1. [MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES] UNIDAD 3
Geólogos Página 1
Sistema Masa-Resorte Movimiento Libre Amortiguado
El concepto del movimiento libre armónico no es realista porque el
movimiento que describe la ecuación
2
2
d x
m kx
dt
  supone que no hay
fuerzas de retardo que actúen sobre la masa en movimiento. A menos
que la masa este colgada en un vacío perfecto, cuando menos habrá
una fuerza de resistencia debida al medio que rodea al objeto. Según
se advierte en la figura 1, la masa podría estar suspendida en un
medio viscoso o conectado a un dispositivo amortiguador.
Figura 1. Movimiento Libre Amortiguado
Ecuación diferencial del movimiento libre amortiguado. En mecánica,
se considera que las fuerzas de amortiguamiento que actúan sobre un
cuerpo son proporcionales a alguna potencia de la velocidad
instantánea. En particular supondremos en el resto de la descripción
que esta fuerza esta expresada por un múltiplo constante de /dx dt .
Cuando no hay otras fuerzas externas aplicadas al sistema, este sigue
la segunda ley de Newton:

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2
2
d x dx
m kx
dtdt
   (1.1)
Donde  es una constante de amortiguamiento positiva y el signo
negativo es consecuencia del hecho que la fuerza amortiguadora
actúa en dirección opuesta a la del movimiento.
Al dividir la ecuación (1.1) entre la masa m, la ecuación diferencial del
movimiento libre amortiguado es    2 2
/ / / / 0d x dt m dx dt k m x   ,
o sea
2
2
2
2 0
d x dx
x
dtdt
    (1.2)
Donde
2
2 ,
k
m m

   (1.3)
El símbolo 2 solo se usa por comodidad algebraica, porque así la
ecuación auxiliar queda 2 2
2 0m m    y las raíces
correspondientes son
2 2 2 2
1 2,m m             (1.4)
Ahora podemos distinguir tres casos posibles que dependen del signo
algebraico de 2 2
  . Puesto que cada solución contiene al factor de
amortiguamiento t
e 
, 0  , los desplazamientos de la masa se
vuelven insignificantes cuando el tiempo es grande.
Caso I. 2 2
0   Aquí, se dice que el sistema esta
sobreamortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento,  , es
grande comparado con la constante de resorte, k . La solución
correspondiente de (1.2) es 1 2
1 2( ) mt m t
x t c e c e  , o bien

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2 2 2 2
1 2( ) t t t
x t e c e c e          
 
(1.5)
Esta ecuación representa un movimiento suave y no oscilatorio. La
figura 2 muestra dos gráficas posibles de ( )x t
Figura 2.
Caso II. 2 2
0   Se dice que el sistema esta críticamente
amortiguado puesto que cualquier pequeña disminución de la fuerza
de amortiguamiento originaría un movimiento oscilatorio. La solución
general de la ecuación (1.2) es 1 2
1 2( ) mt m t
x t c e c te  , es decir
1 2( ) ( )t
x t e c c t
  (1.6)
En la figura 3 vemos dos típicos gráficos de movimiento. Obsérvese
que se parecen mucho a los de un sistema sobreamortiguado.
También se aprecia, según la ecuación (1.6), que la masa puede
pasar de posición de equilibrio, a lo mas una vez.

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Figura 3.
Caso III. 2 2
0   Se dice que el sistema esta subamortiguado
porque es el coeficiente de amortiguamiento es pequeño en
comparación con la constante del resorte. Ahora las raíces 1m y 2m
son complejas:
2 2 2 2
1 2,m i m i            
Entonces, la solución general de la ecuación (1.2) es
2 2 2 2
1 2( ) cost
x t e c t c sen t
         
 
(1.7)
Como se aprecia en la figura 4 el movimiento que describe (1.7) es
oscilatorio pero, a causa de un coeficiente t
e 
, las amplitudes de
vibración tienden a cero cuando t 

5. [MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES] UNIDAD 3
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Figura 4.
Problema 1
Un contrapeso de 4 lb se une a un resorte cuya constante es de
2lb/pie. El medio presenta una resistencia al movimiento
numéricamente igual a la velocidad instantánea. Si el contrapeso se
suelta de un punto a 1 pie arriba de la posición de equilibrio con una
velocidad de 8 pie/s hacia abajo, calcule el tiempo en que pasa por la
posición de equilibrio. Encuentre el momento en que el contrapeso
llega a su desplazamiento extremo respecto a la posición de equilibrio.
¿Cuál es su posición en ese instante?
Solución
Tenemos que 2 /k lb pie . Entonces:
4 1
32 8
W
W mg m m m
g
      
Por lo tanto la ecuación diferencial del movimiento es:
2 2
2 2
1
2 1
8
1
'' ' 2 0
8
d x dx d x dx
m kx x
dt dtdt dt
x x x
       
  
Las condiciones iniciales son
(0) 1, '(0) 8x x  

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La ecuación auxiliar de la ecuación diferencial
'' 8 ' 16 0x x x  
Seria
  2
8 16 0 4 4m m m m     
Por lo tanto sus raíces son 1 2 4m m   . Por lo tanto el sistema es
críticamente amortiguado y
4 4
1 2( ) t t
x t c e c te 
  (1.8)
Al aplicar las condiciones iniciales
(0) 1, '(0) 8x x  
4(0) 4(0)
1 2
1
1
(0) 1
0
1 (0)
1
x
x
t
c e c e
c
 
 
   

   
 
4(0) 4(0) 4(0)
1 2 2
1 2 2 2
8
(0) 8
0
8 4 4 (0)
8 4 8 4( 1) 4
x
x
t
c e c e c e
c c c c
  

  

    
         
Así la ecuación del movimiento es
4 4
( ) 4t t
x t e te 
   (1.9)
Para graficar ( )x t , se calcula el valor de t donde la función tiene un
extremo esto es, el valor del tiempo para que la primera derivada
(velocidad) es cero. Al diferenciar la ecuación (1.9) tenemos:

7. [MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES] UNIDAD 3
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4 4 4
4 4
'( ) 4 16 4
'( ) 8 16
t t t
t t
x t e te e
x t e te
  
 
   
 
Así que
4 4 4
'( ) 0
0 8 16 0 (8 16 )
0 8 16 8 /16 1/ 2
t t t
x t
e te e t
t t t
  
 
    
      
4 4
4 4 4
( ) 0
( ) 4
0 4 0 ( 1 4 )
0 1 4 1/ 4
t t
t t t
x t
x t e te
e te e t
t t
 
  
 
   
       
     
Por lo tanto el momento en que el contrapeso llega a su
desplazamiento extremo respecto a la posición de equilibrio. Sera:
4 4
4(1/2) 4(1/2)
2 2
2
( ) 4 1/ 2
(1/ 2) 4(1/ 2)
(1/ 2) 2
(1/ 2)
t t
x t e te t
x e e
x e e
x e pies
 
 
 

     
   
   
