automatique, espace d'etat

2. Introduction à la représentation d’état
Lorsque l’on envisage la commande d’un système, la première étape consiste à le
modéliser. Modéliser un système consiste à élaborer une représentation mathématique
qui permette de décrire et prédire son comportement dynamique et permanent lorsqu’il
est soumis à des influences externes (entrées de commande, perturbations..)
1. Les différentes formes de modélisation
Tout système linéaire peut être représenté de plusieurs manières comme le montre le schéma
Système Physique
Représentation par
équation
différentielle
Représentation
par Fonction de
transfert
Représentation par
équation d’état
Entrée u Sortie y

3. Parmi les différentes modélisations possibles d’un système, seule la représentation
d'état permet une approche interne. Elle peut être obtenue à partir de la
connaissance de la structure et des propriétés des éléments du système . Elle peut
être aussi obtenue par transformation du modèle, c’est-à-dire à partir de l’équation
différentielle ou de la fonction de transfert.
Quel est l’intérêt de la représentation d’état ?
1- D’abord, on souligne que c’est la seule représentation qui permet d’avoir une description
interne du système contrairement à la représentation par équation différentielle ou par
fonction de transfert. Ce point trouve son intérêt dans le fait qu’on aura une meilleure
maitrise et compréhension du système étudié.L’équation différentielle ou la fonction de
transfert permettent d’obtenir une relation entrée/sortie qui n’apporte aucune connaissance
sur la structure interne d’un système. Deux systèmes différents peuvent très bien avoir la
même fonction de transfert et la même équation différentielle.
2-La représentation d’état convient particulièrement aux systèmes multi-variables. Pour le
cas mono-variable, l’approche par fonction de transfert est largement suffisante. Partant du
fait que le casmulti-variable est plus délicat à appréhender, la représentation d’état constitue
le support le plus utilisé dans l’étude des systèmes complexes.

4. Modélisation
On considère le système électrique ci-dessous : Peut être modélisé avec deux
équations différentielles
L’idée de base des représentations d’état est que le futur d’un système dépend de son
passé, de son présent et de ses entrées
le futur peut alors être décrit à partir d’un ensemble de variables bien choisies.

5. De l’équation différentielle à l’équation d’état
On rappelle les équation différentielles du modèle :
Les équations différentielles précédentes peuvent être réécrites comme suit :
On considère les variables x 1 ( t ) ; x 2 ( t ) ; e t u ( t ) définies par :
Sous forme matricielle donnent : x ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) équation d’état

6. Si on considère que la sortie du système est la tension aux bornes de la résistance :
Donc , la sortie s’écrit : équation de la sortie
avec :
Pour récapituler, les équations d’état s’écrivent :
Remarques :
La représentation d’état n’est pas unique pour un même système physique Le système
(A;B;C;D) est dit linéaire à temps invariant (LTI)

7. Définition
La représentation d’état d’un système dynamique linéaire continu est donnée par :
A : la matrice d’état
B: la matrice de commande (d’entrée)
C: la matrice de sortie
D: la matrice de transfert directe
X(t) : est le vecteur d’état
U(t): est le vecteur de commande (vecteur d’entrée)
Y(t): est le vecteur de sortie
équation d’état
équation de sortie (appelée aussi équation de
mesure)

8. Illustration sur un exemple:
On considère le système mécanique suivant (masse-ressort-amortisseur) :
L’entrée de commande :
Soit le vecteur d’état :
Par application de la loi de Newton, sa dynamique s’écrit :
La masse
la position de la masse
: Coefficient de raideur du ressort
: Coefficient d’amortissement
: Force appliquée sur la masse

9. On a :
D’après la dynamique du système :
Sous forme matricielle:
La sortie du système est la position de la masse mobile :
Qui s’écrit sous forme matricielle

10. La notion d’état d’un système et la variable d’état
On définit l’état d’un système à l’instant t0 comme l’information sur le passé nécessaire
et suffisante pour déterminer l’évolution ultérieure du système quand on connaît, pour ,
t > t0 les signaux d’entrée et les équations du système.
Dans l’exemple du circuit électrique, l’information nécessaire et suffisante pour
résoudre le système d’équations est liée aux conditions initiales Vc(t0) ; iL(t0)
Par conséquent, un ensemble possible de variable d’état est
Dimension des variables et des matrices dans un modèle d’état :
Cas mono variable (1 entrée, 1 sortie) Cas multi-variable (m entré p sorties)
[Vc(t) ; iL(t)]

11. Comment faut-il choisir les variables d’état ?
Il recommandé de choisir les variables d’état ayant un sens physique et physiquement accessible
à la mesure et ce pour une meilleure compréhension du comportement du système étudié
et la mise au point de la commande de celui-ci.
Généralement c’est le cas lorsque la représentation d’état a découlé des équations physiques.
Par contre, lorsque les équations d’état découlent d’une transformation de similitude ou
à partir de l’équation différentielle ou de la fonction de transfert, les variables d’état peuvent
perdre le sens physique mais demeurent néanmoins des variables internes.
Combien faut-il choisir de variables d’état ?
Pour répondre à cette question, il convient de distinguer deux cas :
•Si les équations d’état découlent de l’équation différentielle ou de la fonction de
transfert, le nombre de variables d’état est fixé par l’ordre de l’équation différentielle
ou de la fonction de transfert.
Si les équations d’état découlent des équations physiques, il n’est pas toujours à premier
abord évident de choisir le nombre de variables nécessaires. Il convient de rester
particulièrement vigilent de ne pas sur dimensionner la représentation en définissant des
variables qui peuvent s’avérer redondantes. Cette remarque est très importante car la
complexité du problème de l’analyse et de la synthèse est étroitement liée à la dimension des
équations d’état. L’idée est d’obtenir ;ce qu’on appelle une représentation minimale et fort.
Y a-t-il des restrictions quand au choix des variables d’´etat ?
! Oui. Aucune variable d’´etat ne peut être une combinaison linéaire des autres variables
d’´etat.

12. Représentation schématique du modèle d'état
Interprétation du schéma:
" Equation d'état = vue interne du système
" A représente les interactions dynamiques entre les différents éléments internes du
système.
" B représente l'action des entrées sur l'évolution dynamique du système.
" C indique les capteurs permettent d'obtenir les sorties.
" D indique le couplage direct entre les entrées et les sorties.

13. Vecteur d’état:
Un vecteur d’état est un ensemble minimal de variables d’état, c’est-à-dire de
grandeurs temporelles, nécessaires et suffisantes pour déterminer l’évolution future
d’un système quand on connaît les équations qui décrivent le fonctionnement du
système et les entrées de ce système.
L'état d'un système à un instant t représente la mémoire minimale du passé
nécessaire à la détermination du futur
Définition :
Unicité de la représentation d'état ?
La représentation d'état d'un système est-elle unique ? Non !!
Le modèle d'état obtenu dépend du choix des états. On peut associer à un même
système, plusieurs vecteurs d'état conduisant ainsi à différentes représentations
d'états équivalentes.
la dynamique du système est préservée

14. Représentation d’état des systèmes
à temps discret
PRINCIPE GÉNÉRAL
Tout comme les systèmes à temps continu, les systèmes à temps discret peuvent être
placés sous forme de représentation d’état.
Modélisation du fonctionnement du système
Dans une représentation en temps discret, la possibilité d’exprimer l’état du système à un
instant donné en fonction du signal d’entrée et en fonction de son « passé », autrement
dit, de son état précédent, prend tout son sens. La forme générale pour un système mono-
entrée et mono-sortie des équations d’état en temps discret correspond donc à :
La matrice de commande [A] est une matrice carrée, (B) est un vecteur colonne et (C)
est un vecteur ligne.

15. Remarque : pour un système d’ordre n, c’est-à-dire possédant n variables d’état, la
première équation, dite de commande, correspond à un système de n équations :
Signalons que les coefficients des différentes matrices peuvent aussi être variables
dans le temps (c’est-à-dire s’exprimer en fonction de k).

16. Passage représentation d'état " FT (MT)
Forme générale
TL de l'équation d'état
Conditions initiales supposées nulles : X(0)=0
In : matrice
identité d'ordre n
TL de l'équation de sortie
Fonction de transfert
ou matrice de transfert

17. Calcul de l'inverse de (sIn−A)
Les pôles du système sont les racines de l'équation det(sIn − A) = 0
Les valeurs propres de A sont solutions de l'équation caractéristique det(λIn − A) = 0
Les pôles du système sont les valeurs propres de A.
Toute l'information sur les modes du système est contenue dans la matrice A
Remarques:
1- Une représentation d'état d'un système est caractérisée par le quadruplet (A, B,
C, D)
2- Toute représentation d'état (A, B, C, D) d'un système qui vérifie
H(s) = C(sIn − A)−1B + D est appelée une réalisation de H(s)
3- Une réalisation (A, B, C, D) avec dim(A)=n est une réalisation minimale s'il
n'existe pas d'autres réalisations de H(s) de dimension inférieure à n

18. A partir d'une FT, est-il possible de déterminer une représentation d'état (une seule
ou la plus simple possible)? Ce problème est dénommé problème de réalisation
Passage FT " représentation d'état
On peut trouver autant de représentations d'état qu'on veut. Néanmoins il existent
quelques formes remarquable exposées ci-après
Forme canonique de commandabilité :
Cas simple : m=0 et b0=1

19. Posons Dérivation Equations d'état
Forme canonique de commandabilité

20. schéma de simulation

21. Soit v une variable
intermédiaire telle
que
Cas général : m<n et b0≠0
Equation (I)
Elle correspond au cas précédent
Equation (II)

22. Représentation d'état
Cette forme est dite compagne (de la FT) commandable. Les coefficients de la FT sont
éléments des matrices du modèle d'état

23. Schéma de simulation

24. Forme canonique d'observabilité:
Divisons cette équation par sn

25. Dessinons le schéma de simulation correspondant à cette équation
Modèle d'état
Connaissant y=xn, on peut
déduire les autres états par
dérivation et différence :
c'est l'observabilité.

26. Dualité des formes canoniques de commandabilité et d'observabilité
Soit (Ac ,Bc ,Cc ,Dc ) : la réalisation canonique de commandabilité
Soit (Ao,Bo,Co,Do ) : la réalisation canonique d'observabilité
On constate que:

27. Forme modale:
- Cas 1 : le système admet n pôles distincts réels λi i =1,………n
Décomposition en éléments simple
Choix des états

28. Remarques sur le cas 1:
1- La représentation fait apparaître les pôles (ou modes) du système
2- La matrice A est diagonale " calcul simplifié de eAt
3- Soit (A, B, C, D) une réalisation. Si A admet n valeurs propres distinctes λi,
A est diagonalisable et il existe une matrice de transformation T telle que
T : matrice des
vecteurs propres de A
Schéma de simulation:
Chaque état xi est
indépendant des
autres

29. Forme modale : cas des pôles multiples:
Soit λ1 un pôle réel d'ordre k et λk+1,…, λn des pôles réels simples
Décomposition en éléments simples

30. Bloc de Jordan
D'une façon générale, si le système admet r pôles d'ordre de multiplicité kr, tel que
k1+…+ kr=n, la forme modale de la matrice d'état est:
avec

31. Systèmes non linéaires, Linéarisation
Soit un système décrit par les ´équations d'état non linéaires:
avec X (t)∈Rn U(t)∈Rm Y(t)∈Rp
f et g sont des champs de fonctions non-linéaires
point de fonctionnement:
Soit , une entrée nominale et soit l'état correspondant càd
Au voisinage de
Au voisinage de

32. Linéarisation autour du point
On réalise un développement de Taylor au 1er ordre de f et g

33. FX, FU, GX et GU sont les matrices jacobiennes des dérivées partielles
De f et g respectivement par rapport à X et U et évaluées au point
Matrices du modèle : A = FX , B = FU , C = GX , D = GU

34. Cas scalaire
TL de l'équation d'état
Condition initiale :x(0)
Evolution de l'état
Rappels

35. Réponse temporelle
Si l'origine des temps est t0≠0, les équations précédentes ont la forme
générale suivante
Généralisation au cas matriciel

36. Réponse temporelle : généralisation

37. Remarques
La réponse temporelle dépend de l'exponentielle de matrice
Pour U=0, on a
est la matrice de transition du vecteur d'état initial X(t0) au
vecteur d'état X(t) pour U=0

38. Calcul de la matrice de transition
L’opération la plus délicate dans la résolution des équation d’état, consiste
à calculer la matrice de transition Pour cela de nombreuses méthodes
existent Les plus classiques sont les suivantes :
1- Méthode 1 : La méthode de la transformée de Laplace
2- Méthode 2 :La méthode de diagonalisation
3- Méthode 3 : La méthode de Cayley-Hamilton
4- Méthode 4 : La méthode de calcul direct (développement de Tylor)

39. Méthode 1 : La méthode de la transformée de Laplace :
Il apparaît clairement, en confrontant cette expression à la solution générale
déterminée précédemment, soit :
que la matrice de transition possède pour transformée de Laplace la
matrice
Il suffit alors d’inverser la matrice , ce qui conduit à une matrice
rationnelle en p dont on calcule la transformée de Laplace élément par
élément

40. Méthode 2 : La méthode de diagonalisation :
Il est facile de remarquer que le calcul de la matrice de transition est très
simple a effectuer si celle-ci est diagonale, en effet :
Cette constatation nous conduit naturellement à imaginer une méthode
relativement facile pour calculer : il suffit de diagonaliser la matrice A
On considère une matrice d’état quelconque A
Les vecteurs propres et valeurs propres de cette matrice sont définies par :
sont les vecteurs propres et sont les valeurs propres

41. Ces grandeurs sont très faciles à déterminer, étant donné que les valeurs
propres sont les racines de l’équation :
Soit la matrice modale, formée des vecteurs propres :
La matrice diagonale D formée des valeurs propres de A est obtenue :
La matrice de transition est alors calculée par :

42. Méthode 3 : La méthode de Cayley-Hamilton :
Cette méthode repose sur une des propriétés d’une matrice, à savoir :
Chaque matrice est toujours solution de son équation caractéristique
Elle présente l’avantage d’être relativement rapide pour des matrices d’ordres
peu élevés
- On considère une matrice A , son équation caractéristique s’écrit :
- Cette équation permet d’affirmer que pour toute matrice carrée d’ordre n
possédant n valeurs propres distinctes
- Toute puissance de A supérieure ou égale à n peut s’exprimer en fonction
d’une combinaison des puissances de A strictement inferieur à n

43. On peut donc écrire :
La recherche des fonctions ne pose aucune difficulté : les valeurs
propres de la matrice A vérifiant obligatoirement cette équation, on construit
un système de n équations à n inconnues (les fonctions )
La résolution de ce système permet de déterminer

44. Méthode 4 : La méthode de calcul direct (développement de Taylor) :
Cette méthode est basée sur l’expression du développement de Taylor à
condition que la matrice d’état soit nilpotente
- Une matrice carrée est dite nilpotente si :
- Bien évidemment plus k est petit, plus le calcul direct est simple et
rapide
- Le développement de Taylor de est donné par :

45. Pour répondre à cette question
on va analyser le cas d’une
matrice d’état à valeurs propres
distinctes (diagonalisable)
Sous quelle condition
Le système est instable autrement, et la solution diverge.
Ce système est stable si et seulement si la solution
On considère le système représenté par les équations
d’état :
Définition

46. Condition de stabilité
On considère la matrice T des vecteurs propres de la matrice A
Cette condition est satisfaite, si toutes les valeurs propres sont à partie
réelle négative
La condition : est satisfaite si les termes convergent,
c.à.d :

47. Valeurs propres et stabilité
Théorème :
Un système linéaire invariant est asymptotiquement stable si toutes les
valeurs propres de la matrice d’état A sont à partie réelle strictement
négative.

48. Peut-on trouver un critère mathématique permettant de déterminer la commandabilité ?
Un système d’équation d’état est dit commandable (ou complètement
commandable) si pour n’importe quel état initial , il existe une commande sans
contrainte permettant de conduire le système à n’importe quel état final
en un temps fini

50. Cette représentation symbolique montre que le système est composé de deux sous -
systèmes S1 et S2. Le sous -système S1 n’est pas lié à l’entrée u, contrairement au
sous - système S2. Cela veut dire, on ne peut jamais agir sur l’état x1 et ce quelle
que soit la commande u appliquée au système. L’état x1 évoluera selon sa
Propre dynamique à partir de sa condition initiale. On dit que l’état x1 est non
commandable alors que l’état x2 est commandable .

51. Un système linéaire invariant dans le temps décrit par l’équation d’état :
est commandable si et seulement si la matrice de commandabilité est de
rang plein :
Si le rang de la matrice de commandabilité est égale à m< n donc le système n’est
pas complètement commandable Uniquement m états sont commandables
n-m états sont non commandables

52. Un système d’équation d’état
Ce système est dit observable s’il est possible de déterminer son état à un instant t0
donné à partir d’une observation de sa sortie.
Remarque :
L’observabilité est aussi appelée
détectabilité
On dit système observable ou détectable

53. Une multitude de définitions équivalentes sont données dans la littérature. Au lieu de
s’investir dans toutes ces définitions , on considère un exemple qui permet d’illustrer
le sens physique de la notion de l’observabilitéT. En effet, on considère le système
suivant:
Les dernières équations peuvent être traduites par le schéma fonctionnel suivant

54. Cette représentation symbolique montre que le système est composé de deux sous
-systèmes S1 et S2.Le sous-système S2 n’est pas lié à la sortie Y , contrairement au
sous-système S1. Cela veut dire, que toutes les observations (mesures) que l’on peut
faire sur un intervalle de temps, rien ne peut refléter le caractère instable du
système. En revanche, l’observation de la sortie renseignera sur l’état x1
.On dit que l’état x1 est observable alors que l’état x2 est non observable.

55. Critère de Kalman
Un système linéaire invariant dans le temps décrit par l’équation d’état :
est observable si et seulement si la matrice d’observabilité O(A;C) est de rang plein
:
Si le rang de la matrice d’observabilité est égale à m< n donc le système n’est
pas complètement observable
Uniquement m états sont observables n-m états sont non observables

56. Supposons que tous les états du système sont mesurables
La loi de commande consiste à réaliser un retour d'état sous la forme :
Principe de base:
Modèle d'état d'un système linéaire invariant en boucle ouverte (BO):
Loi de commande:
r : signaux de référence
K matrice de retour d'état

57. Modèle d’état de la boucle fermée :
Les modes du système en BF sont les valeurs propres de la matrice A-BK
Le système en BF est commandable par r(t) ssi le système en BO est
commandable par u(t) c.à.d
La matrice de retour K offre des degrés de liberté pour :
1- Imposer un comportement dynamique au système
2- Stabiliser le système (s'il est instable en BO)

58. Fonction de transfert équivalente en boucle fermée (BF) :
Commande par retour d’état des systèmes commandables :
Théorème :
Si le système est complètement commandable, il est possible par le choix de
K de placer arbitrairement les valeurs propres du système en BF
- Dynamique désirée en BF : elle est caractérisée par les pôles désirés en BF
- Polynôme caractéristique en BF :

59. - Problématique : Trouver la matrice de gain de retour K tel que :
1- Vérifier la commandabilité de la paire (A, B)
2- Calcul de la matrice (𝐴𝐵𝐹=𝐴 − 𝐵𝐾)
3- Calcul du polynôme caractéristique de (𝐴𝐵𝐹). Il vaut det(𝑠𝐼 – 𝐴𝐵𝐹) .
4- Résolution de l’équation polynomiale : |P𝐼 – 𝐴𝐵𝐹|= (P –𝜆0)(P−𝜆1)...(P−𝜆𝑛−1)
où (𝜆0,𝜆1,⋯,𝜆𝑛−1)) sont les pôles que l’on veut imposer.
Procédure pratique de la mise en œuvre:

60. Remarques :
• Pour que la commande soit physiquement réalisable, les valeurs propres
choisies doivent être réelles ou complexes conjuguées deux à deux (ce qui
garantit une fonction de transfert à coefficients réels).
• La stabilité étant la première qualité à assurer pour la boucle fermée, les
valeurs propres doivent être à partie réelle strictement négative.

61. Formule d'Ackerman:
Elle donne directement l'expression de la matrice de retour
avec
Application de la formule d'Ackerman:
1. Vérifier la commandabilité de la paire (A, B)
2. Choisir les pôles correspondants au comportement désiré en BF
3. Calculer le polynôme caractéristique en BF à partir de ces pôles
4. En déduire PBF(A). Appliquer la formule d'Ackerman

62. Calcul de la commande dans le cas de représentation sous forme compagne
pour la commande:
Sous la forme compagne pour la commande, les matrices A et B ont des formes
très particulières
On cherche une matrice de retour d’état 𝐾=[𝑘1 𝑘2⋯𝑘𝑛−1], telle que

63. Ait comme valeurs propres (𝜆0,𝜆1,⋯,𝜆𝑛−1)).
La contrainte modale impose le dénominateur de la fonction de transfert du
système en boucle fermé :
Le placement de pôles de modifie pas le type de représentation (elle reste
une forme compagne pour la commande). Par conséquent, on obtient deux
écritures différentes pour la matrice d’état du système en boucle fermée
(𝐴 − 𝐵K) :
d’où le système de 𝑛
équations à 𝑛
inconnues suivant :
Ce qui permet de déduire très simplement le retour d’état K=[𝑘1 𝑘2⋯𝑘𝑛−1]

64. Cas des systèmes mono-entrée, mono-sortie commandables
Si le système est commandable, on peut le mettre sous la forme canonique de
commandabilité
Tc: matrice de passage d'une représentation quelconque commandable à sa forme
canonique de commandabilité
avec

65. 1- Modèle d'état en BF dans l'espace d'état défini par les nouvelles variables Xc
2- Polynôme caractéristique de la matrice d'état en BF Ac-BcKc

66. 3- Placement des pôles
Equation caractéristique
(pôles désirés)
On calcule ainsi la matrice Kc qui est la matrice de retour dans l'espace d'état
défini par Xc
On en déduit la matrice K, matrice de retour dans l'espace d'état initial (défini par X) .