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  1. OPERACIONES CON MONOMIOS 1.- Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indica su grado y coeficiente. 1.) 3x3 Grado: 3, coeficiente: 3 2.) 5x−3 No es un monomio, porque el exponente no es un número natural. 3.) 3x + 1 No es un monomio, porque aparece una suma. 4.) Grado: 1, coeficiente: 5.) 4 x 4 3  Grado: 4, coeficiente: 4 3  6.) 4 x 3  No es un monomio, no tiene exponente natural. 7.) No, porque la parte literal está dentro de una raíz. 2.- Realiza las siguientes sumas y restas de monomios. Recuerda que sólo se pueden sumar o restar aquellos monomios que son semejantes entre sí, esto es, los que tienen la misma parte literal. “Sumar o restar monomios consiste en sacar factor a la suma o resta de dos o más monomios”. Por lo tanto, el resultado de sumar o restar monomios semejantes entre sí es otro monomio que tiene: como coeficiente, la suma o la resta de los coeficientes, según corresponda; y como parte literal, la misma. 1.) 2x2 y3 z + 3x2 y3 z = 5x2 y3 z 2.) 2x3 − 5x3 = −3x3 3.) 3x4 − 2x4 + 7x4 = 8x4 4.) 2a2 bc3 − 5a2 bc3 + 3a2 bc3 − 2a2 bc3 = −2a2 bc3
  2. 3.- Efectúa los siguientes productos de monomios. Recuerda que para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las variables que componen la parte literal (“para multiplicar potencias con la misma base se deja como base la misma y se suman los exponentes”). Cuando una variable no tiene exponente se considera que el exponente es “1”. 1.) (2x3 ) · (5x3 ) = 10x6 2.) (12x3 ) · (4x) = 48x4 3.) 5 · (2x2 y3 z) = 10x2 y3 z 4.) (5x2 y3 z) · (2 y2 z2 ) = 10x2 y5 z3 5.) (18x3 y2 z5 ) · (6x3 yz2 ) = 108x6 y3 z7 6.) (−2x3 ) · (−5x) · (−3x2 ) = −30x6 4 Realiza las siguientes divisiones de monomios. Recuerda que para dividir monomios se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las variables que componen la parte literal (“para dividir potencias con la misma base se deja como base la misma y se los están los exponentes”). Siempre respetando el orden en el que están escritos los monomios. Cuando una variable no tiene exponente se considera que el exponente es “1”. 1.) (12x3 ) : (4x) = 3x2 2.) (18x6 y2 z5 ) : (6x3 yz2 ) = 3x3 yz3 3.) (36x3 y7 z4 ) : (12x2 y2 ) = 3xy5 z4 4.)  2 2 2 2 4 3 z y x 3 z y x 6 2 x y2 5.)   3 2 3 10 5 4 4 5 y x 6 y x 48 - y x 18 y x 24 4x3 y + 3x2 y2 − 8x8 6.)   2 2 6 12 7 5 5 3 y x 3 y x 48 - y x 18 y x 12 4xy3 + 6x3 y5 – 16x10 y4
  3. 5. Calcula las siguientes potencias de monomios. Recuerda que “para elevar una multiplicación a una potencia se eleva cada factor a dicha potencia”. Por lo tanto, para elevar un monomio a una potencia, se eleva el coeficiente a dicha potencia y se multiplica el exponente de la potencia por cada uno de los exponentes a los que están elevados las variables de la parte literal (“para elevar una potencia a otra potencia se deja la misma base y se multiplican los exponentes”). 1.) (2x3 )3 = 23 · (x3 )3 = 8x9 2.) (-3x2 )3 = (-3)3 · (x3 )2 = −27x6 3.) 2 3 x 3 2       =  2 3 2 x 3 2        = 6 x 9 4 OPERACIONES CON POLINOMIOS 1.- Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente. 1.) x4 − 3x5 + 2x2 + 5 Grado: 5, término independiente: 5. 2.) + 7x2 + 2 No es un polinomio, porque la parte literal del primer monomio está dentro de una raíz. 3.) 1 − x4 Grado: 4, término independiente: 1. 4.) 7 x x 2 2   No es un polinomio, porque el exponente del primer monomio no es un número natural. 5.) x3 + x5 + x2 Grado: 5, término independiente: 0. 6.) x − 2 x−3 + 8 No es un polinomio, porque el exponente del 2º monomio no es un número natural. 7.) 2 7 x x3   Grado: 3, término independiente: −7/2.
  4. 2.- Escribe: 1.) Un polinomio ordenado sin término independiente. 2.) Un polinomio no ordenado y completo. 3.) Un polinomio completo sin término independiente. 4.) Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares. 3.- Dados los polinomios: P(x) = 4x2 − 1 Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2 R(x) = 6x2 + x + 1 S(x) = 1/2x2 + 4 T(x) = 3/2x2 + 5 U(x) = x2 + 2 Efectúa las siguientes sumas y restas de polinomios. Recuerda que sumar o restar polinomios consiste en reducir términos semejantes y que “restar equivale a sumar al minuendo el opuesto del sustraendo”. Calcular: Desarrollo soluciones 1.) P(x) + Q (x) = x3 + x2 + 6x − 3 2.) P(x) − U (x) = 3x2 − 3 3.) P(x) + R (x) = 10x2 + x 4.) 2P(x) − R (x) = 2x2 − x − 3 5.) S(x) + T(x) + U(x) = 3x2 + 11 6.) S(x) − T(x) + U(x) = 1
  5. 4.- Dados los polinomios: P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1 Q(x) = x3 − 6x2 + 4 R(x) = 2x4 − 2x − 2 Calcular: Desarrollo soluciones P(x) + Q(x) − R(x) = −x4 + x3 − 8x2 − 4x + 5 P(x) + 2 Q(x) − R(x) = −x4 + 2x3− 14x2 − 4x + 9 Q(x) + R(x) − P(x)= x4 + x3 − 4x2 + 4x + 3 5.- Multiplica los siguientes polinomios. Recuerda que para multiplicar un factor por una suma debemos aplicar la propiedad distributiva. A la hora de efectuar una multiplicación de polinomios es conveniente que estén ordenados y completos. - Multiplicación de un polinomio por un monomio. 1) (2x3 – 3x2 + 5x – 3) . 3 x2 = 6x5 – 9 x4 + 15 x3 – 9 x2 2) (6x4 – 5 x2 – 7) . (– 4 x3 ) = – 24 x7 + 20 x5 + 28 x3 3) (9x – 13 x3 + 12 – 15 x2) . (– 2x3) = 26 x6 + 30 x5 – 18 x4 – 24 x3 4) (xy2 – 4x2 y3 + 5x3 y + 4x2 ) . (– 2 x3 y) = - Multiplicación de polinomios. Desarrollo soluciones 1.) (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x + 2) = 6x5 + 2x4 − 23x3 + 11x2 − 10x 2.) (x4 − 2x2 + 2) · (x2 − 2x + 3) = x6 −2x5 + x4 + 4x3 − 4x2 − 4x + 6 3.) (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5x3 − 6x2 + 4x − 3) = 6x6 − 25x5 + 31x4 + 8x3 − 62x2 + 39x − 18
  6. 6.- Dividir: Desarrollo soluciones 1.) (x4 − 2x3 − 11x2 + 30x − 20) : (x2 + 3x − 2) C.: x2 – 5.x + 6 R.: 2x – 8 2.) (x 6 + 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3) C.: x4 + x3 + 3x2 – 6 R.: – 6x2 – 2x 3.) Siendo P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1 calcular P(x):Q(x) = C.: x3 + 2x2 + 5x + 8 R.: 10x – 16 7.- Divide por Ruffini: Desarrollo soluciones 1.) (x3 + 2x + 70) : (x + 4) C.: x2 – 4x + 18 R.: – 2 2.) (x5 − 32) : (x − 2) C.: x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 R.: 0 3.) (x4 − 3x2 + 2 ) : (x −3) C.: x3 + 3x2 + 6x +18 R.: 56 8.- Halla el resto de las siguientes divisiones: Desarrollo soluciones 1.) (x5 − 2x2 − 3) : (x −1) Resto = – 4 2.) (2x4 − 2x3 + 3x2 + 5x + 10) : (x + 2) Resto = 60 3.) ( x4 − 3x2 + 2) : (x − 3) Resto = 56 9.- Indica cuáles de estas divisiones son exactas: Desarrollo soluciones 1.) (x3 − 5x −1) : (x − 3) No 2.) (x6 − 1) : (x + 1) Sí 3.) (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) : (x − 1) Sí 4.) (x10 − 1024) : (x + 2) Sí 10.- Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican: Desarrollo soluciones 1.) (x3 − 5x −1) tiene por factor (x − 3) (x − 3) no es un factor. 2.) (x6 − 1) tiene por factor (x + 1) (x + 1) es un factor.
  7. 3.) (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1) (x − 1) es un factor. 4.) (x10 − 1024) tiene por factor (x + 2) (x + 2) es un factor. POTENCIAS Y EXPRESIONES NOTABLES 1.- Calcula el resultado de los siguientes cuadrados de un binomio. 1.) (x + 5)2 = x 2 + 10 x + 25 2.) (2x − 5)2 = 4x2 − 20 x + 25 3.) (3x − 2)2 = 9x2 – 12 x + 4 4.) 2 2 x 2 1 x        = 2 3 4 x 4 1 x x   2.- Calcula el resultado de los siguientes cubos de un binomio. 1.) (2x − 3)3 = 8x 3 − 36 x2 + 54 x − 27 2.) (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8 3.) (3x − 2)3 = 27x 3 − 54x2 + 36x − 8 4.) (2x + 5)3 = 8x3 + 60 x2 + 150x + 125 3.- Calcula el resultado de los siguientes productos de binomios. 1.) (3x − 2) · (3x + 2) = 9x2 − 4 2.) (x + 5) · (x − 5) = x2 − 25 3.) (3x − 2) · (3x + 2) = 9x4 − 4 4.) (3x − 5) · (3x − 5) = 9x 2 – 25 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 1.- Factorizar los siguientes polinomios sacando factor común.
  8. x3 + x2 x2 (x + 1) 2x4 + 4x2 2x2 (x2 + 2) 2.- Descomponer en factores los polinomios utilizando las expresiones notables. x2 – 4 (X + 2) · (X − 2) 25x2 − 1= (5x +1) ·(5x − 1) 36x6 − 49 = (6x3 + 7) · (6x3 − 7) x2 − 2x + 1 = (x − 1) . (x − 1) = (x − 1)2 x2 − 6x + 9 = (x − 3) . (x − 3) = (x − 3)2 x2 − 20x + 100 = (x − 10) . (x − 10) = (x − 10)2 x2 + 10x +25 = (x + 5) . (x + 5) = (x + 5)2 x2 + 14x + 49 = (x + 7) . (x + 7) = (x + 7)2 9 + 6x + x2 (3 + x) . (3 + x) (3 + x)2 x4 – 16 (X + 2) · (X − 2) · (x2 + 4) x4 − 10x2 + 9 (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3) 3.- Factorizar los siguientes polinomios utilizando Ruffini. x2 – x – 6 (x + 2). (x – 3) x2 − 11x + 30 (x −6) · (x −5) x3 − x2 – 4 (x − 2) · (x2 + x + 2 ) x3 + 3x2 − 4 x – 12 (x − 2) · (x + 2) · (x +3) 6x3 + 7x2 − 9x + 2 (x+2) · (6x2 − 5x + 1) 2x3 − 7x2 + 8x – 3 (x −1)2 · (2x −3) 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )
  9. 4.- Factoriza los siguientes polinomios sacando factor común en primer lugar y aplicando las propiedades de las expresiones notables. 9x4 − 4x2 = x2 · (3x + 2) · (3x − 2) x5 + 20x3 + 100x = x . (x2 + 10)2 = x · (x2 + 10) . (x2 + 10) 3x5 − 18x3 + 27x = 3x · (x2 − 3)2 =3x · (x2 − 3) · (x2 − 3) 2x3 − 50x = 2x · (x + 5) · (x - 5) x3 − 4x2 + 4x = x · (x − 2)2 = x · (x − 2) · (x − 2) 3x7 − 27x = 3x · (x3 + 3) · (x3 − 3) 5.- Factoriza los siguientes polinomios sacando factor común en primer lugar y a continuación, aplica las propiedades de las expresiones notables o Ruffini, según convenga. 2x5 − 32x = 2x · (x2 + 4) ·(x +2) · (x − 2)