1. Dao đo ng tự do củ a da y nự a vo ha n
1. Phương trình dao động:
2 2
   
2
 
2 2
0
0
u u x
a
t x t
   
 Điều kiện ban đầu:
 
 
     
u f x x
0
u
0
( ) 0;
( ) 0;
t
t
F x x
t




    
 
 Điều kiện biên:
Biên bị buộc:
u t
0
0 ( 0)
x

  
Biên tự do:
0
0
u
x x




2. Cách giải:
x at
1 1
 
u ( x , t ) f ( x at ) f ( x at ) F ( z )
dz
     
2 2
x at
a


Xét sợi dây vô hạn chứa dây nửa vô hạn, thỏa điều kiện:
 
     


     
 
   

    
 
 
 
u f 0 1
x
u
F x
1

t
0
f x f x
F x F x
t
1
1
( ) , x ,
( ) , x ,
t

( ) (x) khi 0;
( ) (x) khi 0;
1 1
 1 1  1
u x t f x at f x at F z dz
      
( , ) ( ) ( ) ( )
2 2
x at
x at
a


a. Nếu biên x=0 bị buộc thì:

2. at
1 1
 1 1  1
f at f at F z dz
( ) ( ) ( ) 0
    
2 2
at
a

Suy ra: f1(x),F1(x) là hàm lẻ
Ví dụ: S4 dây nửa vô hạn với điều kiện đầu
 
 
     


     
  
    
Xét dây vô hạn thỏa mãn điều kiện:
u f x
0
u x
2
0
0
( ) sin 5x , x 0;
( ) , x 0;
1
0 , 0
t

t
x
F x
t 
x
u t

 
 u  f x
    


u x
      
  
 
    
0 1
1 2
0
0
( ) sin 5x , x ;
( ) , x ;
1
0 , 0
t

t
x
F x
t 
x
u t

 
 
2
1
2
, 0;
1
( )
, ;0
1
x
x
x
F x
x
x
x

  
 
  
 
;
 sin 5 x , x
  0;


1
( )
 
sin 5 ,  ;0
 f x
x x
  
x at
1 1
 1 1  1
u ( x , t ) f ( x at ) f ( x at ) F ( z )
dz
     
2 2
x at
a


x 
at
1 1
 sin(5 5 ) sin(5 5 )
 2
2 2 1
x at
z
x at x at dz
a z

    
 
1 1 ( ) 1
 
2
2
sin(5 5 ) sin(5 5 ) ln
2 4 ( ) 1
2
1 ( ) 1
2
sin 5 cos5 ln
4 ( ) 1
x at
x at x at
a x at
x at
x at
a x at
 
    
 
 
 
 
Cho x  0
2
1 ( ) 1
 
   
ln 0 0
x o
4 ( ) 2
1 x at
u t
a x at 
 
Vậy:

3.  
2
1 ( ) 1
2
( , ) sin 5 cos5 ln
4 ( ) 1
0; , 0
x at
u x t x at
a x at
x t
 
 
 
   
b. Nếu biên 0 x  dao động tự do
at
1 1
 1 1  1
f at f at F z dz
'( ) '( ) '( ) 0
    
2 2
at
a

Suy ra ''
11( ),F( ) f x x là hàm lẻ; 11( ), ( ) f x Fx là hàm chẵn
Ví dụ
S4: Dây nửa vô hạn


 u  f x
   
 

0
 u   x

   
  
0
  
   
 0
( ) , x 0;
1 0 1
( )
0 1
0 , 0
t
t
x
F x
t x
u
t
x


Vẽ hình dạng sợi dây nửa vô hạn dao động không li độ ban đầu tại t=1
Xét dây vô hạn:
1  
u f x x

u x
1
0
( ) 0 ;
1 1 1
( )
0 1
t o
t
F x
t x

     
    
 
  
Suy ra:
 
1
u x t F z x at x at
( , ) ( )dz ( ) ( )
       
2
x at
x at
a


Với
0
1
1 1
2
1 1
( ) ( )dz 1
2 2
1
1
2
x at
x
ax
x F z x
a a
x
a


   

    


   


4. Hình dạng dây vô hạn tại t=1
  1
u x x
( 1) ( 1)
t

     