1.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
CHUYÊN ĐỀ: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
1) Hàm đặc trưng được xác định ngay từ một phương trình trong hệ
Bài ❶: Giải hệ phương trình
3 - 3
= - 2 2
ïíï
(1)
1 (2)
ìï
x y y x
x xy y
+ + = ïî
Lời giải:
Ta có : (1)Û x 3 +x = y3 +y Û f (x) = f (y) với + f (t) = t 3 +t
f '(t) = 3t2 +1> 0"t Î ¡ nên hàm số f (t) đồng biến trên ¡
Nên (1)Û x = y thay vào (2) ta được phương trình:
x2 +x2 +x2 = 12 Û x = ±2
Với x = ±2 Þy = ±2
Vậy hệ có 2 nghiệm là (x;y) = (2;2); (-2;-2)
Bài ❷: Giải hệ phương trình
x 3 y 3
x y
x 2 y
4
3 3 (1)
1 (2)
ìï
- = - ïíï
+ = ïî
Lời giải:
Ta có : Û x 3 -3x -y3 -3y Û f (x) = f (y) với f (t) = t 3 -3t
Từ phương trình (2) : x2 +y4 = 1Þ| x |,| y |£1Þt £1
Khi đó f '(t) = 3t2 -3 £ 0"t £1
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 1

2.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
Hàm số f (t) nghịch biến trên (-¥;1) . Nên (1)Û x = y thay vào (2) ta được:
- + - +
2 4 4 2 2 1 5 1 5
+ = Û + - = Û = Û = ±
x x 1 x x 1 0
x x
2 2
- + - +
Với 1 5 1 5
= ± Þ = ±
x y
2 2
Vậy hệ có 2 nghiệm
1 5 1 5 1 5 1 5
( ; ) ; ; ; .
2 2 2 2
x y
æç ö÷ æç ö÷ ç - + - + ÷÷ ç - + - + ÷÷ = çç ÷ çç- - ÷ çç ÷÷ çç ÷÷ è ø è ø
Bài ❸: Giải hệ phương trình
3 3 2
x x y y y
x 5 y
3
2 3 4 (1)
1 0 (2)
ìï
+ - = + + ïíï
+ + = ïî
Lời giải:
(1)Û x 3 +x = y3 + 3y2 + 4y +2 Û x 3 +x = (y +1)3 +(y +1)
Û f (x) = f (y +1) với f (t) = t 3 +t
f '(t) = 3t2 +1> 0"t Î ¡ . Nên (1)Û x = y +1Û y = x -1 thay vào (2) ta được:
x 5 +(x -1)3 +1 = 0
Û x (x 4 +x 2 -3x + 3) = 0
é êÛ é = 0
ê = Û ê æ ö 2
ê 4 + 2 ë ê - + = ê ê 4
+ç - ÷÷ + = çè
ç êë
ç ø ÷ ÷ Với x = 0 Þy = -1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;-1).
0
3 3 0 3 3 0
2 4
x
x
x x x x x
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 2

3.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
Bài ❹: Giải hệ phương trình
x x y y
x y y
3 2 3 (1)
3 2 3 2
3 2 2
8 (2)
ìï
- + = + ïïíï
- = + ïï
î
Lời giải:
Điều kiện:
ïï
ìï
ï 3 + 2
³ ïï ï ³ í + ³ Û ïï ïï í î ³ î
- ³ ìï
y y
2
3 0
0
8 0
2
2 0
y
y y
x
x
Khi đó 3 2 (1) Û x -3x +2 = y y + 3
( )3
Û(x -1)3 -3(x -1) = y +3 -3 y +3
Û f (x -1) = f ( y + 3) với f (t) = t 3 -3t
f '(t) = 3t2 -3 ³ 0"t ³1 .Hàm số f (t) đồng biến trên (1;+¥)
Nên 2 (1)Û x -1 = y + 3 Û x -2x +1 = y + 3
Kết hợp với (2) ta có hệ phương trình :
ìï ïï x - x + = y + ï ìï x - x + = y + ìï ï x - x - = y
¢ íï Û - = + íï Û îïï ïî - = + íï ïî
- = + ¢ Thế (1') vào (2') ta được phương trình:
2 1 3 2 1 3 2 2 (1 )
2 2 2
x y y x y y x y y
3 2 2 8 9( 2) 2 8 9 18 2
8 (2 )
( ) ( ) 2
2 2 9x -18 = x -2x -2 + 8 x -2x -2
4 3 2 Û 9x -18 = x -4x + 8x -8x -12
Û x 4 -4x 3 +8x 2 -17x +6 = 0 Û(x -3)(x 3 -x2 +5x -2) = 0
3
3 2 3
5 2 0
x
x
x x x
Û Û =
- + -
éêêêë
=
=
. Do x 3 -x2 +5x -2 > 0"x ³ 2
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 3

4.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
Với x = 3 Þy = 1 . Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;1).
Bài ❺: Giải hệ phương trình
x y x y
x x y y
2 3 3 (1)
3 3 2
1 3 2 2 0 (2)
2 2 2
ìï
- - = - ïïíï
+ - - - + = ïï
î
Lời giải: Điều kiện
- £ £ ïíï
x
y
ìï
1 1
0 2
£ £ ïî
Khi đó: ( ) ( ) 3 2
(1)Û x 3 -3x -2 = y3 -3y2 Û x +1 -3 x +1 = y3 -3y2
Û f (x +1) = f (y) với f (t ) = t 3 -3t .
f '(t ) = 3t 2 -3 £ 0"t Î [-1;1] . Hàm số nghịch biến trên (-1;1)
Nên (1)Û x = y -1. Thay vào (2) ta được phương trình:
( ) ( )2
2 2 x + 1-x -3 2 x +1 - x +1 +2 = 0
2 2 Û x -2 1-x +2 = 0
Û + = -
Û =
x x
x
2 2 2 1 2 (*)
0
Do
2
(*)
2
(*) 2
2 2
1 2
VT
VP
x
x
=
=
ìï
+ ³ ïïíï
- £ ïï
î
.
Với x = 0 Þy = 1. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;1).
Bài ❻: Giải hệ phương trình
x x y y
x x y y
12 6 16 0 (1)
3 3 2
4 2 2 4 2 5 4 2
2 0 (2)
ìï
- - + - = ïïíï
+ - - - + = ïï
î
Lời giải: Điều kiện
- £ x
£ £ ïî
ïíï
y
£ ìï
2 2
0 4
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 4

5.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
Khi đó: (1)Û x 3 -12x = y3 -6y2 +16
( ) ( )
Û x - x = y - - y
-
Û f x = f y
-
( ) ( )
3
3 12 2 12 2
2
Với f (t) = t 3 -12t .Với điều kiện x Î éêë-2;2ùúû ;y Î éêë0;4ùúû Þt Î éêë-2;2ùúû
Suy ra f '(t) = 3t 2 -12 £ 0"t Î éêë-2;2ùúû . Hàm số f (t ) nghịch biến trên éêë-2;2ùúû
Nên (1) Û x = y -2 Û y = x +2 thay vào (2) ta được phương trình :
( ) ( )2
2 2 4x +2 4-x -5 4 x +2 - x +2 + 6 = 0
Û x + - x - - x
+ =
Û x + = -
x
Û x + x + = -
x
Û x + x = Û x x
+ =
Û x
=
4 2 2 4 2 5 4 2
6 0
4 6 3 4
16 48 36 36 9
16 57 0 16 57 0
( )
2 2
4 2 2
4 2 2 2
0
Với x = 0 Þy = 2 . Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;2) .
Bài ❼: Giải hệ phương trình
( ) 2 2
x x x y y x y
x 2
y x y
2 4 7 3 2 0 (1)
1 1 (2)
ìï
+ + + + + + + + = ïïíï
+ + = - + ïï
î
Lời giải: Điều kiện 2 x +y +1³ 0
Khi đó ( ) ( ) ( ) 2 2
(1) Û x +2 x +2 + 3 +x +2 = -y -y + 3 -y
Û f (x +2) = f (-y) với f (t) = t t2 + 3 +t
( ) 2
f ' = 2
+ 3 + + 1 > 0
" Î
2
3
t
t t t
t
+
¡ .Hàm số đồng biến trên ¡
Nên (1)Û x +2 = -y Û y = -x -2 thay vào (2) ta được phương trình :
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 5

6.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
( )2
x 2 + x +2 +1 = x +x +2+1

Û + + = +
x x x
x x
x x x x x x
x
2 2
4 5 2 3
2 3 0 3
2 2 4 5 4 2
12 9 2 2 2
8 4 0
2
3
2 x
2 2
4 2 0
x x
ìï
ìï + ³ ïï ³ - Û íï Û í ïï + + = + + ïï + + = î ïî
ìïï
ï ³ - Û Û = - + íïï
+ + = ïî
Với x = -2 + 2 Þy = - 2 (không thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
Bài ❽: Giải hệ phương trình
( ) ( )
x x y y
53 5 10 5 48 9 0 (1)
2 x y 6 x 2
2 x y 11 2 x
66 (2)
ìï
- - + - - = ïïíï
- + + = - + + + + ïï
î
Lời giải: Điều kiện
x y
x y
10, 9
2 6 0
2 x y
11 0
ìï
£ £ ïïï
- + ³ íïï
- + + ³ ïï
î
Khi đó (1) Û(50-5x + 3) 10-x +(5y -45-3) 9-y = 0
3 3
Û - + - = - + -
Û - = -
x x y y
5 10 3 10 5 9 3 9
( ) ( )
f 10 x f 9
y
Với f (t ) = 5t 3 + 3t,t ³ 0 . f '(t) = 15t 2 + 3 > 0"t ³ 0 .
Hàm số đồng biến trên(0;+¥ ) . Nên (1)Û 10-x = 9-y Û y = x -1 thay
vào (2) ta được phương trình :
2x -(x -1)+6 +x2 = -2x +x -1+11 +66
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 6

7.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
Û x + + x 2
= - x + x
+
Û x + - - x + x - x
- =
7 10 2 66
7 10 2
2 66 0
..........
Bài ❾: Giải hệ phương trình
3
y x x x y
y x xy x
2 2 1 3 1 (1)
1 2 2
2 1 (2)
ìï
+ - = - - ïïíï
+ = + + ïï
î
Lời giải: Điều kiện -1 £ x £ 1
Khi đó (1) Û 2y3 +y = -2x 1-x + 3 1-x
( )
( )
Û + = - - - + -
Û + = - + -
Û = -
y y x x x
y y x x
f y f x
2 3
2 1 1 1 3 1
2 2 1 1
( ) ( )
3
3
1
Với f (t ) = 2t 3 +t,t ³ 0 . f '(t) = 6t 2 +1> 0"t ³ 0 .
Hàm số đồng biến trên (0;+¥) . Nên (1)Û y = 1-x thay vào (2) ta được:
2 2 1-x +1 = 2x +2x +2x 1-x
Đặt x = cost,t Î (0;p). Ta được phương trình
2 2 1-cost +1 = 2 cos t +2 cost 1-cos t
t
Û = - +
2 2 2 sin 2 cos 1 2 cos sin
2
t t t
t
Û = +
t t
2 sin cos2 sin2
2
çè
÷öÛ t
= æç p
sin sin çç 2
t
+ 2 4
÷÷÷ ø
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 7

8.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
é é
ê + = + ê = - + Û ê Û ê Î ê ê
( )
4
p t
p
p p
t k t k
2 2
4 2 6 3 ,
p p
3 4
ê + = - + ê = + êë êë
p p p
2 2
4 2 10 5
k m
t
t m t m
¢
p p
Do ( ) 3 3
t Î 0; p Þ t = Þ x
=
cos
10 10
p p p = Þ = - = (thỏa mãn điều kiện)
Với 3 3 3
x y
cos 1 cos 2 sin
10 10 20
x;y
= æç p pö÷÷ ç ÷ ç ÷ çè
ø
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) 3 3
cos ; 2 sin
10 20
.
Bài ❿: Giải hệ phương trình
x 1
y
1 (1)
x y
x y
1 1 1
1 x 4 y
2 2 (2)
ìï
- ïï
- + + = ïí
+ - + ïïï
- + + = ïî
Lời giải: Điều kiện
£ x
£ £ y
ïî
ïíï
£ ìï
0 1
0 1
-
1 ( )
Û + = + -
Khi đó ( )
1
+ - + - -
1 1 1 1 1
(1)
x y
x y
x y
t
Û f (x) = f (1-y) với f ( t ) = t + , t
³
0
1 1
t
+ -
( )
( )
( )2
1
1 1
' 1 2 2 1 0 0
1 1
t
t t
t t t t
t
f
+ - +
= + - > " ³
+ -
Hàm số đồng biến trên (0;+¥).Nên (1)Û x = 1-y Û y = 1-x thay vào (2)
được:
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 8

9.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
1-x + 4 +1-x = 2 2
1 5 2 2
Û - x + - x
=
Û - - 1 x + - - 3
x
=
1 5 0
2 2
1 1
2 2 0
1 3
1 5
2 2
1 1 1
0
2 1 3
1 5
2 2
1
2
x x
x x
x
x x
x
- -
Û + =
- + - +
æç ÷öæ öçç ÷÷ç ÷ç ÷÷ Ûçç - ÷÷çç + ÷÷ = çè ÷øçç ÷÷ ç - + - + ÷÷÷ çè
ø
Û =
Do
æç çè
÷÷
÷÷ç ö÷çç çç 1 1
+ ÷÷> ÷÷ 0 " Î é ç êë 0;1
ù úû çç 1 - + 1 3
5
- + ø
÷÷÷ 2 2
x
x x
.
Với 1 1
x = Þy = . Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) 2
2 2
;
1 1
;
2
x y
æç ö÷= çç ÷÷÷ çè
ø
.
Bài ⓫: Giải hệ phương trình
( )
3
x x y y
3 2 2 2 1 0 (1)
x y
2 2 2 5 (2)
ìï
- - - - = ïïíï+ + + = ïïî
Lời giải: Điều kiện
2
1
2
ìï
£ ïïíï
x
y
³ ïïî
Khi đó (1) Û(2-x +1) 2-x -(2y -1+1) 2y -1 = 0
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 9

10.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
( ) ( )
( ) ( )
3 3
Û - x + - x = y - + y
-
Û - = -
2 2 2 1 2 1
2 2 1
f x f y
Với f (t ) = t 3 +t,t ³ 0 . f '(t) = 3t 2 +1> 0"t ³ 0 . Hàm số đồng biến trên (0+;¥)
Nên (1) Û 2-x = 2y -1 Û x = 3-2y thay vào (2) ta được phương trình:
3 5-2y +2 y +2 = 5
Đặt
ïï ìï u = 3
5 - 2 y
æ 5
ö ï í çç ÷÷ ç u £ 3 4;
v
³ ÷÷ î
v = y
+ 2 ç è 2
ø ïï
÷ . Ta có ngay hệ:
u
v u u v v
u v u u u u u
2 5 5 2
2
2 9 5 2 2 9 2 10 7 0
3 2
5
3 3 2
2
ìï
ï - ì ìï + = ï = ïï - ï ïï ï = í Û í æ ö Û í ïï + = ïï ç - ÷ ïï + - + = î ï + çç ÷÷ = ïî îïï çè ø÷
( )( 2 )
5
2
é
5
2 3 65
1 2 3 7 0
4
3 65
1
- - ïïïïî
4
u
u
u
v
u
u u u
u
v
ìï
ï - = ïïïïï
ìï
ï - ïï ïï = ï Û í Û í - + ïï ï
ï - + - = ïï ïî
ê = êêê
= êêêê=
ê
ïïï
ë
Với những giá trị của u đều thỏa mãn điều kiện nên
-
5
3
3 3 = ; = 3 - 2 = 3 - 5 + = - 2
với
2
u
y x y u u
3 5
1
6
4
3 65
4
u
u
u
- +
- -
éê
= êêê
= êêêê
=
êë
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 10

11.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm.
Bài ⓬: Giải hệ phương trình ( 2 )( 2 )
+ + + + = ïïíï
x x y y
x x y
6 î
= 3
- + ïï
4 1 2 (1)
ìï
27 8 2 (2)
Lời giải: Ta có (1) Û(x + x2 + 4) = 2( y2 +1-y) do 2 y - y +1 ¹ 0"y Î ¡
( )
Û x + x + = - y + - y
+
Û f x = f -
y
( ) ( )
2
2 4 2 2 4
2
Với f (t) = t + t2 + 4 . ( ) 2
+ 4 + | |
+
= + = > ³ " Î
' 1 0
+ + +
2 2 2
4
4 4
f
t t t t t
t t
t t t
¡
Hàm số đồng biến trên ¡ nên (1) Û x = -2y thay vào (2) ta được phương trình:
6 3 27x = x + 4x +2
Û 3 x 2 = 3 x 3
+ 4 x
+
2
Û x + + x + = x + x + + x + x
+
Û f x + = f x + x
+
( ) 3
( )
( ) ( )
3 3 3
1 1 4 2 4 2
1 3 3
4 2 (*)
Với f (t ) = t 3 +t đồng biến trên ¡ . Nên (*)Û x +1 = 3 x 3 + 4x +2
2
é + ê = ê
1 13
3 1 0 6
1 13
6
x
x x
x
Û - - = Û ê
ê - ê = êë
+ - -
Với 1 13 1 13
- -
= Þ = ; với 1 1
x y
6 12
3 13 1
12
= Þ =
x y
6
1 13 1 13 1 13 13 1
Vậy hệ có 2 nghiệm ( ; ) ; ;
;
6 12 6 1
2
x y
æç ö÷= çç ÷÷÷
+ - - æç - - ÷öçç ÷÷÷ ç ÷ ø ø ÷ çè
ç è .
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 11

12.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
Bài ⓭: Giải hệ phương trình ( 1 2 )( 1 2 ) 1 (1)
x x y y
x x xy xy x
6 2 1 4 6 1 (2)
ìï
+ + + + = ïïíï
- + = + + ïï
î
Lời giải: Điều kiện 6x -2xy +1 ³ 0
Khi đó ( )2
2 (1) Û x + 1+x = -y + -y +1
Û f (x ) = f (-y) với f (t) = t + 1+t2
Hàm số f (t ) đồng biến
trên ¡
+ + +
t t t t t
( ) 2
1 | |
= + = > ³ " Î
t 1 0
t
+ + +
t t t
2 2 2
1 1 1
'
f
¡
Nên (1) Û x = -y thay vào (2) ta được phương trình:
x 6x +2x2 +1 = -4x 2 +6x +1
Û x 6x +2x 2 +1 = (2x 2 +6x +1)-6x 2
Đặt
ìï
= + + ïïíï
u 2x2 6x 1
v x
= ïï
î
phương trình trở thành uv = u2 -6v2
●v = 0 Þ Phương trình vô nghiệm
● v ¹ 0 , chia 2 vế phương trình cho v2 ta được:
2
6
æç ö÷= çç ÷÷ - ÷ çè
ø
u u
v v
2 3
6 0
2
u
u u vu
v v
v
éê
æ ö ê = Ûçç ÷÷ - = - = Û ê ÷ ç ÷ çè
ø ê = - êë
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 12

13.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
ìï ³ ìï = = Þ + + = Û íï Û íï ïï - - = ïï = - î î
u x x
Với 2
2
0 1
3 2 6 1 3
7 6 1 0 1
x x x
v x x y
(thỏa mãn ĐK)
= ìï
ï £ ïï = - Þ + + = - Û í Û í ïï - - = ïï - î ï = ïï
Với 2
2
- ïï
3 11
ìï
0 2 2 2 6 1 2
2 6 1 0 11 3
2
u x x
x x x
v x x
y
î
(thỏa)
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm ( ) ( ) 3 11 11 3
;y 1; 1 ; ;
2 2
x
æç - - ÷ö= - çç ÷÷÷ ç ÷ çè
ø
.
Bài ⓮: Giải hệ phương trình ( ) 3
x x y y
x x y y y
8 3 2 1 4 0 (1)
4 2 8 2 3 2
2 3 0 (2)
ìï
- - - - = ïïíï
- + + - + = ïï
î
Lời giải: Điều kiện 1
2
x ³
Khi đó (1) Û(8x -4 +1) 2x -1 = 4y3 +y
( )
3
( ) ( )
Û - + - = +
Û - =
x x y y
4 2 1 2 1 4 3
f 2 x 1
f y
Với f (t) = 4t 3 +t . f '(t) = 12t 2 +1> 0"t Î ¡ . Hàm số đồng biến trên ¡
0
ìï
³ ïï
Û - = Û í + ï = ïïî thế vào (2) ta được :
Nên 2
(1) 2 1 1
2
y
x y y
x
³
æç + ö÷ + ÷ - + + - + =
y
2
y y
2 2
3 2
0
1 1
4 8 2 2 3 0
2 2
y y y
ìïï
ç ÷
ïï
ç ÷ çè
ø
íïïïï
î
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 13

14.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
y y y
4 3 2 ( 2 2 )
1
x
0 2 0 0
2 2 0 1
1
y y y y y y y 2 0
y x
0
2 1
y
y
y
ìïïïïï
ìï ³ ìï ³ é = ï Û íï Û íïï Û ê Þíï ï ê
éê
= êê
= êëé
ê =
ï + - - = ïï + - - = ê = ïï î îï ë ï
ê = êë
ïïïï
î
Vậy hệ có 2 nghiệm ( ) ( ) 1
; 1;1 ; ;0
2
x y
æç ö÷= çç ÷÷÷ çè
ø
.
Bài ⓯: Giải hệ phương trình
( 2 ) ( )
x x y y
x y x
4 1 3 5 2 0 (1)
4 2 2
2 3 4 7 (2)
ìï
+ + - - = ïïíï
+ + - = ïï
î
(Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2010)
Lời giải: Điều kiện
3
4
5
2
ìïï
ïïíïï
x
£ ïïî
y
£ Khi đó ( ) ( )3 3
(1) Û 8x +2x = 5-2y + 5-2y
Û f (2x) = f ( 5-2y ) với f (t ) = t 3 +t
f '(t ) = 3t 2 +1> 0"t Î ¡ . Hàm số đồng biến trên trên ¡
ìï
ìï ³ ï ³ Û = - Û íï Û íï ï = - ï - îï ï = ïî
Nên 2
2
0 0
2 5 2 5 4 4 5 2
2
(1)
x x
x y x x y y
thay vào (2) ta được:
2
2
2
0
5 4
4 2 3 4 7
2
(*)
x
x
x x
ìï
³ ïïï
í æç - ö÷ ïï +ç ÷÷ + - = ïï ççè ø÷ î
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 14

15.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
Xét hàm số ( )
2
çè
ö÷= æç - 2
+çç ÷ ÷÷ + - ø
2 5 4
4 2 3 4
2
x
g x x x
liên tục trên
é ù
ê 3
ú
êë 0;
4
úû
( 5 4 4 3
x ) 8 x 8 x 2 x 2 4 x ( 4 x 2 3 ) 0 x
0;
2 4
'
x x
3 4 3 4
g
æç ö÷ æç ö÷ = - çç - ÷÷- = - - < " Î çç ÷÷ çè ø÷ - - èç ø÷
.
Mặt khác
1
7
2
g
æç ÷öçç ÷÷ = ÷ çè
ø
nên (*) có nghiệm duy nhất 1
2
x = Þy =
2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) 1
; ;2 .
2
x y
æç ö÷= çç ÷÷÷ çè
ø
Bài ⓰: Giải hệ phương trình
x y x x y
3 6 3 4 0 (1)
3 3 2
x y y x
2 4 2 3 3 2 2
3 2 0 (2)
ìï
- + + - + = ïïíï
- - + - - + = ïï
î
- £ x
£ + y - ïî
ïíï
y
³ ìï
2 2
3 2 0
Lời giải: Điều kiện 2
Khi (1)Û x 3 + 3x 2 +6x + 4 = y3 + 3y2
( ) ( )
( ) ( )
3
1 3 1 3 3
1
Û + + + = +
Û + =
x x y y
f x f y
Với f (t) = t 3 + 3t . f '(t) = 3t 2 + 3 > 0"t Î ¡ . Hàm số đồng biến trên ¡
Nên (1)Û x +1 = y thay vào (2) ta được:
( ) ( )2
2 2 4-x -3 3 +2 x +1 - x +1 -3x +2 = 0
Û -3x +2 = 4-x2
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 15

16.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
ìï ïï ìï £ 2 ïï £ 2
Û ïï í 3 Û ïï í 3
îï - + = - îï
- = x x
x x x x x
x
9 3 12 4 4 2 10 2
12 0
2
3 0 1
( )
2 5 6 0
x y
x x
ìïï
ïï £ Û Û = Þ = íïï
- = ïï
î
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;1) .
Bài ⓱: Giải hệ phương trình
x y x y y
y x y xy x x xy y y
2 2 5 2 0 (1)
1 2 2 1 (2)
2 2 2
2 2 2 2
ìï
- - + - = ïïíï
+ + - = - + - + + + ïï
î
Lời giải: Điều kiện
0
x y
y
0
ìï
- ³ ïíï
³ ïî
Khi đó: 2 2
(2)Û y 2 +1- y -y 2 = ( x -y ) +1- x -y - ( x -y
) Û f (y) = f (x -y) . Với f (t) = t2 +1- t -t2,t ³ 0
( ) 2
1 1
= - - £ - - <
2 2 0
1 2
'
2
t
t t t t
t
f
t t
+
. Hàm số đồng biến trên (0;+¥)
Nên (1)Û y = x -y Û x = 2y thay vào (1) ta được:
3 2 4y -10y +5y -2 = 0
( 2)(4 2 2 1) 0
Û y - y - y
+ =
Û y = 2 Þ x
=
4
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (4;2) .
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 16

17.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
ïï ìï æ ÷ö ïïï
÷ï + - + + - = çç y y
+ í è ç çç + + ÷÷÷ ø ( x y )( x 2 xy y
2
) 2
Bài ⓲: Giải hệ phương trình 2
x ïî
5
y - xy
- = 9
2 6 ln (1)
9
x x
3 1 0 (2)
 Phân tích và hướng giải:
Phương trình thứ 2 của hệ dường như ta khó tìm hàm đặc trưng nên ta cố gắng tìm
hàm đặc trưng ở phương trình (1)
Ta có: (1)Û x 3 -y3 -2(x -y) = 6 ln(y + y2 + 9)-6 ln(x + x 2 + 9)
Û x 3 -2x +6ln(x + x 2 +9) = y3 -2y + ln(y + y2 +9)
Hàm đặc trưng: f (t) = t 3 -2t + 6 ln(t + t 2 +9)
Việc giải quyết phương trình (2) có đôi chút phiền phức. Các bạn hãy thử chứng minh
phương trình x 6 -3x2 -1 = 0 chỉ có nghiệm trong (0; 2) và dùng lượng giác để tìm
nghiệm phương trình bằng các đặt 2 2 cos , 0;
çè
x = t t
Î æç ç ç pö÷÷ 2
ø
÷ ÷ .
4 4
x x y y
x x y y y
1 1 2 (1)
2 1 6 1 0 (2)
Bài ⓳: Giải hệ phương trình ( )
2 2
ìï
+ + - - + = ïïíï
+ - + - + = ïï
î

( Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A-A1 năm 2013)
Lời giải: Điều kiện x ³1
Khi đó 4 4 (1)Û x +1 + x -1 = y + y +2
( )
4
( ) ( )
Û 4 x - + + 4 x - = y ++ y
4
+
Û 4
- =
1 2 1 2
1
f x f y
2
3
Với f (t) = t + t 4 +2 . ( ) 4
' 1
2
t
f t
t
= +
+
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 17

18.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
Để ý phương trình (2) : x 2 +2y (y -1)y2 -6y +1 = 0
2
Û éêëx + ( y -1 ) ùúû = 4y ³ 0 Þy ³ 0 . Nên f '(t )> 0"t ³ 0
Hàm f (t ) đồng biến trên (0;+¥). Nên (1)Û 4 x -1 = y Û x = y4 +1 thay vào (2)
ta được phương trình :
( ) ( )( ) 2
y4 +1 +2 y4 +1 y -1 +y2 -6y +1 = 0
( )
Û y + y + + y - y + y - + y - y
+ =
Û y + y + y - y
=
Û y y + y + y
- =
3 1 2 1 6 1 0
2 4 0
2 4 0
8 4 5 4 2
8 5 2
( 7 4
)
( )( 6 5 4 3 2 ) 1 3 3 3 4 0
Û - + + + + + + =
y y y y y y y y
y
y
é Û êê = 0
= 1
Do (y6 +y5 +y4 + 3y3 + 3y2 + 3y + 4)> 0"y ³ 0
Với y = 0 Þx = 1
Với y = 1Þx = 2
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) = (1;0);(2;1) êë
.
Bài ⓴: Giải hệ phương trình
x x x y y y
x y x y
3 9 22 3 9 (1)
3 2 3 2
2 2
1
(2)
2
ìï
- - + = + - ïïíï+ - + = ïïî
( Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A-A1 năm 2012)
Lời giải: Ta có
3 2 3 2 (1)Û x +3x + 3x -1-12x +12 = y + 3y + 3y +1-12y -12
( ) ( ) ( ) ( ) 3 3
Û x -1 -12 x -1 = y +1 -12 y +1
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 18

19.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
Từ phương trình
2 2
(2
Þçç æç 1 ÷ö æç 1
÷ö x - +÷ø ÷÷ çç y
+ ÷÷ = çè èç ÷ø
) 1
2 2
1 1 3 3 1 1 1 2 2 2 2 2
1 3 1 1 3 1 1
2 2 2 2 2
x x x
y y y
ìï
ï - £ ìï ìï ïï ïï- £ £ ïï- £ - £ Þíï Û íï Û ïí ïï ïï ïï ï + £ ï- £ £ ï- £ + £ ï ï ï î î ïî
Xét hàm số f (t) = t 3 -12t trên
é ê- 3 3
ù
êë ;
ú 2 2
úû
3 3
. ( ) 3 2 12 0 ;
2 2
f ' t t t
é ù
= - < " Î ê- ú êë úû
Hàm số nghịch biến trên
é ê- 3 3
ù
êë ;
ú 2 2
úû
Nên (1) Û x -1 = y +1 Û y = x -2 thay vào (2) ta được phương trình:
2 1
( )2
2 2
2
x + x - -x +x - =
ê = Û - + = Û êê
2
3
éê
3 2 2 4 0
2 1
2
x
x x
êë
x
= Với 1
x = Þy = - , với 1 3
2
3
2
x = Þy = -
2 2
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm ( ) 3 1 1 3
; ; ; ;
2 2 2 2
x y
æç ö÷ çæ ö÷ = çç - ÷÷ çç - ÷÷ çè ø÷ çè ø÷
.
2) Hàm đặc trưng được xác định sau khi thực hiện các phép biến đổi giữa các phương
trình
Bài ❶: Giải hệ phương trình
x x y
y y x
3 2
2 3 (1)
3 2
2 3 (2)
ìï
+ + = + ïïíï
+ + = + ïï
î
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 19

20.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
 Phân tích và hướng giải:
Để ý hai phương trình của hệ có sự đối xứng của ẩn x và ẩn y . Nếu ta trừ từng vế
phương trình (1) cho phương trình (2) ta nhận ra ngay hàm đặc trưng:
(1)-(2)Þ 3 +x 2 + 3 x = 3 +y2 + 3 y
Hàm đặc trưng: f (t) = 3 +t2 + 3 t đơn điệu "t ³ 0
Nghiệm : …
Bài ❷: Giải hệ phương trình
x x y
y y x
3 2
2 3 5 3 (1)
3 2
2 3 5 3 (2)
ìï
+ + + = + + ïïíï
+ + + = + + ïï
î
 Phân tích và hướng giải:
Tương tự với bài ❶, 2 phương trình của hệ có sự đối xứng nên:
(1)-(2)Þ 3 +x 2 + 3 x + 3 = 3 +y2 + 3 y + 3
Hàm đặc trưng: f (t) = 3 +t2 + 3 t + 3 đơn điệu "t ³ -3
Nghiệm: …
Bài ❸: Giải hệ phương trình
x x x y y y
x y x y
2 2 2 2 2
2 1 (1)
2 2
2 2 2 0 (2)
ìï
+ + + = + + + ïïíï
+ - + - = ïï
î
 Phân tích và hướng giải:
Nhìn vào 2 phương trình của hệ, ta thấy phương trình 1 xuất hiện 2 căn thức là x +2
và 2y +1 . Liệu 2 căn thức này có liên quan?
Mặt khác phương trình thứ 2 xuất hiện dạng tam thức bậc 2 nhưng sự phân tích kiểu
D chính phương có vẻ không ổn
Nếu ta dựa vào 2 căn thức này làm “điểm” tựa cho việc tìm hàm đặc trưng thì việc tìm
hàm đặc trưng khá dễ dàng bằng việc đưa phương trình (2) về sự độc lập:
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 20

21.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
x2 -2x = -2y2 -y +2
Rồi lấy từng vế (1)-(2) ta được:
( 2 x +2 ) + x +2
2 - ( x +2 ) = ( 2y +1 ) + 2y +1- ( 2y +1
) Ta thấy rõ ngay hàm đặc trưng: f (t) = t 4 +t -t 2
Bài ❹: Giải hệ phương trình ( )2
2
y y y x
x x 2
x x y
3
1 1 (1)
2
2 5 1 2 2 4 2 (2)
ìïï
+ + + = + ïïíïï
+ - + = + - + ïï
î
 Phân tích và hướng giải:
Phương trình (2) của hệ có xuất hiện 2 căn thức, một căn thức có sự độc lập là
x2 -2x +5 và căn thức còn lại không có sự độc lập. Nhưng biểu thức trong căn
2x -4y +2 lại có ẩn x bậc nhất liên hệ mật thiết với ẩn x cũng bậc nhất ở phương
trình (1) . Liệu rằng phương pháp thế có phát huy tác dụng trong việc tìm hàm đặc
trưng?
Lời giải: Điều kiện 2x -4y +2 ³ 0
Khi đó 2 2 (1) Û 2x = 2y + 4y -1+2y y +1 thế vào (2) ta được phương trình:
x + x 2 -2x +5 = 1+2 2y 2 +1+2y y 2 +1
( ) ( ) 2 ( )
2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Û x - + x - + = y + y
2
+
Û - + - + = + +
Û - + - + = + +
1 1 4 2 1
2
2
1 1 4 2 1
2
1 1 4 2 4 2
4 (3)
x x y y
x x y y
Xét hàm số f (t) = t + t2 + 4 . ( ) 2
= + > " Î
' 1 0
4
f
t
t t
t
+
¡
Hàm số đồng biến trên¡ . Nên (3) Û x -1 = 2y Û x -1 = 2y thay vào (1) ta được:
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 21

22.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
( )2
2 5
1 1 2
2
y + +y y + = y +
Û y y 2
+ = -
y
ìï ïï ìï £ ïï £ Û íï Û íï Û = Û = ± ïï + = - + ïï îï ï ï = îï
Với 3 5
3
1
2
3 3
2 2 9 3
y y
2 2
9 9 16 4 1 3 4
( )
2
2 2 2 4 2
4 4
y y
y y y y y
y = Þ x = ,với 3 1
4 2
y = - Þ x = - (thỏa mãn điều kiện)
4 2
Vậy phương trình có 2 nghiệm ( ) 5 3 1 3
; ; ; ;
2 4 2 4
x y
æç ö÷ çæ ö÷ = çç ÷÷ çç- - ÷÷ çè ø÷ çè ø÷
.
Bài ❺: Giải hệ phương trình
x x x y y
x y x y
2 2
2 2
2 5 3 4 (1)
3 3 1 0 (2)
ìï
+ - + = + + ïïíï
- - + + = ïï
î
 Phân tích và hướng giải:
Sự xuất hiện những căn thức cho chúng ta những cơ sở để tìm hàm đặc trưng
Nhận thấy ( )2
2 x -2x +5 = x -1 + 4 và 2 y + 4 nên ta tìm hàm f sao cho
f (x -1) = f (y) .
Mặt khác khi ta cộng phương trình (1) với phương trình (2) :
( )2
x +x2 -2x +1 = x -1 và 2 2 3y +y -3y = y thì hàm đặc trưng sẽ xuất hiện
Cộng từng vế phương trình (1) với phương trình (2) ta được phương trình :
( ) ( ) 2 2
2 2 x -1 + x -1 +4 = y + y +4
Hàm đặc trưng: f (t) = t2 + t2 + 4
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 22

23.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
Nghiệm ( ) 3 1
; ;
2 2
x y
æç ö÷= çç ÷÷÷ çè
ø
.
Bài ❻: Giải hệ phương trình
y xy x x x y
x y xy y x
3 17 27 3 13 (1)
3 3 2
2 2
6 5 10 0 (2)
ìï
+ - + = - + ïíï
+ + - - + = ïî
 Phân tích và hướng giải:
Nhìn thoáng qua phương trình (1) của hệ có dạng hàm bậc 3 quen thuộc. Nhưng chỉ có
điều biểu thức 3xy làm mất sự độc lập của hai ẩn nên ta có gắng làm mất biểu thức
đó.
Mặt khác, ở phương trình (2) cũng xuất hiện biểu thức xy nên chúng ta muốn tiêu biến
3xy ở phương trình trên thì ta lấy phương trình (1) - 3(2) khi đó ta được:
3 2 3 y -3y + 5y -3 = x +2x
Nhìn vào biểu thức trên việc chọn hàm đặc trưng dễ nhận thấy, chúng ta lấy biểu thức
đơn giản để chọn hàm đặc trưng 3 x +2x khi đó
( ) ( ) 3
y3 -3y2 +5y -3 = y -1 +2 y -1
Hàm đặc trưng: f (t ) = t 3 +2t
Nghiệm ( ) ( ) 2 5
; 2;3 ; ;
3 3
x y
æç ö÷= çç ÷÷÷ çè
ø
.
Bài ❼: Giải hệ phương trình
x xy y y
5 4 10 6
2
(1)
x y
4 5 8 6 (2)
ìï
+ = + ïïíï
+ + + = ïï
î
 Phân tích và hướng giải:
Đây là bài toán có khác nhiều trong các tìa liệu tham khảo. Mặc dù hàm đặc trưng
không có sự độc lập của x và y nhưng số mũ ở phương trình (1) cho chúng ta suy
nghĩ đến việc chia cho biểu thức (dạng đẳng cấp).
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 23

24.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
Chia như thế nào. Chú ý phương trình (1) biểu thức x 5 +xy4 đẳng cấp bậc 5 nên ta
chia hai vế phương trình (1) cho y5 được:
5
çè
æç ÷öçç x ÷÷ + x
= 5 + ÷ ø
y y
y y
Hàm đặc trưng: f (t ) = t 5 +t
Nghiệm (x;y) = (1;1);(1;-1) .
2 3 6 4
x y y x x
x y x
2 2 (1)
Bài ❽: Giải hệ phương trình ( ) ( )
2
2 1 1 (2)
ìï
+ = + ïïíï
+ + = + ïï
î
 Phân tích và hướng giải:
Tương tự như Bài ❼, ta chia 2 vế phương trình (1) cho x 3 ta được:
3
çè
æç ö÷çç y ÷÷ + y
= + ø
÷ 2 3 2
x x
x x
Hàm đặc trưng: f (t ) = t 3 +2t
Nghiệm:…
Bài ❾: Giải hệ phương trình
( )
( )
3
x y
x y
2 3 8 (1)
3
2 6 (2)
ìï
+ = ïïíï
- = ïï
î
 Phân tích và hướng giải:
y
x
Đem lại sự cô lập hai ẩn bằng cách đưa hệ về dạng 3
3
8
2 3 (1 )
6
2 (2 )
y
x
ìïï
¢ + = ïïíïï
¢ - = ïïî
3
æç ÷ö æç ö÷ Þ + = çç ÷÷ +çç ÷÷ çè ÷ø èç ø÷
(1') (2') 3
2 2
y 3y
x x
+
Hàm đặc trưng: f (t) = t 3 + 3t
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 24

25.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
Nghiệm ( ) ( ) 1
; 1;2 ; 4;
2
x y
æç ÷ö= çç- - ÷÷÷ çè
ø
.
Bài ❿: Giải hệ phương trình
( )( )
x y x y x y
x x y y
2 4 6 3 (1)
( )
3 1 4 2 1 1 3 (2)
ìï
+ - + = - - ïïíï
- + + = - + ïï
î
 Phân tích và hướng giải:
Ta không tìm thấy sự liên quan giữa các căn thức nên việc dựa vào các căn thức để tìm
hàm đặc trưng khá khó khăn. Tuy nhiên phương trình (1) lại có dạng bậc hai đối với ẩn
x hoặc ẩn y nên ta thử phân tích (1) thành tích:
(1) Û(x +y +1)(2x -y + 4) = 0
Khi đó công việc còn lại khá nhẹ nhàng !!! Các bạn làm tiếp nhé!
Bài ⓫: Giải hệ phương trình
( ) ( )
( )
3 2 2
x y x x
x y y x x
4 1 2 1 6 (1)
2 2 4 1 1 (2)
2 2 2
ìï
+ + + = ïïíï
+ + = + + ïï
î
 Phân tích và hướng giải:
Nhìn phương trình (2) có vẻ quen thuộc hơn. Nếu ta chia cả hai vế (2) cho x2 (x ¹ 0
) thì ta sẽ nhận ra ngay hàm đặc trưng:
( )
2
2 1 1 1
2 2 2y 1 1
x x x
y y
æç ÷ö+ = + çç ÷÷ + ÷ çè
ø
+
Hàm đặc trưng: f (t) = t +t t2 +1
Lời giải: Điều kiện x ³ 0
Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của hệ, nên ta chiacả hai vế phương trình (2) cho
x2 được:
( )
2
2 1 1 1
2 2 2y 1 1 (3)
x x
y
x
y
æç ÷ö+ = + çç ÷÷ + ÷ çè
ø
+
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 25

26.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
Xét hàm số f (t) = t +t t2 +1 đơn điệu trên ¡ . Nên 1
Û = thay vào (1)
(3) 2y
x
được:
æç ÷öçç 1
+ ç ÷
÷÷ + = Û + + + = 3 ( 2 ) 3 ( 2 )
x 1 2 x 1 x 6 x x 2 x 1 x 6
2
x
+
è ø
Xét hàm số g (x ) = x +x 3 +2(x 2 +1) x , x ³ 0
( ) x
2
+
1
2 = + + + > " ³ . Hàm g (x) đơn điệu
g x x x x x
' 3 1 4 2 0 0
x
Nhận thấy g (1) = 6 nên suy ra x = 1 là nghiệm phương trình g (x ) = 6 .
x = 1Þy = . Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) 1
Với 1
2
; 1;
2
x y
æç ÷ö= çç ÷÷÷ çè
ø
.
Bài ⓬: Giải hệ phương trình ( 2 2 )( 2 ) 2 3
x x y y x y
x 2
y x
1 3 2 4 1 1 8 (1)
2 0 (2)
ìï
+ - + + + = ïïíï
- + = ïï
î
 Phân tích và hướng giải:
Sự cô lập các ẩn phương trình đặt lên hàn đầu. Để chọn phương trình để tìm ra hàm
đặc trưng thì ta nên chọn phương trình (1) vì nó cần nhiều phép biến đổi hơn là
phương trình (2) đã quá “trơ trọi”. Bây giờ ta thực hiện công việc cô lập. Nhận thấy
x = 0 không là nghiệm
( ) 4
2
Û + - + =
2 2 2 3
( 1 3 2 8
2
4 1 1
1)
y
x x y x y
y
+ -
2 2 2 ( 2 )
Û x + 1 - 3 x y + 2 = 2 x y 4 y
+ 1
-
Û x 2 + + = y y 2
+ +
y
2 2
(3)
1
1 2
1 2 4 1
x x
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 26

27.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
2 1
Bây giờ ta mới thấy ngay vai trò của phương trình (2) . Từ 2 (2)
Þ = - y
+ thay
x x
vào (3) ta có ngay:
æç ö÷çç + çè
÷÷ + = ( )
+ + ø
÷ 2
1 1 1 2
1 2y 2y 1 2y
x x x
Hàm đặc trưng: f (t) = t +t t2 +1 đơn điệu trên ¡
Nghiệm: ( ) 1
; 4;
8
x y
æç ö÷= çç ÷÷÷ çè
ø
.
Bài⓭:Giải hệ phương trình 2 2 ( ) 2
x x x x y y y
x y x y
3 2 5 2 1 2 1 2 2 (1)
2 2 4 3 (2)
2 2
ìï
- - + + = + + + ïïíï
+ = - + ïï
î
 Phân tích và hướng giải:
Nhìn vào hai căn thức chúng ta đã nhận ra mối liên quan mật thiết x2 +1 và
( )2
2 y +2y +2 = y +1 +1
Ta cố gắng tìm hàm f sao cho f (x ) = f (y +1) .
Lấy từng vế phương trình (1)-(2) ta được:
( ) ( ) ( ) 2 2
x2 +x x 2 +1 = y +1 + y +1 y +1 +1
Hàm đặc trưng xuất hiện
Lời giải:
Lấy từng vế phương trình (1)-(2) ta được
( ) ( ) ( ) 2 2
2 2 x +x x +1 = y +1 + y +1 y +1 +1 (3)
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 27

28.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014
Xét hàm số f (t) = t2 +t t2 +1 .
( ) 2
f ' = + 2
+ + ³ + |
³
2 1 2 2 | 0
2
1
t
t t t t t
t
+
( Sử dụng BĐT Cauchy)
Hmà số đồng biến trên ¡ nên (3) Û x = y +1 thay vào (2) được:
( +2
y 1 ) +2y2 = 2 ( y +1 ) -4y + 3
ïï
é ïê ê = - ïïêë = - Û 2
+ - = Û ê íïéê Û = ïïê ïê = ë ê ê 1
ìïé = - ïê ïï
2 2
3 4 4 0 2 5
3 3
2
3
x
y y
y y x y
ïê ê y
îë
ïï
= Vậy phương trình có 2 nghiệm ( ) ( ) 5 2
; 1; 2 ; ;
3 3
x y
æç ö÷= - - çç ÷÷÷ çè
ø
.
Tài liệu viết tặng các bạn là thành viên lớp 12A1. Chúc cho tất cả đều thành công! :)
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC. LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 28