1.
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
9
1.13.- APLICACIONES. –
1.13.1.- RAICES DE UN NUMERO COMPLEJO. –
Un número complejo es llamado una raíz enésima de un número complejo Z si 𝑊𝑛
= Z, y
escribimos 𝑊 = 𝑍1/𝑛
. Del teorema de MOIVRE, podemos indicar que si n es un número entero
positivo
𝑍1/𝑛
= {𝑅(cos 𝜃 + sin 𝜃 𝑖)}1/𝑛
𝑍
1
𝑛 = 𝑅
1
𝑛{𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑖}
1
𝑛
𝑍
1
𝑛 = 𝑅
1
𝑛 {𝑐𝑜𝑠 (
𝜃
𝑛
) + 𝑠𝑒𝑛 (
𝜃
𝑛
) 𝑖}
𝜃 = 𝜃0 + 2𝐾𝜋
𝑍1/𝑛
= 𝑅1/𝑛 {cos (
𝜃𝑜 + 2𝐾𝜋
𝑛
) + sen (
𝜃𝑜 + 2𝑘𝜋
𝑛
)𝑖}
Hacemos variar k = 0,1,2,3,…, n-1 para obtener las raíces. De aquí se deduce que hay n valores
diferentes para 𝑍1/𝑛
, esto quiere decir que hay n diferentes raíces de Z, si Z≠0.
Z = X + Y i
|𝑍| = R = √𝑥2 + 𝑦2 ; 𝜃0 = tan−1
(
𝑌
𝑋
)
Ej. 1.- hallar las raíces y graficar en el plano Z
𝑊5
= √8 + √8 𝑖 = Z
|𝑍| = √(√8)
2
+ (√8)
2
⟹ |𝑍| = 4
𝜃0 =tan−1
(
√8
√8
) ⟹ 𝜃0 = 450
=
𝜋
4
Ζ
1
5 = {4
1
5 [𝑐𝑜𝑠 (
450
+ 2𝐾𝜋
5
) + 𝑠𝑒𝑛 (
450
+ 2𝐾𝜋
5
)𝑖]}
Hacemos variar 0 ≤ 𝐾 ≤ 4
Para K = 0
Z0 = 4
1
5 [𝑐𝑜𝑠 (
450
5
) + 𝑠𝑒𝑛 (
450
5
)𝑖]
Z0 = 4
1
5[𝑐𝑜𝑠(90) + 𝑠𝑒𝑛(90)𝑖]
Z0 = 4
1
5𝑐𝑜𝑠(90) + 4
1
5𝑠𝑒𝑛(90)𝑖
Z0 = 1,303 + 0,206 i ; 𝜃 = 90
4
1
5𝑐𝑜𝑠(90) = 1,303 = Parte real de Z0

2.
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
10
4
1
5𝑠𝑒𝑛(90) = 0,206 = 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔. 𝑑𝑒 Z0
Para K = 1
Z1 =4
1
5 [𝑐𝑜𝑠 (
450+2(1)180
5
) + 𝑠𝑒𝑛 (
450+2(1)180
5
) 𝑖]
Z1 = 4
1
5 [𝑐𝑜𝑠 (
4050
5
) + 𝑠𝑒𝑛 (
4050
5
)𝑖]
Z1 = 4
1
5[𝑐𝑜𝑠(810) + 𝑠𝑒𝑛(810)𝑖]
Z1 = 4
1
5 cos(810) + 4
1
5 sen(810)𝑖
Z1 = 0,206 + 1,303 i ; 𝜃 = 810
4
1
5𝑐𝑜𝑠(810) = 0,206 = Parte real de Z1
4
1
5𝑠𝑒𝑛(810) = 1,303 = 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔. 𝑑𝑒 Z1
Para K = 2
Z2=4
1
5 [𝑐𝑜𝑠 (
450+2(2)1800
5
) + 𝑠𝑒𝑛 (
450+2(2)1800
5
)𝑖]
Z2 = 4
1
5[𝑐𝑜𝑠(1530) + 𝑠𝑒𝑛(1530)𝑖]
Z2 = 4
1
5 cos(1530) + 4
1
5 sen(1530)𝑖
Z2 = - 1,176 + 0,599 i ; 𝜃 = 1530
4
1
5𝑐𝑜𝑠(1530) = −1,176 = Parte real de Z2
4
1
5𝑠𝑒𝑛(1530) = 0,599 = 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔. 𝑑𝑒 Z2
Para K = 3
Z3=4
1
5 [𝑐𝑜𝑠 (
450+2(3)1800
5
) + 𝑠𝑒𝑛 (
450+2(3)1800
5
)𝑖]
Z3 = 4
1
5[𝑐𝑜𝑠(2250) + 𝑠𝑒𝑛(2250)𝑖]
Z3 = 4
1
5 cos(2250) + 4
1
5 sen(2250)𝑖
Z3 = - 0,933 - 0,933 i ; 𝜃 = 2250
4
1
5𝑐𝑜𝑠(2250) = − 0,933 = Parte real de Z3
4
1
5𝑠𝑒𝑛(2250) = − 0,933 = 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔. 𝑑𝑒 Z3
Para K = 4
Z4=4
1
5 [𝑐𝑜𝑠 (
450+2(4)1800
5
) + 𝑠𝑒𝑛 (
450+2(4)1800
5
)𝑖]

3.
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
11
Z4 = 4
1
5[𝑐𝑜𝑠(2970) + 𝑠𝑒𝑛(2970)𝑖]
Z4 = 4
1
5 cos(2970) + 4
1
5 sen(2970)𝑖
Z4 = 0,599 - 1,175 i ; 𝜃 = 2970
4
1
5𝑐𝑜𝑠(2970) = 0,599 = Parte real de Z4
4
1
5𝑠𝑒𝑛(2270) = − 1,175 = 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔. 𝑑𝑒 Z4
PLANO Z
1.13.2.- ECUACIONES POLINOMICAS. – Son ecuaciones que se resuelven de la siguiente
manera.
Ej. 1.- resolver las siguientes ecuaciones.
𝑎𝑍2
+ 𝑏𝑍 + 𝑐 = 0
𝑎𝑍2
+ 𝑏𝑍 = −𝑐 /a
𝑍2
+ (
𝑏
𝑎
) 𝑍 = −
𝑐
𝑎
completar cuadrado
𝑍2
+
𝑏
𝑎
𝑍 + (
𝑏
2𝑎
)
2
= (
𝑏
2𝑎
)
2
−
𝑐
𝑎
𝑍2
+
𝑏
𝑎
𝑍 + (
𝑏
2𝑎
)
2
=
𝑏2
− 4𝑎𝑐
4𝑎2
(𝑍 +
𝑏
2𝑎
)
2
=
𝑏2
− 4𝑎𝑐
4𝑎2
1
,303
x
y
1
,303
-1
,1
1
7
-0,933
0,599
0,206
0,599
-0,933
-1
,1
1
7
Z0
Z1
Z2
Z3
Z4

4.
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
12
𝑍 +
𝑏
2𝑎
= ± √
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
𝑍 = −
𝑏
2𝑎
± √
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2
𝑍 = −
𝑏
2𝑎
±
√𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑍 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑍1 =
−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑍2 =
−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
2.- 𝟓𝒁𝟐
+ 𝟐𝒁 + 𝟏𝟎 = 𝟎
𝑍 =
−2 ± √22 − 4𝑥5𝑥10
2𝑥5
𝑍 =
−2 ± √4 − 200
10
𝑍 =
−2 ± √−196
10
=
−2 ± √−1 ∗ 196
10
𝑍 =
−2 ± √196 √−1
10
𝑍 =
−2 ± 14 √𝑖2
10
𝑍 =
−2 ± 14𝑖
10
𝑍1 = −
1
5
+
7
5
𝑖
𝑍2 = −
1
5
−
7
5
𝑖
PRUEBA: Reemplazar en la ecuación cuadrática.
5Z2
+ 2Z + 10 = 0

5.
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
13
5 (−
1
5
+
7
5
𝑖)
2
+ 2 (−
1
5
+
7
5
𝑖) + 10 = 0
5 [(−
1
5
)
2
+ 2 (−
1
5
) (
7
5
𝑖) + (
7
5
𝑖)
2
] −
2
5
+
14
5
𝑖 + 10 = 0
5 [
1
25
−
14
25
𝑖 −
49
25
] −
2
5
+
14
5
𝑖 + 10 = 0
1
5
−
14
5
𝑖 −
49
5
−
2
5
+
14
5
𝑖 + 10 = 0
1
5
−
49
5
−
2
5
+ 10 −
14
5
𝑖 +
14
5
𝑖 = 0
(10 − 10) + (
14
5
−
14
5
) 𝑖 = 0
0 = 0 ok!
3.- 𝑍2
+ (2𝑖 − 3)𝑍 + (5 − 𝑖) = 0
𝑍 =
−(2𝑖 − 3) ± √(2𝑖 − 3)2 − 4(5 − 𝑖)
2
𝑍 =
3 − 2𝑖 ± √4𝑖2 − 12𝑖 + 9 − 20 + 4𝑖
2
𝑍 =
3 − 2𝑖 ± √−4 − 8𝑖 + 9 − 20
2
𝑍 =
3 − 2𝑖 ± √−15 − 8𝑖
2
Ahora buscamos un número complejo que elevado al cuadrado obtengamos −15 − 8𝑖
Sabiendo que:
Z = a + b i
Z2
= (a + b i)2
= a2
+ 2ab i + (b i)2
= a2
+ 2ab i – b2
Z2 = (a + b i)2 = (a2 - b2) + (2ab) i
-2ab = - 8 ⟹ ab = 4 y a2
- b2
= - 15
𝑎 =
4
𝑏
(
4
𝑏
)
2
− 𝑏2
= −15
16− 𝑏4
𝑏2
= −15 ⟹ 16 − 𝑏4
= −15𝑏2
(𝑏2)2
− 15(𝑏)2
− 16 = 0
(𝑏2
− 16)(𝑏2
+ 1) = 0

6.
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
14
𝑏2
− 16 = 0 𝑏2
+ 1 = 0
𝑏 = ± 4 𝑏 = ± 𝑖
b1 = 4 b2 = - 4 b3 = 𝑖 b4 = - 𝑖
reemplazamos en:
𝑎 =
4
𝑏
𝑎1 = 1; 𝑎2 = −1 ; 𝑎3 = −4 𝑖 ; 𝑎4 = 4 𝑖
Finalmente reemplazamos en:
(a + b i)2
= (a2
- b2
) + (2ab) i = - 15 - 8 𝑖
𝑎1 = 1 b1 = 4
(1 + 4 i)2
= (12
- 42
) + (2)(4) i = - 15 + 8 𝑖
− 15 + 8𝑖 ≠ - 15 – 8i
𝑎1 = 1 b1 = - 4
(1 - 4 i)2
= (12
- 42
) - (2)(4)) i = - 15 - 8 𝑖
− 15 − 8𝑖 = - 15 – 8i
𝑎2 = −1 b1 = 4
(-1 + 4 i)2
= (12
- 42
) - (2)(4)) i = - 15 - 8 𝑖
− 15 − 8𝑖 = - 15 – 8i
𝑎2 = −1 b2 = - 4
(-1 - 4 i)2
= (12
- 42
) + (2)(4)) i = - 15 + 8 𝑖
𝑍 =
3 − 2 𝑖 ± √(1 − 4 𝑖)2
2
𝑍 =
3 − 2 𝑖 ± 1 − 4 𝑖
2
𝑍1 =
(3 − 2 𝑖) + (1 − 4𝑖)
2
𝑍1 =
3−2 𝑖+1−4 𝑖
2
=
4−6 𝑖
2
𝑍1 = 2 − 3 𝑖
𝑍2 =
(3 − 2 𝑖) − (1 − 4𝑖)
2
𝑍2 = 1 + 𝑖

7.
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
15
Prueba: Z1 y Z2 reemplazamos en la ecuación cuadrática, es decir:
𝑍2
+ (2𝑖 − 3)𝑍 + (5 − 𝑖) = 0
(1 + 𝑖)2
+ (2 𝑖 − 3)(1 + 𝑖) + (5 − 𝑖) = 0
1 + 2 𝑖 − 1 + (2 𝑖 − 3) + 𝑖 (2 𝑖 − 3) + 5 − 𝑖 = 0
1 + 2 𝑖 − 1 + 2 𝑖 − 3 − 2 − 3 𝑖 + 5 − 𝑖 = 0
(6 − 6) + (4 − 4) i = 0
0 = 0 ok!
También podemos resolver polinomios
𝑍5
− 2𝑍4
− 𝑍3
+ 6𝑍 − 4 = 0 aplicamos la regla de Ruffini, es decir utilizamos los
coeficientes de cada termino.
𝑍5
− 2𝑍4
− 𝑍3
+ 0𝑍2
+ 6𝑍 − 4 = 0
1 -2 -1 0 6 -4
z= 1 1 -1 -2 -2 4
1 -1 -2 -2 4 0
z= 1 1 0 -2 -4
1 0 -2 -4 0 0
z= 2 2 4 4
1 2 2 0
𝑍2
+ 2𝑍 + 2 = 0
(𝑍 − 1)(𝑍 − 1)(𝑍 − 2)(𝑍2
+ 2𝑍 + 2) = 0
𝑍2
+ 2𝑍 + 2 = 0
𝑍 =
−2±√4−8
2
𝑍 =
−2±√−4
2
𝑍 =
−2 ± 2 𝑖
2
Z1 = -1 + 𝑖
Z2 = -1 – 𝑖 Z3 = 1 Z4 = 1 Z5 = 2
(𝑍 − 1)(𝑍 − 1)(𝑍 − 2)(𝑍 + 1 − 𝑖)(𝑍 + 1 + 𝑖) = 0
Prueba:
𝑍5
− 2𝑍4
− 𝑍3
+ 0𝑍2
+ 6𝑍 − 4 = 0
15
− 2𝑥14
− 13
+ 0𝑥12
+ 6𝑥1 − 4 = 0
1 − 2 − 1 + 0 + 6 − 4 = 0

8.
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
16
(1 + 6 − 3 − 4) = 0
7 − 7 = 0
0 = 0 ok!
Así probamos para todos los valores de Z, es decir: para Z1, Z2, Z3, Z4 y Z5.
2.13.3. CONJUNTOS DE PUNTOS. -
Cualquier colección de puntos en el plano complejo Z se denomina un conjunto bidimensional
de puntos, y cada punto es un miembro o elemento del conjunto.
VECINDADES. - Una vecindad de radio delta δ de un punto Zo, es el conjunto de todos los
puntos Z tales que ǀZ-Zoǀ< δ, donde δ es cualquier número positivo dado, una vecindad
reducida δ de Zo, es una vecindad de Zo en la que el punto Zo se omite, es decir: 0<ǀZ-Zoǀ<δ
d = ǀZ - Zoǀ d < δ
PUNTOS LIMITES. – Un punto Z0, se llama punto límite ó punto de acumulación de un
conjunto S, si cada vecindad δ reducida de Z0 contiene puntos del conjunto S.
CONJUNTOS CERRADOS. - Un conjunto S, se dice que es cerrado si cada punto límite del
conjunto S pertenece a este conjunto, esto es, si S contiene todos sus puntos límites.
CONJUNTOS ACOTADOS .- un conjunto S se dice que es acotado, si podemos encontrar una
constante M, tal que |𝑍| < 𝑀, para cada punto Z del conjunto S. Un conjunto ilimitado es un
conjunto que no es acotado y un conjunto que es acotado y cerrado se llama conjunto
compacto.
PUNTO INTERIOR. - Un punto Z0, se llama punto interior de un conjunto S, si podemos
encontrar una vecindad de radio δ de Z0, cuyos puntos pertenecen todos al conjunto S.
PUNTO FRONTERA. - Se dice que Z0, es puntos frontera de un conjunto S, si toda vecindad δ
de Z0, contiene puntos del conjunto S y puntos que no pertenecen al conjunto S.
CONJUNTOS ABIERTOS. - Un conjunto abierto, es un conjunto que consiste solamente de
puntos interiores.