1.
Sucesiones
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Escuela Normal Superior de Villavicencio
NOMBRE DEL ESTUDIANTE: ____________________________________________________
ÁREA: CÁLCULO GRADO: UNDÉCIMO -__ FECHA: _______
DOCENTE: ARMANDO GONZÁLEZ PERÍODO: DOS GUÍA: 03
Sucesiones finitas
Ejemplo
Empiezo con 1, y luego voy sumando tres.
1 1 + 3 = 4 4 + 3 = 7 7 + 3 = 10
{1,4,7,10}
Sucesiones infinitas
Ejemplo
Empiezo con 3, luego voy sumando continuamente tres.
3 3 + 4 = 7 7 + 4 = 11 11 + 4 = 15
{3,7,11,15, … }
Notación de las sucesiones
{ 𝑎 𝑘} 𝑘=1
4 = {1,4,7,10}
4 términos de la sucesión
{ 1, 4, 7, 10, }
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4
Regla de sucesión. Forma explícita
{ 𝑎 𝑘} 𝑘=1
4
Con 𝑎 𝑘 = 1 + 𝟑( 𝑘 − 1)
Revisión de términos. 𝒂 𝒌 = 𝟏 + 𝟑(𝒌 − 𝟏)
1 2 3 4
1 4 7 10

2.
Sucesiones
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Tenemos una función de 𝒌. 𝑎(𝑘) = 1 + 3(𝑘 − 1)
Y para la sucesión infinita tenemos:
{ 𝑎 𝑘} 𝑘=1
∞ = {3,7,11,15, … }
Regla de sucesión. Forma explícita
{ 𝑎 𝑘} 𝑘=1
∞
Con 𝑎 𝑘 = 3 + 𝟒( 𝑘 − 1)
{ 1, 4, 7, 10, }
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4
Tenemos una función de 𝒌. 𝑎(𝑘) = 1 + 4(𝑘 − 1)
Forma recursiva
Se define el primer término.
{ 𝑎 𝑘} 𝑘=1
4
Con 𝑎1 = 1 𝑎 𝑘 = 𝑎 𝑘−1 + 𝟑
{ 𝑎 𝑘} 𝑘=1
∞
Con 𝑎1 = 3 𝑎 𝑘 = 𝑎 𝑘−1 + 4
Sucesiones aritméticas
La característica principal es que tiene un número fijo en la diferencia entre cada uno de sus términos. Esta cantidad
puede ser positiva o negativa.
Ejemplo 1
{ −5, −3, −1, 1, … }
Notación en forma explicita
Regla de sucesión.
{ 𝑎 𝑛} 𝑛=1
∞
Con 𝑎 𝑛 = −5 + 𝟐( 𝑛 − 1)
Notación en forma recursiva
{ 𝑎 𝑛} 𝑛=1
∞
Con 𝑎1 = −5 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 + 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 2

3.
Sucesiones
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Ejemplo 2
{ 100, 107, 114, 121, … }
Notación en forma explicita
Regla de sucesión.
{ 𝑎 𝑛} 𝑛=1
∞
Con 𝑎 𝑛 = 100 + 𝟕( 𝑛 − 1)
Notación en forma recursiva
{ 𝑎 𝑛} 𝑛=1
∞
Con 𝑎1 = 100 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 + 7 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 2
Forma general
Explicita
{ 𝑎 𝑛} 𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 = 𝑎1 + 𝑟( 𝑛 − 1)
Recursiva
𝑎1 = 𝑘 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 + 𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 2
Ejemplo 3
{ 1, 3, 6, 10, … }
No es aritmética.
Práctica formulas recursivas para sucesiones aritméticas
Ejercicios
1. La función 𝒇 describe una sucesión aritmética. Estos son los primeros términos de la sucesión:
𝑛 1 2 3 4
𝑓( 𝑛) −
5
11
−
2
11
1
11
4
11
2. La función 𝒇 describe una sucesión aritmética. Estos son los primeros términos de la sucesión:
𝑛 1 2 3 4
𝑓( 𝑛) −
12
19
−
9
19
−
6
19
−
3
19
𝑓( 𝑛) = ൜
−5/11 𝑠𝑖 𝑛 = 1
𝑓( 𝑛 − 1) + 3/11 𝑠𝑖 𝑛 > 1
𝑓(𝑛) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫ۓ‬−
5
11
𝑠𝑖 𝑛 = 1
−
5
11
𝑠𝑖 𝑛 = 1

4.
Sucesiones
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3. La función 𝒈 describe una sucesión aritmética. Estos son los primeros términos de la sucesión:
𝑛 1 2 3 4
𝑔( 𝑛)
1
2
0 −
1
2
−1
4. La función 𝒇 describe una sucesión aritmética. Estos son los primeros términos de la sucesión:
𝑛 1 2 3 4
𝑓( 𝑛) −10 −7.5 −5 −2.5
5. La función 𝒉 describe una sucesión aritmética. Estos son los primeros términos de la sucesión:
𝑛 1 2 3 4
ℎ( 𝑛) −1
1
2
2 3
1
2
6. La función 𝒉 describe una sucesión aritmética. Estos son los primeros términos de la sucesión:
𝑛 1 2 3 4
ℎ( 𝑛) 0.5 −0.25 −1 −1.75
7. La función 𝒈 describe una sucesión aritmética. Estos son los primeros términos de la sucesión:
𝑛 1 2 3 4
𝑔( 𝑛) 6
1
9
6
5
9
7 7
4
9
8. La función 𝒈 describe una sucesión aritmética. Estos son los primeros términos de la sucesión:
𝑛 1 2 3 4
𝑔( 𝑛) −3
1
3
−4 −4
2
3
−5
1
3
𝑓(𝑛) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫ۓ‬−
5
11
𝑠𝑖 𝑛 = 1
−
5
11
𝑠𝑖 𝑛 = 1
𝑓(𝑛) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫ۓ‬−
5
11
𝑠𝑖 𝑛 = 1
−
5
11
𝑠𝑖 𝑛 = 1
𝑓(𝑛) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫ۓ‬−
5
11
𝑠𝑖 𝑛 = 1
−
5
11
𝑠𝑖 𝑛 = 1
𝑓(𝑛) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫ۓ‬−
5
11
𝑠𝑖 𝑛 = 1
−
5
11
𝑠𝑖 𝑛 = 1
𝑓(𝑛) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫ۓ‬−
5
11
𝑠𝑖 𝑛 = 1
−
5
11
𝑠𝑖 𝑛 = 1
𝑓(𝑛) =
‫ە‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫ۓ‬−
5
11
𝑠𝑖 𝑛 = 1
−
5
11
𝑠𝑖 𝑛 = 1

5.
Sucesiones
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Práctica usa fórmulas de sucesiones aritméticas
Ejercicios
La sucesión aritmética 𝑎(𝑛) está definida por la siguiente expresión:
9. Calcula el duodécimo término de la sucesión.
𝑎( 𝑛) = −3 − 4( 𝑛 − 1)
10. Calcula el décimo término de la sucesión.
𝑎( 𝑛) = 3 + 2( 𝑛 − 1)
11. Calcula el decimotercer término de la sucesión.
𝑎( 𝑛) = −7 + 6( 𝑛 − 1)
12. Calcula el noveno término de la sucesión.
𝑎( 𝑛) = −3 − 4( 𝑛 − 1)
13. Calcula el quinto término de la sucesión.
𝑎( 𝑛) = −7 − 2( 𝑛 − 1)
14. Calcula el duodécimo término de la sucesión.
𝑎( 𝑛) = −4 − 2( 𝑛 − 1)
15. Calcula el quinto término de la sucesión.
𝑎( 𝑛) = 6 − 4( 𝑛 − 1)
16. Calcula el segundo término de la sucesión.
𝑎( 𝑛) = 7 + 3( 𝑛 − 1)
Práctica extiende sucesiones aritméticas
Ejercicios
Se dan algunos términos de una sucesión aritmética:
17. Calcula el quinto término de la sucesión.
−6, −3,0,3, …
18. Calcula el sexto término de la sucesión.
−7, −5, −3, −1,1, …
19. Calcula el sexto término de la sucesión.
8,5,2, −1, −4, …
𝑎(12) = −3 − 4(12 − 1) = −47
𝑎 = −3 − 4 = −47
𝑎 = −3 − 4 = −47
𝑎 = −3 − 4 = −47
𝑎 = −3 − 4 = −47
𝑎 = −3 − 4 = −47
𝑎 = −3 − 4 = −47
𝑎 = −3 − 4 = −47
3 + 3 = 6
𝑎 = −3 − 4 = −47
𝑎 = −3 − 4 = −47

6.
Sucesiones
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20. Calcula el sexto término de la sucesión.
−2,3,8,13,18, …
21. Calcula el sexto término de la sucesión.
−3,0,3,6,9, …
22. Calcula el quinto término de la sucesión.
−3, −7, −11, −15, …
23. Calcula el cuarto término de la sucesión.
3,9,15, …
24. Calcula el sexto término de la sucesión.
−7, −3,1,5,9, …
Práctica fórmulas explícitas para sucesiones aritméticas
Ejercicios
25. 𝒇 es una función que describe una sucesión aritmética y por lo tanto está definida sobre los enteros positivos. A
continuación, están los primeros términos de la sucesión.
𝑛 1 2 3 4
𝑓( 𝑛) 10 −10 −30 −50
26. 𝒉 es una función que describe una sucesión aritmética y por lo tanto está definida sobre los enteros positivos. Abajo
se muestran los primeros términos de la sucesión.
𝑛 1 2 3 4
ℎ( 𝑛) 79 71 63 55
Se les pidió a José y a Luisa que encontraran una fórmula explícita para la sucesión:
• José dijo que la expresión es ℎ(𝑛) = 79 − 8(𝑛 − 1).
• Luisa dijo que la expresión es ℎ(𝑛) = 87 − 8𝑛
¿Quién tiene razón?
a) Solo José b) Solo Luisa c) Tanto José como Luisa d) Ni José ni Luisa
27. 𝒈 es una función que describe una sucesión aritmética y por lo tanto está definida sobre los enteros positivos. A
continuación, están los primeros términos de la sucesión.
𝑛 1 2 3 4
𝑓( 𝑛) −31 −27 −23 −19
𝑎 = −3 − 4 = −47
𝑎 = −3 − 4 = −47
𝑎 = −3 − 4 = −47
𝑎 = −3 − 4 = −47
𝑎 = −3 − 4 = −47
Expresión explícita
𝑓( 𝑛) = 10 − 20( 𝑛 − 1)
Expresión explícita
𝑓 = 10 − 20

7.
Sucesiones
Página 7 de 11
28. 𝒈 es una función que describe una sucesión aritmética y por lo tanto está definida sobre los enteros positivos. A
continuación, están los primeros términos de la sucesión.
𝑛 1 2 3 4
𝑔( 𝑛) −31 −27 −23 −19
29. 𝒉 es una función que describe una sucesión aritmética y por lo tanto está definida sobre los enteros positivos. A
continuación, están los primeros términos de la sucesión.
𝑛 1 2 3 4
ℎ( 𝑛) 81 54 27 0
30. 𝒈 es una función que describe una sucesión aritmética y por lo tanto está definida sobre los enteros positivos. Abajo
se muestran los primeros términos de la sucesión.
𝑛 1 2 3 4
𝑔( 𝑛) 26 10 −6 −22
Se les pidió a Laura y a Andrés que encontraran una fórmula explícita para la sucesión:
• Laura dijo que la expresión es 𝑔(𝑛) = 26 − 16(𝑛 − 1).
• Andrés dijo que la expresión es 𝑔(𝑛) = 42 − 16𝑛
¿Quién tiene razón?
a) Solo Laura b) Solo Andrés c) Tanto Laura como Andrés d) Ni Laura ni Andrés
31. 𝒇 es una función que describe una sucesión aritmética y por lo tanto está definida sobre los enteros positivos. A
continuación, están los primeros términos de la sucesión.
𝑛 1 2 3 4
𝑓( 𝑛) 170 85 0 −85
32. 𝒉 es una función que describe una sucesión aritmética y por lo tanto está definida sobre los enteros positivos. Abajo
se muestran los primeros términos de la sucesión.
𝑛 1 2 3 4
ℎ( 𝑛) −51 −34 −17 −0
Se les pidió a Rosa y a Jaime que encontraran una fórmula explícita para la sucesión:
• Rosa dijo que la expresión es ℎ(𝑛) = −51 + 17𝑛.
• Jaime dijo que la expresión es ℎ(𝑛) = −68 + 17𝑛.
¿Quién tiene razón?
a) Solo Rosa b) Solamente Jaime c) Tanto Rosa como Jaime d) Ni Rosa ni Jaime
Expresión explícita
𝑓 = 10 − 20
Expresión explícita
𝑓 = 10 − 20
Expresión explícita
𝑓 = 10 − 20

8.
Sucesiones
Página 8 de 11
Problemas verbales de sucesiones: patrón de crecimiento
¿Qué ecuación describe el crecimiento del patrón de esta secuencia de bloques?
1 2 3 4
Pequeña tabla para saber que sucede.
Término # de bloques
33. ¿Cuántos bloques habrá en el nivel 50?
Notación sigma básica
Se quiere calcular la suma de los primeros diez enteros positivos.
1 + 2 + 3 + ⋯ + 9 + 10
O la suma del uno al cien.
1 + 2 + 3 + ⋯ + 99 + 100
Vamos a utilizar una notación para saber cuál es la suma. Se va utilizar la letra sigma mayúscula.
∑ 𝑖
10
𝑖=1
= 1 + 2 + 3 + ⋯ + 9 + 10 ∑ 𝑖
100
𝑖=1
= 1 + 2 + 3 + ⋯ + 99 + 100
Ejemplo 1
∑ 𝜋𝑖2
50
𝑖=0
=
Práctica introducción a la notación sigma
Ejercicios
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒𝑠 = 1 + ( 𝑥 − 1) ⋅ 4 = 1 + 4𝑥 − 4 = 4𝑥 − 3
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒𝑠 = 4𝑥 − 3
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒𝑠 = 4𝑥 − 3

9.
Sucesiones
Página 9 de 11
34. ∑( 𝑥 + 5)
2
𝑥=0
=
35. ∑( 𝑘 − 4)
3
𝑘=1
=
36. ∑(2𝑗 − 4)
1
𝑗=0
=
37. ∑( 𝑛)
2
𝑛=0
=
38. ∑(4𝑥)
3
𝑥=1
=
39. ∑(3 − 𝑘)
2
𝑘=1
=
40. ∑( 𝑗2)
2
𝑗=0
=
41. ∑(6𝑥)
2
𝑥=1
=
42. ∑( 𝑗2
+ 1)
2
𝑗=1
=

10.
Sucesiones
Página 10 de 11
Introducción a las series aritméticas finitas
Se va a calcular la suma de los primeros 𝒏 términos de una sucesión aritmética.
{1,2,3, … , 𝑛}
La suma de los primeros 𝒏 término de una sucesión aritmética o geométrica se llama serie.
𝑆 𝑛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛
𝑆 𝑛 = 𝑛 + ( 𝑛 − 1) + ( 𝑛 − 2) + ⋯ + 1
2𝑆 𝑛 = ( 𝑛 + 1) + ( 𝑛 + 1) + ( 𝑛 + 1) + ⋯ ( 𝑛 + 1)
2𝑆 𝑛 = 𝑛( 𝑛 + 1) 𝑆 𝑛 =
𝑛( 𝑛 + 1)
2
43. Calcule la suma de los primeros 10 números enteros positivos.
𝑆 𝑛 =
𝑛( 𝑛 + 1)
2
𝑆10 =
10(10 + 1)
2
= 55 𝑆10 = 55
44. Calcule la suma de los primeros 100 números enteros positivos.
𝑆 𝑛 =
𝑛( 𝑛 + 1)
2
𝑆10 =
10(10 + 1)
2
= 55 𝑆10 = 55
Se puede generalizar para cualquier suma de sucesiones aritméticas.
𝑆 𝑛 = 𝑛 ⋅
( 𝑎 𝑛 + 𝑎1)
2
Series aritméticas finitas
Comencemos con una suma.
Encuentra la suma de 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = .
¡Fantástico! Acabas de encontrar la suma de una pequeña serie aritmética. Solo tenía 𝟓 términos. Pero, ¿y si tuviera un
millón de términos? De seguro querríamos una fórmula. Afortunadamente, ya hemos aprendido esa fórmula.
𝑆 𝑛 = 𝑛 ⋅
( 𝑎 𝑛 + 𝑎1)
2
Ahora utilice la expresión para la suma.

11.
Sucesiones
Página 11 de 11
𝑆5 = 𝑛 ⋅
( 𝑎 𝑛 + 𝑎1)
2
Muy bien. Vamos a intentar usar la fórmula para encontrar la suma de una serie aritmética que podría ser tedioso
calcular a mano.
Considera la serie 𝟑 + 𝟓 + 𝟕 + ⋯ + 𝟒𝟎𝟏. Complete: 𝒂 𝟏 = 𝒂 𝒏 =
La sucesión aumenta por 𝟒𝟎𝟏 − 𝟑 = 𝟑𝟗𝟖 desde el primer hasta el último término. Dado que la sucesión aumenta en 𝟐
cada vez, le toma
𝟑𝟗𝟖
𝟐
= 𝟏𝟗𝟗 términos para ir del primero al último. Todavía nos falta contar el primer término, así que
hay 𝟏𝟗𝟗 + 𝟏 = 𝟐𝟎𝟎 términos de la sucesión.
En otras palabras, 𝒏 = 𝟐𝟎𝟎.
Calcule la suma de 𝟑 + 𝟓 + 𝟕 + ⋯ + 𝟒𝟎𝟏
𝑆 = 𝑛 ⋅
( 𝑎 𝑛 + 𝑎1)
2
¡Wow! Muy bien, parece que ya lo tienes.
Prueba tú mismo
Problema 1: encuentra la suma de 𝟏𝟏 + 𝟐𝟎 + 𝟐𝟗 + ⋯ + 𝟒𝟎𝟓𝟐.
𝑆 = 𝑛 ⋅
( 𝑎 𝑛 + 𝑎1)
2
Problema 2: encuentra la suma de 𝟏𝟎 + (−𝟏) + (−𝟏𝟐) + ⋯ + (−𝟏𝟎𝟗𝟕𝟗).
𝑆 = 𝑛 ⋅
( 𝑎 𝑛 + 𝑎1)
2
Practica evaluar series aritméticas
45. ∑(−5𝑘 + 12)
275
𝑘=1
=
46. Halle la suma de −𝟓𝟎 + (−𝟒𝟒) + (−𝟑𝟖) + ⋯ + 𝟐𝟎𝟑𝟖 + 𝟐𝟎𝟒𝟒.
𝑆 = 𝑛 ⋅
( 𝑎 𝑛 + 𝑎1)
2
47. ∑(1 − 7𝑘)
625
𝑘=1
=