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Conjuntos Números Reales Valor absoluto Desigualdades

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República Bolivariana de Venezuela Ministerio del
Poder Popular para la
Educación Universidad Politécnica Territorial
Andrés Eloy Banco Edo. Lara
Programa Nacional de Formación en Deporte
Conjuntos, números Reales
Valor absoluto y Desigualdades
Valeria Zambrano
C.I: 30.105.462
PNF: Deporte.
¿QUÉ ES UN CONJUNTO?
Un conjunto es la agrupación de diferentes elementos que comparten entre sí
características y propiedades semejantes. Estos elementos pueden ser sujetos u objetos,
tales como números, canciones, meses, personas, etc. Por ejemplo: el conjunto de números
primos o el conjunto de planetas del sistema solar.
La teoría de conjuntos es la rama de la matemática que estudia a los conjuntos. Fue
introducida como disciplina por el matemático ruso Georg Cantor, quien definió al
conjunto como la colección de elementos finitos o infinitos y lo utilizó para explicar las
matemáticas.
Cantor estudió el conjunto de números racionales y naturales y fue revolucionario su
descubrimiento de los conjuntos de números infinitos, ya que develó la existencia de
infinitos de diferentes tamaños al asegurar que siempre se puede encontrar un infinito
mayor.
Los descubrimientos de Cantor no fueron bien recibidos en el ámbito matemático de finales
del siglo XIX. Sin embargo, hoy es considerado un visionario en el estudio de lo que él
denominó los trans-finitos, estudio que contribuyó al de los conjuntos abstractos e infinitos.
Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por
ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo,
el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular,
un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha
lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:
S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} = {martes, viernes, jueves, lunes, miércoles}
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} = {amarillo, naranja, rojo, verde,
violeta, añil, azul}
OPERACIÓN CON CONJUNTOS
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten
realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con
conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y
complemento.
Unión de conjuntos
Supongamos que tenemos los conjuntos M
y N definidos como se muestra en la
siguiente figura:
Podemos crear otro conjunto conformado con los elementos que pertenezcan a “M” o “N”
a. A este nuevo conjunto le llamamos unión de “M” y “N” , y lo notamos de la siguiente
manera: . En la imagen de abajo puedes observar el resultado de unir los conjuntos “M” y
“N”.
Al elegir qué elementos estarán en la unión de nuestros conjuntos “M” y ”N” , debes
preguntarte cuáles están en el conjunto “M” o en el conjunto “N ”. El resultado de la
operación será el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal “U”,
que cumplan la condición de estar en uno o en otro.
Tenemos en este caso:
M U N = {a, c b, g, e, l}:
Intersección de conjuntos
Sigamos tomando como ejemplo los conjuntos “M” y “N” definidos anteriormente.
Podemos determinar un nuevo conjunto conformado por los elementos que nuestros
conjuntos “M” y “N” tienen en común. A este nuevo conjunto le llamamos intersección de
“M” y “N” , y lo notamos de la siguiente
manera: M U N
Para determinar qué elementos pertenecen a la intersección de los conjuntos “M” y
“N” te puedes preguntar qué elementos están en “M” y “N” en Todos los elementos del
conjunto “U” que cumplan esta condición deberán estar en el conjunto M U N. En la figura
de la arriba puedes ver la intersección de nuestros conjuntos “M” y “N”.
MUN = {b}.
Diferencia de conjuntos
Sean A y B conjuntos. La diferencia del conjunto A menos B, denotado por A – B, es el
conjunto formado por los elementos que estén en A y no en B.
Este conjunto, expresado por comprensión es:A – B = { x pertenece U / x pertenece A ˄ x
no pertenece B}Así, podemos decir que los elementos de la diferencia de A con B son
aquéllos que estén únicamente en A.
Ejemplo:
En la figura de la derecha, está señalado en
verde el conjunto A – B
Complemento de un conjunto
El complementario del conjunto A es el
conjunto, denotado por Al, formado por los
elementos del universal U que no estén en A.
Este conjunto, expresado por comprensión es:
Al = { x pertenece U / x no pertenece A}
Ejemplo:
En la figura de la derecha, está señalado en verde
el conjunto Al.
Como cabe esperar, si un conjunto es el
complementario de otro conjunto, diremos que
ambos conjuntos son complementarios.
¿QUÉ SON LOS NÚMEROS REALES?
Cuando se definen los números reales se dice que son cualquier número que se
encuentre o corresponda con la recta real que incluye a los números racionales y números
irracionales, Por lo tanto, el dominio de los números reales se encuentra entre menos
infinito y más infinito.
Las principales características de los números reales son:
❖ Orden: Todos los números reales siguen un orden, por ejemplo 1, 2, 3, 4 …
❖ Integral. La integridad de los números reales marca que no hay espacios vacíos, es
decir, cada conjunto que dispone de un límite superior tiene un límite más pequeño.
❖ Infinitos: Los números reales no tienen final, ni por el lado positivo ni por el lado
negativo. Por eso su dominio está entre menos infinito y más infinito.
❖ Decimal: Los números reales pueden ser expresados como una expansión decimal
infinita.
Clasificación de los números reales
La clasificación de los números reales incluye los siguientes números:
❖ Números naturales: Son los números iguales o mayores que uno no decimales. El
conjunto de los números naturales no tiene en cuenta el cero.
❖ Números enteros: Son los números positivos y negativos no decimales, incluyendo
el cero. Es decir, los números naturales incluyendo los números negativos y el cero.
❖ Números racionales: Los que se pueden representar como el cociente de dos
enteros con denominador diferente a cero. Son las fracciones que pueden crearse utilizando
números naturales y enteros.
❖ Números irracionales: Aquellos que no pueden ser expresados como una fracción
de números enteros con denominador distinto a cero. Se trata de números decimales que no
pueden expresarse ni de manera exacta, ni de manera periódica, siendo el número pi un
ejemplo de este tipo de números.
Operaciones de los números reales
Las distintas operaciones de los números reales cumplen con una serie de propiedades:
❖ Propiedad Interna
Cuando se suman dos números reales el resultado que se obtiene es otro número real. Lo
mismo ocurre con la multiplicación de números reales, que también da como resultado otro
número real.
❖ Propiedad Asociativa
El modo en que se asocian o agrupan los sumandos no influye en el resultado de una suma.
En el caso de una multiplicación tampoco importa la asociación pues el resultado será
siempre el mismo
a + (b + c) = (a + b) + c
a x (b x c) = (a x b) x c
❖ Propiedad Conmutativa
Tanto la suma como la multiplicación de números reales cumplen con la propiedad
conmutativa que indica que el orden no varía el resultado.
a + b = b + a
a x b = b x a
❖ Elemento neutro y elemento opuesto
En la suma el cero se convierte en el elemento neutro pues cualquier número que se sume
con el 0 va a dar como resultado el mismo número.
a + 0 = a
Por su parte, si al sumar dos números reales se obtiene cero se dice que esos números son
opuestos (e - e = 0).
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  • 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Banco Edo. Lara Programa Nacional de Formación en Deporte Conjuntos, números Reales Valor absoluto y Desigualdades Valeria Zambrano C.I: 30.105.462 PNF: Deporte.
  • 2. ¿QUÉ ES UN CONJUNTO? Un conjunto es la agrupación de diferentes elementos que comparten entre sí características y propiedades semejantes. Estos elementos pueden ser sujetos u objetos, tales como números, canciones, meses, personas, etc. Por ejemplo: el conjunto de números primos o el conjunto de planetas del sistema solar. La teoría de conjuntos es la rama de la matemática que estudia a los conjuntos. Fue introducida como disciplina por el matemático ruso Georg Cantor, quien definió al conjunto como la colección de elementos finitos o infinitos y lo utilizó para explicar las matemáticas. Cantor estudió el conjunto de números racionales y naturales y fue revolucionario su descubrimiento de los conjuntos de números infinitos, ya que develó la existencia de infinitos de diferentes tamaños al asegurar que siempre se puede encontrar un infinito mayor. Los descubrimientos de Cantor no fueron bien recibidos en el ámbito matemático de finales del siglo XIX. Sin embargo, hoy es considerado un visionario en el estudio de lo que él denominó los trans-finitos, estudio que contribuyó al de los conjuntos abstractos e infinitos. Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es: AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …} Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo: S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} = {martes, viernes, jueves, lunes, miércoles} AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} = {amarillo, naranja, rojo, verde, violeta, añil, azul} OPERACIÓN CON CONJUNTOS Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con
  • 3. conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento. Unión de conjuntos Supongamos que tenemos los conjuntos M y N definidos como se muestra en la siguiente figura: Podemos crear otro conjunto conformado con los elementos que pertenezcan a “M” o “N” a. A este nuevo conjunto le llamamos unión de “M” y “N” , y lo notamos de la siguiente manera: . En la imagen de abajo puedes observar el resultado de unir los conjuntos “M” y “N”. Al elegir qué elementos estarán en la unión de nuestros conjuntos “M” y ”N” , debes preguntarte cuáles están en el conjunto “M” o en el conjunto “N ”. El resultado de la operación será el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal “U”, que cumplan la condición de estar en uno o en otro. Tenemos en este caso: M U N = {a, c b, g, e, l}: Intersección de conjuntos Sigamos tomando como ejemplo los conjuntos “M” y “N” definidos anteriormente. Podemos determinar un nuevo conjunto conformado por los elementos que nuestros conjuntos “M” y “N” tienen en común. A este nuevo conjunto le llamamos intersección de “M” y “N” , y lo notamos de la siguiente manera: M U N
  • 4. Para determinar qué elementos pertenecen a la intersección de los conjuntos “M” y “N” te puedes preguntar qué elementos están en “M” y “N” en Todos los elementos del conjunto “U” que cumplan esta condición deberán estar en el conjunto M U N. En la figura de la arriba puedes ver la intersección de nuestros conjuntos “M” y “N”. MUN = {b}. Diferencia de conjuntos Sean A y B conjuntos. La diferencia del conjunto A menos B, denotado por A – B, es el conjunto formado por los elementos que estén en A y no en B. Este conjunto, expresado por comprensión es:A – B = { x pertenece U / x pertenece A ˄ x no pertenece B}Así, podemos decir que los elementos de la diferencia de A con B son aquéllos que estén únicamente en A. Ejemplo: En la figura de la derecha, está señalado en verde el conjunto A – B Complemento de un conjunto El complementario del conjunto A es el conjunto, denotado por Al, formado por los elementos del universal U que no estén en A. Este conjunto, expresado por comprensión es: Al = { x pertenece U / x no pertenece A} Ejemplo: En la figura de la derecha, está señalado en verde el conjunto Al. Como cabe esperar, si un conjunto es el complementario de otro conjunto, diremos que ambos conjuntos son complementarios.
  • 5. ¿QUÉ SON LOS NÚMEROS REALES? Cuando se definen los números reales se dice que son cualquier número que se encuentre o corresponda con la recta real que incluye a los números racionales y números irracionales, Por lo tanto, el dominio de los números reales se encuentra entre menos infinito y más infinito. Las principales características de los números reales son: ❖ Orden: Todos los números reales siguen un orden, por ejemplo 1, 2, 3, 4 … ❖ Integral. La integridad de los números reales marca que no hay espacios vacíos, es decir, cada conjunto que dispone de un límite superior tiene un límite más pequeño. ❖ Infinitos: Los números reales no tienen final, ni por el lado positivo ni por el lado negativo. Por eso su dominio está entre menos infinito y más infinito. ❖ Decimal: Los números reales pueden ser expresados como una expansión decimal infinita. Clasificación de los números reales La clasificación de los números reales incluye los siguientes números: ❖ Números naturales: Son los números iguales o mayores que uno no decimales. El conjunto de los números naturales no tiene en cuenta el cero. ❖ Números enteros: Son los números positivos y negativos no decimales, incluyendo el cero. Es decir, los números naturales incluyendo los números negativos y el cero. ❖ Números racionales: Los que se pueden representar como el cociente de dos enteros con denominador diferente a cero. Son las fracciones que pueden crearse utilizando números naturales y enteros. ❖ Números irracionales: Aquellos que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador distinto a cero. Se trata de números decimales que no pueden expresarse ni de manera exacta, ni de manera periódica, siendo el número pi un ejemplo de este tipo de números.
  • 6. Operaciones de los números reales Las distintas operaciones de los números reales cumplen con una serie de propiedades: ❖ Propiedad Interna Cuando se suman dos números reales el resultado que se obtiene es otro número real. Lo mismo ocurre con la multiplicación de números reales, que también da como resultado otro número real. ❖ Propiedad Asociativa El modo en que se asocian o agrupan los sumandos no influye en el resultado de una suma. En el caso de una multiplicación tampoco importa la asociación pues el resultado será siempre el mismo a + (b + c) = (a + b) + c a x (b x c) = (a x b) x c ❖ Propiedad Conmutativa Tanto la suma como la multiplicación de números reales cumplen con la propiedad conmutativa que indica que el orden no varía el resultado. a + b = b + a a x b = b x a ❖ Elemento neutro y elemento opuesto En la suma el cero se convierte en el elemento neutro pues cualquier número que se sume con el 0 va a dar como resultado el mismo número. a + 0 = a Por su parte, si al sumar dos números reales se obtiene cero se dice que esos números son opuestos (e - e = 0).
  • 7. En cuanto a la multiplicación, el elemento neutro en los números reales es el 1, ya que cualquier número real que se multiplique por 1 da lugar al mismo número. a x 1 = a 0.453 x 1 = 0.453 ❖ En multiplicación el inverso de un número es aquel que, al multiplicarlo, da como resultado la unidad: a x 1/a = 1 3.4 x 1/3.4 = 1 ❖ Propiedad Distributiva El producto de un número real por una suma de números reales es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos. a x (b + c) = a x b + a x c Al proceso inverso de la propiedad distributiva se le conoce como sacar el factor común. a x b + a x c = a x (b + c) La gran mayoría de las situaciones físicas que tienen lugar se modelan con números reales por lo que son de suma importancia. El conjunto de los números reales está formado por otros números como los naturales, enteros, racionales e irracionales. Los números reales son infinitos y siguen un orden, pudiendo ser decimales y negativos. Es habitual que utilicemos los números naturales en el día a día y que sepamos mucho más de ellos de lo que pensamos, porque forman parte importante en nuestra sociedad para organizar, contar y realizar cálculos.
  • 8. Números enteros Los números son signos o conjuntos de signos que permiten expresar una cantidad en relación a su unidad y abarca diversas clasificaciones que dan lugar a conjuntos como: números naturales (1, 2, 3, 4…), números racionales y otros. Los números enteros cubren los números naturales, incluidos el cero y los números negativos (el resultado de restar un número natural de otro). Es decir, los números enteros son aquellos números positivos y negativos, incluido el cero, que no tienen parte decimal dentro de su estructura (3,28, por ejemplo, no es un número entero). El término entero se deriva del número latino y se representa con la letra Z. Entonces, los números enteros se dividen en tres partes: ❖ Enteros positivos o números naturales. ❖ Enteros negativos. ❖ Cero. Números enteros: Los números enteros abarcan a los números naturales (los que se utilizan para contar los elementos de un conjunto), incluyendo al cero y a los números negativos (que son el resultado de restar a un número natural otro mayor). Por lo tanto, los números enteros son aquellos que no tienen parte decimal (es decir que 3,28, por ejemplo, no es un número entero). Enteros negativos: Los enteros negativos (-1, -2, -3, -4, y, -5) se encuentran a la izquierda del 0, por lo que sus valores son menores que 0. Los enteros positivos (1, 2, 3, 4, y, 5) se encuentran a la derecha del 0, por lo que sus valores son mayores que 0.
  • 9. Cero: El número cero se lo puede representar como la diferencia entre el mismo número o la suma de dos números opuestos. El cero es un número nulo, esto quiere decir que no es positivo ni negativo, es neutral o neutro. Números Racionales Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Racional = Rational = Ratio = Fracción => Sí podemos expresarlos como fracción de dos números enteros. En otras palabras, un número racional tiene la forma de “a” y “b” en donde y son números enteros. Ejemplos • • • Todo número entero es racional, esto ya que si es entero, entonces podemos expresarlo como , por ejemplo, es racional por que
  • 10. Números Irracionales Los números reales se dividen entre números irracionales y números racionales, los cuales pueden reducirse a números enteros y estos a números naturales. Los números irracionales quedan al margen y no pueden subdividirse más. Es decir, que técnicamente no existen tipos de números irracionales. Los números irracionales no podemos expresarlo como una fracción. Ejemplo: Otros ejemplos de números irracionales son: Número pi → Aunque habitualmente se aproxima al famoso 3,14, no se puede expresar como fracción. Número e → Muy utilizado en matemáticas y especialmente en el caso de los logaritmos naturales. DESIGUALDADES La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien menor o igual. si queremos explicar cuál es la finalidad de este concepto con el menor número de palabras posibles diremos que; el objetivo de la desigualdad matemática es mostrar que dos sujetos matemáticos expresan valores diferentes.
  • 11. Signos de desigualdad matemática Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las desigualdades matemáticas posibles en los cinco siguientes: • Desigual a: ≠ • Menor que: < • Menor o igual que: ≤ • Mayor que: > • Mayor o igual que: ≥ Cada una de ellas debe relacionar dos elementos matemáticos. De modo que implicaría que a es menor a b, mientras que “a>b” significa que a es mayor a b. En el caso de “a≠b”, leeremos la expresión como a es desigual a b, “a≤b”; a es menor o igual a b, y “a≥b” implica que a es mayor o igual a b. Es también importante conocer que la expresión de desigualdad matemática “a≠b” no es excluyente con las expresiones “a” y “a>b”, de modo que, por ejemplo, “a≠b” y “a>b” pueden ser ciertas al mismo tiempo. Por otro lado, tampoco son excluyentes entre sí las expresiones “a≥b” y “a>b” o “a≤b” y “a”. Ejemplos Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de ocasiones, por dos miembros o componentes. Un miembro se encontrará a la izquierda del símbolo y el otro a la derecha. Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que “cuatro veces nuestra incógnita menos dos es superiores a nueve”. Siendo el elemento 4x-2 el elemento A y 9 el elemento B. La resolución nos mostraría que (en números naturales) la desigualdad se cumple si x es igual o superior a 3 (x≥3). VALOR ABSOLUTO valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar al valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que también se conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o negativo.
  • 12. Características del valor absoluto La definición del concepto indica que el valor absoluto siempre es igual o mayor que 0 y nunca es negativo. Por lo dicho anteriormente, podemos agregar que el valor absoluto de los números opuestos es el mismo; 8 y -8, de este modo, comparten el mismo valor absoluto: |8|. También se puede entender el valor absoluto como la distancia que existe entre el número y 0. El número 563 y el número -563 están, en una recta numérica, a la misma distancia del 0. Ese, por lo tanto, es el valor absoluto de ambos: |563|. La distancia que existe entre dos números reales, por otra parte, es el valor absoluto de su diferencia. Entre 8 y 5, por ejemplo, hay una distancia de 3. Esta diferencia tiene un valor absoluto de |3|. Desigualdades de valor absoluto (<) Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro. La desigualdad significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4 Así, y El conjunto solución es Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar. 1. Caso: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. 2. Caso: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b si entonces y
  • 13. Ejemplo. Solución. Sabiendo que: Por lo que el conjunto solución es el intervalo Desigualdades de valor absoluto(>) La desigualdad significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4 Así, o El conjunto solución es Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar. 1. Caso: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. 2. Caso: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b si entonces o
  • 14. Ejemplo. Solución. Sabiendo que: Por lo que el conjunto solución es: