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APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
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UNIDAD No 1
CONCEPTOS BASICOS Y OPERACIONES CON LOS NUMEROS COMPLEJOS
1.- NUMEROS COMPLEJOS. -
1.1.- CONCEPTOS BASICOS. - Al representar los números complejos, hacemos énfasis
en su analogía con los números reales. Los números complejos, al igual que los números
reales, están sujetos a las mismas leyes algebraicas de suma, resta, multiplicación y división,
empleándose de un modo similar para describir condiciones geométricas y físicas.
1.2.- SISTEMA NUMERICO REAL. - Puesto que los números son ideas básicas en la
matemática, dedicaremos este tema a las propiedades más importantes de nuestro sistema
numérico.
LOS NUMEROS NATURALES ℕ.- Son aquellos que podemos escribir de la siguiente manera:
1, 2, 3, 4, ………………….,n
LOS NUMEROS ENTEROS ℤ. - Es el conjunto de todos los números enteros positivos y negativos
incluido el cero:
-n,………,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …………, +n
LOS NUMEROS RACIONALES ℚ. - Un número racional no es más que una fracción cuyo
numerador y denominador son números enteros.
Un numero racional es un número real que puede expresarse en la forma p/q, donde
p y q son números enteros y q≠0.
½, ¾, -
3
4
, …..,etc
LOS NUMEROS IRRACIONALES Π. - Son tales como:
𝜋 = 3,1413…….
√2 = 1,4142
LOS NUMEROS REALES ℝ. - Son números que pueden representarse por expresiones
decimales infinitas, los números reales es el conjunto de los números racionales y los números
irracionales.
1.3.- REPRESENTACION GRAFICA DE LOS NUMEROS REALES. - Los números reales pueden ser
representados por puntos en una recta llamada eje real, el punto cero se llama origen.
0
-1
-2 1 2 3
5/2
-3
1/2

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1.4.- SISTEMAS DE NUMEROS COMPLEJOS. - No existe un número real x que satisfaga la
ecuación cuadrática 𝑥2
+ 1 = 0. Para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario introducir
los números complejos.
Consideremos un numero complejo a una expresión de la forma X + Yi, donde X e Y son
números reales, e i es denominada unidad imaginaria, con la propiedad de que 𝑖2
= −1,
donde:
Z = X + Y i
Z = Es un número complejo
X = Parte real del no. Complejo =R(𝑧)
Y = Parte imaginaria del no. Complejo
Y = 𝕀𝑚𝑔(𝑧)
Ej.1 resolver la ecuación cuadrática
𝑥2
+ 1 = 0
𝑥2
= − 1
x = ± √−1 = ± i
𝑥1 = + i 𝑥2 = - i
𝑥2
+ 1 = 0
𝑥2
= − 1
x =√−1 = ± √𝑖2 = ± i
𝑥1 = + i 𝑥2 = - i
1.5.- IGUALDAD DE NUMEROS COMPLEJOS. - Dos números complejos Z1 y Z2 son iguales, si y
solamente si, sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias iguales.
Z1 = X1 + Y1 i y Z2 = X2 + Y2 i
Z1 = Z2 ⇒ X1 + Y1 i = X2 + Y2 i
X1 = Parte real de Z1 = ℜ(𝑧1)
Y1 = Parte imaginaria de Z1 = Πmg(𝑧1)
X2 = Parte real de Z2 = ℜ(𝑧2)
Y2 = Parte imaginaria de Z2 = Πmg(𝑧2)
Z1 = Z2
X1 = X2 ∧ Y1 = Y2

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Podemos considerar los números R como el subconjunto del conjunto de los números
complejos con Y1 = 0. En este caso, por ejemplo, los números complejos 0 + 0i y 2 + 0i
representan los números reales 0 y 2 respectivamente. Si X1 = 0, el numero complejo 0 + Y1i,
se llama un numero complejo puro.
1.6.- REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE NÚMEROS COMPLEJOS. -
1.6.1.- REPRESENTACION CARTESIANA. - Un número complejo 𝑍 = 𝑋 + 𝑌 𝑖, puede
considerarse como una pareja ordenada de números reales, estos números podemos
representarlos por puntos en el plano xy, llamado plano complejo Z.
PLANO Z
1.6.1.- REPRESENTACION POLAR. - Si P es un punto en el plano complejo Z
correspondiente al número complejo Z = X + Y i, entonces la representación polar será:
|𝑍| = R = √𝑥2 + 𝑦2 ; 𝜃 = tan−1
(
𝑌
𝑋
) 𝜃 = tan−1
[
Π𝑚𝑔(Ζ)
ℛ(ℤ)
]
sin 𝜃 =
𝑦
𝑅
⇒ y = R sin 𝜃
cos 𝜃 =
𝑥
𝑅
⇒ x = R cos 𝜃
Z = X + Y i
Z = (R cos 𝜃 )+ (R sin 𝜃 )i
Z = R Cis 𝜃
R
y
x
x
y
P(x;y)
R
y
x
2
P1
(2;3)
3
-1
2
P2(-1
;2)
P3(-2;-3)
R
y
x
x
y
P(x;y)

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1.7.- COMPLEJO CONJUGADO, VALOR ABSOLUTO. -
1.7.1.- COMPLEJO CONJUGADO. - El conjugado del número complejo Z = X + Y i, se
representa por:
𝑍̅ = X - Y i
1.7.2.- VALOR ABSOLUTO DE NUMEROS COMPLEJOS. - El valor absoluto ó módulo de
un número complejo, se representa por:
|𝑍| = R = √𝑥2 + 𝑦2
|𝑍| = R = √[ℛ(𝑍)]
2
+ [Πmg(𝑍)]
2
Ej:
Si Z1 = a+ b i Z2 = c + d i
Hallar a) |𝑍1 + 𝑍2 | = ?
b) |𝑍2 − 𝑍1 | = ?
1.8.- OPERACIONES CON LOS NUMEROS COMPLEJOS. -
1.8.1.- SUMA, RESTA, MULTIPLICACION Y DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOS. -
1.8.1.1.- SUMA DE NUMEROS COMPLEJOS. - Sean dos números complejos Z1 y Z2, la
suma se define como la suma de sus partes reales entre sí, más la suma de sus partes
imaginarias entre sí, es decir:
Z1 = a + b i Z2 = c + d i
Z1 + Z2 = (a + b i) + (c + di)
Z3 = (a + c) + (b + d) i
a + c = parte real de Z3 = ℜ(𝑧3)
b + d = parte imaginaria de Z3 = Πmg(𝑧3)
1.8.1.2.- RESTA DE NUMEROS COMPLEJOS. - La resta se define como la diferencia de
sus partes reales entre sí, más la diferencia de sus partes imaginarias entre sí, es decir:
Z1 = a + b i Z2 = c + d i
Z1 - Z2 = (a + b i) - (c + d i)
Z4 = (a - c) + (b - d) i
a - c = parte real de Z4 = ℜ(𝑧4)
b - d = parte imaginaria de Z4 = Πmg(𝑧4)
R
y
x
x
y
P(x;y)

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1.8.1.3.- MULTIPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOS. - Se procede de la siguiente
manera:
Z1 = a + b i Z2 = c + d i
Z1 x Z2 = (a + b i) x (c + d i)
Z5 = a (c + d i) + b i (c + d i)
Z5 = ac + ad i +bc i + bd i2
Z5 = ac + ad i +bc i - bd
Z5 = ac - bd + ad i + bc i
Z5 = (ac - bd) + (ad + bc) i
ℜ(𝑧5) = ac – bd = parte real de Z5
Πmg(𝑧5) = ad + bc = parte imaginaria de Z5
1.8.1.4.- DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOS. - Se procede de la siguiente manera:
Z1 = a + b i Z2 = c + d i
𝑍1
𝑍2
=
𝑎+𝑏 𝑖
𝑐+𝑑 𝑖
x
𝑐−𝑑𝑖
𝑐−𝑑 𝑖
=
𝑎(𝑐−𝑑 𝑖)+𝑏 𝑖(𝑐−𝑑 𝑖)
𝑐(𝑐−𝑑 𝑖)+𝑑𝑖(𝑐−𝑑𝑖)
Z6 =
𝑎𝑐−𝑎𝑑𝑖+𝑏𝑐𝑖−𝑏𝑑i2
(𝑐)2−(𝑑𝑖)2 =
𝑎𝑐−𝑎𝑑𝑖+𝑏𝑐𝑖+𝑏𝑑
𝑐2+𝑑2
Z6 =
(𝑎𝑐+𝑏𝑑)+(𝑏𝑐−𝑎𝑑)𝑖
𝑐2+𝑑2
Z6 =
(𝑎𝑐+𝑏𝑑)
𝑐2+𝑑2
+
(𝑏𝑐−𝑎𝑑)𝑖
𝑐2+𝑑2
ℜ(𝑧6) =
(𝑎𝑐+𝑏𝑑)
𝑐2+𝑑2
= parte real de Z6
Πmg(𝑧6) =
(𝑏𝑐−𝑎𝑑)
𝑐2+𝑑2 = parte imaginaria de Z6
1.9.- FORMA EXPONENCIAL DE NUMEROS COMPLEJOS. – Cualquier número complejo Z ≠ 0 ,
se puede escribir en forma exponencial, es decir.
Si Z = X + Y i ⇒ |𝑍| = R = √𝑥2 + 𝑦2 ⇒ 𝜃 = tan−1
(
𝑌
𝑋
)
Z = |𝑍| x ℮ 𝜃𝑖
, Z = R x ℮ 𝜃𝑖
Ej. Expresar en forma exponencial los siguientes números complejos.
1.- Z1 = 2 + 2 i 2.- Z2 = -1 + √3 i
3.- Z3 = 0 + 3 i 4.- Z4 = -3 + 0 i