ECUACIONES
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario Politécnico ¨Santiago Mariño¨
Estudiante:
Yarizbeli Quijada
C. I. 30256932

1.Lenguaje Algebraico.
2.¿Qué es una ecuación?
3.Ecuación de primer grado.
4.Ecuación de segundo grado.
5.Sistema de ecuaciones lineales.
6.Monomios (operaciones).
7. Polinomios (operaciones).
8. Plano cartesiano. Partes y Funciones.
ESQUEMA DE TRABAJO

Símbolo Significado
= Igual que
≠ No es igual que
> Es mayor que
< Menor que
LENGUAJE ALGEBRAICO
Los símbolos que se utilizan para establecer relaciones y operaciones son:
Símbolo Significado
+ La suma, aumentar
- La diferencia, disminuir
x El producto, multiplicar
÷ El cociente, dividir
Algunos de los casos que pueden presentarse al combinar los símbolos anteriores
con variables y constantes son:
Lenguaje común Significa Se escribe en lenguaje algebraico
El doble de un número a + a o bien 2 x a 2a
El triple de un número m+m+m o bien 3 x m 3m
Para expresar un enunciado
verbal en lenguaje algebraico,
sólo tenemos que sustituir
la(s) palabra(s) por el símbolo
adecuado y juntar
1.- Cuando se pide algún múltiplo de número desconocido

2.- Cuando se pide la fracción de algún número que se desconoce.
Lenguaje común Significa Se escribe en lenguaje algebraico
La mitad de un número x ÷ 2
Tres quintas partes de una cantidad ( y )( 3 ) ÷ 5
3.- Cuando se habla de dos números.
Lenguaje común Se escribe en lenguaje algebraico
La suma de dos números a + b
La diferencia de dos números a - b
El producto de dos números ab
El cociente de dos números
4.- Al pedir alguna potencia de un número desconocido.
Lenguaje común Significa Se escribe en lenguaje algebraico
El cuadrado de un número a x a a
2
El cubo de un número a x a x a a
3
La cuarta potencia de un número a x a x a x a a
4

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?
Una ecuación es una igualdad
algebraica que se cumple
solamente para determinados
valores de
las variables o incógnitas (las
letras). Por ejemplo, la siguiente
igualdad algebraica es una
ecuación:
7x – 5 = 3x + 9Ejemplo:

Los valores de las variables o incógnitas (letras) que hacen que se
verifique la igualdad son lo que denominamos soluciones de la
ecuación. Así, en el ejemplo anterior, x=2 sería una solución, ya que
hace que se verifique la igualdad al sustituir x por 2:
7·3 – 3 = 3·3 + 9
21 – 3 = 9 + 9
18 = 18
Por lo tanto, para resolver una ecuación se debe encontrar el valor o
los valores que ha de tomar la variable o incógnita para que se cumpla
la igualdad.
Por otra parte, el grado de una ecuación es el mayor grado de los
monomios que contiene. El grado de un monomio viene dado por la
suma de los exponentes que tienen las variables (letras) en dicho
monomio

Para
distinguirlos
A las expresiones que
quedan A cada lado del
signo《=》se le denomina
miembros de la ecuación 7x – 5 = 3x +9
{
{
Primer
miembro
Segundo
miembro
[
[
[
[
Términos A cada uno
de los
monomios
que forman
parte de la
ecuación se
les
denomina tér
minos
La ecuación es de
primer grado, ya que
los monomios de mayor
grado son 7x y 3x,
ambos de grado 1.
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
La ecuación es de
segundo grado, ya
que el monomio de
mayor grado es x² ,
que es de grado 2.
x² + 5x – 2 = 2x + 7
[
[
[
[
[ Términos
La variable o incógnita de
la ecuación es x

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones
lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de
primer grado). Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las
variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más
antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como
en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación,
predicción y más generalmente en programación lineal, así como en
la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

MONOMIOS
El coeficiente del monomio
es el número que aparece
multiplicando a las variables.
La parte literal está
constituida por las letras y
sus exponentes.
El grado de un monomio es la suma de
todos los exponentes de las letras o
variables.
Dos monomios son semejantes
cuando tienen la misma parte literal.
Un monomio es
una expresión algebraica
Las únicas operaciones que
aparecen entre las variables son
el producto y la potencia de exponente
natural.

Monomio Coeficiente Grado
4ab3 x 4 5
xy 1 2
3x2y 3 3
OPERACIONES DE MONOMIOS:
• Suma o resta
Se suman o se restan los coeficientes y se deja la misma parte
literal
a) 4x2 y + x 2 y = 5x 4 y 2
b) 3x 5 – 2x 5 = x 5
c) – 3x 4 + 2x 4 + 5x 4 = 4x 4

• Producto de un Monomio
Se multiplican los coeficientes de cada uno entre sí y se suman los
grados de las potencias que tengan la misma base, dejando las de
distinta base como estén.
a) 3x 2 yz . 5x 2y = 3.5x 2+2 y1+3z = 15x4 y4z
b) 2y4z 2 ab . 3y2a = 2.3y4+2z2 a1+1b = 6y6 z 2a 2b
c) 4x4 . (– 3x) = 4 . (– 3) x4+1 = – 12x5
• División
Se dividen los coeficientes y se restan los grados de las potencias que
tengan la misma base siempre que el resultado de la potencia sea
positivo. Lo escribimos en fracción para verlo mejor.
a) = 2x4-2y = 2x2y b) = x5-2 = x3x2
x2
8x4y
4x2

POLINOMIOS
• Estructura
Se trata de términos, coeficientes, grado y ordenación de un polinomio
P(x)= 3x3 + 2x2 + x + 6
1. Términos (monomios): 3x3 ,2x2 , x, 6 (término independiente sin x)
2. Coeficientes: 3, 2, 1 (números que hay delante de la x)
3. Grado: 3 (el mayor de los grados de los monomios)
4. Ordenado: (de mayor a menor) y completo ( tiene todos los términos)
• Valor Numérico:
El valor numérico de un polinomio, es el valor del polinomio que resulta al
sustituir la x por el número que nos digan.

• Halla el valor numérico:
a) X = 1 b) x = -2
P(x)= x4 – 2x3 + 5x2 – 3x + 1
a) P(1)= 14 – 2.13 + 5.12 – 3.1 + 1 P(1)= 2
b) P(– 2)= (– 2)4 – 2.(-2)3 + 5.(-2)2 – 3.(-2) + 1 P(– 2)= 59
OPERACIONES DE POLINOMIOS:
Son las mismas normas que para operaciones con monomios
• Suma y resta
Se suman o restan los coeficientes de los términos que tienen el mismo grado
Dados los polinomios:
P(x)= x4 – 3x + 2y Q(x) 2x3 – 3x 2 + x – 2

Halla:
a) P(x) + Q(x)= x4 + 2x 3 – 3x 2 – 2x
b) P(x) – Q(x) = x4 – 2x 3 + 3x 2 – 4x + 4
• Multiplicación:
Se multiplican todos los términos de uno por todos los términos del otro.
Multiplicamos los coeficientes y con las x hacemos producto de potencias de la
misma base (sumando los grados) .
Dados los polinomios halla R(x) . S(x)
R(x)= x2 – 2x – 1 S(x) = x + 1 3x + 1
R(x) . S(x)= x2 . x + x 2 . 1 – 2x . x – 2x . 1 – 1 . x – 1 . 1
R(x) . S(x) = x3 + x 2 – 2x 2 – 2x – X – 1
R(x) . S(x) = x 3 – x 2 – 3x - 1

• División:
1. Dividimos el primer término del dividendo entre el primer termino
del divisor. Obtenemos el primer término del cociente.
6x2 : 3x2 = 2x2

3. Sumamos y comenzamos de nuevo. 9x2 : 3x2 = 3
4. Se acaba cuando el grado del dividendo es menor que el del
divisor.
5. Comprobación: Dividendo = divisor x cociente + resto
6. Si el resto es cero la división es exacta, el dividendo es un
múltiplo del divisor.
2. Multiplicamos el cociente por todos los términos del divisor y los
resultados los colocamos cambiados de sigo en el dividendo.
Cada término debajo del que tenga su mismo grado.

Se conoce como plano cartesiano,
coordenadas cartesianas o sistema
cartesiano, a dos rectas numéricas
perpendiculares, una horizontal y otra
vertical, que se cortan en un punto
llamado origen o punto cero. La
finalidad del plano cartesiano es
describir la posición o ubicación de un
punto en el plano, la cual está
representada por el sistema de
coordenadas.
¿QUÉ ES UN PLANO CARTESIANO?

PARTES DEL PLANO CARTESIANO
Los elementos y características que conforman el plano cartesiano son los
ejes coordenados, el origen, los cuadrantes y las coordenadas. A
continuación, te explicamos cada uno.
• Ejes de coordenadas: Se llaman ejes
coordenados a las dos rectas perpendiculares
que se interconectan en un punto del plano.
Estas rectas reciben el nombre de abscisa y
ordenada.
• Abscisa: el eje de las abscisas está dispuesto
de manera horizontal y se identifica con la
letra “x”.
• Ordenada: el eje de las ordenadas está
orientado verticalmente y se representa con la
letra “y”.

• Origen o punto 0
Se llama origen al punto en el que se
intersectan los ejes “x” y “y”, punto al cual
se le asigna el valor de (0). Cada eje
representa una escala numérica que será
positiva o negativa de acuerdo a su
dirección respecto del origen.
Así, respecto del origen o punto 0, el
segmento derecho del eje “x” es positivo,
mientras que el izquierdo es negativo.
Consecuentemente, el segmento
ascendente del eje “y” es positivo,
mientras que el segmento descendente es
negativo.

• Cuadrantes del plano cartesiano
Se llama cuadrantes a las cuatro áreas que se forman por la unión de las dos
rectas perpendiculares. Los puntos del plano se describen dentro de estos
cuadrantes.
Los cuadrantes se enumeran tradicionalmente con números romanos: I, II, III y
IV.
• Cuadrante I: la abscisa y la ordenada son
positivas.
• Cuadrante II: la abscisa es negativa y la
ordenada positiva.
• Cuadrante III: tanto la abscisa como la
ordenada son negativas.
• Cuadrante IV: la abscisa es positiva y el
ordenada negativa

• Coordenadas del plano cartesiano
Las coordenadas son los números que nos dan la ubicación del punto en
el plano. Las coordenadas se forman asignando un determinado valor al
eje “x” y otro valor al eje “y”. Esto se representa de la siguiente manera:
P (x, y), donde:
P = punto en el plano;
x = eje de la abscisa (horizontal);
y = eje de la ordenada (vertical).
Si queremos saber las coordenadas de un punto en el plano, trazamos una
línea perpendicular desde el punto P hasta el eje “x” –a esta línea la
llamaremos proyección (ortogonal) del punto P sobre el eje “x”
Seguidamente, trazamos otra línea desde el punto P hasta el eje “y” –es
decir, una proyección del punto P sobre el eje “y”.

En cada uno de los cruces de las proyecciones con ambos ejes,
se refleja un número (positivo o negativo). Esos números son las
coordenadas
En este ejemplo, las coordenadas
de los puntos en cada cuadrante
son:
• Cuadrante I, P (2, 3);
• Cuadrante II, P (-3, 1);
• Cuadrante III, P (-3, -1) y
• Cuadrante IV, P (3, -2)

Si lo que queremos es saber la ubicación de un punto a partir de
unas coordenadas previamente asignadas, entonces trazamos
una línea perpendicular desde el número indicado de la abscisa, y
otra desde el número de la ordenada. La intersección o cruce de
ambas proyecciones nos da la ubicación espacial del punto.
En este ejemplo, P (3,4) nos da la
ubicación precisa del punto en el cuadrante
I del plano. El 3 pertenece al eje de las
abscisas y el 4 (segmento derecho) al eje
de las ordenadas (segmento ascendente).
P (-3,-4) nos da la ubicación específica del
punto en el cuadrante III del plano. El -3
pertenece al eje de las abscisas (segmento
izquierdo) y el -4 al eje de las ordenadas
(segmento descendente).

FUNCIONES EN UN PLANO CARTESIANO
Una función representada como: f(x)=y es una operación para obtener de un
variable independiente (dominio) las variables dependientes (contra dominio).
Por ejemplo: f(x)=3x
La relación del dominio y el contra dominio es biunívoca, lo que significa que
tiene solo dos puntos correctos. Para encontrar la función en un plano
cartesiano se debe primero tabular, o sea, ordenar los puntos en una tabla las
parejas encontradas para posicionarlas o ubicarlas después en el plano
cartesiano
Función de x Dominio Contra dominio
f(2)=3x 2 6
f(3)=3x 3 9
f(4)=3x 4 12
X Y Coordenada
2 3 (2,3)
-4 2 (-4,2)
6 -1 (6,-1)