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Marginalidad en
funciones de varias
variables
Matemática II
CPEL
Saberes previos
Problema
Responda las preguntas, según corresponda
1 Determine la función de ingreso marginal si el ingreso de una empresa es modelado
por
I (q) = 80q 4q2
2 La utilidad por producir y vender q unidades de cierto producto es modelado por
U (q) =
3
20
q2
+ 100q 1000
Calcule U0 (300) y luego interpretar desde el punto de vista marginal.
Logros de aprendizaje
Al terminar la presente sesión usted estará en la capacidad de:
I Modelar el costo, ingreso y la utilidad marginal.
Logros de aprendizaje
Al terminar la presente sesión usted estará en la capacidad de:
I Modelar el costo, ingreso y la utilidad marginal.
I Interpretar el significado de la marginalidad
Logros de aprendizaje
Al terminar la presente sesión usted estará en la capacidad de:
I Modelar el costo, ingreso y la utilidad marginal.
I Interpretar el significado de la marginalidad
I Interpretar la derivada parcial de una función de varias variables, haciendo
uso de la marginalidad.
Situación motivadora
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Situación motivadora
Problema
Una empresa produce y vende dos artículos A y B. Si la función de ingresos viene dado
por
I (x; y) = 2x3
+ 2xy + 35x y2
+ 20y
donde x e y son el número de unidades producidas del artículo A y B, respectivamente.
Calcule e interprete el ingreso marginal respecto de las unidades producidas y vendidas
del producto B, cuando x = 4, y = 5.
Marginalidad: Costo marginal
Definición
Sea C (q1, q2) la función de costo de una empresa cuando produce q1 unidades
del artículo A y q2 unidades del artículo B.
I
∂C
∂q1
: Es el costo marginal respecto de las unidades producidas del artículo
A, se define como la variación aproximada en el costo cuando el número de
unidades producidas del producto A aumenta en una unidad y el número
de unidades producidas del producto B permanece constante.
I
∂C
∂q2
: Es el costo marginal respecto de las unidades producidas del artículo
B, se define como la variación aproximada en el costo cuando el número de
unidades producidas del producto A permanece constante y el número de
unidades producidas del producto B aumenta en una unidad.
Marginalidad: Ingreso marginal
Definición
Sea I (q1, q2) la función de ingreso de una empresa cuando produce y vende q1
unidades del artículo A y q2 unidades del artículo B.
I
∂I
∂q1
: Es el ingreso marginal respecto de las unidades producidas del
artículo A, se define como la variación aproximada en el ingreso cuando el
número de unidades vendidas del producto A aumenta en una unidad y el
número de unidades vendidas del producto B permanece constante.
I
∂I
∂q2
: Es el ingreso marginal respecto de las unidades producidas del
artículo B, se define como la variación aproximada en el ingreso cuando el
número de unidades vendidas del producto A permanece constante y el
número de unidades vendidas del producto B aumenta en una unidad.
Marginalidad: Utilidad marginal
Definición
Sea U (q1, q2) la función de utilidad de una empresa cuando produce y vende q1
unidades del artículo A y q2 unidades del artículo B.
I
∂U
∂q1
: Es la utilidad marginal respecto de las unidades producidas del
artículo A, se define como la variación aproximada de la utilidad cuando el
número de unidades producidas y vendidas del producto A aumenta en
una unidad y el número de unidades producidas y vendidas del producto B
permanece constante.
I
∂U
∂q2
: Es la utilidad marginal respecto de las unidades producidas del
artículo B, se define como la variación aproximada en la utilidad cuando el
número de unidades producidas y vendidas del producto A permanece
constante y el número de unidades producidas y vendidas del producto B
aumenta en una unidad.
Ejercicio para desarrollar en clase
Ejercicio
Una empresa vende dos productos A y B, para los cuales la empresa ha determinado que
las ecuaciones de demanda viende dado por
pA = 35 2x2
, pB = 20 y + x
donde pA y pB son los precios unitarios de los productos A y B cuando el mercado
demanda x unidades del producto A e y unidades del producto B. Determine los ingresos
marginales de la empresa.
Ejercicio para desarrollar en clase
Ejercicio
Una empresa produce y vende dos artículos A y B. Si la función de ingresos viene dado
por
I (x; y) = 2x3
+ 2xy + 35x y2
+ 20y
donde x e y son el número de unidades producidas del artículo A y B, respectivamente.
Calcule e interprete el ingreso marginal respecto de las unidades producidas y vendidas
del producto B, cuando x = 4, y = 5
Ejercicio para desarrollar en clase
Ejercicio
Una empresa produce y vende dos artículos A y B. Si la función de ingresos viene dado
por
I (x; y) = 2x3
+ xy + 30x 2y2
+ 20y
donde x e y son el número de unidades producidas y vendidas del artículo A y B,
respectivamente. Además la función de costos conjuntos es dado por
C (x; y) = 8 2x3
+ 3xy + 25x + 10y + x
Modele las utilidades marginales.
Ejercicio para desarrollar en clase
Ejercicio
La función de producción P de un producto, expresdo en soles, elaborado por cierta
empresa está dada por
P (L; K) = 10K0,4
L0,6
donde L es el tamaño de la fuerza laboral medido en horas-trabajador por semana y K es
el monto de capital invertido por semana expresada en dólares. Determine las
productividades marginales cuando L = 100 y K = 500. Interprete sus resultados.
Ejemplo para el estudiante
Ejemplo
Una tienda vende dos marcas de camisetas de ciclismo de montaña, patrocinada
por dos grandes corredores, una por Nino Shurt y la otra por David Velero. La
empresa ha determinado que el ingreso total (en dólares) es modelado por
I(x; y) = 25x2
+ 110xy + 500x 60y2
+ 600y
donde x e y son los precios unitarios (en dólares) de las camisetas patrocinada
por Nino Shurt y David Velero, respectivamente. Determine el ingreso marginal
respecto del precio de la camiseta patrocinado por David Velero cuando x = 20
y y = 15.
Ejemplo para el estudiante
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Una tienda vende dos marcas de camisetas de ciclismo de montaña, patrocinada
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donde x e y son los precios unitarios (en dólares) de las camisetas patrocinada
por Nino Shurt y David Velero, respectivamente. Determine el ingreso marginal
respecto del precio de la camiseta patrocinado por David Velero cuando x = 20
y y = 15.
Nos piden ∂I
∂y (20; 15)
Paso 1: Determinando la derivada del ingreso respecto de y
Iy = 25x2
+ 110xy + 500x 60y2
+ 600y
y
Iy = 110x 120y + 600
Paso 2: Evaluando en (20; 15)
Iy (20; 15) = 110 (20) 120 (15) + 600 = 1000
Bibliografia
Referencias bibliográficas
Arya, J.; Lardner, R. & Ibarra, V. (2009). Matemáticas aplicadas a la
administración y a la economía (5a ed.). México, D.F. : Pearson Educación.
Haeussler, E.; Paul, R. & Wood, R. (2008). Matemáticas para administración
y economía (12a ed.). México, D.F. : Pearson Educación.
Hoffmann, L & Bradley, G & Rosen, K. (2004). Cálculo aplicado para la
administración, economía y ciencias sociales, México: Mc Graw Hill (8 ed.)

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  • 1. Marginalidad en funciones de varias variables Matemática II CPEL
  • 2. Saberes previos Problema Responda las preguntas, según corresponda 1 Determine la función de ingreso marginal si el ingreso de una empresa es modelado por I (q) = 80q 4q2 2 La utilidad por producir y vender q unidades de cierto producto es modelado por U (q) = 3 20 q2 + 100q 1000 Calcule U0 (300) y luego interpretar desde el punto de vista marginal.
  • 3. Logros de aprendizaje Al terminar la presente sesión usted estará en la capacidad de: I Modelar el costo, ingreso y la utilidad marginal.
  • 4. Logros de aprendizaje Al terminar la presente sesión usted estará en la capacidad de: I Modelar el costo, ingreso y la utilidad marginal. I Interpretar el significado de la marginalidad
  • 5. Logros de aprendizaje Al terminar la presente sesión usted estará en la capacidad de: I Modelar el costo, ingreso y la utilidad marginal. I Interpretar el significado de la marginalidad I Interpretar la derivada parcial de una función de varias variables, haciendo uso de la marginalidad.
  • 7. Situación motivadora Problema Una empresa produce y vende dos artículos A y B. Si la función de ingresos viene dado por I (x; y) = 2x3 + 2xy + 35x y2 + 20y donde x e y son el número de unidades producidas del artículo A y B, respectivamente. Calcule e interprete el ingreso marginal respecto de las unidades producidas y vendidas del producto B, cuando x = 4, y = 5.
  • 8. Marginalidad: Costo marginal Definición Sea C (q1, q2) la función de costo de una empresa cuando produce q1 unidades del artículo A y q2 unidades del artículo B. I ∂C ∂q1 : Es el costo marginal respecto de las unidades producidas del artículo A, se define como la variación aproximada en el costo cuando el número de unidades producidas del producto A aumenta en una unidad y el número de unidades producidas del producto B permanece constante. I ∂C ∂q2 : Es el costo marginal respecto de las unidades producidas del artículo B, se define como la variación aproximada en el costo cuando el número de unidades producidas del producto A permanece constante y el número de unidades producidas del producto B aumenta en una unidad.
  • 9. Marginalidad: Ingreso marginal Definición Sea I (q1, q2) la función de ingreso de una empresa cuando produce y vende q1 unidades del artículo A y q2 unidades del artículo B. I ∂I ∂q1 : Es el ingreso marginal respecto de las unidades producidas del artículo A, se define como la variación aproximada en el ingreso cuando el número de unidades vendidas del producto A aumenta en una unidad y el número de unidades vendidas del producto B permanece constante. I ∂I ∂q2 : Es el ingreso marginal respecto de las unidades producidas del artículo B, se define como la variación aproximada en el ingreso cuando el número de unidades vendidas del producto A permanece constante y el número de unidades vendidas del producto B aumenta en una unidad.
  • 10. Marginalidad: Utilidad marginal Definición Sea U (q1, q2) la función de utilidad de una empresa cuando produce y vende q1 unidades del artículo A y q2 unidades del artículo B. I ∂U ∂q1 : Es la utilidad marginal respecto de las unidades producidas del artículo A, se define como la variación aproximada de la utilidad cuando el número de unidades producidas y vendidas del producto A aumenta en una unidad y el número de unidades producidas y vendidas del producto B permanece constante. I ∂U ∂q2 : Es la utilidad marginal respecto de las unidades producidas del artículo B, se define como la variación aproximada en la utilidad cuando el número de unidades producidas y vendidas del producto A permanece constante y el número de unidades producidas y vendidas del producto B aumenta en una unidad.
  • 11. Ejercicio para desarrollar en clase Ejercicio Una empresa vende dos productos A y B, para los cuales la empresa ha determinado que las ecuaciones de demanda viende dado por pA = 35 2x2 , pB = 20 y + x donde pA y pB son los precios unitarios de los productos A y B cuando el mercado demanda x unidades del producto A e y unidades del producto B. Determine los ingresos marginales de la empresa.
  • 12. Ejercicio para desarrollar en clase Ejercicio Una empresa produce y vende dos artículos A y B. Si la función de ingresos viene dado por I (x; y) = 2x3 + 2xy + 35x y2 + 20y donde x e y son el número de unidades producidas del artículo A y B, respectivamente. Calcule e interprete el ingreso marginal respecto de las unidades producidas y vendidas del producto B, cuando x = 4, y = 5
  • 13. Ejercicio para desarrollar en clase Ejercicio Una empresa produce y vende dos artículos A y B. Si la función de ingresos viene dado por I (x; y) = 2x3 + xy + 30x 2y2 + 20y donde x e y son el número de unidades producidas y vendidas del artículo A y B, respectivamente. Además la función de costos conjuntos es dado por C (x; y) = 8 2x3 + 3xy + 25x + 10y + x Modele las utilidades marginales.
  • 14. Ejercicio para desarrollar en clase Ejercicio La función de producción P de un producto, expresdo en soles, elaborado por cierta empresa está dada por P (L; K) = 10K0,4 L0,6 donde L es el tamaño de la fuerza laboral medido en horas-trabajador por semana y K es el monto de capital invertido por semana expresada en dólares. Determine las productividades marginales cuando L = 100 y K = 500. Interprete sus resultados.
  • 15. Ejemplo para el estudiante Ejemplo Una tienda vende dos marcas de camisetas de ciclismo de montaña, patrocinada por dos grandes corredores, una por Nino Shurt y la otra por David Velero. La empresa ha determinado que el ingreso total (en dólares) es modelado por I(x; y) = 25x2 + 110xy + 500x 60y2 + 600y donde x e y son los precios unitarios (en dólares) de las camisetas patrocinada por Nino Shurt y David Velero, respectivamente. Determine el ingreso marginal respecto del precio de la camiseta patrocinado por David Velero cuando x = 20 y y = 15.
  • 16. Ejemplo para el estudiante Ejemplo Una tienda vende dos marcas de camisetas de ciclismo de montaña, patrocinada por dos grandes corredores, una por Nino Shurt y la otra por David Velero. La empresa ha determinado que el ingreso total (en dólares) es modelado por I(x; y) = 25x2 + 110xy + 500x 60y2 + 600y donde x e y son los precios unitarios (en dólares) de las camisetas patrocinada por Nino Shurt y David Velero, respectivamente. Determine el ingreso marginal respecto del precio de la camiseta patrocinado por David Velero cuando x = 20 y y = 15. Nos piden ∂I ∂y (20; 15) Paso 1: Determinando la derivada del ingreso respecto de y Iy = 25x2 + 110xy + 500x 60y2 + 600y y Iy = 110x 120y + 600 Paso 2: Evaluando en (20; 15) Iy (20; 15) = 110 (20) 120 (15) + 600 = 1000
  • 17. Bibliografia Referencias bibliográficas Arya, J.; Lardner, R. & Ibarra, V. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía (5a ed.). México, D.F. : Pearson Educación. Haeussler, E.; Paul, R. & Wood, R. (2008). Matemáticas para administración y economía (12a ed.). México, D.F. : Pearson Educación. Hoffmann, L & Bradley, G & Rosen, K. (2004). Cálculo aplicado para la administración, economía y ciencias sociales, México: Mc Graw Hill (8 ed.)