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  2. 2. S EC U N DA R I A T E R C E R G R A D OMatemáticas 3 Guía para el maestro
  3. 3. Primera edición: noviembre de 2014 Segunda edición: diciembre de 2016 Matemáticas 3 Guía para el maestro Texto: Teresa Guadalupe Vergara Loera, Najla Amira Ochoa Leonor, José Germán Ávila Vicenteño y Ricardo Medel Esquivel. Todos los derechos reservados. D. R. © 2016, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. Castillo ® es una marca registrada Insurgentes Sur 1886, Col. Florida, Del. Álvaro Obregón, C.P. 01030, México, D. F. Tel.: (55) 5128-1350 Fax: (55) 5128-1350 ext. 2899 Ediciones Castillo forma parte del Grupo Macmillan www.grupomacmillan.com www.edicionescastillo.com infocastillo@grupomacmillan.com Lada sin costo: 01 800 536 1777 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro núm. 3304 Prohibida la reproducción o transmisión parcial o total de esta obra por cualquier medio o método o en cualquier forma electrónica o mecánica, incluso fotocopia, o sistema para recuperar información, sin permiso escrito del editor. Subdirección editorial: Tania Carreño King Gerencia de secundaria: Fabián Cabral Coordinación de secundaria: Mónica Noble Diseño de interiores y portada: Gustavo Hernández Edición, diagramación y pruebas: Letra Cardinal Supervisión editorial: Javier Jiménez Alba Supervisión de diseño: Sahie García Coordinación de imagen: Teresa Leyva Supervisión de imagen: Mariana Jiménez Coordinación de operaciones de diseño: Gabriela Rodríguez Cruz Subdirección de logística y producción: Carlos Olvera Coordinación de producción: Ulyses Calvillo
  4. 4. La práctica docente exige diferentes recursos para lograr una educación de calidad. Conscientes de ello, en Ediciones Castillo queremos contribuir desde nuestras posibilidades a que su trabajo sea más sencillo. Como una muestra de ese compromiso, hemos renovado la guía para el maestro de nuestros títulos de la serie Explora: se trata una herramienta que facilitará su trabajo diario en el aula porque incluye sugerencias y respuestas, página a página, para el libro del alumno. Además de brindar las recomendaciones para instrumentar el trabajo en el aula, esta nueva guía Explora incluye: • El solucionario correspondiente a las evaluaciones Ponte a Prueba ENLACE y Ponte a prueba PISA que contiene el libro del alumno • Avance programático bimestral La nueva guía que ponemos a su alcance tiene como objetivo acompañarlo en cada etapa del proceso de trabajo con las secuencias didácticas, señalando elementos de utilidad: conceptos, habilidades, actitudes, propósitos de las actividades, así como cada momento de las secuencias (Inicio a partir de lo que sé, Resuelvo y aprendo y Consolido mis aprendizajes). Los que participamos en la elaboración de esta nueva guía sabemos que con su experiencia y creatividad logrará potenciar las intenciones didácticas aquí expuestas, y así conseguir que sus alumnos desarrollen las habilidades y actitudes para el logro de los aprendizajes esperados y las competencias para la vida. Los editores Presentación para el maestro © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
  5. 5. Estructura de la guía 4 El trabajo con secuencias didácticas 8 Evaluación 9 Recursos digitales para el docente 10 Avance programático 11 Bloque 1 S1. La raíz del problema 18 Inicio a partir de lo que sé 18 Resuelvo y aprendo 19 Consolido mis aprendizajes 23 S2. A imagen y semejanza 24 Inicio a partir de lo que sé 24 Resuelvo y aprendo 25 Consolido mis aprendizajes 29 S3. ¿En qué se parecen? 30 Inicio a partir de lo que sé 30 Resuelvo y aprendo 31 Consolido mis aprendizajes 35 S4. Representaciones de una misma situación 36 Inicio a partir de lo que sé 36 Resuelvo y aprendo 36 Consolido mis aprendizajes 41 S5. Dos maneras de entender una variación cuadrática 42 Inicio a partir de lo que sé 42 Índice Resuelvo y aprendo 43 Consolido mis aprendizajes 47 S6. Probabilidad de eventos 48 Inicio a partir de lo que sé 48 Resuelvo y aprendo 49 Consolido mis aprendizajes 53 S7. ¿Qué opinan los demás? 54 Inicio a partir de lo que sé 54 Resuelvo y aprendo 54 Consolido mis aprendizajes 58 Habilidades digitales 59 Ponte a prueba PISA 62 Ponte a prueba ENLACE 64 Ahora sé 65 Bloque 2 S9. Vamos por partes 68 Inicio a partir de lo que sé 68 Resuelvo y aprendo 68 Consolido mis aprendizajes 73 S9. Girar y deslizar 74 Inicio a partir de lo que sé 74 Resuelvo y aprendo 75 Consolido mis aprendizajes 79 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
  6. 6. S10. Diseños con simetría, rotación y traslación 80 Inicio a partir de lo que sé 80 Resuelvo y aprendo 81 Consolido mis aprendizajes 85 S11. La cuadratura del triángulo 86 Inicio a partir de lo que sé 86 Resuelvo y aprendo 86 Consolido mis aprendizajes 91 S12. El teorema de Pitágoras 92 Inicio a partir de lo que sé 92 Resuelvo y aprendo 92 Consolido mis aprendizajes 97 S13. Probabilidad de eventos mutuamente excluyentes 98 Inicio a partir de lo que sé 98 Resuelvo y aprendo 99 Consolido mis aprendizajes 102 Habilidades digitales 103 Ponte a prueba PISA 106 Ponte a prueba ENLACE 108 Ahora sé 109 Bloque 3 S14. La fórmula infalible 112 Inicio a partir de lo que sé 112 Resuelvo y aprendo 112 Consolido mis aprendizajes 117 S15. ¡Hágalo con triángulos! 118 Inicio a partir de lo que sé 118 Resuelvo y aprendo 118 Consolido mis aprendizajes 123 S16. Tales para cuales 124 Inicio a partir de lo que sé 124 Resuelvo y aprendo 124 Consolido mis aprendizajes 128 S17. Dadme un punto de apoyo … y transformaré la figura 130 Inicio a partir de lo que sé 130 Resuelvo y aprendo 130 Consolido mis aprendizajes 135 S18. Gráficas de relaciones cuadráticas 136 Inicio a partir de lo que sé 136 Resuelvo y aprendo 137 Consolido mis aprendizajes 141 S19. Con rectas y curvas 142 Inicio a partir de lo que sé 142 Resuelvo y aprendo 143 Consolido mis aprendizajes 147 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
  7. 7. S20. Probabilidad de eventos independientes 148 Inicio a partir de lo que sé 148 Resuelvo y aprendo 149 Consolido mis aprendizajes 152 Habilidades digitales 153 Ponte a prueba PISA 156 Ponte a prueba ENLACE 158 Ahora sé 159 Bloque 4 S21. Dime la regla y te diré quién sigue 162 Inicio a partir de lo que sé 162 Resuelvo y aprendo 163 Consolido mis aprendizajes 166 S22. Sólidos de revolución 167 Inicio a partir de lo que sé 167 Resuelvo y aprendo 167 Consolido mis aprendizajes 172 S23. La pendiente, la tangente y el ángulo de inclinación de una recta 173 Inicio a partir de lo que sé 173 Resuelvo y aprendo 174 Consolido mis aprendizajes 177 S24. Seno, coseno y tangente 179 Inicio a partir de lo que sé 179 Resuelvo y aprendo 180 Consolido mis aprendizajes 184 S25. ¿Para qué sirve la trigonometría? 185 Inicio a partir de lo que sé 185 Resuelvo y aprendo 185 Consolido mis aprendizajes 189 S26. ¿Cuánto cambió? 191 Inicio a partir de lo que sé 191 Resuelvo y aprendo 192 Consolido mis aprendizajes 196 S27. Dispersión de datos 197 Inicio a partir de lo que sé 197 Resuelvo y aprendo 198 Consolido mis aprendizajes 202 Habilidades digitales 203 Ponte a prueba PISA 206 Ponte a prueba ENLACE 208 Ahora sé 209 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
  8. 8. Bloque 5 S28. ¡Hágalo con álgebra! 212 Inicio a partir de lo que sé 212 Resuelvo y aprendo 212 Consolido mis aprendizajes 217 S29. Cortes a cilindros y conos 218 Inicio a partir de lo que sé 218 Resuelvo y aprendo 219 Consolido mis aprendizajes 223 S30. Volumen de cilindros y conos 225 Inicio a partir de lo que sé 225 Resuelvo y aprendo 225 Consolido mis aprendizajes 230 S31. Situaciones con conos y cilindros 231 Inicio a partir de lo que sé 231 Resuelvo y aprendo 231 Consolido mis aprendizajes 236 S32. Variaciones lineales y cuadráticas 237 Inicio a partir de lo que sé 237 Resuelvo y aprendo 238 Consolido mis aprendizajes 242 S33. Antes de apostar 244 Inicio a partir de lo que sé 244 Resuelvo y aprendo 245 Consolido mis aprendizajes 248 Habilidades digitales 250 Ponte a prueba PISA 253 Ponte a prueba ENLACE 255 Ahora sé 256 Conceptos clave ordenados pr ejes y temas 257 Bibliografía general 260 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
  9. 9. Estructura de la guía Avance programático Es una propuesta para planear y organizar, de manera bimestral, el trabajo en el aula atendiendo los aprendizajes esperados del libro del alumno. En él se indican los contenidos a desarrollar (por temas o secuencias didácticas), además de las semanas y horas sugeridas para abordarlos. Bloque 2 Semanas Eje Tema Secuencia Contenido Páginas 9 Sentidonumérico ypensamientoalgebraico Patrones y ecuaciones 8. Vamos por partes Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización. 68-73 10 Forma,espacio ymedida Figuras y cuerpos 9. Girar y deslizar Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. 74-79 11 10. Diseños con simetría, rotación y traslación Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras. 80-85 12 Medida 11. La cuadratura del triángulo Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo. 86-91 13 12. El teorema de Pitágoras Explicitación y uso del teorema de Pitágoras. 92-97 14 Manejodela información Nociones de probabilidad 13. Probabilidad de evento mutuamente excluyentes Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma). 98-102 15 Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA, Ponte a prueba ENLACE, Ahora sé 103-108 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 12 Bloque 3 Semanas Eje Tema Secuencia Contenido Páginas 16 Sentidonumérico ypensamientoalgebraico Patrones y ecuaciones 14. La fórmula infalible Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones. 112-117 17 Forma,espacio ymedida Figuras y cuerpos 15. ¡Hágalo con triángulos! Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas. 118-123 18 16. Tales para cuales Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales. 124-129 19 17. Dadme un punto de apoyo… y transformaré la figura Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas. 130-135 20 Manejodelainformación Proporcionalidad y funciones 18. Gráficas de relaciones cuadráticas Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos. 136-141 21 Análisis y representación de datos 19. Con rectas y curvas Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera. 142-147 22 20. Probabilidad de eventos independientes Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto). 148-152 23 Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA, Ponte a prueba ENLACE, Ahora sé 153-158 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 13 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 4
  10. 10. Inicio del bloque Al inicio de cada bloque encontrará los aprendizajes esperados, las competencias que se favorecen y un resumen de los conocimientos que se estudiaron. Eje Contenido Aprendizajes esperados Sentidonumérico ypensamiento algebraico Patrones y ecuaciones • Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones. • Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado. • Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura. Forma,espacioy medida Figuras y cuerpos • Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas. • Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales. • Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas. Manejodelainformación Proporcionalidad y funciones • Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos. • Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera. Nociones de probabilidad • Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto). El puente del Alamillo en Sevilla, España, obra del arquitecto Santiago Calatrava, es una muestra de la combinación de la geometría, el arte y la ingeniería en la construcción de obras que ayudan a resolver problemas de la población aunado con el embellecimiento de las ciudades. Los tirantes paralelos del puente cuyo objetivo funcional es el de dar sostén al tablero, asemeja las líneas paralelas que se pueden trazar en un triángulo para formar triángulos menores semejantes entre sí, como afirma el teorema de Tales. 110110 Bloque 3 Competencias que se favorecen • Resolver problemas de manera autónoma. • Comunicar información matemática. • Validar procedimientos y resultados. • Manejar técnicas eficientemente. Conceptos principales S14 Ecuación de segundo grado, incógnita, discriminante. S15 Congruencia, semejanza, criterios de congruencia y semejanza de triángulos. S16 Teorema de Tales, división de un segmento en partes iguales, proporción. S17 Semejanza, homotecia, centro de homotecia, razón de homotecia. S18 Variacíon cuadrática, parábola, valores máximos y mínimos. S19 Gráficas, rectas, curvas, movimiento, llenado de recipientes. S20 Probabilidad, espacio muestral, eventos dependientes, eventos independientes, regla del producto. Aprendizajes esperados • Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado. • Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utili- zar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 110 111111 Sentido numérico y pensamiento algebraico. En este eje, con el estudio de la fórmula general y su aplicación, el alumno alcanza el primer aprendizaje esperado del bloque. Forma espacio y medida. Los contenidos de este eje son tres: en el primero, se aplican los criterios de congruencia y semejanza de trián- gulos para resolver problemas; en el segundo, se resuelven proble- mas geométricos mediante el teorema de Tales. En el tercer contenido construirán figuras homotéticas, y con esto se concluye el segundo aprendizaje esperado del bloque. Manejo de la información. Uno de los temas que se estudian en este eje es el de proporcionalidad y funciones, en dos contenidos. El primero consiste en la lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráti- cas para modelar diferentes fenómenos. En el segundo se extiende este mismo estudio a gráficas formadas por secciones rectas y curvas. En el último tema del eje y del bloque, se estudia el cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 111 Sugerencias didácticas En cada etapa de la secuencia hallará algunas sugerencias didácticas. Solucionario Se han incluido las respuestas a las actividades del libro del alumno. Encontrará la leyenda R. L. (respuesta libre) cuando sea el caso, o bien, si se trata de respuesta modelo aparecen las iniciales R. M. Dimelareglaytediréquiénsigue Inicio a partir de lo que sé La representación de números en forma visual con guijarros o piedras era una práctica regular entre los antiguos griegos; también, durante el Imperio romano, se usaban calculus, es decir, pequeñas piedras para contar y hacer operaciones. Con esta representación, si se parte de la unidad y se añade un número impar de piedras alrededor de cada arreglo para formar el siguiente, se obtienen los números cuadrados. En la figura 4.1 se aprecian los primeros cinco números cuadrados. ¿Por qué piensas que reciben ese nombre? Resuelvo y aprendo Fig. 4.1 Fig. 4.2 a) Escriban una expresión algebraica para calcular el número de piedras en la base de cada arreglo con relación al número del arreglo. b) Escriban también una expresión algebraica para determinar el número de piedras en la altura del mismo arreglo también con relación al número del arreglo. c) A partir de las expresiones anteriores, escriban otra con la que se obtenga el número de piedras en cada arreglo. d) ¿Un arreglo con 68 piedras pertenece a la sucesión? Justifiquen su respuesta en su cuaderno. e) ¿Cuántas piedras conformarían el arreglo 20? Arreglo 1 Arreglo 2 Arreglo 3 Arreglo 4 Arreglo 5 Expresiones cuadráticas y sucesiones 1. En equipos resuelvan las siguientes situaciones. a) Un equipo de trabajadores coloca losetas sobre el piso del salón de usos múltiples en la secundaria José Luis Cuevas en el orden que muestra la figura 4.2. Obsérvenlo. Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5 162 SECUENCIA 21 Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión Antecedentes • Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las re- glas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros. Inicio a partir de lo que sé Página 162 a) a b, donde a es el número de piedras en la base y b, el número del arreglo. b) c b, donde c es el número de piedras en la altura y b, el número del arreglo. c) ac b2 , y como el producto ac corresponde al número de piedras, entonces la expresión anterior puede expresarse como n b2 , con n el número de piedras. d) No, ya que no existe un número entero b tal que su cuadrado sea n 68. e) 400 Sugerencia didáctica. Comparen de manera grupal las respuestas ante- riores. Antes de iniciar, indique a los alumnos que considerarán a la literal b como el número de piedras en el base y a n como el número de piedras. Plantee preguntas que les permitan justificar las respuestas que obtuvieron al trabajar en parejas: ¿cómo saben que un arreglo con 68 piedras pertenece o no a la sucesión?, ¿qué hicieron para saber cuántas piedras tendría el arreglo número 20? S21 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 162 Consigan popotes, tijeras, tachuelas o alfileres y pegamento. Recorten y unan los popotes con las tachuelas para construir un triángulo con- gruente con el de la figura 1.24. Con dos de los popotes con que construyeron el triángulo traten de formar un triángulo que no sea congruente con el anterior. ¿Pudieron hacerlo? ¿Por qué? Con los tres popotes con que construyeron el triángulo inicial intenten formar un triángulo que no sea congruente con el triángulo de la figura 1.24. ¿Pudieron hacerlo? ¿Por qué? b) Juan construyó un triángulo cuyos lados miden 2 cm, 5 cm y 6 cm. Si María hizo otro cuyos lados miden 5 cm, 2 cm y 6 cm, ¿cómo son entre sí los triángulos? c) Recorten 2 segmentos de popote: uno de 4 cm y otro de 3.5 cm, y formen un ángulo de 45° uniéndolos por uno de sus extremos como se muestra en la figura 1.26. ¿Podrían completar un triángulo con esos segmentos? Recorten de un popote el segmento que falta para hacerlo. ¿Cuánto mide el lado opuesto al ángulo de 45°? Comparen su construcción con la de otros equipos. ¿Cómo son entre sí los triángulos? ¿Podrían construir un triángulo no congruente con el anterior que conserve la medi- da de los popotes iniciales y el ángulo entre ellos? Escriban sus conclusiones. d) Deshagan el triángulo que formaron. Con los segmentos más cortos formen un ángulo de 45° y con otro segmento de popote completen el triángulo. ¿Cuánto mide el lado faltante? Analicen si para que dos triángulos sean congruentes es suficiente con que ten- gan dos lados y un ángulo iguales. Justifiquen su respuesta. Fig. 1.25 Fig. 1.26 45° 31 BLOQUE 1 (Continúa de la página 30) b) R. L. c) R. L. Resuelvo y aprendo Criterios de congruencia entre triángulos 1. a) Celeste, ya que del modo que propone Emilio es posible trazar dos triángulos que coincidan en la medida de dos lados pero que difieran en el tercero. Lo anterior sucede cuando el ángulo entre los dos lados es diferente en cada triángulo. Página 31 • Sí, al modificar el ángulo que forman los dos popotes, la lon- gitud del tercer lado cambia. • No, porque aunque se intente cambiar la manera en que se acomodan los popotes, la abertura que se forma entre cada dos popotes siempre debe ser la misma para que pueda co- locarse el tercer popote. b) Congruentes. c) Sí es posible. • 2.91 cm • Congruentes. • No es posible. Cuando está determinada la medida de dos de los lados y del ángulo comprendido entre ellos, la longitud del tercer lado será siempre la misma. Por lo anterior, todos los triángulos que se construyan serán congruentes. d) 2.51 cm • Para afirmar que dos triángulos son congruentes es sufi- ciente con que tengan dos lados iguales y que el ángulo comprendido entre esos lados también sea igual. Si los án- gulos iguales no son los comprendidos entre los lados igua- les, no se puede afirmar que los triángulos son congruentes. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 31 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 5
  11. 11. Habilidades digitales Hacia el final del bloque se presentan sugerencias didácticas y las respuestas de esta sección. Ponte a prueba PISA Incluye las respuestas a la sección Ponte a prueba PISA. Ahora selecciona el ícono Mueve Punto y modifica la posición de los vértices del polígono original para cambiar su forma. a) ¿Cómo es el segundo polígono con respecto al original después de modificarlo? b) ¿Qué características del primer polígono se conservan en el segundo? ¿Cuáles no? 3. Da clic en el ícono y dibuja una recta paralela a la primera, justo a un costado del segundo polígono, pero sin que lo corte. Repite las instrucciones del paso 2, ahora para los vértices del segundo polígono, y así obtener un tercer polígono (figura 5). a) ¿Hay algún cambio en el perímetro y en el área del tercer polígono respecto al polígono original? ¿Por qué? b) ¿Qué pasa con las medidas de los ángulos internos en el tercer polígono respecto al primero? c) Haz clic en el ícono , mueve el punto que está sobre la segunda recta y hazlo coincidir con la primera. ¿Qué tipo de transformación permite obtener el tercer polígono a partir del primero? Fig. 3 Fig. 4 104 HABILIDADES DIGITALES Página 104 Respuestas 2. a) Sigue siendo simétrico. b) Se conserva la forma del polígono. No se conserva la posición. 3. a) No hay cambio. Porque el tercer polígono es el resultado de apli- car dos veces simetría axial, la cual es una transformación que siempre da como resultado una figura congruente. b) Son iguales. c) Traslación. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 104 Transformaciones Ahora trabajaremos con un software de dibujo distinto al que usamos en el bloque 1. Con esta herramienta digital libre desarrollarás habilidades en geometría y ejercitarás tu intuición, elaborarás hipótesis y validarás conjeturas. ¿Listo? ¡Comenzamos! 1. Abre el programa (figura 1), da clic en el ícono Polígono y observa que en la parte inferior de la ventana aparecen las instrucciones para usar la herramienta seleccionada. Dibuja un polígono con la forma que prefieras, pero asegúrate de que puedas reproducirlo más adelante. Con el botón secundario del ratón, haz clic sobre el polígono: en la parte superior de la pantalla aparecerá un menú; elige alguno de los íconos para colorear el polígono (figura 2). Habilidades digitales Te invito a… entrar a la página www. edutics.mx/47k para obtener un software gratuito de geometría. (Consulta: 10 de julio de 2013). Fig. 1 Fig. 2 2. Selecciona el ícono y dibuja una recta vertical adyacente al polígono, pero sin que lo corte (figura 3). Da clic en el ícono Simetría axial y dibuja puntos simétricos de los vértices del polígono respecto de la recta; para ello selecciona primero la recta y luego los vértices del polígono. Posteriormente, con la herramienta une los puntos simétricos para obtener un segundo polígono (figura 4). Polígono Menú para selección de colores Instrucciones para el uso de cada herramienta seleccionada 103 BLOQUE 2 Página 103 Sugerencia didáctica. En esta actividad se propone trabajar con un programa de dibujo diferente al que se usó en el bloque anterior. El propósito es que comente con sus alumnos que existen diferentes programas (muchos de distribución gratuita) con los que pueden realizar distintas tareas. En la sección “Te invito a…” se muestra una liga para acceder a la página electrónica oficial del programa y per- mite descargarlo de manera gratuita. La actividad tiene la finalidad de que el alumno analice las propieda- des de la figuras geométricas con simetría axial, con doble simetría axial y con simetría rotacional. Invítelos a hacer mediciones de ángulos, longitudes y áreas con los polígonos que trazaron y los comparen con sus imágenes simétricas. Al final indique a sus alumnos que, por equipos, elaboren una conclu- sión sobre las propiedades de las figuras que se conservan al modifi- carse con los tipos de transformaciones vistas. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 103 Ponte a prueba PISA 1. Fabián construye cuadrados con palillos. En cada paso añade palillos para formar el siguiente cuadrado como muestra la imagen. De esta manera, en el primer paso el cuadrado se forma con 4 palillos y en el segundo, con 12. Paso 1 Paso 2 a) ¿Cuántos palillos debe añadir Fabián para formar el cuadrado en el paso 12? 2. En un momento del día, el monumento a la Independencia en la Ciudad de México, mejor conocido como El Ángel, con una altura de 52 m, proyecta una sombra que también mide 52 m. a) ¿Cuál es el ángulo de elevación del Sol sobre el horizonte? b) Se llama equinoccio al momento en que el Sol se sitúa en el plano del ecuador terrestre. Cuando se produce un equinoccio, el día y la noche tienen igual duración. Si el día en que se midió la sombra del monumento coincide con el día en que se produce un equinoccio, y ese día el Sol salió a las 6 de la mañana, ¿en qué momentos se pudo realizar la medición de la sombra? 3. Responde con base en la figura. a) ¿A cuánto equivalen las razones trigonométricas del ángulo A en el triángulo rectángulo que se construye a partir del triángulo equilátero de la figura 2? • sen A ϭ • cos A ϭ • tan A ϭ Fig. 1 Fig. 2 A 2 206 PONTE A PRUEBA PISA Ponte a prueba PISA Respuestas 1. a) 312 2. a) 45° b) A las 9:00 h o a las 15:00 h. 3. a) • sen A 1 2 0.5 tan A 1 3 • cos A 2 3 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 206 Fig. 3 4. En dos agencias de renta de automóviles se cobran diferentes tarifas de acuerdo con los kilómetros que recorre un automóvil durante el tiempo en que se alquila. Al comparar las tarifas para un automóvil del mismo modelo y marca se obtuvo la información que presenta la gráfica. a) ¿Cuáles son las condiciones de la tarifa que cobra la agencia A? b) ¿Cuáles son las condiciones de la tarifa que cobra la agencia B? c) Explica en qué condiciones conviene rentar un automóvil en cada agencia. Agencia A: Agencia B: 5. El número de horas a la semana que cada alumno de los tres grupos de tercer grado de la secundaria Quetzalcóatl estudia se muestra en la tabla siguiente. a) ¿Qué grupo de alumnos dedica más horas a estudiar? • Grupo A • Grupo B • Grupo C b) ¿En cuál de los tres grupos el tiempo de estudio es más uniforme? • Grupo A • Grupo B • Grupo C Grupo A Grupo B Grupo C 17, 13, 10, 8, 4, 24, 12, 14, 5, 25, 8, 6, 16, 12, 18, 14, 12, 10, 7, 12, 10, 12, 10, 24, 18, 20, 15, 20, 20, 10, 8, 18, 18, 9, 4, 16, 10, 9. 7, 5, 15, 11, 17, 13, 11, 9, 8, 11, 19, 15, 12, 10, 6, 24, 14, 16, 7, 25, 9, 17, 19, 8, 5, 15, 9, 10, 9, 21, 11, 12, 11, 24, 3. 11, 13, 11, 25, 3, 19, 21, 16, 21, 21, 8, 19, 18, 10, 4, 17, 10, 10, 9, 20, 7, 7, 15, 13, 17, 15, 11, 11, 6, 13, 18, 14, 11, 9, 5, 25, 13. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 50 0 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 Agencia A Agencia B Costodelarenta(pesos) Distancia (km) 207 BLOQUE 4 • 4. a)La agencia A no cobra cuotas iniciales y cobra $4.50 por cada ki- lómetro recorrido. b) La agencia B cobra $300 de cuota inicial y aproximadamente $1.82 por cada kilómetro recorrido. c) Agencia A: Conviene rentar un automóvil en esta agencia si la distancia por recorrer será menor que 110 km. Agencia B: Conviene rentar un automóvil en esta agencia si la distancia por recorrer será mayor que 110 km 5. a) Grupo A b) Grupo B © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 207 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 6
  12. 12. Ponte a prueba ENLACE Contiene las respuestas a los reactivos de esta evaluación. Ahora sé En esta sección se proponen algunas sugerencias para trabajar esta autoevaluación. Ponte a prueba ENLACE 1. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas permite encontrar el enésimo término de la sucesión: 4, 7, 14, 25, 40,…? a) tn ϭ 3n2 ϩ 3n Ϫ 4 c) tn ϭ 2n2 ϩ 3n Ϫ 1 b) tn ϭ 2n2 ϩ 3n Ϫ 5 d) tn ϭ 2n2 Ϫ 3n ϩ 5 2. ¿Cuál debe ser la medida del segmento CD en el desarrollo plano del cilindro de la imagen? a) AB ␲ c) ␲ b) AB 2 2 ␲ d) 2AB ␲ 3. La presión que ejerce un gas sobre las paredes del recipiente que lo contiene depende de su temperatura cuando su volumen es constante. La gráfica muestra la relación entre estas variables. Determina la razón de cambio entre el volumen y la temperatura. a) 1 3 c) Ϫ 1 3 b) 2 3 d) 3 2 4. La tarifa por el servicio de taxi en la Ciudad de México está representada por la ecuación T ϭ 8.74 ϩ 1.07d, donde T es la tarifa, $8.74 por “banderazo”, y d representa tramos de recorrido de 250 m. ¿Qué valor corresponde con la razón de cambio entre las variables involucradas? a) 8.74 b) 1.07 c) T d d) 1.07 8.74 5. Las calificaciones de un alumno en el tercer bimestre escolar fueron: 8, 9, 7, 10, 7, 9, 8, 10. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera según esas calificaciones? a) La desviación media es igual al rango. b) El rango es 4. c) La desviación media es 1. d) La desviación media es 8.5. C BA D E FH 0 1 Ϫ1 Ϫ2 Ϫ3 Ϫ4 Ϫ5 Ϫ6 2 3 4 5 6 7 8 Presión (Pa) Temperatura (°C) x 2 3 4 5 6 7 y Ϫ1Ϫ2Ϫ3Ϫ4Ϫ5Ϫ6Ϫ7 1 208 PONTE A PRUEBA ENLACE Ponte a prueba ENLACE Respuestas 1. d) tn 2n2 — 3n 5 2. d) 2(AB) 3. b) 2 3 4. b) 1.07 5. c) La desviación media es 1. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 208 Ponte a prueba ENLACE 1. Observa el cono truncado de la imagen. Si se completara su parte superior hasta formar el cono completo, ¿cuál sería su altura? 1.3 cm 2 cm 4 cm a) 2.6 cm b) 11.43 cm c) 6.6 cm d) 7.43 cm 2. ¿Cómo se debe hacer el corte a un cono para que la sección resultante sea una parábola? a) Paralelo a la base. c) Perpendicular a la base. b) Oblicuo a la base. d) Perpendicular a la base atravesando su diámetro. 3. Karol es siete años mayor que su hermana Dulce, y en seis años la mitad del cuadrado de la edad de Karol será igual al cuadrado de la edad que tendrá Dulce más 31. ¿Qué edad tienen? a) Karol, 2; Dulce, Ϫ5. c) Karol, 15; Dulce, 8. b) Karol, 20; Dulce, 13. d) Karol, 14; Dulce, 7. 4. El volumen de un cono recto cuya base tiene un radio de 9 cm es de 1 273.35 cm3. ¿Cuál es la altura de un cilindro con la misma medida del radio de la base del cono e igual volumen? a) 45 cm c) 5 cm b) 15 cm d) 27 cm 5. Una ruleta con 50 espacios iguales numerados del 1 al 50 se gira para ver el número donde la aguja se detiene. Algunos jugadores eligen las siguientes opciones: Jugador A: el número obtenido es múltiplo de 10. Jugador B: el número obtenido es menor que 5. Jugador C: el número obtenido es primo. Jugador D: el número obtenido es mayor que 45. ¿Qué eventos son equiprobables? a) Los eventos A y B. c) Los eventos B y C. b) Los eventos C y D. d) Los eventos D y A. 255 BLOQUE 5 Respuestas 1. b) 11.43 cm 2. b) Oblicuo a la base 3. d) Karol, 14; Dulce, 7 4. c) 5 cm 5. d) Los eventos D y A © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 255 Autoevaluación Marca con una la opción que demuestre tus alcances correspondientes a los aprendizajes esperados y responde la pregunta. Contenido ¿Logré el aprendizaje? ¿Cómo puedo mejorar? Sí No Resuelvo problemas que implican el uso de ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones. Formulo problemas a partir de una ecuación dada. Analizo las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Calculo las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto. Construyo las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos, tomando como referencia las fórmulas de prismas y pirámides. Estimo y calculo el volumen de cilindros y conos o de cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas. Analizo situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades. Analizo las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables. Al terminar revisen la tabla con su profesor. Después, en grupo y con el apoyo de su profesor, elaboren una estrategia de trabajo para que mejoren su desempeño. Ahora sé 256 AUTOEVALUACIÓN 5 Sugerencia didáctica. El objetivo de una autoevaluación es que el alumno desarrolle su capacidad autocrítica y con ello pueda recono- cer sus logros cognitivos y sus debilidades. Es importante hacer ver al alumno que esas “limitantes” son “oportunidades de desarrollo”, es decir, áreas que puede y debe mejorar. Su papel como docente, en esta etapa de la evaluación, debe consistir en proporcionar a cada alumno las técnicas para evidenciar sus capacidades y, una vez identificadas, procurarle elementos para potenciarlas. Una propues- ta consiste no en evaluar lo que “saben”, sino lo que “pueden hacer” con lo que saben. A través de un producto palpable (un ensayo, el diseño de un artefacto, la resolución de un problema comunitario o personal, una aplicación de la teoría aprendida, etcétera) usted podría medir el grado de comprensión que el alumno tuvo de los conocimientos teóricos. Además de que el producto implicaría ex- plicar técnicas y procedimientos, formular y comprobar hipótesis, diseñar experimentos y elegir problemas interesantes. Lo anterior contribuye al desarrollo de sus capacidades cognitivas, destrezas científicas, habilidades mentales, sus actitudes y valores. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 256 Autoevaluación Marca con una la opción que demuestre tus alcances correspondientes a los aprendizajes esperados y responde la pregunta. Contenido ¿Logré el aprendizaje? ¿Cómo puedo mejorar? Sí No Uso ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización. Analizo las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. Construyo diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras. Analizo las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo. Explico y uso el teorema de Pitágoras. Calculo la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma). Al terminar revisen la tabla con su profesor. Después, en grupo y con el apoyo de su profesor, elaboren una estrategia de trabajo para que mejoren su desempeño. Ahora sé 109 BLOQUE 2 Página 109 Sugerencia didáctica. La autoevaluación es un proceso clave en los enfoques constructivista y por competencias. Trabaje con sus alum- nos la habilidad para evaluar sus logros; para ello indique a cada uno que debe explicitar los avances alcanzados, explicar la forma en que los obtuvo, indicar cómo sitúa su trabajo con respecto al de sus com- pañeros y señalar qué puede hacer para mejorar Para la autoevaluación es necesario que, junto con sus alumnos: • Definan los criterios de autoevaluación. En este caso pueden ser los contenidos o aprendizajes esperados. • Establezcan los resultados individuales que se esperan. • Presenten las evidencias que demuestran esos resultados. • Planteen juicios sobre los logros en los resultados. • Elaboren un plan para mejorar las áreas que presentan dificultades. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 109 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 7
  13. 13. U na secuencia didáctica es un conjunto de actividades, textos, imágenes y otros recursos, organizados –a partir de un nivel de complejidad progresivo– en tres fases: inicio, desarrollo y cierre, cuyo propósito es contribuir al logro de un aprendizaje. Al inicio de la secuencia del libro del alumno presentamos una situación problemática y articuladora, cuyo objetivo es movilizar los conocimientos previos y despertar el interés de los estudiantes en torno a los contenidos curriculares relacio- nados con dicho aprendizaje. En esta fase es importante que el maestro comparta con los alumnos los propósitos de la secuencia; que se asegure que sus estudiantes identifican la realidad que será objeto de estudio, las cuestiones o problemas que plantea esa realidad, y que indague y revise los posibles esquemas de actuación inicial que proponen sus alumnos para dar respuesta a la situa- ción problemática. Posteriormente, en la fase de desarrollo, se presenta un conjunto de actividades que constituyen un reto para los alum- nos y que se encuentran bien apoyadas por textos explicativos, imágenes y organizadores gráficos. La intención de presentar estos recursos es la de promover una comprensión profunda de las explicaciones que ofrecen los libros. En esta fase los alumnos reflexionarán, resolverán y aplicarán estrategias diversas, lo que posibilita poner en marcha el aprendizaje contextualizado de distintos contenidos: conceptuales, procedimentales y actitudinales. Por esto, se sugiere que el docente trabaje con sus alumnos para que reconozcan con claridad el procedimiento que hay que seguir y los conoci- mientos que deben aplicar para poder actuar eficientemente, pasando progresivamente de conocimientos y procedimientos empíricos hacia procedimientos más expertos. En todo momento es conveniente que el maestro ofrezca ayudas específicas en función de las características de los alumnos, y revise con ellos el esquema de actuación, la aplicación concreta que hacen de sus conocimientos y el proceso de construcción de nuevos conocimientos. En el cierre de las secuencias se revisa la solución que ofrecieron en un inicio los alumnos a la situación problemática y se presenta, bien una actividad de transferencia en la que aplicarán lo aprendido en otros contextos, bien una actividad de síntesis en la que los estudiantes tienen que presentar sus conclusiones por escrito o en algún organizador gráfico elaborado por ellos; estas actividades atienden el logro del aprendizaje esperado. De esta forma, y una vez que los alumnos comprenden y dominan el esquema de actuación que los lleva al desarrollo de la competencia, será necesario que el maestro recapitule lo trabajado en la secuencia, acompañe a sus alumnos en la aplicación de lo aprendido a situaciones diversas vinculadas con la realidad de sus estudiantes y evalúe el progreso de sus alumnos, detecte hasta dónde fueron alcanzados los aprendizajes esperados, y promueva la reflexión crítica sobre los contenidos abordados. El trabajo con secuencias didácticas © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 8
  14. 14. La evaluación es un elemento fundamental en el proceso de enseñanza-aprendizaje, ya que es una oportunidad para que usted valore el desarrollo de las habilidades matemáticas de sus alumnos, lo cual le será útil en el diseño de sus propias estrategias de enseñanza. También son valiosas para los alumnos, ya que les permiten ser reflexivos en cuanto a sus avances. Con este propósito se han incluido en el libro del alumno tres tipos de evaluaciones al final de cada bloque: Autoevaluación, evaluación tipo ENLACE y evaluación tipo PISA. En las autoevaluaciones, los alumnos leerán una serie de enunciados, uno por cada lección vista en el bloque, y tendrán que responder si consideran que lograron el aprendizaje esperado. Después deberán escribir una propuesta para mejorar su desempeño. A través de este ejercicio, los alumnos podrán valorar su nivel de aprendizaje, pues les permitirá detectar las áreas que dominan y aquellas en las que deben mejorar. Las pruebas tipo ENLACE (Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares) están elaboradas a partir de preguntas con cuatro respuestas posibles para cada una. Esta eva- luación ofrece un beneficio adicional para la preparación de los alumnos ante este instrumento de evaluación oficial. En las pruebas tipo PISA (siglas en inglés del Programa para la Evaluación Internacional de los Estudiantes) los estudiantes tendrán que responder preguntas de análisis de problemas que, además de abarcar contenidos del bloque, implican la movilización de las habilidades y compe- tencias adquiridas. Evaluación © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 9
  15. 15. Recursos digitales para el docente L a propuesta de Ediciones Castillo tiene en cuenta que los docentes requieren una diversidad de recursos para la en- señanza y, por esto, presenta una oferta variada y flexible en distintos soportes. Así, para apoyarlo en sus tareas de planeación y evaluación, le sugerimos el uso de los siguientes Recursos digitales para el docente: • Planificador editable por libro. Es la versión digital del “Avance programático” incluida en la guía del maestro. Su formato permite personalizar los datos de la escuela, el grupo y la asignatura. Funciona en cualquier sistema operativo y puede guardarse en su equipo e imprimirse. Adicional a la articulación entre el contenido de los libros, la dosificación y el currículo de secundaria, se incluyen sugerencias didácticas y recomendaciones de libros, películas y páginas de internet. Al presentar estos elementos de manera vinculada, se facilita la labor del docente, puesto que se ven el contenido, el aprendizaje esperado, el tiempo aconsejado, las páginas del libro, las sugerencias didácticas y las recomendaciones de otros recursos, por bloque. • Generador de exámenes. Genera exámenes bimestrales y finales para cada asignatura, lo que brinda otros medios para evaluar a los alumnos y los familiariza con dicha evaluación. De manera sencilla, el docente puede generar exámenes seleccionando los reactivos que considere adecuados para el grupo. En éstos se incluye un espacio para que los alumnos registren su nombre, grupo y la fecha. Pueden imprimirse en dos versiones: para el alumno y para el maestro, en la que se marca la respuesta correcta de cada reactivo. Además, los Recursos digitales para el docente incluyen el primer bloque del libro del alumno en formato digital para que el profesor revise su estructura y conozca la propuesta didáctica; la Guía para el maestro puede descargarse e imprimirse para trabajar en clase las sugerencias incluidas, y recomendaciones de ligas vinculadas con los contenidos de cada bloque. Visite el Centro de Recursos Digitales para docentes; donde encontrará las herramientas anteriores y otras más: www.edicionescastillo.com/CRD_secundaria.html © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 10
  16. 16. Bloque 1 Semanas Eje Tema Secuencia Contenido Páginas 1 Sentidonumérico ypensamientoalgebraico Patrones y ecuaciones 1. La raíz del problema Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas. 18-23 2 Forma,espacio ymedida Figuras y cuerpos 2. A imagen y semejanza Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades. 24-29 3 3. ¿En qué se parecen? Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada. 30-35 4 Manejodelainformación Proporcionalidad y funciones 4. Representaciones de una misma situación Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad. 36-41 5 5. Dos maneras de entender una variación cuadrática Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas. 42-47 6 Nociones de probabilidad 6. Probabilidad de eventos Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes. 48-53 7 Análisis y representación de datos 7. ¿Qué opinan los demás? Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación. 54-58 8 Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA, Ponte a prueba ENLACE, Ahora sé 59–64 Avance programático © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 11
  17. 17. Bloque 2 Semanas Eje Tema Secuencia Contenido Páginas 9 Sentidonumérico ypensamientoalgebraico Patrones y ecuaciones 8. Vamos por partes Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización. 68-73 10 Forma,espacio ymedida Figuras y cuerpos 9. Girar y deslizar Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. 74-79 11 10. Diseños con simetría, rotación y traslación Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras. 80-85 12 Medida 11. La cuadratura del triángulo Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo. 86-91 13 12. El teorema de Pitágoras Explicitación y uso del teorema de Pitágoras. 92-97 14 Manejodela información Nociones de probabilidad 13. Probabilidad de evento mutuamente excluyentes Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma). 98-102 15 Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA, Ponte a prueba ENLACE, Ahora sé 103-108 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 12
  18. 18. Bloque 3 Semanas Eje Tema Secuencia Contenido Páginas 16 Sentidonumérico ypensamientoalgebraico Patrones y ecuaciones 14. La fórmula infalible Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones. 112-117 17 Forma,espacio ymedida Figuras y cuerpos 15. ¡Hágalo con triángulos! Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas. 118-123 18 16. Tales para cuales Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales. 124-129 19 17. Dadme un punto de apoyo… y transformaré la figura Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas. 130-135 20 Manejodelainformación Proporcionalidad y funciones 18. Gráficas de relaciones cuadráticas Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos. 136-141 21 Análisis y representación de datos 19. Con rectas y curvas Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera. 142-147 22 20. Probabilidad de eventos independientes Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto). 148-152 23 Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA, Ponte a prueba ENLACE, Ahora sé 153-158 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 13
  19. 19. Bloque 4 Semanas Eje Tema Secuencia Contenido Páginas 24 Sentidonumérico ypensamientoalgebraico Patrones y ecuaciones 21. Dime la regla y te diré quién sigue Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión. 162-166 25 Forma,espacio ymedida Figuras y cuerpos 22. Sólidos de revolución Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un triángulo rectángulo, un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos. 167-172 26 Medida 23. La pendiente, la tangente y el ángulo de inclinación de una recta Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente. 173-178 27 24. Seno, coseno y tangente Análisis de las relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo. 179-184 27 25. ¿Para qué sirve la trigonometría? Explicitación y uso de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente. 185-190 28 Manejodelainformación Proporcionalidad y funciones 26. ¿Cuánto cambió? Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal. Identificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa. 191-196 29 Análisis y represenación de datos 27. Dispersión de datos Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el promedio de las distancias de cada dato a la media (desviación media). Análisis de las diferencias de la “desviación media” con el “rango” como medidas de la dispersión. 197-202 30 Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA, Ponte a prueba ENLACE, Ahora sé 203-206 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 14
  20. 20. Bloque 5 Semanas Eje Tema Secuencia Contenido Páginas 31 Sentidonumérico ypensamientoalgebraico Patrones y ecuaciones 28. ¡Hágalo con álgebra! Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones. Formulación de problemas a partir de una ecuación dada. 212-217 32 Forma,espacio ymedida Medida 29. Cortes a cilindros y conos Análisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Cálculo de las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto. 218-224 33 30. Volumen de cilindros y conos Construcción de las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos, tomando como referencia las fórmulas de prismas y pirámides. 225-230 33 31. Situaciones con conos y cilindros Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos o de cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas. 231-236 34 Manejodela información Proporcionalidad y funciones 32. Variaciones lineales y cuadráticas Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades. 237-243 35 Nociones de probabilidad 33. Antes de apostar… Análisis de las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables. 244-249 36 Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA, Ponte a prueba ENLACE, Ahora sé 250-255 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 15
  21. 21. Eje Contenido Aprendizajes esperados Sentido numéricoy pensamiento algebraico Patrones y ecuaciones • Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas. • Explica la diferencia entre eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes. Forma,espacio ymedida Figuras y cuerpos • Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades. • Explicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada. Manejodelainformación Proporcionalidad y funciones • Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad. • Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas. Nociones de probabilidad • Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes. Análisis y representación de datos • Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de los datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación. El juego de dados, así como otros juegos de azar, no depende de hechos causales, sino de sucesos fortuitos. Nadie puede asegurar a ciencia cierta, lo que sucederá en ellos; sin embargo, la teoría probabilística nos permite hacer conjeturas y predicciones, lo que nos da la posibilidad de tomar decisiones ante este tipo de situaciones. 16 Bloque 1 Competencias que se favorecen • Resolver problemas de manera autónoma. • Comunicar información matemática. • Validar procedimientos y resultados. • Manejar técnicas eficientemente. Conceptos principales S1 Ecuación cuadrática, incógnita, raíz o solución de una ecuación. S2 Proporción, congruencia, semejanza, lados y ángulos correspon- dientes, razón de semejanza. S3 Criterios de congruencia y semejanza en triángulos, razón de semejanza. S4 Proporción,razón,tablasygráficasdeunarelacióndeproporcionalidad. S5 Variación proporcional, variación cuadrática. S6 Espacio muestral, escala de probabilidad, eventos complementa- rios, eventos mutuamente excluyentes, eventos independientes. S7 Estudio estadístico, población, muestra. Aprendizajes esperados • Resolver problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado. • Resolver problemas de congruencia y semejanza que implican utili- zar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura. • Leer y representar, gráfica y algebraicamente, relaciones lineales y cuadráticas. • Explica la diferencia entre eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes. • Calcula y explica el significado del rango y la desviación media. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 16
  22. 22. 17 17 Sentido numérico y pensamiento algebraico. El estudio de este eje comienza con una secuencia del tema “Patrones y ecuaciones”; en ella se resuelven problemas matemáticos o en contexto a partir del planteamiento de ecuaciones cuadráticas. Los alumnos tendrán que proponer sus propios procedimientos o utilizar operaciones inversas como “elevar al cuadrado” y “raíz cuadrada”. Forma espacio y medida. Las secuencias 2 y 3 corresponden al tema “Figuras y cuerpos”. En ambas secuencias se trabajan los conceptos semejanza y congruencia de cuadrados, rectángulos y triángulos. Además, se establecen criterios para determinar si dos triángulos son semejantes o congruentes. Manejo de la información. En este eje se trabajan tres temas: el pri- mero “Proporcionalidad y funciones”, donde se representa la relación entre dos cantidades usando una gráfica, una tabla o una expresión algebraica, en particular se analizan relaciones de variación cuadrática. El segundo tema es “Nociones de probabilidad”, donde los alumnos estudiarán los conceptos eventos complementarios, mutuamente ex- cluyentes e independientes, además de establecer la escala de proba- bilidad. El último tema es “Ánalisis y representación de datos”, en el que los alumnos diseñarán una encuesta, discutirán cómo elegir una muestra de población y cómo representar los resultados. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 17
  23. 23. Por tus propios medios 1. En parejas resuelvan el siguiente problema. a) La figura 1.2 muestra el área del hueco circular de un pozo. ¿Cuál es su radio? Describan el procedimiento que usaron para resolver el problema. Escriban una ecuación que represente la situación anterior en términos de la medida del radio de la abertura del pozo y su área. ¿Cuáles son las diferencias entre la ecuación que propusieron y la fórmula para encontrar el área de un círculo? Comparen su procedimiento con los de otras parejas. Verifiquen su resultado y corríjanlo si es necesario. Laraízdelproblema Inicio a partir de lo que sé En parejas resuelvan lo siguiente. Un grupo de niños exploradores quieren elaborar banderines para hacer señalamientos. Para ello utilizarán cuadrados de tela de colores rojo y blanco como se muestra en la figura. a) Si el área del banderín es de 225 cm2, ¿cuánto mide el lado de cada retazo de tela? b) Comparen sus resultados y procedimientos con otras parejas. Verifiquen que sean correctos y corríjanlos si es necesario. Resuelvo y aprendo Fig. 1.1 Área = 12.5664 m2 Fig. 1.2 18 SECUENCIA 1 Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas. Antecedentes • Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x a b; ax b y ax b c, donde a, b y c son números naturales y decimales. • Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax b cx d. Ideas erróneas 1. Cuando una ecuación cuadrática tiene dos soluciones, algunos alumnos sólo consideran una de ellas. Desde el punto de vista mate- mático ambas son soluciones, pero será el contexto del problema lo que descarte una de ellas. 2. Es común que los estudiantes piensen que toda ecuación cuadrá- tica tiene solución en los números reales. Esto no es así; por ejem- plo, x2 1 0 no la tiene. 3. Los estudiantes a veces no identifican que algunas ecuaciones co- mo x 1 x — 1 2 se pueden transformar en ecuaciones cuadrá- ticas: si x 1 x — 1 2 se multiplica por (x — 1) y se simplifica el resultado, obtenemos la ecuación cuadrática x2 — 3x 3 0. Inicio a partir de lo que sé Página 18 a) 3 cm b) Respuesta libre (R. L.). S1 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 18
  24. 24. 2. En equipos resuelvan el siguiente problema. a) Calculen las dimensiones de un rectángulo cuya base mide 2 metros más que su ancho y su área es de 35 metros cuadrados. Describan el procedimiento que utilizaron. Especifiquen las incógnitas del problema y represéntelas con las literales que ustedes elijan. Según el planteamiento del problema, una de las dimensiones del rectángulo depende de la otra. Escriban ambas dimensiones a partir de una sola incógnita. Anoten una expresión algebraica que represente la situación a partir de su respues- ta anterior. Propongan una metodología para resolver la expresión algebraica anterior y pón- ganla en práctica. Anoten el valor de la incógnita y verifiquen que sea correcta. Ana, Laura y Jéssica afirman que una solución a la ecuación que propusieron es −7, por lo que consideran que ese valor también corresponde a una de las dimen- siones del rectángulo. ¿Están en lo correcto? Justifiquen su respuesta. Comparen sus respuestas y procedimientos con otro equipo, y verifiquen que sean correctos. Corríjanlos si es necesario. 3. En equipos de tres compañeros resuelvan el siguiente problema. a) Se sabe que en un teatro hay 1120 butacas dispuestas de forma tal que el número de filas es igual al número de columnas más 3. ¿Cuántas filas y columnas de butacas tiene el teatro? Escriban el procedimiento que utilizaron para encontrar el número de columnas y filas que hay en el teatro. Fig. 1.3 Columnas Filas 19 BLOQUE 1 Resuelvo y aprendo Por tus propios medios 1. a) 2 m • R. L. • r2 12.566 4 • La fórmula r2 es general, ya que r puede tomar cualquier va- lor; pero r2 12.5664 es un caso particular, ya que el valor de r debe cumplir que al elevarse al cuadrado y multiplicarse por dé como resultado 12.5664. Página 19 2. a) La base mide 7 m y el ancho, 5 m. • R. L. • La medida de la base y la del ancho. • La medida de la base depende de la medida del ancho. Si a representa la longitud del ancho, la base mide a 2. • a (a 2) 35 o bien, a2 2a — 35 0. (Se omitieron las uni- dades m y m2 .) • R. L. • No, porque la solución a —7 no representa la medida del an- cho, ya que una longitud o distancia siempre es un número positivo. Sugerencia didáctica. Discutan la idea errónea 1 después de que se comparen los procedimientos. 3. a) Hay 32 columnas y 35 filas. • R. L. (Continúa de la página 18) © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 19
  25. 25. Número consecutivo: es el que sigue a un número anterior. Ejemplo, 1, 2, 3 y 4 son números consecutivos, y 5, 7, 9 y 11 son números impares consecutivos. Escriban una ecuación que exprese esta situación en términos de la cantidad de butacas y del número de columnas. ¿Cuál o cuáles números satisfacen la ecuación? b) Comparen sus respuestas con las de otros equipos. Discutan si la o las soluciones a su ecuación también resuelven la situación problemática planteada. Una ecuación en la que el mayor exponente de la incógnita es 2, se denomina ecuación cuadrática. Así, x2 ϭ 4 y x2 ϩ x ϭ 12 son ecuaciones cuadráticas. Reflexionen. ¿Todas las ecuaciones que representan las situaciones anteriores son ecuaciones cuadráticas? Justifiquen su respuesta. 4. En equipos resuelvan lo siguiente. a) Si el producto de dos números consecutivos es igual a 240, ¿cuáles son esos números? ¿La solución al problema pueden ser números negativos? Si la respuesta es afirmativa, indiquen de qué números se trata; si es negativa, justifiquen su respuesta. Escriban una ecuación que represente esta situación. ¿Esta ecuación es cuadrática? ¿Por qué? Describan su procedimiento para encontrar los números consecutivos que satis- facen esta situación. Comparen sus respuestas con las de otros equipos y determinen cuántas soluciones distintas puede tener la ecuación que representa esta situación. ¿Qué procedimiento les parece más adecuado? 20 SECUENCIA 1 20 Página 20 • x (x 3) 1 120, considerando que x es el número de columnas. • x 32 y x —35. b) Respuesta modelo (R. M). Aunque ambos valores son solución de la ecuación, sólo x 32 es solución de la situación problemática porque no es posible tener un número negativo de filas. Reflexionen. En r2 12.566 4, la incógnita r tiene exponente 2. La ecuación a (a 2) 35 es equivalente a a2 2a — 35 0, y la ecuación x (x 3) 1 120 es equivalente a x2 3x — 1 120 0; en ambas el expo- nente mayor de las incógnitas es 2. Sugerencia didáctica. Discutan las ideas erróneas 1 y 2. Para la actividad siguiente comente que el consecutivo de un número sólo tiene sentido en los enteros {… 2, 1, 0, 1, 2,…}, ya que indica el siguiente número (sumar 1). 4. a) 15 y 16, si sólo se consideran números positivos. • Sí, porque al multiplicar los números consecutivos el pro- ducto sería positivo, igual que 240. • —16 y —15. • n (n 1) 240, donde n representa el número menor y n 1, el consecutivo. • Sí, porque n (n 1) 240 es equivalente a n2 n — 240 0, donde 2 es el mayor exponente de n. • R. L. Un procedimiento es: se busca un número cuyo cuadrado sea cercano a 240, por ejemplo 162 256; luego se prueba con números consecutivos cercanos a 16, por ejemplo 15 y 16. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 20
  26. 26. Opera a la inversa 7. En equipos resuelvan el siguiente problema. a) El largo de una pintura mide 7 5 de su ancho. Si el área que ocu- pa es de 3500 cm2, ¿cuáles son las dimensiones de la pintura? Escriban una ecuación cuadrática que represente esta situación. ¿Cuánto miden los lados de la pintura? Resuelvan el problema con operaciones inversas. Describan su procedimiento. Te invito a… visitar la dirección electrónica www.edutics.com.mx/ ouV. Ingresa a Pequeño taller y resuelve las dos primeras actividades. Compara tus procedimientos con los de tus compañeros y validen sus respuestas con ayuda de su profesor. (Consulta: 29 de octubre de 2014). Integración 6. En grupo respondan lo siguiente con ayuda de su profesor. a) ¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación cuadrática? Justifiquen su respuesta. b) Si existe más de una solución que satisfaga una ecuación cuadrática, ¿ésta será válida como respuesta o dependerá de la situación que represente esa ecuación cuadrática? Expliquen su respuesta. 5. En parejas resuelvan el siguiente problema. a) Si el producto de dos números pares consecutivos es Ϫ24, ¿de qué números se trata? Planteen una ecuación que represente el problema. ¿Qué números solucionan el problema? Comparen su respuesta con la de otras parejas y en grupo reflexionen si todas las ecuaciones cuadráticas tienen solución. Con apoyo del profesor escriban en su cuader- no las conclusiones. Fig. 1.4 Giacomo Balla, Pesimismo y optimismo, 1923. Largo Ancho Operación inversa: es la que anula o revierte los efectos de una operación. Por ejemplo, la resta es la operación inversa de la suma; la división de la multiplicación, la potencia de la raíz, etcétera. 21 BLOQUE 1 Página 21 5. a) No hay solución para el problema. • m (m 1) —24, donde m representa el número menor y m 1, al consecutivo. • El problema no tiene solución, ya que —24, por ser negativo, es el resultado de multiplicar dos números con signo con- trario, pero los únicos números consecutivos que tienen signo contrario son 0 y 1 o —1 y 0; pero (0)(—1) 0 y (0)(1) 0. Integración 6. a) R. M. Una ecuación cuadrática puede tener dos soluciones, sólo una o ninguna. b) Dependerá del contexto del problema. Opera a la inversa 7. a) El ancho mide 50 cm y el largo, 70 cm. • 7 5 2 3 500, donde a representa la medida del ancho de la pintura. • Los lados miden 50 cm y 70 cm, respectivamente. • R. M. Se busca despejar a, así que: (5) 7 5 2 (5)3 500 (se multiplica por 5) 7 7 2 = 17 500 7 (se divide entre 7) 2 = 2= 2500 (se calcula la raíz cuadrada) Así se obtiene a 50. Para obtener la medida del largo, bas- ta con calcular: 7 5 (50) 70. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 21
  27. 27. Intercambien con otro equipo su procedimiento y resultado para que mutuamen- te los revisen. Si consideran que existen errores, coméntenlo con el otro equipo y corríjanlos. 8. En parejas resuelvan lo siguiente. a) En un parque con forma cuadrada hay un jardín en el centro también cuadrado, como se muestra en la figura 1.5. El área que ocupa el jardín es de 900 m2. Escriban la ecuación cuadrática que represente el área del jardín en términos de sus dimensiones. ¿Cuánto mide la longitud de cada lado del jardín? Resuelvan el problema con operaciones inversas. b) Se sabe que la parte del parque que no incluye el jardín ocupa un área de 1600 m2. Anoten una ecuación cuadrática que exprese el área total del parque en términos de sus dimensiones. Resuelvan la ecuación mediante operaciones inversas. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación anterior? Señalen la o las soluciones. ¿Cuál es la longitud de los lados del parque? 9. En equipos resuelvan lo siguiente. a) La figura 1.6 muestra la vista superior de una casa con forma cuadrada. Las áreas del estacionamiento y el jardín se muestran en color amarillo y verde, respectiva- mente; cada una tiene una superficie de 13.5 m2. Si la superficie de la casa, sin contar el jardín y el estacionamiento, es de 73 m2, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? Resuelvan el problema utilizando operaciones inversas. En grupo revisen los resultados y procedimientos de los problemas anteriores con ayuda de su profesor. Corríjanlos si es necesario. 900 m2 13.5 m2 13.5 m2 73 m2 Fig. 1.5 Fig. 1.6 22 SECUENCIA 1 Página 22 8. a) • L2 900, donde L representa la medida del lado del jardín. • 30 m b) z2 2 500, donde z es la longitud del lado. • z 50 y z —50. • 50 m 9. a) El lado del terreno mide 10 m. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 22
  28. 28. Consolido mis aprendizajes 1. Retoma la situación inicial y resuelve lo siguiente. a) Uno de los miembros del grupo de exploradores propone elaborar los banderines según el diseño que muestra la figura. Se sabe que el área de color rojo es tres veces mayor que el área de color blanco. • ¿Cuánto mide de largo la figura con forma de cruz? En grupo comparen sus procedimientos para resolver los problemas de la lección con los que utilizaron para solucionar las ecuaciones que plantearon. Analicen las ventajas y desventajas de cada uno. 2. ¿Qué características debe tener un problema para que su resolución implique una ecuación de segundo grado? 3. Inventa una situación que se represente con la ecuación cuadrática x2 Ϫ 16 ϭ 65. 4. La rapidez, v, de un tsunami en cualquier punto del mar está dada por la relación v2 ϭ 9.8d, donde d es la profundidad del fondo marino en ese punto. a) ¿Cuál fue la rapidez del tsunami de Japón que ocurrió en 2011 si la profundidad del agua, d, donde sucedió el sismo es de 14 100 m? 5. La pantalla de televisión que ilustra la figura 1.8 tiene un área de 544.44 cm2. La relación entre el alto y el ancho de la pantalla se muestra en la figura. a) Escribe una ecuación cuadrática que represente el área de la pantalla. b) ¿Cuáles son las medidas de sus lados? 6. La figura 1.9 muestra la imagen de un disco compacto. La zona del disco que contiene los datos es una corona circular de área A, cuya medida se muestra en la imagen. El diámetro del cículo formado por la zona que no contiene datos, d, se indica en la figura. a) ¿Cuánto mide el radio que corresponde a toda la circunferencia que forma el contorno del disco? En grupo comparen sus respuestas y procedimientos. Verifiquen que sean correctos y determinen qué procedimientos resultan más prácticos. 15 cm 16 cm Fig. 1.7 Fig. 1.9 Fig. 1.8 l 16 9 l A ϭ 100.531 2 cm2 d ϭ 4 cm 23 BLOQUE 1 Consolido mis aprendizajes Página 23 1. a) • 10.4 cm, aproximadamente. 2. R. M. El problema debe implicar que la incógnita se multiplique por sí misma, así se obtendrá como exponente a 2. Si hay dos incógni- tas, el problema debe implicar que éstas se multipliquen y que una se pueda expresar en términos de la otra. 3. R. L. 4. a) v 371.72 m/s 5. a) 16 9 l2 544.44 b) El ancho mide 31.11 cm y el largo, 17.5 cm. 6. a) 6 cm © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 23
  29. 29. Aimagenysemejanza Inicio a partir de lo que sé Formen parejas y resuelvan el siguiente problema. La figura 1.10 es un fragmento de una pintura cubista. Obsérvala. En la clase de Artes Visuales de la secundaria Rufino Tamayo se organizó un concurso entre los alumnos para ver quién hacía la mejor copia de esa obra. A continuación se muestran las obras finalistas. Supongamos que ustedes son los jueces y que el criterio para elegir al ganador es que la obra sea lo más parecida a la original. ¿A quién elegirías? Luciana Joao María Edson a) Expliquen cómo eligieron la obra ganadora y por qué descartaron las otras. Fig. 1.10 Fig. 1.11 Fig. 1.13 Fig. 1.12 Fig. 1.14 24 SECUENCIA 2 Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades. Antecedentes • Construye figuras simétricas respecto de un eje e identifica las pro- piedades de la figura original que se conservan. • Construcción de triángulos dados ciertos datos. Análisis de las con- diciones de posibilidad y unicidad en las construcciones. Ideas erróneas 1. Es común confundir el concepto matemático semejanza con su significado coloquial: dos objetos son semejantes si se parecen. Por ejemplo, decir que un cuadrado y un rombo son semejantes es una expresión correcta coloquialmente, pero falsa desde la pers- pectiva matemática. 2. Algunas veces los alumnos comenten errores al calcular la razón de semejanza por no identificar los lados y ángulos correspon- dientes entre dos figuras. Inicio a partir de lo que sé Página 24 a) R. M. La obra de Joao. Sugerencia didáctica. Comenten la idea errónea 1. Permita a los estudiantes establecer sus propios criterios para elegir la obra más parecida a la original aunque su elección sea incorrecta; durante la secuencia se les proporcionarán herramientas matemáticas que les permitirán justificar o descartar su respuesta. S2 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 24
  30. 30. Resuelvo y aprendo Figuras semejantes 1. En equipos resuelvan los siguientes problemas. a) El Colibrí es una reserva ecológica que ocupa un terreno rectangular de 20 km de largo por 5 km de ancho. Paco quiere representarlo a escala y comenzó a dibujarlo como se muestra en la figura 1.15. Ayúdenlo a comple- tar el contorno del terreno. ¿Con cuántos cuadritos representaron el ancho? El papá de Paco también va a hacer una representación a escala del terreno; el trazo con el que inició su dibujo se muestra en la figura 1.16. Completen el contorno. ¿Con cuántos cuadritos representaron el largo del terreno? Comparen sus dibujos con los de otros equipos. Con ayuda de su profesor lle- guen a una conclusión grupal acerca de los resultados y respondan. Si dividen el número de cuadritos del largo de la figura que hizo Paco entre el número de cuadritos del ancho, ¿qué resultado obtienen? Si dividen el número de cuadritos del largo de la figura que hizo el papá de Paco entre el número de cuadritos del ancho de la figura, ¿cuál es el resultado? Expliquen el porqué de esos resultados. Si en otra representación a escala del terreno el ancho es de 3 cuadritos, ¿cuántos cuadritos medirá el largo? Si en otra representación más, el largo es de 15 cuadritos, ¿cuántos cuadritos medirá el ancho? En los dos ejemplos anteriores, ¿cuánto vale el cociente de dividir el largo entre el ancho de cada rectángulo a escala? Se dice que los rectángulos que hicieron Paco y su papá son semejantes. ¿Un rectángulo de 2.5 cuadritos de ancho por 12.5 cuadritos de largo es semejan- te al terreno de la reserva ecológica? Justifiquen su respuesta. Largo ϭ 20 km Fig. 1.15 Fig. 1.16 Ancho ϭ 5 km 25 BLOQUE 1 Resuelvo y aprendo Página 25 Figuras semejantes 1. a) El terreno a escala que va a trazar Paco es el siguiente. • Con 1.25 o 1 1 4 cuadritos. • El terreno a escala que va a trazar el papá de Paco es el siguiente. R. L. Sugerencia didáctica. Discutan las respuestas a partir de lo que saben los alumnos de reproducciones a escala. Pida que determinen qué esca- la usó Paco (1 km : 1 —— 4 de cuadrito, o bien 4 km : 1 cuadrito) y la que usó su papá (1 km: 2 —— 5 de cuadrito, o bien 2.5 km : 1 cuadrito). • 4 • 4 • R. M. En ambos casos se obtiene 4 porque ese es el resultado de dividir las dimensiones reales del terreno: 20 km ——————— 5 km 4. • 12 • 3.74 • También 4 • No, porque 12.5 ———— 2.5 55. Para que fuera semejante, la medida de su largo entre la de su ancho debería dar como resultado 4. largo = 20 km ancho=5km ancho = 5 km largo=20km © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 25
  31. 31. 2. En parejas resuelvan el siguiente problema. a) En la clase de Arte de Ana quieren hacer una réplica de La Gioconda, también conocida como La Mona Lisa, la famosa obra de Leonardo da Vinci. Si las medidas de la pintura original son 77 cm ϫ 53 cm, y en la réplica el lado menor debe medir 70 cm, ¿cuánto tendrá que medir el lado mayor para que la réplica no presente distorsión? En una hoja blanca tracen un rectángulo cuyos lados sean proporcio- nales a los lados del cuadro de La Gioconda, de manera que ambos rectángulos sean semejantes. ¿Cuánto miden los lados del rectángulo que trazaron? Comparen el rectángulo que construyeron con el de otras parejas y anoten las diferentes bases y alturas en la siguiente tabla. Base (cm) 53 70 Altura (cm) 77 A partir de los datos que recabaron, localicen en el siguiente plano cartesiano los puntos que corresponden a la base y a la altura. Las medidas de la base pertene- cen al eje horizontal y las de la altura, al vertical. Cada par de datos de base y altura constituyen un par ordenado P(base, altura). Unan los puntos. ¿Qué característica tiene la gráfica que resulta de unir los puntos que localizaron? 53 cm 77 cm ¿Qué relación tiene la forma de la gráfica con las características de los rectángulos? Encuentren dentro de la gráfica las coordenadas de un punto distinto a los que localizaron. Indiquen sus coordenadas. ¿Ese punto corresponde a la base y la altura de otro rectángulo semejante? ¿Por qué? Localicen en la gráfica la medida de la altura del rec- tángulo cuya base es de 40 cm y es proporcional al cuadro de La Gioconda. Anoten su valor. Fig. 1.17 Fig. 1.18 Altura Base (53, 77) 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 26 SECUENCIA 2 Página 26 2. a) 101. 7 cm • R. L. • R. L. • R. L. • La gráfica resultante es una línea recta que pasa por el ori- gen de coordenadas. • Como el cociente medidas de la base medidas de la altura siempre es 1.45, apro- ximadamente, entonces la altura es proporcionalalabase.Una relación de proporcionalidad siempre se puede representar con la expresión y kx, donde k es la constante de proporcio- nalidad, cuya gráfica es una línea recta. En este caso la expre- sión es y 1.45x, donde x representa la medida de la base y y, la de la altura. • R. L. • Sí. Que un punto esté en la recta indica que cumple la ecua- ción y 1.45x, así que el valor de x corresponde a la medida de la base de un rectángulo cuya altura mide el valor de y. El cociente entre las dimensiones de ese rectángulo es 1.45 igual que en la pintura original. • El punto tiene coordenadas (40, 58.1). © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 26
  32. 32. 3. Al resolver los problemas anteriores han construido rectángulos semejantes e iden- tificado algunas de sus características. A continuación trabajaremos la semejanza de triángulos. Realicen las siguientes actividades en equipo. a) En una hoja de reúso construyan un triángulo con un lado de 5 cm y cuyos ángulos adyacentes a ese lado midan 105° y 45°, respectivamente. Nómbrenlo como triángulo B. Tracen otros dos triángulos cuyos ángulos tengan las mismas medi- das que el triángulo anterior, pero uno de menor tamaño (triángulo A) y otro de mayor tamaño que el original (triángulo C). Recorten los tres triángulos y háganlos coincidir sobre alguno de sus ángulos idénticos como se muestra en la figura 1.19. Midan los lados de los triángulos y anoten sus resultados en la tabla. Triángulo Medida del lado menor (cm) Medida del lado mediano (cm) Medida del lado mayor (cm) A B 5 C Elijan pares de triángulos y dividan los lados correspondientes como se indica a continuación. Completen las operaciones. Lado mayor del triángulo C Lado mayor del triángulo B ϭ ϭ Lado mediano del triángulo C Lado mediano del triángulo B ϭ ϭ Lado menor del triángulo C Lado menor del triángulo B ϭ 5 cm ϭ Lado mayor del triángulo C Lado mayor del triángulo A ϭ ϭ Lado mediano del triángulo C Lado mediano del triángulo A ϭ ϭ Lado menor del triángulo C Lado menor del triángulo A ϭ ϭ Lado mayor del triángulo B Lado mayor del triángulo A ϭ ϭ Lado mediano del triángulo B Lado mediano del triángulo A ϭ ϭ Lado menor del triángulo B Lado menor del triángulo A ϭ ϭ Comparen los resultados de cada pareja de triángulos. ¿Qué observan? Comparen con otros equipos sus resultados y procedimientos; discutan acerca de las propiedades que observaron en las figuras. Integración Los triángulos con los que trabajaron son semejantes. 4. En grupo, con ayuda de su profesor, identifiquen las propiedades de los triángulos semejantes. a) Respecto a la medida de sus ángulos: b) Respecto a la medida de sus lados: Engeneral,todaslasfigurasgeométricasquecumplenestaspropiedadessedicequeson semejantes. C B A 105° 5 cm 45° Fig. 1.19 27 BLOQUE 1 Página 27 3. a) Los alumnos obtendrán el siguiente triángulo. • R. L. • Los alumnos pueden hacer coincidir los triángulos en cual- quiera de los tres vértices. • Los resultados de la tabla son: Triángulo Medida del lado menor (cm) Medida del lado mediano (cm) Medida del lado mayor (cm) A R. L. R. L. R. L. B 5 7.07 9.66 C R. L. R. L. R. L. • R. L. • Los cocientes de lados correspondientes para un par de trián- gulos son iguales. Por ejemplo, para los triángulos C y B: Integración 4. a) Los ángulos correspondientes en los triángulos semejantes tie- nen la misma medida. b) En los triángulos semejantes la razón entre la medida de dos lados correspondiente siempre es la misma. Triángulo B 105 45 5 cm 9.66 cm 7.07 cm lado mayor de C lado mediano de C lado menor de C lado mayor de B lado mediano de B lado menor de B = = © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 27
  33. 33. Notación Para denotar la semejanza de dos figuras geométricas, como los triángulos de la imagen, se utiliza el símbolo ~. Por ejemplo, para indicar que el triángulo, cuyos vértices son A, B y C, es semejante al triángulo con vértices K, J y L, se escribe: ABC ~ KJL BA L J K C Al cociente de dividir los lados correspondientes de figuras semejantes se le conoce como razón de semejanza. 5. Contesten a partir de los triángulos trazados en la actividad 3 de la página anterior. a) ¿Cuál es la razón de semejanza entre el triángulo original y la primera copia? b) ¿Cuál es la razón de semejanza entre el triángulo original y la segunda copia? c) Si invirtieran el orden en el que dividen los lados correspondientes, ¿obtendrían la misma razón de semejanza? d) ¿Por qué es importante conservar el orden en el que se realiza la división de los lados correspondientes? Figuras congruentes 6. En equipo realicen la siguiente actividad. a) De las siguientes figuras semejantes identifiquen y marquen las que tengan razón de semejanza 1. Las figuras con esa propiedad se denominan congruentes. b) Analicen las figuras congruentes y marquen como falsa o verdadera cada afirmación. Afirmaciones V F Tienen sus ángulos correspondientes iguales. Tienen sus lados correspondientes de diferente tamaño. Tienen igual perímetro. Fig. 1.20 ¿Qué datos necesitan para obtener y verificar sus respuestas? ¿Cómo las obtuvieron? 28 SECUENCIA 2 Página 28 5. a) R. L. b) R. L. c) No. d) Si se tienen los triángulos M y N, donde M es menor en tamaño que N, las razones de la forma lado de N ——————————lado de M tienen un valor mayor que 1 ya que los lados de M tendrían que crecer para alcanzar las medidas de los lados de N, pero las razones lado de M ——————————lado de N tienen un valor menor que 1 ya que los lados de N tendrían que disminuir para llegar a la medida de los lados de M. Por lo anterior, la razón de semejanza con la que se obtiene la figura N a partir de M es lado de N ——————————lado de M y la razón para obtener M a partirdelafiguraNes lado de M ——————————lado de N . Sugerencia didáctica. Discutan la idea errónea 2 y la última respues- ta. Dibujen un triángulo rectángulo de dimensiones 3 cm, 4 cm y 5 cm y calculen las medidas de uno semejante con razón de semejanza 2, después tracen el triángulo. Luego retomen el primero y tracen uno semejante pero con razón 1 —— 2 . Por último, calculen la razón de seme- janza para obtener el triángulo grande a partir del pequeño, el resul- tado es 4. Figuras congruentes 6. a) Los triángulos morado y naranja. • Las medidas de los ángulos y los lados de ambos triángulos. • Midiendo directamente las figuras. b) Afirmaciones V F Tienen sus ángulos correspondientes iguales. X Tienen sus lados correspondientes de diferente tamaño. X Tienen igual perímetro. X © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 28
  34. 34. Integración 7. Comparen sus respuestas con las de otros equipos y lleguen a una conclusión grupal sobre las características de las figuras congruentes. Anótenlas en su cuaderno. a) Expliquen la diferencia entre figuras congruentes y figuras semejantes. Las figuras congruentes son un caso especial de semejanza, en las cuales la razón de semejanza es 1. 8. De manera individual elabora en tu cuaderno una composición trazando una o varias veces figuras congruentes a las que se muestran a continuación. Pregunta a tu maestro de Artes Visuales qué es una composición plástica. a) Compara tu composición con las de tus compañeros de grupo. Pidan a su profe- sor de Arte que las valore y expliquen cómo construyeron figuras congruentes. b) Observen el caso de los cuadrados. ¿Cómo son los ángulos de todos los cuadrados? ¿Cómo son entre sí los lados de todos los cuadrados? ¿Cómo son entre sí los cuadrados que no son congruentes? De acuerdo con sus respuestas, indiquen cómo son entre sí todos los cuadrados. Consolido mis aprendizajes 1. De manera individual realiza las siguientes actividades. a) Indica quién es el ganador del concurso en el problema de la página 24. • Argumenta por qué lo seleccionaste. b) Identifica en la obra cubista dos parejas de triángulos congruentes y márcalos. c) Construye una réplica de un sector que elijas de la pintura de manera que la razón de semejanza entre la copia y la imagen sea 1 a 2. Usa tu juego de geometría y considera las propiedades de las figuras semejantes. Fig. 1.21 Fig. 1.22 29 BLOQUE 1 Página 29 Integración 7. R. L. a) Si A y B son figuras congruentes, entonces los lados y ángulos de A miden lo mismo que los lados y ángulos que les corresponden en B; sin embargo, si A y B son semejantes, los ángulos miden lo mismo pero los lados son proporcionales. Sugerencia didáctica. Retomen la idea errónea 1 y pida a sus alum- nos que den ejemplos de figuras congruentes y semejantes en contex- tos reales, por ejemplo, la superficie de una mesa y el vidrio que se pone sobre ella para protegerla son figuras congruentes. 8. R. L. a) R. L. b) • Todos los ángulos miden 90°. • Los lados son proporcionales. • Semejantes. • Todos los cuadrados son semejantes. Y si dos cuadrados tie- nen lados de la misma medida, también son congruentes. Consolido mis aprendizajes 1. a) El ganador es Joao. • Porque conserva las proporciones de la pintura original, ya que el conciente del largo de la obra de Joao entre el ancho es igual al cociente del largo y el ancho de la figura 1.10. b) R. L. c) R. L. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 29
  35. 35. ¿Enquéseparecen? Inicio a partir de lo que sé En parejas resuelvan el siguiente problema. En una ventana rectangular que mide 161.7 cm ϫ 40 cm, Sandra quiere hacer un vitral como muestra el siguiente modelo a escala. Resuelvo y aprendo Sandra sólo quiere dar al vidriero las medidas indispensables para que corte los vidrios en forma triangular como indica el modelo. a) Escriban en sus cuadernos las medidas que Sandra debe dar al vidriero para que corte todos los vidrios de manera correcta. b) Compartan sus medidas con las de otras parejas y, con base en ellas, reproduzcan en sus cuadernos los triángulos a escala. c) Verifiquen que los triángulos que trazaron correspondan con los del vitral. Si no coinciden, corrijan las medidas. En grupo concluyan cuáles son las medidas indispensables que deben dar al vidriero para que reproduzca los triángulos con las medidas que Sandra necesita. Criterios de congruencia entre triángulos 1. En equipos realicen las siguientes actividades. a) Emilio y Celeste necesitan construir dos marcos de made- ra triangulares como los de la figura 1.24, pero de manera que ambos sean congruentes. Emilio piensa que para cons- truir los triángulos congruentes es suficiente que dos de sus lados correspondientes sean iguales. Celeste, en cambio, dice que todos los lados correspondientes deben ser iguales. ¿Quién tiene razón? Escriban los argumentos en los que basa- ron su elección. L R Q 30° 120° 60° 90° K N J I O Fig. 1.23 Fig. 1.24 30 SECUENCIA 3 Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada. Antecedentes • Construye figuras simétricas respecto de un eje e identifica las pro- piedades de la figura original que se conservan. • Construcción de triángulos dados ciertos datos. Análisis de las con- diciones de posibilidad y unicidad en las construcciones. • Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades. Ideas erróneas 1. Es común que los alumnos empleen el criterio LAL de manera erró- nea, pues no toman en cuenta que los ángulos que se deben com- paran son los que se forman entre los lados. 2. Los estudiantes podrían no tener claro que si dos triángulos son congruentes, también son semejantes, pero que sean semejantes no asegura que los triángulos son congruentes. Inicio a partir de lo que sé Página 30 a) R. M. Se corta un triángulo que tenga un lado de 40 cm y que los ángulos adyacentes midan 90° y 30°. Se corta un triángulo isósceles cuyos lados iguales midan lo mismo que la hipotenusa del primer triángulo y que el ángulo formado entre dichos lados sea de 120°. Después se corta un triángulo que tenga un lado de la misma medida que el lado de mayor longitud del triángulo isósceles; los ángulos adyacentes a ese lado deben medir 90° y 30°. Al final, se corta un triángulo congruente a cada uno de los tres triángulos que ya se cortaron. S3 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 30
  36. 36. Consigan popotes, tijeras, tachuelas o alfileres y pegamento. Recorten y unan los popotes con las tachuelas para construir un triángulo con- gruente con el de la figura 1.24. Con dos de los popotes con que construyeron el triángulo traten de formar un triángulo que no sea congruente con el anterior. ¿Pudieron hacerlo? ¿Por qué? Con los tres popotes con que construyeron el triángulo inicial intenten formar un triángulo que no sea congruente con el triángulo de la figura 1.24. ¿Pudieron hacerlo? ¿Por qué? b) Juan construyó un triángulo cuyos lados miden 2 cm, 5 cm y 6 cm. Si María hizo otro cuyos lados miden 5 cm, 2 cm y 6 cm, ¿cómo son entre sí los triángulos? c) Recorten 2 segmentos de popote: uno de 4 cm y otro de 3.5 cm, y formen un ángulo de 45° uniéndolos por uno de sus extremos como se muestra en la figura 1.26. ¿Podrían completar un triángulo con esos segmentos? Recorten de un popote el segmento que falta para hacerlo. ¿Cuánto mide el lado opuesto al ángulo de 45°? Comparen su construcción con la de otros equipos. ¿Cómo son entre sí los triángulos? ¿Podrían construir un triángulo no congruente con el anterior que conserve la medi- da de los popotes iniciales y el ángulo entre ellos? Escriban sus conclusiones. d) Deshagan el triángulo que formaron. Con los segmentos más cortos formen un ángulo de 45° y con otro segmento de popote completen el triángulo. ¿Cuánto mide el lado faltante? Analicen si para que dos triángulos sean congruentes es suficiente con que ten- gan dos lados y un ángulo iguales. Justifiquen su respuesta. Fig. 1.25 Fig. 1.26 45° 31 BLOQUE 1 (Continúa de la página 30) b) R. L. c) R. L. Resuelvo y aprendo Criterios de congruencia entre triángulos 1. a) Celeste, ya que del modo que propone Emilio es posible trazar dos triángulos que coincidan en la medida de dos lados pero que difieran en el tercero. Lo anterior sucede cuando el ángulo entre los dos lados es diferente en cada triángulo. • R. L. Página 31 • Sí, al modificar el ángulo que forman los dos popotes, la lon- gitud del tercer lado cambia. • No, porque aunque se intente cambiar la manera en que se acomodan los popotes, la abertura que se forma entre cada dos popotes siempre debe ser la misma para que pueda co- locarse el tercer popote. b) Congruentes. c) Sí es posible. • 2.91 cm • Congruentes. • No es posible. Cuando está determinada la medida de dos de los lados y del ángulo comprendido entre ellos, la longitud del tercer lado será siempre la misma. Por lo anterior, todos los triángulos que se construyan serán congruentes. d) 2.51 cm • Para afirmar que dos triángulos son congruentes es sufi- ciente con que tengan dos lados iguales y que el ángulo comprendido entre esos lados también sea igual. Si los án- gulos iguales no son los comprendidos entre los lados igua- les, no se puede afirmar que los triángulos son congruentes. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 31
  37. 37. e) Identifiquen en la figura 1.27 qué tienen en común todos los triángulos. Identifiquen los triángulos congruentes. Expliquen qué condiciones deben cumplir dos triángulos para ser congruentes si se conocen dos de sus lados correspondientes y uno de sus ángulos. Comparen sus respuestas con las del grupo y establezcan una conclusión general. f) Por separado cada integrante del equipo trace en su cuaderno un segmento de recta de 8 cm de longitud, y en sus extremos dos ángulos, uno de 45° y el otro de 30°. Extiendan el lado de los ángulos que no coincide con la recta de 8 cm de longitud hasta que se intersequen. C B A 3 4 K L J 3 4 F ED 3 4 I G H 3 4 Lean las siguientes instrucciones y subrayen aquellas con las que obtendrían triángulos congruentes con el anterior. En sus cuadernos corrijan aquellas con las que no se obtienen. Agreguen la información mínima necesaria o eliminen la que no sea útil. Traza un ángulo de 45° y prolonga ambos lados: uno debe tener 8 cm de longitud. En el otro traza un ángulo de 30° de manera que uno de sus lados pase por el extremo opuesto del lado de 8 cm para formar un triángulo. Traza un segmento de 8 cm. En uno de sus extremos traza un ángulo de 30° y en el otro, un ángulo de 45°. Prolonga los lados de ambos hasta que coincidan. Traza un segmento de 8 cm. En uno de los extremos marca un ángulo de 30°, pro- longa el otro lado del ángulo y sobre él traza un ángulo de 45° de modo que su otro lado pase por el extremo del segmento de 8 cm donde no se trazó el ángulo de 30°. Comparen sus respuestas con las de otros equipos y, con ayuda de su profesor, lleguen a una conclusión sobre las condiciones necesarias para obtener triángulos con- gruentes a partir de las medidas de dos de sus ángulos y uno de sus lados. Midan los lados del triángulo que trazaron y el ángulo que se formó en la intersección. Comparen los triángulos que trazaron con los de otros equipos. ¿Cómo son los triángulos entre sí? 30°45° 8 cm Fig. 1.27 Fig. 1.28 32 SECUENCIA 3 Página 32 e) Todos son triángulos rectángulos que tienen un lado de 3 unidades y otro de 4. • Los triángulos ABC, IGH y JKL son congruentes. • Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido entre ellos también es igual en am- bos triángulos. • La conclusión grupal debe ser igual a la respuesta anterior. Sugerencia didáctica. Comente con sus alumnos que la conclusión anterior se conoce como el criterio de congruencia lado-ángulo-lado (LAL). Además, discutan la idea errónea 1. f) Los alumnos deben obtener el siguiente triángulo. • Los lados miden 4.14 cm y 5.86 cm, respectivamente. El án- gulo formado en la intersección mide 105°. • Congruentes. • Traza un segmento de 8 cm. En uno de sus extremos traza un ángulo de 30° y en el otro, un ángulo de 45°. Prolonga los lados de ambos hasta que coincidan. • Las instrucciones corregidas para obtener triángulos con- gruentes son las siguentes: • Traza un ángulo de 45° y prolonga ambos lados: uno debe tener 8 cm de longitud. En el otro traza un ángulo de 105° de manera que uno de sus lados pase por el extremo opuesto del lado de 8 cm para formar un triángulo. • Traza un segmento de 8 cm. En uno de los extremos marca un ángulo de 30°, prolonga el otro lado del ángulo y sobre él traza un ángulo de 105° de modo que su otro lado pase por el extre- mo del segmento de 8 cm donde no se trazó el ángulo de 30°. 45° 105° 4.14 cm 5.86 cm 30° 8 cm © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. 32

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