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3x2
2
9x
2 Derive f (x) = x3 9x
3 Resuelva 2x2 7x 4 = 0
4 Determine f 00(x), si f (x) = x3 9x2 + 2x + 3
Logros de aprendizaje
Al terminar la presente sesión usted estará en la capacidad de:
I Hallar los puntos críticos de una función.
Logros de aprendizaje
Al terminar la presente sesión usted estará en la capacidad de:
I Hallar los puntos críticos de una función.
I Reconocer si una función tiene mínimos y máximos relativos.
Logros de aprendizaje
Al terminar la presente sesión usted estará en la capacidad de:
I Hallar los puntos críticos de una función.
I Reconocer si una función tiene mínimos y máximos relativos.
I Determinar la naturaleza de los puntos críticos.
Logros de aprendizaje
Al terminar la presente sesión usted estará en la capacidad de:
I Hallar los puntos críticos de una función.
I Reconocer si una función tiene mínimos y máximos relativos.
I Determinar la naturaleza de los puntos críticos.
I Encontrar los mínimos y máximos absolutos.
Situación motivadora
Video: https://www.youtube.com/watch?v=1Wtwt9dVMbA
Situación motivadora
Problema
En una ciudad de nuestro país se ha determinado que la demanda de celulares viene dado
por
q = 5500 0, 5p
donde q es el número de unidades que se demanda cuando el precio por unidad es de p
soles. Calcule el precio que se debe establecer de modo que el ingreso obtenido por las
ventas de los celulares sea máximo.
Extremos relativos y valores críticos
Definición
Sea f una función definida en un conjunto S. Decimos que f tiene un mínimo
relativo en x = c si
f (c) f (x)
para todo x cercano a c.
Definición
Sea f una función definida en un conjunto S. Decimos que f tiene un máximo
relativo en x = c si
f (x) f (c)
para todo x cercano a c.
Definición
Sea f una función derivable en el conjunto I. Si x = a 2 I y f 0(a) = 0 o f 0(a) no
existe, entonces decimos que x = a es un valor crítico de la función.
Interpretación gráfica de los extremos relativos
Criterio de la primera y segunda derivada
Teorema
Supongamos que la función f es continua en el intervalo [a; b] , x = c es un valor crítico
de la función y que la derivada de f existe en ]a; b[, excepto acaso en x = c.
1 Si f 0(x) > 0 para todo x < c y f 0(x) < 0 para todo x > c entonces f (c) es un
máximo relativo.
2 Si f 0(x) < 0 para todo x < c y f 0(x) > 0 para todo x > c entonces f (c) es un
mínimo relativo.
Teorema
Sea f una función con segunda derivada continua en I. Además x = a 2 I es un valor
crítico de f
1 Si f 00(a) > 0 entonces f (a) es un mínimo relativo
2 Si f 00(a) < 0 entonces f (a) es un máximo relativo
3 Si f 00(a) = 0 entonces no se puede afirmar nada.
Ejercicio para desarrollar en clase
Ejercicio
Un fabricante de cierto producto ha determiando que la ecuación de demanda es
modelado por
p =
80 q
4
donde q es el número de unidades y p es el precio por unidad expresado en soles. Use el
criterio de la primera derivada para determinar la cantidad que maximiza el ingreso y el
ingreso máximo.
Ejercicio para desarrollar en clase
Ejercicio
El costo por hora C, expresado en dólares, de operar un automóvil viene dado por
C (v) = 0, 12v 0, 0012v2
+ 0, 08 con 0 v 60
donde v es la velocidad en millas por hora. Use el criterio de la segunda derivada para
determinar a que velocidad el costo es mínimo e indique el costo mínimo.
Ejercicio para desarrollar en clase
Ejercicio
Si la demanda de cierto producto es dada por p = 26 0, 10q, donde q es la cantidad
que demanda el mercado cuando el precio por unidad del producto es de p dólares. Use el
citerio de la primera derivada para determinar el ingreso máximo y la cantidad que
máximiza el ingreso.
Ejercicio para desarrollar en clase
Ejercicio
Si la demanda de cierto producto es dada por p = 72 0, 04q, donde q es la cantidad
que demanda el mercado cuando el precio por unidad del producto es de p dólares y la
función de costos es C(q) = 500 + 30q. Use el citerio de la segunda derivada para
determinar la utilidad máxima y la cantidad que máximiza la utilidad.
Ejemplo para el estudiante
Ejemplo
Si la demanda de cierto producto es dada por p = 42 4q, donde q es la
cantidad que demanda el mercado cuando el precio por unidad del producto es
de p dólares y la función de costos es C(q) = 80 + 2q. Determine la utilidad
máxima y la cantidad que máximiza la utilidad.
Ejemplo para el estudiante
Ejemplo
Si la demanda de cierto producto es dada por p = 42 4q, donde q es la
cantidad que demanda el mercado cuando el precio por unidad del producto es
de p dólares y la función de costos es C(q) = 80 + 2q. Determine la utilidad
máxima y la cantidad que máximiza la utilidad.
Paso1. Modelando la utilidad
U(q) = (42 4q) q (80 + 2q)
U(q) = 4q2
+ 40q 80
Ejemplo para el estudiante
Ejemplo
Si la demanda de cierto producto es dada por p = 42 4q, donde q es la
cantidad que demanda el mercado cuando el precio por unidad del producto es
de p dólares y la función de costos es C(q) = 80 + 2q. Determine la utilidad
máxima y la cantidad que máximiza la utilidad.
Paso1. Modelando la utilidad
U(q) = (42 4q) q (80 + 2q)
U(q) = 4q2
+ 40q 80
Paso 2. Derivando la utilidad
U0
(q) = 8q + 40
Ejemplo para el estudiante
Ejemplo
Si la demanda de cierto producto es dada por p = 42 4q, donde q es la
cantidad que demanda el mercado cuando el precio por unidad del producto es
de p dólares y la función de costos es C(q) = 80 + 2q. Determine la utilidad
máxima y la cantidad que máximiza la utilidad.
Paso1. Modelando la utilidad
U(q) = (42 4q) q (80 + 2q)
U(q) = 4q2
+ 40q 80
Paso 2. Derivando la utilidad
U0
(q) = 8q + 40
Paso 3. Calculando el valor crítico
U0
(q) = 0
8q + 40 = 0 ! q = 5
Paso 4. Determinando la segunda
derivada
U00
(q) = ( 8q + 40)0
U00
(q) = 8
Ejemplo para el estudiante
Ejemplo
Si la demanda de cierto producto es dada por p = 42 4q, donde q es la
cantidad que demanda el mercado cuando el precio por unidad del producto es
de p dólares y la función de costos es C(q) = 80 + 2q. Determine la utilidad
máxima y la cantidad que máximiza la utilidad.
Paso1. Modelando la utilidad
U(q) = (42 4q) q (80 + 2q)
U(q) = 4q2
+ 40q 80
Paso 2. Derivando la utilidad
U0
(q) = 8q + 40
Paso 3. Calculando el valor crítico
U0
(q) = 0
8q + 40 = 0 ! q = 5
Paso 4. Determinando la segunda
derivada
U00
(q) = ( 8q + 40)0
U00
(q) = 8
Paso 4. Aplicando el criterio de la se-
gunda derivada
U00
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Entonces U(5) = 20 es el máximo rel-
ativo. Como es el único punto crítico,
Extremos absolutos
Extremos absolutos
Teorema
Si f es una función continua en un intervalo cerrado cerrado y acotado [a; b] , entonces
f tiene un máximo y un mínimo absoluto en el intervalo [a; b].
Estrategia para determinar los extremos absolutos
Paso 1 Encontrar los puntos críticos de f.
Paso 2 Seleccionar los puntos críticos que se encuentran en [a; b] .
Paso 3 Evaluar f en los puntos hallados en (a) y en los extremos.
Paso 4 El menor y mayor valor encontrado en el paso (3) es el mínimo y
máximo absoluto de f.
Ejercicio para desarrollar en clase
Ejercicio
Sea f la función definida por
f (x) = 2x3
+ 3x2
36x + 12, donde 0 x 5
Determine el mínimo y máximo absoluto de la función
Ejercicio para desarrollar en clase
Ejercicio
Sea f la función definida por
f (x) = 2x3
15x2
+ 24x + 5, donde 1 x 3
Determine el mínimo y máximo absoluto de la función
Ejercicio para desarrollar en clase
Ejercicio
Sea f la función definida por
f (x) = x3
3x2
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Determine el mínimo y máximo absoluto de la función
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Un artículo en una revista de sociología afirma que si ahora se iniciase un programa
específico de servicio de salud, entonces al cabo de t años, n miles de personas ancianas
recibirán beneficios directos, donde
n (t) =
t3
3
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+ 32t, 0 t 12
¿Para qué valor de t el número de beneficiados es máximo?
Ejemplo para el estudiante
Problema
Sea f la función definida por
f (x) = x3
9x2
+ 24x 5, donde 0 x 3
Determine el mínimo y máximo absoluto de la función
Ejemplo para el estudiante
Problema
Sea f la función definida por
f (x) = x3
9x2
+ 24x 5, donde 0 x 3
Determine el mínimo y máximo absoluto de la función
Paso1. Calculando los valores críticos
f 0
(x) = x3
9x2
+ 24x 5
0
f 0
(x) = 3x2
18x + 24
Ejemplo para el estudiante
Problema
Sea f la función definida por
f (x) = x3
9x2
+ 24x 5, donde 0 x 3
Determine el mínimo y máximo absoluto de la función
Paso1. Calculando los valores críticos
f 0
(x) = x3
9x2
+ 24x 5
0
f 0
(x) = 3x2
18x + 24
Resolviendo
3x2
18x + 24 = 0, luego
x = 2, y x = 4
Ejemplo para el estudiante
Problema
Sea f la función definida por
f (x) = x3
9x2
+ 24x 5, donde 0 x 3
Determine el mínimo y máximo absoluto de la función
Paso1. Calculando los valores críticos
f 0
(x) = x3
9x2
+ 24x 5
0
f 0
(x) = 3x2
18x + 24
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x = 2, y x = 4
Paso 2. Seleccionando los valores críti-
cos x = 2 2 [0; 3]
Paso 3. Evaluando f en los extremos y
en el punto crítico seleccionado
x f (x)
0 f (0) = 5 mínimo
2 f (2) = 15
3 f (3) = 13 máximo
Ejemplo para el estudiante
Problema
Sea f la función definida por
f (x) = x3
9x2
+ 24x 5, donde 0 x 3
Determine el mínimo y máximo absoluto de la función
Paso1. Calculando los valores críticos
f 0
(x) = x3
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0
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(x) = 3x2
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Paso 3. Evaluando f en los extremos y
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x f (x)
0 f (0) = 5 mínimo
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Paso 4.
f (0) = 5 es el mínimo absoluto de f
cuando x 2 [0; 3]
f (2) = 15 es el máximo absoluto de f
cuando x 2 [0; 3]
Bibliografia
Referencias bibliográficas
Arya, J.; Lardner, R. & Ibarra, V. (2009). Matemáticas aplicadas a la
administración y a la economía (5a ed.). México, D.F. : Pearson Educación.
Haeussler, E.; Paul, R. & Wood, R. (2008). Matemáticas para administración
y economía (12a ed.). México, D.F. : Pearson Educación.
Hoffmann, L & Bradley, G & Rosen, K. (2004). Cálculo aplicado para la
administración, economía y ciencias sociales, México: Mc Graw Hill (8 ed.)

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  • 1. Optimización de funciones de una variable Matemática II CPEL
  • 2. Saberes previos Problema Responda las preguntas, según corresponda 1 Derive f (x) = 3x2 2 9x 2 Derive f (x) = x3 9x 3 Resuelva 2x2 7x 4 = 0 4 Determine f 00(x), si f (x) = x3 9x2 + 2x + 3
  • 3. Logros de aprendizaje Al terminar la presente sesión usted estará en la capacidad de: I Hallar los puntos críticos de una función.
  • 4. Logros de aprendizaje Al terminar la presente sesión usted estará en la capacidad de: I Hallar los puntos críticos de una función. I Reconocer si una función tiene mínimos y máximos relativos.
  • 5. Logros de aprendizaje Al terminar la presente sesión usted estará en la capacidad de: I Hallar los puntos críticos de una función. I Reconocer si una función tiene mínimos y máximos relativos. I Determinar la naturaleza de los puntos críticos.
  • 6. Logros de aprendizaje Al terminar la presente sesión usted estará en la capacidad de: I Hallar los puntos críticos de una función. I Reconocer si una función tiene mínimos y máximos relativos. I Determinar la naturaleza de los puntos críticos. I Encontrar los mínimos y máximos absolutos.
  • 8. Situación motivadora Problema En una ciudad de nuestro país se ha determinado que la demanda de celulares viene dado por q = 5500 0, 5p donde q es el número de unidades que se demanda cuando el precio por unidad es de p soles. Calcule el precio que se debe establecer de modo que el ingreso obtenido por las ventas de los celulares sea máximo.
  • 9. Extremos relativos y valores críticos Definición Sea f una función definida en un conjunto S. Decimos que f tiene un mínimo relativo en x = c si f (c) f (x) para todo x cercano a c. Definición Sea f una función definida en un conjunto S. Decimos que f tiene un máximo relativo en x = c si f (x) f (c) para todo x cercano a c. Definición Sea f una función derivable en el conjunto I. Si x = a 2 I y f 0(a) = 0 o f 0(a) no existe, entonces decimos que x = a es un valor crítico de la función.
  • 10. Interpretación gráfica de los extremos relativos
  • 11. Criterio de la primera y segunda derivada Teorema Supongamos que la función f es continua en el intervalo [a; b] , x = c es un valor crítico de la función y que la derivada de f existe en ]a; b[, excepto acaso en x = c. 1 Si f 0(x) > 0 para todo x < c y f 0(x) < 0 para todo x > c entonces f (c) es un máximo relativo. 2 Si f 0(x) < 0 para todo x < c y f 0(x) > 0 para todo x > c entonces f (c) es un mínimo relativo. Teorema Sea f una función con segunda derivada continua en I. Además x = a 2 I es un valor crítico de f 1 Si f 00(a) > 0 entonces f (a) es un mínimo relativo 2 Si f 00(a) < 0 entonces f (a) es un máximo relativo 3 Si f 00(a) = 0 entonces no se puede afirmar nada.
  • 12. Ejercicio para desarrollar en clase Ejercicio Un fabricante de cierto producto ha determiando que la ecuación de demanda es modelado por p = 80 q 4 donde q es el número de unidades y p es el precio por unidad expresado en soles. Use el criterio de la primera derivada para determinar la cantidad que maximiza el ingreso y el ingreso máximo.
  • 13. Ejercicio para desarrollar en clase Ejercicio El costo por hora C, expresado en dólares, de operar un automóvil viene dado por C (v) = 0, 12v 0, 0012v2 + 0, 08 con 0 v 60 donde v es la velocidad en millas por hora. Use el criterio de la segunda derivada para determinar a que velocidad el costo es mínimo e indique el costo mínimo.
  • 14. Ejercicio para desarrollar en clase Ejercicio Si la demanda de cierto producto es dada por p = 26 0, 10q, donde q es la cantidad que demanda el mercado cuando el precio por unidad del producto es de p dólares. Use el citerio de la primera derivada para determinar el ingreso máximo y la cantidad que máximiza el ingreso.
  • 15. Ejercicio para desarrollar en clase Ejercicio Si la demanda de cierto producto es dada por p = 72 0, 04q, donde q es la cantidad que demanda el mercado cuando el precio por unidad del producto es de p dólares y la función de costos es C(q) = 500 + 30q. Use el citerio de la segunda derivada para determinar la utilidad máxima y la cantidad que máximiza la utilidad.
  • 16. Ejemplo para el estudiante Ejemplo Si la demanda de cierto producto es dada por p = 42 4q, donde q es la cantidad que demanda el mercado cuando el precio por unidad del producto es de p dólares y la función de costos es C(q) = 80 + 2q. Determine la utilidad máxima y la cantidad que máximiza la utilidad.
  • 17. Ejemplo para el estudiante Ejemplo Si la demanda de cierto producto es dada por p = 42 4q, donde q es la cantidad que demanda el mercado cuando el precio por unidad del producto es de p dólares y la función de costos es C(q) = 80 + 2q. Determine la utilidad máxima y la cantidad que máximiza la utilidad. Paso1. Modelando la utilidad U(q) = (42 4q) q (80 + 2q) U(q) = 4q2 + 40q 80
  • 18. Ejemplo para el estudiante Ejemplo Si la demanda de cierto producto es dada por p = 42 4q, donde q es la cantidad que demanda el mercado cuando el precio por unidad del producto es de p dólares y la función de costos es C(q) = 80 + 2q. Determine la utilidad máxima y la cantidad que máximiza la utilidad. Paso1. Modelando la utilidad U(q) = (42 4q) q (80 + 2q) U(q) = 4q2 + 40q 80 Paso 2. Derivando la utilidad U0 (q) = 8q + 40
  • 19. Ejemplo para el estudiante Ejemplo Si la demanda de cierto producto es dada por p = 42 4q, donde q es la cantidad que demanda el mercado cuando el precio por unidad del producto es de p dólares y la función de costos es C(q) = 80 + 2q. Determine la utilidad máxima y la cantidad que máximiza la utilidad. Paso1. Modelando la utilidad U(q) = (42 4q) q (80 + 2q) U(q) = 4q2 + 40q 80 Paso 2. Derivando la utilidad U0 (q) = 8q + 40 Paso 3. Calculando el valor crítico U0 (q) = 0 8q + 40 = 0 ! q = 5 Paso 4. Determinando la segunda derivada U00 (q) = ( 8q + 40)0 U00 (q) = 8
  • 20. Ejemplo para el estudiante Ejemplo Si la demanda de cierto producto es dada por p = 42 4q, donde q es la cantidad que demanda el mercado cuando el precio por unidad del producto es de p dólares y la función de costos es C(q) = 80 + 2q. Determine la utilidad máxima y la cantidad que máximiza la utilidad. Paso1. Modelando la utilidad U(q) = (42 4q) q (80 + 2q) U(q) = 4q2 + 40q 80 Paso 2. Derivando la utilidad U0 (q) = 8q + 40 Paso 3. Calculando el valor crítico U0 (q) = 0 8q + 40 = 0 ! q = 5 Paso 4. Determinando la segunda derivada U00 (q) = ( 8q + 40)0 U00 (q) = 8 Paso 4. Aplicando el criterio de la se- gunda derivada U00 (5) < 0 Entonces U(5) = 20 es el máximo rel- ativo. Como es el único punto crítico,
  • 22. Extremos absolutos Teorema Si f es una función continua en un intervalo cerrado cerrado y acotado [a; b] , entonces f tiene un máximo y un mínimo absoluto en el intervalo [a; b]. Estrategia para determinar los extremos absolutos Paso 1 Encontrar los puntos críticos de f. Paso 2 Seleccionar los puntos críticos que se encuentran en [a; b] . Paso 3 Evaluar f en los puntos hallados en (a) y en los extremos. Paso 4 El menor y mayor valor encontrado en el paso (3) es el mínimo y máximo absoluto de f.
  • 23. Ejercicio para desarrollar en clase Ejercicio Sea f la función definida por f (x) = 2x3 + 3x2 36x + 12, donde 0 x 5 Determine el mínimo y máximo absoluto de la función
  • 24. Ejercicio para desarrollar en clase Ejercicio Sea f la función definida por f (x) = 2x3 15x2 + 24x + 5, donde 1 x 3 Determine el mínimo y máximo absoluto de la función
  • 25. Ejercicio para desarrollar en clase Ejercicio Sea f la función definida por f (x) = x3 3x2 45x 5, donde 0 x 4 Determine el mínimo y máximo absoluto de la función
  • 26. Ejercicio para desarrollar en clase Ejercicio Un artículo en una revista de sociología afirma que si ahora se iniciase un programa específico de servicio de salud, entonces al cabo de t años, n miles de personas ancianas recibirán beneficios directos, donde n (t) = t3 3 6t2 + 32t, 0 t 12 ¿Para qué valor de t el número de beneficiados es máximo?
  • 27. Ejemplo para el estudiante Problema Sea f la función definida por f (x) = x3 9x2 + 24x 5, donde 0 x 3 Determine el mínimo y máximo absoluto de la función
  • 28. Ejemplo para el estudiante Problema Sea f la función definida por f (x) = x3 9x2 + 24x 5, donde 0 x 3 Determine el mínimo y máximo absoluto de la función Paso1. Calculando los valores críticos f 0 (x) = x3 9x2 + 24x 5 0 f 0 (x) = 3x2 18x + 24
  • 29. Ejemplo para el estudiante Problema Sea f la función definida por f (x) = x3 9x2 + 24x 5, donde 0 x 3 Determine el mínimo y máximo absoluto de la función Paso1. Calculando los valores críticos f 0 (x) = x3 9x2 + 24x 5 0 f 0 (x) = 3x2 18x + 24 Resolviendo 3x2 18x + 24 = 0, luego x = 2, y x = 4
  • 30. Ejemplo para el estudiante Problema Sea f la función definida por f (x) = x3 9x2 + 24x 5, donde 0 x 3 Determine el mínimo y máximo absoluto de la función Paso1. Calculando los valores críticos f 0 (x) = x3 9x2 + 24x 5 0 f 0 (x) = 3x2 18x + 24 Resolviendo 3x2 18x + 24 = 0, luego x = 2, y x = 4 Paso 2. Seleccionando los valores críti- cos x = 2 2 [0; 3] Paso 3. Evaluando f en los extremos y en el punto crítico seleccionado x f (x) 0 f (0) = 5 mínimo 2 f (2) = 15 3 f (3) = 13 máximo
  • 31. Ejemplo para el estudiante Problema Sea f la función definida por f (x) = x3 9x2 + 24x 5, donde 0 x 3 Determine el mínimo y máximo absoluto de la función Paso1. Calculando los valores críticos f 0 (x) = x3 9x2 + 24x 5 0 f 0 (x) = 3x2 18x + 24 Resolviendo 3x2 18x + 24 = 0, luego x = 2, y x = 4 Paso 2. Seleccionando los valores críti- cos x = 2 2 [0; 3] Paso 3. Evaluando f en los extremos y en el punto crítico seleccionado x f (x) 0 f (0) = 5 mínimo 2 f (2) = 15 3 f (3) = 13 máximo Paso 4. f (0) = 5 es el mínimo absoluto de f cuando x 2 [0; 3] f (2) = 15 es el máximo absoluto de f cuando x 2 [0; 3]
  • 32. Bibliografia Referencias bibliográficas Arya, J.; Lardner, R. & Ibarra, V. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía (5a ed.). México, D.F. : Pearson Educación. Haeussler, E.; Paul, R. & Wood, R. (2008). Matemáticas para administración y economía (12a ed.). México, D.F. : Pearson Educación. Hoffmann, L & Bradley, G & Rosen, K. (2004). Cálculo aplicado para la administración, economía y ciencias sociales, México: Mc Graw Hill (8 ed.)