ubicado a la distancia “d” de la cara de la columna o pedestal. Para columnas con planchas de acero en la base se ubica a la distancia “d” de la sección media entre la cara de la columna o pedestal y el borde de la plancha. (2) Eje X:  dmB Vu nu   1 B b d Eje Y:       dmAVu nu2 t   dB dmB Bd Vu v nu u      /1 1 = σnu (m-d) A (1)   dA dnA Ad Vu v nu u      /2 2 = σnu (n-d) Ф d Ф d
  • 16. 250 Ing°S.Chávez C.  vu1 = vu2 , Los cortantes unitarios son iguales en las dos direcciones. cfvuc '53.0 . (cortante unitario del concreto); para diseño vuc = vu   ucnu nu uc nu u v m dv d dm v        ,  h = d + dc También se puede tomar el “d” calculado por punzonamiento y verificar así:   cfv d dm v uc nu u '53.0     ...OK, si sale lo contrario, aumentar “d”. 3) Comprobación del peso de la zapata. Pzap = A x B x h x p.e = Pzasumido = % Ps =  Pzasumido ≥ Pzapatareal  ......... OK. 4) Diseño por flexión, la sección crítica se encuentra ubicado en la cara de la columna.     2 2 1 BmMu nu ------------ t-m (2)     2 2 2 AnMu nu ------------ t-m (1) En la expresión AB Pu nu  , no se considera el peso propio de la zapata en el cálculo, pues este no afecta el diseño por cortante, punzonamiento y flexión; dado que si se considera en el valor de la presión última (hacia arriba también debe considerarse como carga uniforme repartida hacia abajo) anulándose. Eje (1)      / / 1 2 min 1 2 max MuKBdMn MuKBdMn   Eje (2)      / / 2 2 min 2 2 max MuKAdMn MuKAdMn   Si Mn ρmin >  Mu  Colocar Asmin = ρmin (A ó B) d. ; ρmin = 0.0018 Cálculo de la áreas de acero: Eje (1)    2/ /1 1 adfy Mu As    , Bcf fyAs a '85.0  , en cara B : As1 = Eje (2)    2/ /2 2 adfy Mu As    , Acf fyAs a '85.0  , en cara A : As2 =
  • 17. Concreto Armado 251 5) Verificación por adherencia.- La sección crítica es la misma que para flexión y se debe verificar que:    disponiblenec oo ---------- OK.    jd Vu nec u o  / ; donde: 56 '4.6  db cf u Kg./cm2 .       BmVu nu1 ;      AnVu nu2 Eje (1):       jd Vu nec u o  /1 -------   conformedisponibleo Eje (2):       jd Vu nec u o  /2 -------   conformedisponibleo Si  neco >  disponibleo  dicha zapata estará gobernada por el diseño de adherencia. 6) Verificación por aplastamiento o por transferencia de esfuerzos. f’c columna. plano de transferencia A1 = b x t 2 de esfuerzos. A2 = B’ A' 1 f’czapata A’ 1A Pu fa  , Esfuerzo de aplastamiento actuante B B’ b A1 70.0,/'85.0 12  AAcffuac (por aplastamiento) t fuac = Esfuerzo de aplastamiento permisible o esf. A2 máximo permisible en la base de la columna A  fuacfa Conforme, o sea:  12 /'85.0 AAcffuac ................. > fa =Pu / A1  OK. 2 1 2  A A ; A1 = Ag (área de la columna) A2 = Área máxima en la zapata que es geométricamente igual al área de la columna. O también: PuAg A A cfPuar  1 2 '85.0  conforme. Si Pu > Puar  Pu’ = Pu – Puar  colocar As adicional (Asa) ; Si esta de área de acero adicional < que el área de acero de columna, entonces no es necesario adicionar refuerzo. Si es mayor entonces el remanente se coloca en forma de Dowells o bastones. fy Pu Asa   '
  • 18. 252 Ing°S.Chávez C. El Asa, podemos calcular también así: fy AcolremanenteEsfuerzo Asa    ld Donde: Esf. remanente = Esf. actuante – Esf. adm. ld h Podría también tomarse la carga o esfuerzo “remanente” por aplastamiento a través de pedestales. x cf Pu Apedestal '475.0 '  ≥ 2 x l Si l > ld, no es necesario colocar las patas Patas 6) Colocación del acero.- Cuando el ancho difiere en gran proporción de su largo de las barras N1 , se distribuirán uniformemente en el ancho B; las barras N2 se distribuirán del modo siguiente: Ejemplo.- Diseñar la zapata aislada centrada de concreto armado; momentos de carga de gravedad y de sismo despreciables. PD = 100 Tn. Columna = 40 x 60 cm., Ast = 8 Ø ¾” PL = 60 Tn. f’c = 210 Kg./cm2 . fy = 4200 Kg./cm2 . σt = 2 Kg./cm2 . Solución
  • 19. Concreto Armado 253 1) Dimensionamiento de Az t cP Az   , c = 1.11 para σt = 2 Kg./cm2 ., condición: m = n 22 800,88800,88 2 000,16011.1 cmBAAzcmAz        99.3074060 2 1 800,88 2 1  btAzA     99.2874060 2 1 800,88 2 1  btAzB A = 3.10 m , m = (3.10 – 0.60)/2 = 1.25 m. B = 2.90 m , n = (2.90 – 0.40)/2 = 1.25 m.  m = n = 1.25 m. 2) Dimensionamiento de h. a) h para satisfacer la longitud de desarrollo en compresión. .28.44 .09.32420091.1004.0004.0 .28.44 210 420091.108.0 ' 08.0 cmld cmfydbld cm cf fydb ld      h = 44.28 + 9.5 = 53.78 cm.  h = 55 cm. d = 45.50 cm. b) h por punzonamiento.-     cf db dtdbBA o nu '1.1   ; 69.2 90.210.3 2.24      BA Pu nu Kg./cm2 .       2101.1 26040285.0 604029031069.2    dd dd 89,900 – (2400 + 40 d + 60 d + d2 ) = 10.07 d (100 + 2 d) d2 + 52.36 d – 4139.07 = 0   28.43 2 07.4139436.5236.52 2   d cm. d = 43.28 cm.  h = 43.28 + 9.5 = 52.78 cm.  h = 55 cm. c) h por corte de viga o por corte bidireccional. 48.36 21053.085.069.2 12569.2        ucnu nu v m d   cm. h = 36.48 + 9.5 = 45.98 cm.  h = 50.0 cm.  Usar: h = 55 cm. d = 45.5 cm.
  • 20. 254 Ing°S.Chávez C. 3) Comprobación del peso de la zapata. Pzapata = 3.10 x 2.90 x 0.55x2.4 = 11.87 Tn. Pzasumido = 0.11 x 160 = 17.60 Tn.  Pzasumido ≥ Pzreal  OK. 4) Diseño por flexión. -) Momentos actuantes incrementados.   701,771'6 90.02 12529069.2 2 22 1        mBMu nu Kg.-cm.   715,238'7 90.02 12531069.2 2 22 2        nAMu nu Kg.-cm. -) Momento máximo nominal. Eje (1)      ........./.756,442'45.4529040.7 ......../..245,630'325.4529035.54 1 2 min 1 2 max OKMucmKgMn OKMucmKgMn   Eje (2)      ........./.154,749'45.4531040.7 ......../..607,880'345.4531035.54 2 2 min 2 2 max OKMucmKgMn OKMucmKgMn   Calculo de las áreas de acero: Eje (1)  2/5.454200 701,771'6 a As   , Bcf fyAs a '85.0  = 0.0811 As a = 2.97 As = 36.63 a = 2.97 Eje (2)  2/5.454200 715,238'7 a As   , Acf fyAs a '85.0  = 0.0759 As a = 2.97 As = 39.16 a = 2.97 En cara B: As = 36.63 cm2 . <> 18 Ø 5/8” ó 13 Ø ¾” En cara A: As = 39.16 cm2 . <> 20 Ø 5/8” ó 14 Ø ¾” Elegimos Ø 5/8” 5) Verificación por adherencia.    jd Vu nec u o  /  56/.33.58 59.1 2104.6 2  cmKgu Kg./cm2 .   16.51 5.4588.05685.0 12529069.2 1       jd mB neco u nu   cm. <> 10 Ø 5/8”   69.54 5.4588.05685.0 12531069.2 2       jd nA neco u nu   cm. <> 11 Ø 5/8”    1nec 10 Ø 5/8” ≤  diso 18 Ø 5/8” conforme   2nec 11 Ø 5/8” ≤  diso 20 Ø 5/8” conforme
  • 21. Concreto Armado 255 6) Verificación por aplastamiento: 83.100 6040 000,242    Ag Pu fu Kg./cm2 . 07.2 60.0 40.0 10.3  Xo Xo 0.40 Xo A2 = 3.10 x Xo = 6.42 cm2 . 0.60 . 17.5 60.040.0 42.6 1 2    A A > 2 9.249221070.085.0'85.0 1 2  A A cffuac Kg./cm2 . 83.100 fu Kg./cm2 . ≤ fuac = 249.9 Kg./cm2 ., conforme. No falla por aplastamiento. 7) Colocación del acero, Smax = 30 cm. En B : 16.0 17 016.015.090.2   S  Usar: 18 Ø 5/8” @ 0.16 En A : 15.0 19 016.015.010.3   S  Usar: 20 Ø 5/8” @ 0.15 nota: Dado que la relación del lado A al lado B, no es importante, las barras en la cara A, se distribuyen también en forma uniforme. 3.10
  • 22. 256 Ing°S.Chávez C. 8.4. ZAPATAS AISLADAS EXCÉNTRICAS. Son aquellas que sirven para cimentar una columna, y la carga que transmiten al terreno de fundación no coincide con su centro de gravedad; por lo tanto, las presiones que ejercen sobre el suelo, no son uniformes. La distancia entre el punto de aplicación de la carga que transmite la columna, y el centro de gravedad de la zapata, se conoce como “e” excentricidad. La excentricidad puede presentarse por diferentes motivos, entre ellos, los más comunes son: a. Cuando físicamente y en forma real, la carga real que trasmite la columna no coincide con el C.G. de la zapata. Esto ocurre cuando la columna se encuentra en el límite del terreno y por algún otro motivo o limitación especial: e1 = Excentricidad Pu x C.G. B e1 A b. Cuando la columna trasmite a la zapata, además de una carga axial, un momento: c. Cuando, además de una carga axial vertical, la columna trasmite a la zapata una carga horizontal Hu Pu Pu = Mu = Hul l = Pu C.G.
  • 23. Concreto Armado 257 La carga Horizontal produce un momento M = Hul , entonces, este estado de carga e3 es equivalente al del caso (b). B Pu Pu Hul Pu Mu e 3 A En general, una zapata puede presentar excentricidad en razón de uno, dos o los tres motivos señalados, en forma simultanea. En este caso, la excentricidad total o resultante es la suma algebraica de las excentricidades parciales: e = e1 + e2 + e3 . Como criterio de carácter general, no es recomendable la utilización de zapatas aisladas excéntricas, siendo preferible combinarlas o conectarlas con la cimentación de la columna más próxima; sin embargo, existen casos en los cuales su utilización es inevitable por muchas razones, por ejemplo, por la ausencia de columnas cercanas. Una zapata excéntrica puede presentar problemas de volteo y/o deslizamiento; por ello es siempre recomendable que la columna respectiva tenga una buena rigidez con respecto a la de la zapata, para evitar agrietamientos y fallas indeseables en la columna. 8.4.1. Zapata centrada con carga excéntrica. En las zapatas cargadas excéntricamente, la reacción del suelo no es uniforme y tiene una distribución que puede ser trapezoidal o triangular. Si la excentricidad es grande puede resultar esfuerzos de tracción sobre un lado de la cimentación. Es recomendable dimensionar de manera que la carga este dentro del tercio central de manera de evitar esfuerzo de tracción en el suelo que teóricamente puede ocurrir antes de la redistribución de esfuerzos. Para estos casos se puede evaluar la presión actuante con la expresión: I My Az P  1° caso .- Si e < A/6, en este caso el esfuerzo directo de compresión es mayor que el esfuerzo de flexión. P Az P > I My e I My Az P I My Az P  21 ,  .., 12 , 2 3 ePM BA I A y  σ1 σ2        A e Az P A eP Az P BA AeP Az P 6 1 3 ..6 12 2/.. 232,1        A e Az P 6 11 < σt ,        A e Az P 6 12 < σt
  • 24. 258 Ing°S.Chávez C. 2° caso .- Si e = A / 6 0 6/6 11        A A Az P  Az P A A Az P 26/6 12         Az P2 0 21   < σt σ1 σ2 3° caso .- Si e > A / 6 P        e A xe Ax 2 3, 23 e Be A P Bx PBx P         2 3 2 . 2 2 .. 2 2           e A B P 2 3 2 2 < σt σ2 e P x/3 A/3 A/3 4° caso.- Cuando se tienen cargas con excentricidades grandes (que produciendose tracciones dentro del análisis clásico indicado anteriormente) pareciera que el comportamiento real de las zapatas y la distribución de las presiones es diferente produciéndose en la zona de aplicación de la carga una plastificación del suelo y una redistribución de presiones hacia las zonas en que uno consideraría tracciones. En este caso se plantea una distribución de presiones actuantes uniforme. P e Lx xBP  22 , e        e L x 2 2         e A B P 2 2  σ P x/2 x/2 x
  • 25. Concreto Armado 259 Ejemplo: Diseñar en planta la aislada que se muestra a continuación: M PD = 150 Tn. f’c = 210 Kg./cm2 . P PL = 50 Tn. fy = 4200 Kg./cm2 . M = 50 t-m. col = 40 x 60 cm. σt = 3 Kg./cm2 . Ast = 8 Ø ¾” Solución 1) Dimensionamiento en planta. c : 1.04 ------------ 4 Kg./cm2 .  c = 1.08 1.15 ------------ 1 Kg./cm2 . 2 000,72 0.3 000,20008.1 ' cm cPs Az t       33.2784060 2 1 000,72' A   33.2584060 2 1 000,72' B  B = B’ + 2 e , .2525.0 200 50 cme P M e  B = 258.3 + 2 x 25 = 308.33 ≈ 310 cm  B = 310 cm. .3306013522;135 2 40310 cmAtmAnmsin                        ./.07.1 ./.84.2 330 256 1 330310 000,2006 1 2 2 2,1 cmKg cmKg A e Az P  σ1 = 1.07 Kg./cm2 . < σt = 3 Kg./cm2 . σ2 = 2.84 Kg./cm2 . < σt = 3 Kg./cm2 .  usar: B x A = 3.10 x 3.30 m 2) Dimensionamiento de h.        A e Az Pu nu 6 1                 ./.57.1 ./.19.4 330 256 1 330310 000,295 2 2 2 1 cmKg cmKg u u   88.2 2 19.457.1 2 21      uu nu   Kg./cm2 . σ1u σnu =2.88 Kg./cm2 . , otros autores recomiendan σ2u tomar el σnu en la cara de l a columna. σnu
  • 26. 260 Ing°S.Chávez C. Luego se sigue el mismo procedimiento que para columnas aisladas centradas con carga centrada, es decir. * h por longitud de desarrollo. * h por punzonamiento. * h por corte unidireccional. 3) Diseño por flexión (cálculo del As). 4) Diseño por adherencia. 5) Diseño por aplastamiento. 6) Colocación del acero. 8.4.2. Zapata excéntrica con carga excéntrica. P M. (2) (1) PeM P M e 11  r A e  2 2 r s e2 S = 2 r (máximo) A = S + r B C.G. A/2 A/2 A Por carga vertical (+) Por momentos X BA PzapPcol Area P v     P = Pcol + Pzap. Y AB eP I My M  2 16  Por excentricidad de la columna Análisis: Eje (1): - Con momento actuante: X + Y - Z : t BA eP BA eP BA P  2 2 2 1 66 - Sin momento actuante: X - Z : 0 6 2 2  BA eP BA P Eje (2): - Con momento actuante: X - Y + Z : 0 66 2 2 2 1  BA eP BA eP BA P - Sin momento actuante: X + Z : t BA eP BA P  2 26 h (-) (+) (+) (-) Z AB eP I My e  2 26 
  • 27. Concreto Armado 261 Ejemplo.- Dimensionar en planta, la siguiente zapata aislada. M bxt = 30 x 60 cm. P PD = 45 Tn. f’c = 210 Kg./cm2 . 1.00 m. PL = 30 Tn. fy = 4200 Kg./cm2 . MD = 7.0 t-m ML = 5.0 t-m σt = 1.8 Kg./cm2 . Límite de propiedad Solución Cargas de servicio: Cargas de gravedad: P = PD + PL = 75 Tn. Pu = 1.4 PD + 1.7 PL = 114 Tn. M = MD + ML = 12 t-m Mu = 1.4 MD + 1.7 ML = 18.3 t-m. 1) Dimensionamiento en planta: 1.00 m. .16.0 75 12 1 m P M e  r = 1.00 m. B C.G. s = 2 r =2 x 1 = 2.0 m. e2 A = s + r = 2.0 + 1.0 = 3.0 m. Excentricidad de la columna: r s .50100 2 300 2 2 cmr A e  A Estimación del peso de la zapata: Sabemos que: σt = 1 Kg./cm2 . ---------- 15 %P σt = 4 Kg./cm2 . ---------- 4 %P Entonces para σt = 1.8 Kg./cm2 . , Pzapata = 12 %P = 75 x.12 = 9.00 Tn. Analizando con las posibilidades de esfuerzo más críticas: * En el eje (1) con momento actuante: tv BA Pe BA Pe BA PzP      2 2 2 1 66 80.1 )300( 50000,756 )300( 16000,756 300 9000000,75 22         BBB B = 61.11 cm. * En el eje (2) sin momento actuante: t BA Pe BA PzP    2 26 .44.29480.1 )300( 50000,756 300 000,84 2 cmB BB     2 85.8;.300295 mAzcmAB 
  • 28. 262 Ing°S.Chávez C. 2) Dimensionamiento en altura: Esfuerzo admisible factorizado: 74.2 75 114 8.1  P Pu ttn  Kg./cm2 . Esfuerzo factorizado en la base:  Por carga vertical: 43.1 295300 90004.1000,1144.1        BA PzPu cv Kg./cm2 . = X  Por momento: 41.0 300295 16000,11466 22 1     BA ePu n Kg./cm2 . = Y  Por excentricidad de la columna: 29.1 300295 50000,11466 22 2     BA ePu col Kg./cm2 . = Z Posibilidades: En el eje (1): a. Con momento actuante: X+Y–Z = 1.43 + 0.41 – 1.29 = 0.55 Kg./cm2 .< σtn b. Sin momento actuante : X – Z = 1.43 – 1.29 = 0.14 Kg./cm2 . > 0 En el eje (2): a. Con momento actuante: X - Y + Z = 1.43 - 0.41 + 1.29 = 2.31Kg./cm2 . > 0 b. Sin momento actuante : X + Z = 1.43 + 1.29 = 2.72 Kg./cm2 . < σtn Diagramas de presiones: 2 21    nu ó σnu el de la cara de la columna Para diseñar, podemos tomar el promedio : σ1=0.55 Kg./cm2 . σnu σ2=2.72 Kg./cm2 . Luego el procedimiento a seguir para los demás pasos es similar a zapata aislada con carga centrada. Cuando la columna está en el límite de propiedad, este tipo de cimentaciones excéntricas puede diseñarse de la siguiente manera, siempre que la excentricidad sea moderada y la columna pueda agrandarse lo suficiente para que tenga la rigidez necesaria para que controle la rotación excesiva de la zapata.
  • 29. Concreto Armado 263 P T T Lc h Línea de acción de P (1) B (1) h L.P A H e H D R e R   h eP h TThM A .Re 0Re0 La viga del primer nivel, debe diseñarse 2 A= B considerando adicionalmente la fuerza de tracción resultante: h eP T .  A Para el diseño de la columna debe considerarse una combinación adicional: Tomando momentos en B: M1– 1 = R.e – Hh = P.e - Thz =         h hh ePh h eP eP Z Z . . . , haciendo: C Z L h S  SL eP hL L ePM ZC C          . .11 Si la zapata tiene una rigidez apropiada, y si además la rigidez de la columna es la suficiente para mantener la diferencia de las presiones del terreno máximo y mínimo a un valor máximo de 1 Kg./cm2 ., entonces para el diseño de la zapata en la dirección de la excentricidad puede considerarse como aproximación aceptable una presión uniforme del terreno. Del estudio realizado por el Dr. Ricardo Yamashiro y desarrollado en el trabajo de tesis del Ing°. Manuel Acevedo “Algunos problemas estructurales en el diseño de cimentaciones” – UNI-1971, se tiene, criterios para dimensionamiento de zapatas excéntricas y de columnas para cumplir con las condiciones expuestas en el párrafo anterior. Este tipo de zapata debe diseñarse como zapata rígida: .603.2 3 cm E AKo AhZ    donde: hZ: Altura de la zapata , A = Longitud de la zapata. Ko = Coeficiente de balasto del terreno. , E = Módulo de elasticidad del concreto.
  • 30. 264 Ing°S.Chávez C. En el cuadro adjunto se presentan algunos valores referenciales para diferentes tipos de suelo. Descripción de los suelos Simbolo Ko (Kg./cm3 .) Rango Promedio Gravas bien graduadas. Gravas arcillosas. Gravas mal graduadas. Gravas limosas. Arenas bien graduadas. Arenas arcillosas. Arenas mal graduadas. Arenas limosas. Limos orgánicos. Arcillas con grava o con arena. Limos orgánicos y arcillas limosas. Limos inorgánicos. Arcillas inorgánicas. Arcillas orgánicas. GW. GC. GP. GM. SW. SC. SP. SM. ML. CL. OL. MH. CH. OH. 14-20 11-19 8-14 6-14 6-16 6-16 5-9 5-9 4-8 4-6 3-5 1-5 1-5 1-4 17 15 11 10 11 11 7 7 6 5 4 3 3 2 Ejemplo.- Diseñar la Zapata aislada que se detalla a continuación: PD = 60 Tn PL = 20 Tn. f’c = 210 Kg./cm2 . fy = 4200 Kg./cm2 . σt = 2 Kg./cm2 . γm = 2.1 t/m3 . Ko = 12 Kg./cm3 . Col = 30 x 50 cm.  Dimensionamiento de AZ .- 400,44 2 000,8011.1    t Z Psc A  cm2 . AZ = A x B = A x 2A = 2 A2 = 44,400  A = 148.99 cm A = 1.50 m.  .0.3300296 150 400,44 mBB  A = 1.50 m., B = 3.0 m3.  Dimensionamiento de h (hmin = 60 cm.) 70697.0 21015000 15012 50.13.23.2 33    E KoA AhZ hZ = 0.70 m.  d = 60.5 cm., dc = 9.5 cm.
  • 31. Concreto Armado 265 1889.0 15 016.0.15.00.3   S 0.50 2 50150  e e = 50 cm. 1.50 * Diseño por flexión.- a).- En dirección de la excentricidad. ; m = 100 cm. 67.786 150 207.1604.1 150    Pu Wu Kg./cm2 . ó 62.2 300150 000,118    Z nu A Pu  Kg./cm2 .  Wu = 786.67 Kg./cm2 . 150 667,366'4 90.02 10030062.2 2 22 1        BmMu nu Kg.-cm = 43.67 t-m Mn  max. = 54.35 x 300 x 60.52 = 596.8 t-m. > Mu/ф Mn  min. = 7.44 x 300 x 60.52 = 81.69 t-m. > Mu/ф  Asmin =  min. B.d = 0.0018 x 300 x 60.5 = 32.67 cm2 . As = 32.67 cm2 . <> 16 Ø 5/8“ @ 0.19 b).- Dirección transversal , n = 135 cm.   79.39 90.02 13515062.2 2 22 2        AnMu nu t-m. Mn  max. = 54.35 x 150 x 60.52 = 298.4 t-m. > Mu/ф Mn  min. = 7.44 x 150 x 60.52 = 40.85 t-m. > Mu/ф  Asmin =  min. A.d = 0.0018 x 150 x 60.5 = 16.34 cm2 As = 16.34 cm2 . <> 8 Ø 5/8“ @ 0.19 , 0.70 50 100 19.0 7 016.0.15.050.1   S
  • 32. 266 Ing°S.Chávez C. 8.5. ZAPATAS COMBINADAS. 8.5.1. Definición y usos. Zapatas combinadas son aquellas que sirven para cimentar dos o más columnas a la vez .Su utilización suele ser conveniente en los siguientes casos: a. cuando dos o más columnas están relativamente cercanas de tal manera que, si se usarían zapatas aisladas para cada una de ellas, estas llegarían a traslaparse o podrían resultar de proporciones poco económicas. Zapata combinada Zapatas aisladas b. Cuando una columna exterior está en un límite de propiedad o muy cerca de él, de manera que una zapata aislada resultaría de proporciones poco económicas o con una excentricidad excesiva. En este caso resulta conveniente combinar la cimentación de esta columna con la de la columna interior más cercana: Antieconómica Mucha excentricidad Zapata combinada Límite de propiedad c. Para resistir mejor efectos de volteo y/o de esfuerzos horizontales que pueden causar problemas a las cimentaciones aisladas. d. Cuando una estructura está constituida por dos o más columnas que se apoyan en un suelo de baja capacidad portante, es conveniente prever una cimentación única para evitar asentamientos diferenciales y lograr un mejor comportamiento de la estructura.
  • 33. Concreto Armado 267 8.5.2. Procedimiento de diseño. 1) Cálculo de AZ (Dimensionamiento en planta). Con la finalidad de que la zapata ejerza presiones uniformes sobre el suelo, la zapata debe dimensionarse de tal manera que la resultante P coincida con el C.G. de la zapata.    LB t PPc t cP AZ     21  Longitud de la Zapata: L P1 s P2   01M (1) (2) r x R – S P2 = 0 r R SP r 2  R = (P1 + P2) También:              r t L t r L 2 2 22 Cálculo de B: AZ = B x L L A B Z  Longitudinalmente la zapata representa una viga cargada hacia arriba, con una luz igual a la distancia entre pilares y un extremo en voladizo en el pilar interior. 2) Dimensionamiento en altura.  Reacción neta factorizada: σnu BL Pu nu (Kg./cm2 .) ó L PP w uu u 21   (t/m)
  • 34. 268 Ing°S.Chávez C. a) h por efecto de viga. (por corte).- El cortante crítico se ubica a la distancia “d” de la cara del apoyo. Del diagrama de cortante se determina cual es el cortante máximo, entonces:      WudVuVud WudVuVud max cfv Bd Vud v ucu '53.0 /    (para diseño) BcfWu Vu dcf Bd WudVu '53.0 '53.0     Si dc (conocido)  h = d + dc b) h por punzonamiento.- (sección crítica a d/2) d/2 d/2 d/2 d/2 d/2 b+d b+d t + d/2 t + d El perímetro crítico por punzonamiento en cada una de las columnas, es: En la columna exterior: bo1 =2 (t + d/2) + (b + d) En la columna interior: bo2 =2 (t + d) + 2 (b + d) La fuerza de corte que produce punzonamiento en cada columna es: En la columna exterior: Vu1 = Pu1 – σnu [(t + d/2) (b + d)] En la columna interior: Vu2 = Pu2 – σnu [(t + d) (b + d)] El cortante unitario por punzonamiento, en cada caso, esta dado por:     dbo dtdbPu v nu u    1 1 1 2/ , ф = 0.85     dbo dtdbPu v nu u    2 2 2  El corte unitario resistente al punzonamiento del concreto es: cfvuc '1.1 , Por lo tanto, debe cumplir las dos condiciones siguientes: vu1 ≤ vuc , vu2 ≤ vuc Si no se cumple una de las dos condiciones, es necesario aumentar el peralte efectivo “d”, hasta un valor que permita su cumplimiento 3) Chequeo del peso de la zapata. Peso de la zapata = B x L x P.e x h = Pzapata asumido = % P = Pzap ≤ PZasumido 4) Diseño del acero (longitudinal)
  • 35. Concreto Armado 269 a. Diseño por flexión :  Tramo: Mu/ф = ------ t-m. (obteniendo del diagrama de la envolvente) Mn  max = KBd2 = --------------- > Mu/ф Mn  min = KBd2 = --------------- < Mu/ф Si Mn  min < Mu/ф   cBf Asfy a adfy Mn As '85.0 , 2/ /      As = ------- cm2 <> # Ø @. ----- 1 .2    n erB S b Si Mn  min > Mu/ф  Asmin =  minBd ;  min = 0.0018  En apoyos: Mu = --------- (cara de apoyo)  Mu/ф =-------- > Mn  min , si sale lo contrario colocar Asmin b. Diseño del refuerzo transversal.  Columna exterior: n 1 1 bB Pu nu   = ------- (Kg./cm2 .) B      2 2 1nbMu nu n Mn  max = Kb1d2 = ------------ ≥ Mu/ф Mn  min = Kb1d2 = ----------- > Mu/ф, si sale lo b1 contrario, colocar Asmin , Asmin =  min b1d  Columna interior n 2 2 bB Pu nu   = ------- (Kg./cm2 .) B      2 2 2nbMu nu n Mn  max = Kb2 d2 = ------------ > Mu/ф Mn  min = Kb2 d2 = ------------->Mu/ф, si sale lo b2 contrario, colocar Asmin =  min b2d b1 = t + 0.75 d , b2 = t + 1.5 d , 2 bB n   El área de acero que evidentemente es diferente para cada columna, se distribuye uniformemente en las franjas de ancho b1 y b2 , respectivamente.
  • 36. 270 Ing°S.Chávez C. B L Ø Tranversal ØInferior Ø Tranversal ØSuperior ØInferior 5) Colocación del refuerzo. h b1 b2 Ejemplo.- Diseñar la zapata combinada mostrada en la figura: PD = 50 Tn. PD = 60 Tn. Col. exterior = 50x50 cm. PL = 25 Tn. PL = 30 Tn. Col. interior = 50x50 cm. 4.30 m. f’ccol=210 Kg/cm2 L.P. f’czap=210 Kg/cm2 s = 4.80 m σt =1.6 Kg/cm2 c: 1.15 ---- 1 Kg/cm2 1.04---- 4 Kg/cm2 para σt=1.6 Kg/cm2 c = 1.13 Solución Cargas de servicio Cargas de rotura: P1 = 50 + 25 = 75 Tn. Pu1 = 1.4x50 + 1.7x25 = 112.5 Tn. P2 = 60 + 30 = 90 Tn. Pu2 = 1.4x60 + 1.7x30 = 135 Tn. 1) Dimensionamiento de Az: 2 25.531,11625.531,116 6.1 000,16513.1 cmAz cP Az t    
  • 37. Concreto Armado 271 Cálculo de la longitud de la zapata: P1=75 Tn. P2=90 Tn.   01M s = 4.80 P2 S = r R (1) r (2) 165 80.4902   R SP r R = 165 Tn. r = 2.62 m. .75.5.75.574.5 2 50.0 62.222 2 1 mLm t rL              Cálculo de B: Az = B x L  .05.2.20566.202 75.5 531,116 mBcmB  Reacción neta por unidad de longitud: 10.2./04.43 75.5 5.247  nuómt L Pu Wu  Kg./cm2 . 2) Dimensionamiento de h. Reajustando los Pu, debido a Wu = 43.04 t/m., y tratando la zapata como una viga de un solo tramo , más el volado y para su análisis lo invertimos,lo cual tenemos: Wu = 43.04 t/m. .25 4.80 m 0.70 Pu1 = 112.14 Tn. Pu2 = 135.34 Tn. .34.135;.14.112 80.4 2/70.070.004.432/5.5005.504.43 21 TnPuTnPu   
  • 38. 272 Ing°S.Chávez C. ó     35.118 2 25.036.2 04.4336.214.112 2 25.0 22      x WuPuxMx t-m. Mu(+) = 118.35 t-m. * h por corte de viga. Vu = 94.45     d WudVuVud 04.435.94 Cortante unitario del concreto uucuc vvcfv  '53.0 (para diseño) 40.53 20521085.053.04.430 450,94 '53.0      BcfWu Vu d 77.8 2 5.7 2 ., "1   L erdcdcdh cm. considerando dc = 9.00 (para zapatas combinadas) tenemos h = 53.4 + 9 = 62.4  h = 65 cm. , d = 56 cm. * h por punzonamiento (sección crítica d/2) (50+d/2) (50+d) (50+d) (50+d) . 0.50 4.30 0.50 0.45 Columna exterior:        dbdtbo dbo dbdtPu v nu u     2/2, 2/ 1 1 1         12.0 5656502/5650285.0 56502/565010.2500,112 1    uv Kg./cm2 . 94.152101.1'1.1  cfvuc Kg./cm2 . > vu = 0.12 Kg./cm2 . --- OK . Columna interior: También podemos verificar que: Vup/ф < Vc, así:         .4242, 22 22 cmbodbdtbo dbdtPuVu Vn nu        dbocfVc '1.1  Vc > Vn    06.131 85.0 06.106.10.210.1352     Vu Tn. 49.37856.01024.42101.1 Vc Tn. > Vu2 /ф = Vn conforme OK. 3) Chequeo del peso de la zapata: Pzapata = 2.05 x 5.75 x 0.65 x 2.4 = 18.39 Tn. Pzasumido =0.13 x 165 = 21.45 Tn.
  • 39. Concreto Armado 273 4) Diseño por flexión: a.Diseño del tramo: Mu = 118.35 t-m  5.131 90.0 35.118   Mu t-m. Mn  max = 54.35 x 205 x 562 = 349.4 t-m > Mu/ф ---- OK. Mn  min = 7.44 x 205 x 562 = 47.84 t-m < Mu/ф   As As a a As 1148.0 20521085.0 4200 , 2/564200 105.131 5       a = 6.8 As = 59.52 a = 6.8 As = 59.52 cm2 <> 21 Ø ¾“ ó 12 Ø 1“ @ 0.17 17.0 11 0254.015.005.2   S b. Diseño en los apoyos: Mu = 4.35 t-m.  Mu/ф =4.83 t-m. < Mn  min = 47.8 t-m.  Asmin =  min B d = 0.0018 x 205 x 56 = 20.66 cm2 . As = 20.66 cm2 <> 7 Ø ¾“ @ 31 c. Diseño del acero transversal: b1 = 92 cm b2 = 134 cm b1 = t + 0.75 d = 50 + 0.75 x 56 = 92 cm. b2 = t + 1.5 d = 50 + 1.5 x 56 = 134 cm. Columna exterior.- ./88.54 05.2 5.1121 1 mt B Pu Wu  31.18 90.02 775.088.54 2 22       MunWu Mu t-m. Mn  max = 54.35 x 92 x 562 = 156.81 t-m > Mu/ф ---- OK. Mn  min = 7.40 x 92 x 562 = 21.35 t-m < Mu/ф  Colocar: Asmin =  min b1 d = 0.0018 x 92 x 56 = 9.27 cm2 . As = 9.27 cm2 <> 5 Ø 5/8“ usar 5 Ø 5/8“ @ 0.19 Columna interior.- ./85.65 05.2 1352 2 mt B Pu Wu  97.21 90.02 775.085.65 2 22       MunWu Mu t-m. Mn  max = 54.35 x 134 x 562 = 228.39 t-m > Mu/ф
  • 40. 274 Ing°S.Chávez C. E.T f’c=210 Kg./cm2 . Fy=4200 Kg./cm2 . σt = 1.6 Kg./cm2 . r.e = 7.5 cm Mn  min = 7.40 x 134 x 562 = 31.10 t-m > Mu/ф  Colocar: Asmin =  min b2 d = 0.0018 x 134 x 56 = 13.51 cm2 . As = 13.51 cm2 <> 7 Ø 5/8“ usar 7 Ø 5/8“ @ 0.195 8.6. ZAPATA CONECTADA. Se llama zapatas conectadas a aquellas que están constituidas por dos zapatas, una de ellas o las dos excéntricas, unidas por una viga llamada de conexión que se encarga de absorber el momento flector que produce la excentricidad; de esta manera, las zapatas ejercen presion uniforme sobre el suelo de cimentación. A B = 2A ~ 2.5A V.C Viga de conexión 10 - 15 cm S 5.75 B 0.92 1.34 12Ø1"@0.17 7Ø3/4"@0.31 7Ø3/4"@0.31 7Ø 5/8"@ 0.1955Ø 5/8" 0.65 6Ø 1" 6Ø 1" 5Ø 5/8" 4Ø 3/4" 3Ø 3/4" 7Ø 5/8" 4Ø 3/4"
  • 41. Concreto Armado 275 Las zapatas conectadas suelen utilizarse en los mismos casos que las combinadas, pero cuando la separación entre las columnas es muy grande de tal manera que una zapata combinada resultaría de muy poco ancho y/o se generarían momentos flectores muy grandes en su tramo central. Usualmente una zapata conectada resulta ser más recomendable que una combinada cuando la separación entre las columnas es mayor de 6.00 m. La filosofía del análisis es el siguiente:  La zapata exterior transfiere su carga a la viga de conexión, actuando la zapata como una losa en voladizo a ambos lados de la viga de conexión se recomienda dimensionarla en planta, considerando una dimensión transversal igual a 2 ó 2.5 veces la dimensión en la dirección de la excentricidad.  La viga de conexión debe analizarse como una viga articulada a la columna exterior e interior, que soporta la reacción neta del terreno en la zapata exterior y su peso propio.  La zapata interior se diseña como una zapata aislada. Puede considerarse la reacción de la viga de conexión. En el diseño de cortante por punzonamiento se considera la influencia de la viga de conexión en la determinación de la zona crítica.  La viga de conexión debe ser lo suficientemente rígida como para evitar el volteo de la zapata excentrica; por ello se recomienda que su sección transversal tenga las siguientes dimensiones mínimas. hmin = s / 7-8 , Bmin. = P1/31 s El diagrama de cortante y momento flector es el siguiente.
  • 42. 276 Ing°S.Chávez C. Ejemplo.- Diseñar la zapata conectada cuyos datos se detallan acontinuación : Límite de propiedad 6.20 m. b x t = 50 x 50 b x t = 50 x 60 PD = 70 Tn. PD = 100 Tn. PL = 25 Tn. PL = 45 Tn. σt = 3.2 Kg./cm2 ., f’c = 210 Kg./cm2 ., fy = 4200 Kg./cm2 . Solución * Zapata exterior. Estimación: 21 625,35 2.3 9520.120.1 cm P Az t     B = 2 A  Az = B x A = 2 A2 = Az  46.133 2 625,35 A usar: A = 1.35 m (definitivo) * Viga de conexión .- 805.77 8 620 87    h S h cm. 5049.0 20.631 95 31 1    b S P b cm. usar: b x h = 0.50 x 0.80 m * Dimensionamiento de zapata exterior: P1 = 95 Tn. .25 Wr = 0.96 t/m. (2) A = 1.35 0.675 5.775 R1 Wv = 0.50 x 0.80 x 2.4 = 0.96 t/m.  Wv = 0.96 t/m. (peso propio de la viga ). 45.105 2 45.696.0 20.6775.5:0 1 2 112    RPRM Tn. .45.2.44.2 30.3 30.3 32 45.105 21 mBm A BBAm R Az t   usar: B x A = 2.45 x 1.35 m , Az = 3.31 m2 .
  • 43. Concreto Armado 277 * Diseño de la viga de conexión. P1u = 1.4 PD + 1.7 PL = 1.4 x 70 + 1.7 x 25 = 140.5 Tn.  P1u = 140.5 Tn. Wvu = 1.4 x 0.96 = 1.34 t/m  Wvu = 1.34 t/m P1u = 140.5 Tn. Wvu = 1.34 t/m. (2) w1u 5.775 6.20 R1u 67.1550 2 45.634.1 20.6775.5:0 1 2 112    uuu RPRM Tn. ./31.115./31.115 35.1 67.155 1 1 1 mtWmt A R W u u u  * Sección de momento máximo: Xo ≤ A (hallamos la sección de momento máximo, cuando Vx = 0) Vx = (W1u – Wvu) Xo – P1u = 0   .35.123.123.1 34.131.115 5.140 mAmXoXo    OK:          22 1 1 2 1max t XoP Xo WWMu uvuu          2 50.0 23.15.140 2 23.1 34.131.115 2 Mu = - 51.48 t-m.  Mu = 51.48 t-m.  Mu/ф = 57.2 t-m. .77.8 2 5.7 "1 cmdc         , Considerando dc = 9 cm.  d = 71 cm. Mn  max = 54.35 x 50 x 712 = 136.99 t-m > Mu/ф Mn  min = 13.44 x 50 x 712 = 33.88 t-m < Mu/ф   As cbf Asfy a adfy Mu As 4706.0 '85.0 , 2/ /     a = 9.69 As = 20.59 a = 9.69 As = 20.59 cm2 <> 4 Ø 1“ (20.40 cm2 .) Refuerzo en la cara inferior:     min 2 As As As      2 min 2 72.1171500033.0,30.10 2 59.20 cmAscmAs   As = 11.72 cm2 . <> 4 Ø ¾”
  • 44. 278 Ing°S.Chávez C. * Diseño por corte: P1u = 140.5 Tn. V1u V2u d Wvu W1u V1u = (W1u – Wvu) (t1 + d) – P1u = ( 115.31 – 1.34)(0.50 + 0.71) – 140.5  V1u = - 2.60 Tn. V2u = (W1u – Wvu) (A) – P1u = ( 115.31 – 1.34)(1.35) – 140.5  V2u = 13.36 Tn.  .72.15 85.0 36.13 Tn Vu   26.27715021053.0 Vuc Tn. > Vu/ф (no necesitamos estribos por corte).  Usar estribos por montaje: S = 36 Ø = 36 x 1.9 = 68.4 cm Estribos: Ø 3/8” @ 0.65 NOTA: En zonas muy sísmicas deben confinarse los estribos de la viga de conexión (viga dúctil) S = 2 d, colocar estribos a d/4 y en el tramo central colocar a d/2 Diseño de la zapata exterior: , Se diseña para un momento flexionante adoptando una ρ = 0.004 54.63 45.2 67.1551  B R Wu u t/m. 20.30 2 975.054.63 2 22    nWu Mu t-m. 56.33 90.0 20.30   Mu t-m. Mn  max = K A d2  K = 16.01   = 0.004 KA Mu d   / 40.39 13501.16 1056.33 5    d cm.  h = d + dc = 39.40 + 9 = 48.40  h = 50 cm. d = 41.0 cm. * Verificación por cortante. Vud = Wu (n – d) = 63.54 (0.975 – 0.41) = 35.90 Tn.  Vud/ф = 42.24 Tn. Vc = 0.53 51.424113521053.0'  dAcf Tn.  Vc = 42.51 Tn. > Vud/ф = 42.24 Tn. OK.
  • 45. Concreto Armado 279 Si sale lo contrario, hay que aumentar el peralte:  h = 0.50 m. * Diseño del area de acero: Mu/ф = 33.56 t-m  Mn  max = 54.35 x 135 x 412 = 123.34 t-m > Mu/ф Mn  min = 7.40 x 135 x 412 = 16.79 t-m < Mu/ф   As cbf Asfy a adfy Mu As 1743.0 '85.0 , 2/ /     a = 3.55 As = 20.37 a = 3.55 As = 20.37 cm2 <> 7 Ø ¾” @ 0.195 ó 10 Ø 5/8” @ 0.13  Refuerzo transversal: Astransversal = 0.0018 x B x h = 0.0018 x 245 x 50 = 22.05 cm2 . As = 22.05 cm2 <> 8 Ø ¾” @ 0.325 ó 11Ø 5/8” @ 0.23  Diseño de la Zapata interior. P1 = 95 Tn. P2 = 145 Tn. Wx = 0.96 t/m. lv = 6.45 R1 = 105.45 R2 = P’2 P2efectivo = P’2 = - P2 – P1 + R1 – Wv x 6.45 = - 145 – 95 – 105.45 – 0.96 x 6.45 R2 = P’2 = - 140.74 Tn. R2u = P2efectivo = - P2u – P1u + R1u – Wvu x Lv = - 216.5 – 140.5 + 155.67 – 1.34 x 6.45 R2u = - 209.97 Tn. 22 40.4 0.32 74.140' m P Az t   <> 2.10 x 2.10 Usar : B x A = 2.10 x 2.10 Az = 4.41 m2 . 76.4/61.47 10.210.2 97.209' 2    mt Az zP nu Kg./cm2 .
  • 46. 280 Ing°S.Chávez C. * Diseño de h por punzonamiento: Col: bxt=50 x 60 Y 2.10 50 X 60 2.10     320250 2 1352, 2 135,50              dbod d bo d YdX    YXAzVup nu        ucup v dd dd dbo Vu v       21010.1 320285.0 2/13550100,4476.4/ 44,100 – (6750 + 25 d + 135 d + d2 /2) = 2.84 d (2 d + 320) 44,100 – 6750 – 160 d – d2 /2 = 5.68 d2 + 908.8 d d2 + 172.94 d – 6043.69 = 0 d = 29.81 cm,  h = d + dc = 29.81 + 9 = 38.81 h = 40 cm. d = 31 cm. * Verificación por corte: Vud = σnu x B (m –d) Vud = 4.76 x 210 (75 – 31) = 43.98 Tn.  Vud/ф = 51.74 Tn. .0.503121021053.0 TnVc  < Vud/ф = 51.74 Tn.  Aumentamos h de 40 cm. a h = 45 cm.  d = 36 cm. .06.583621021053.0 TnVc  Vud = 4.76 x 210 (75 – 36) = 38.98 Tn.  Vud/ф = 45.86 Tn. Vud/ф = 45.86 Tn. < Vc ---- OK. * Diseño por flexion: 3.33 90.02 7521076.4 2 22        mBMu nu t-m. h = 45 cm. , dc = 9 cm. , d = 36 cm. Mn  max = 54.35 x 210 x 362 = 147.92 t-m > Mu/ф Mn  min = 7.44 x 210 x 362 = 20.25 t-m < Mu/ф
  • 47. Concreto Armado 281 4Ø 1" 4Ø 1" V-C 2.10 2.10 2.45 1.35 11Ø 5/8" @0.23 11Ø 5/8" @0.19 10Ø5/8"@0.13 12Ø5/8"@0.175 hz=0.50 hz=0.45   As cBf Asfy a afy Mu As 1120.0 '85.0 , 2/36 /     a = 2.56 As = 22.84 a = 2.56 As = 22.84 cm2 <> 11 Ø 5/8” @ 0.19 Refuerzo transversal. 54.35 90.02 8021076.4 2      Mu t-m. a = 2.74 As = 24.44 a = 2.74 As = 24.44 cm2 <> 12 Ø 5/8” @ 0.175 Detalle de refuerzo: E.T. f’c = 210 Kg./cm2 . Fy = 4200 Kg./cm2 . r.e = 7.5 cm. σt = 3.2 Kg./cm2 .