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Lugar geométrico en el que al sumar las distancia desde cualquier punto hacia los focos es
constante. Puede ser elipse de eje horizontal o elipse de eje vertical.
Se caracteriza por ser la suma de dos incógnitas “𝑥” y “𝑦” elevadas al cuadrado donde pueden ser
igualadas a cero “forma general” o igualadas a 1 “forma canónica”
Esta foto de Autor desconocido está bajo
licencia CC BY-SA-NC
Elementos:
 Centro. Es aquel que se ubica a la mitad de la distancia de los focos.
 Vértice. Son los extremos del eje mayor y el eje menor. Por esos puntos
se traza la elipse. Del vértice del eje mayor al centro su medida se le
llama “a”, entonces de vértice a vértice del eje mayor se le llama
“2a”. Del vértice del eje menor al centro se le llama “b” entonces la
distancia total del eje menor es “2b”
 Foco. Son los puntos más cercanos al centro, la distancia total entre
ellos es “2c” es decir que la distancia del centro al foco es “c”, con
estos se construye la elipse.
 Excentricidad. Es la división entre la distancia del centro al foco “c”
y la distancia del centro al vértice “a”
La elipse se puede dar de forma general o canónica, aunque para
realizar la grafica es importante tenerla en la forma canónica ya sea con
centro en (0,0) o centro en (h,k)
La distancia entre los vértices del eje mayor deben ser igual a la suma de las
distancias de cualquier punto de la elipse hacia cada foco. Se determina
que es centro en (0,0) por lo que 𝑥2, 𝑦2 están sin coeficiente que los antecede
en su forma canónica.
Elipse horizontal con centro en (0,0): Su forma
canónica es
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 donde 𝑎2
representa el
número mayor y es con quien se puede
determinar la orientación de la elipse. En este
caso paralelo al eje “x”
Elipse vertical con centro en (0,0): Su
forma canónica es
𝑦2
𝑎2 +
𝑥2
𝑏2 = 1 donde 𝑎2
determina que la orientación de la
elipse es paralelo al eje “y”
Esta foto de Autor desconocido
está bajo licencia CC BY-SA-
NC
Su forma general es 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Se determina que es con centro en (h,k) cuando hay una suma o resta de un
coeficiente en (𝑥 − ℎ)2
o (𝑦 − 𝑘)2
en su forma canónica, h será quien
acompañará a 𝑥 y k a 𝑦
Elipse horizontal con centro en (h,k): Su forma
canónica es
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 +
(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1 donde 𝑎2
representa
el número mayor y es con quien se puede
determinar la orientación de la elipse. En este
caso paralelo al eje “x”
Elipse vertical con centro en (h,k): Su
forma canónica es
(𝑦−𝑘)2
𝑎2 +
(𝑥−ℎ)2
𝑏2 = 1
donde 𝑎2
determina que la
orientación de la elipse es paralelo al
eje “y”
Su forma general es 𝐴𝑥2
+ 𝐶𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
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𝑥 − 3 2
82
+
𝑦 + 2 2
122
= 1
Su orientación es paralela al eje “y” porque “𝑎2
” esta debajo de “y” y es con centro en (h,k) porque esta
acompañada de una suma o resta en sus incógnitas “x” y “y”. Se determina de la forma (𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
+
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
−ℎ = −3 −k = 2
𝑎2
= 122
𝑎2 = 122
𝑎 = 12
𝑏2
= 82
𝑏2 = 82
𝑏 = 8
ℎ = − −3 = 3 k = −2
Teniendo el valor de “h” y “k” podemos determinar las coordenadas del centro: C = (3, −2)
Teniendo el valor de “a” podemos determinar las coordenadas de los vértices del eje mayor paralelo a
“y”: v = ℎ, 𝑘 ± 𝑎
v1 = 3, −2 + 12
v1 = 3,10
v2 = 3, −2 − 12
v2 = 3, −14
Teniendo el valor de “b” buscamos el valor de “c” con el teorema de Pitágoras
para determinar las coordenadas de los focos :
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
𝑐2
= 122
− 82
𝑐2
= 144 − 64
𝑐2
= 80
𝑐 = 80
𝑐 = 8.9
f = ℎ, 𝑘 ± 𝑐
f1 = 3, −2 + 8.9
f1 = 3,6.9
f2 = 3, −2 − 8.9
f2 = 3, −10.9
Teniendo el valor de “c” y “a” determinamos la excentricidad.
𝑒 =
8.9
12
= 0,7
Foto elaborada en GeoGebra
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Lugar geométrico en el que al hacer la diferencia de la distancia desde cualquier punto su hasta
cada uno de los focos es constante. Puede ser elipse de eje horizontal o elipse de eje vertical.
Se caracteriza por ser la diferencia de dos incógnitas “𝑥” y “𝑦” elevadas al cuadrado donde pueden
ser igualadas a cero “forma general” o igualadas a 1 “forma canónica”, con centro en (0,0) o
centro en (ℎ, 𝑘) siendo “h” la coordenada en el eje “𝑥” y “k” la coordenada en el eje “𝑦”
Elementos:
 Centro. Es aquel que se ubica a la mitad de la distancia de
los vértices. Por el pasa el eje mayor y el eje secundario
(lado mas) que tiene la medida “2b”, es decir del centro
hacia un lado sería “b” y es el valor que esta bajo la
incógnita con signo negativo.
 Vértices. Son los extremos del eje mayor y más cercanos al
centro. Por esos puntos se traza la hipérbola. Del vértice del
eje mayor al centro su medida se le llama “a” que es el
valor que esta bajo la incógnita con signo positivo, entonces
de vértice a vértice del eje mayor se le llama “2a”.
 Foco. Son los puntos por los cuales pasa el lado recto y
facilita el trazado de la hipérbola, la distancia total entre
ellos es “2c” es decir que la distancia del centro al foco es
“c”.
 Excentricidad. Es la división entre la distancia del centro
al foco “c” y la distancia del centro al vértice “a”
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está bajo licencia CC BY-NC-ND

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  • 2. Lugar geométrico en el que al sumar las distancia desde cualquier punto hacia los focos es constante. Puede ser elipse de eje horizontal o elipse de eje vertical. Se caracteriza por ser la suma de dos incógnitas “𝑥” y “𝑦” elevadas al cuadrado donde pueden ser igualadas a cero “forma general” o igualadas a 1 “forma canónica” Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-SA-NC Elementos:  Centro. Es aquel que se ubica a la mitad de la distancia de los focos.  Vértice. Son los extremos del eje mayor y el eje menor. Por esos puntos se traza la elipse. Del vértice del eje mayor al centro su medida se le llama “a”, entonces de vértice a vértice del eje mayor se le llama “2a”. Del vértice del eje menor al centro se le llama “b” entonces la distancia total del eje menor es “2b”  Foco. Son los puntos más cercanos al centro, la distancia total entre ellos es “2c” es decir que la distancia del centro al foco es “c”, con estos se construye la elipse.  Excentricidad. Es la división entre la distancia del centro al foco “c” y la distancia del centro al vértice “a” La elipse se puede dar de forma general o canónica, aunque para realizar la grafica es importante tenerla en la forma canónica ya sea con centro en (0,0) o centro en (h,k)
  • 3. La distancia entre los vértices del eje mayor deben ser igual a la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse hacia cada foco. Se determina que es centro en (0,0) por lo que 𝑥2, 𝑦2 están sin coeficiente que los antecede en su forma canónica. Elipse horizontal con centro en (0,0): Su forma canónica es 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 donde 𝑎2 representa el número mayor y es con quien se puede determinar la orientación de la elipse. En este caso paralelo al eje “x” Elipse vertical con centro en (0,0): Su forma canónica es 𝑦2 𝑎2 + 𝑥2 𝑏2 = 1 donde 𝑎2 determina que la orientación de la elipse es paralelo al eje “y” Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-SA- NC Su forma general es 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
  • 4. Se determina que es con centro en (h,k) cuando hay una suma o resta de un coeficiente en (𝑥 − ℎ)2 o (𝑦 − 𝑘)2 en su forma canónica, h será quien acompañará a 𝑥 y k a 𝑦 Elipse horizontal con centro en (h,k): Su forma canónica es (𝑥−ℎ)2 𝑎2 + (𝑦−𝑘)2 𝑏2 = 1 donde 𝑎2 representa el número mayor y es con quien se puede determinar la orientación de la elipse. En este caso paralelo al eje “x” Elipse vertical con centro en (h,k): Su forma canónica es (𝑦−𝑘)2 𝑎2 + (𝑥−ℎ)2 𝑏2 = 1 donde 𝑎2 determina que la orientación de la elipse es paralelo al eje “y” Su forma general es 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-SA-NC
  • 5. 𝑥 − 3 2 82 + 𝑦 + 2 2 122 = 1 Su orientación es paralela al eje “y” porque “𝑎2 ” esta debajo de “y” y es con centro en (h,k) porque esta acompañada de una suma o resta en sus incógnitas “x” y “y”. Se determina de la forma (𝑦 − 𝑘)2 𝑎2 + (𝑥 − ℎ)2 𝑏2 −ℎ = −3 −k = 2 𝑎2 = 122 𝑎2 = 122 𝑎 = 12 𝑏2 = 82 𝑏2 = 82 𝑏 = 8 ℎ = − −3 = 3 k = −2 Teniendo el valor de “h” y “k” podemos determinar las coordenadas del centro: C = (3, −2) Teniendo el valor de “a” podemos determinar las coordenadas de los vértices del eje mayor paralelo a “y”: v = ℎ, 𝑘 ± 𝑎 v1 = 3, −2 + 12 v1 = 3,10 v2 = 3, −2 − 12 v2 = 3, −14 Teniendo el valor de “b” buscamos el valor de “c” con el teorema de Pitágoras para determinar las coordenadas de los focos : 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 𝑐2 = 122 − 82 𝑐2 = 144 − 64 𝑐2 = 80 𝑐 = 80 𝑐 = 8.9 f = ℎ, 𝑘 ± 𝑐 f1 = 3, −2 + 8.9 f1 = 3,6.9 f2 = 3, −2 − 8.9 f2 = 3, −10.9 Teniendo el valor de “c” y “a” determinamos la excentricidad. 𝑒 = 8.9 12 = 0,7 Foto elaborada en GeoGebra Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-SA-NC
  • 6. Lugar geométrico en el que al hacer la diferencia de la distancia desde cualquier punto su hasta cada uno de los focos es constante. Puede ser elipse de eje horizontal o elipse de eje vertical. Se caracteriza por ser la diferencia de dos incógnitas “𝑥” y “𝑦” elevadas al cuadrado donde pueden ser igualadas a cero “forma general” o igualadas a 1 “forma canónica”, con centro en (0,0) o centro en (ℎ, 𝑘) siendo “h” la coordenada en el eje “𝑥” y “k” la coordenada en el eje “𝑦” Elementos:  Centro. Es aquel que se ubica a la mitad de la distancia de los vértices. Por el pasa el eje mayor y el eje secundario (lado mas) que tiene la medida “2b”, es decir del centro hacia un lado sería “b” y es el valor que esta bajo la incógnita con signo negativo.  Vértices. Son los extremos del eje mayor y más cercanos al centro. Por esos puntos se traza la hipérbola. Del vértice del eje mayor al centro su medida se le llama “a” que es el valor que esta bajo la incógnita con signo positivo, entonces de vértice a vértice del eje mayor se le llama “2a”.  Foco. Son los puntos por los cuales pasa el lado recto y facilita el trazado de la hipérbola, la distancia total entre ellos es “2c” es decir que la distancia del centro al foco es “c”.  Excentricidad. Es la división entre la distancia del centro al foco “c” y la distancia del centro al vértice “a” Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-NC-ND
  • 7. La distancia entre los vértices del eje mayor deben ser la diferencia de las distancias de cualquier punto de la hipérbola hacia cada foco, la distancia mayor de tal punto al foco se le resta la otra distancia. Se determina que es centro en (0,0) por lo que 𝑥2 , 𝑦2 están sin coeficiente que los antecede en su forma canónica. Hipérbola horizontal con centro en (0,0): Su forma canónica es 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 donde 𝑎2 representa la orientación de la hipérbola y está bajó la incógnita con signo positivo. En este caso paralelo al eje “x” Hipérbola vertical con centro en (0,0): Su forma canónica es 𝑦2 𝑎2 − 𝑥2 𝑏2 = 1 donde 𝑎2 determina que la orientación de la hipérbola es paralelo al eje “y” Su forma general es 𝐴𝑥2 − 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 𝑜 − 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-NC
  • 8. Hipérbola horizontal con centro en (h,k): Su forma canónica es (𝑥−ℎ)2 𝑎2 − (𝑦−𝑘)2 𝑏2 = 1 donde 𝑎2 representa la orientación de la hipérbola y está bajó la incógnita con signo positivo. En este caso paralelo al eje “x” Hipérbola vertical con centro en (h,k): Su forma canónica es (𝑦−𝑘)2 𝑎2 − (𝑥−ℎ)2 𝑏2 = 1 donde 𝑎2 determina que la orientación de la hipérbola es paralelo al eje “y” Su forma general es 𝐴𝑥2 − 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 𝑜 − 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Se determina que es con centro en (h,k) cuando hay una suma o resta de un coeficiente en (𝑥 − ℎ)2 o (𝑦 − 𝑘)2 en su forma canónica, h será quien acompañará a 𝑥 y k a 𝑦 Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-NC-ND
  • 9. (𝑥 − 2)2 − 𝑦2 42 = 1 Su orientación es paralela al eje “x” porque “𝑎2 ” aunque no hay denominador visible esta sobre “1”, y este esta debajo de “x” que esta con signo positivo; y es con centro en (h,k) porque esta acompañada de una suma o resta en una de sus incógnitas “x” y “y”, que aunque “y” esté sola, el valor de “k” sería “0”. Se determina de la forma (𝑥 − ℎ)2 𝑎2 + (𝑦 − 𝑘)2 𝑏2 −ℎ = −2 −k = 0 𝑎2 = 12 𝑎2 = 12 𝑎 = 1 𝑏2 = 42 𝑏2 = 42 𝑏 = 4 ℎ = − −2 = 2 k = 0 Teniendo el valor de “h” y “k”, podemos determinar las coordenadas del centro: C = (2,0) Teniendo el valor de “a”, podemos determinar las coordenadas de los vértices del eje mayor paralelo a “y”: v = ℎ ± 𝑎, 𝑘 v1 = 2 + 1,0 v1 = 3,0 v2 = 2 − 1,0 v2 = 1,0 Teniendo el valor de “b” buscamos el valor de “c” con el teorema de Pitágoras para determinar las coordenadas de los focos : 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 𝑐2 = 12 − 42 𝑐2 = 1 + 16 𝑐2 = 17 𝑐 = 17 f = ℎ ± 𝑐, 𝑘 f1 = 2 + 17, 0 f2 = 2 − 17, 0 Teniendo el valor de “c” y “a” determinamos la excentricidad. 𝑒 = 𝑐 𝑎 𝑒 = 17 1 = 17 Foto elaborada en GeoGebra
  • 10. Lugar geométrico en el que la distancia desde cualquier punto de la parábola hasta el foco es igual a la distancia de ese punto hasta la directriz en línea perpendicular. Puede la parábola abrir hacia cualquier lado Se caracteriza por ser una igualdad entre “𝑥” y “𝑦”, donde solo una de ellas debe estar elevada al cuadrado e igualada a un número llamada “p” que multiplica a la otra incógnita que esta sumando o restando a un termino independiente siendo esta la “forma canónica”; o “forma general” cuando una de las incógnitas esta elevada al cuadrado y los demás términos que suman o restan son “x” y “y” elevado a 1, y un termino independiente, igualada a cero. Elementos:  Vértice. Punto por el que pasa la parábola y es el centro entre el foco y la directriz..  Foco. Punto donde su distancia a cualquier punto de la parábola es igual a la distancia perpendicular de ese punto hacia la directriz. Por este punto se traza el lado recto.  Directriz. Es la recta que esta cerca al vértice, donde cualquier línea perpendicular de un punto de la parábola hacia ella es igual a la distancia de ese punto hacia el foco.  Lado Recto: Es una línea recta que pasa por el foco paralela a la directriz, que es igual a 4p, donde p es el número que en la forma canónica multiplica a la suma o resta de una de las incógnitas con el termino independiente elevadas a 1. Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-NC
  • 11. En su forma canónica, cuando la incógnita elevada al cuadrado esta sola, significa que la coordenada “h” o “k” es igual a cero, y abre de acuerdo a la incógnita que esta elevada a 1 en base al signo que tome el valor de “4p” que es el número que multiplica a esa incógnita que suma o resta con el término independiente. Parábola abre hacia arriba: Su forma canónica es 𝑥 − ℎ 2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘) donde "𝑦" representa la orientación de la parábola ya que está elevado a la “1” y "4𝑝“ es positivo . Parábola abre hacia abajo: Su forma canónica es 𝑥 − ℎ 2 = −4𝑝(𝑦 − 𝑘) donde "𝑦" representa la orientación de la parábola ya que está elevado a la “1” y " − 4𝑝“ es negativo . Su forma general es 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑦 + 𝐷 = 0 Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-NC-ND
  • 12. Parábola abre hacia izquierda: Su forma canónica es 𝑦 − ℎ 2 = −4𝑝(𝑥 − 𝑘) donde "𝑥" representa la orientación de la parábola ya que está elevado a la “1” y " − 4𝑝“ es positivo . Parábola abre hacia derecha: Su forma canónica es 𝑦 − 𝑘 2 = 4𝑝(𝑥 − 𝑘) donde "𝑥" representa la orientación de la parábola ya que está elevado a la “1” y "4𝑝“ es positivo . Su forma general es 𝐴𝑦2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑦 + 𝐷 = 0 Así como en los otros lugares geométricos “h” siempre será quien acompaña a “x” y “k” a “y” Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-NC
  • 13. En base a como se encuentra la ecuación abre hacia la derecha porque “𝑥” es quien esta elevado a la “1”, además el valor de “4p” es positivo. Cabe recordar que el número que acompaña a “y” en la suma o resta es “k” y el que acompaña a “x” es “h”. La ecuación se encuentra de la forma −k = 2 ℎ = − −3 = 3 k = −2 Teniendo el valor de “h” y “k”, podemos determinar el Vértice: v = (3, −2) Determinamos ahora el valor de “p”, sabiendo que “4p” es igual a “5” 4𝑝 = 12 𝑝 = 12 4 𝑝 = 3 Teniendo el valor de “p” determinamos las coordenadas del foco que al abrir hacia la derecha es : f = ℎ + 𝑝, 𝑘 f = 3 + 3, −2 f = 6, −2 Ahora determinamos con el valor de “p” la coordenada de la directriz d = ℎ − 𝑝, 𝑘 d = 3 − 3, −2 d = 0, −2 (𝑦 + 2)2 = 12(𝑥 − 3) −ℎ = −3 (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ) Determinamos el lado recto Lr = 4𝑝 Lr = 4 3 Lr = 12 Foto elaborada en GeoGebra
  • 14. La ecuación de la recta se puede dar de la forma general (fundamental) o de la forma explícita (punto-pendiente) Forma general: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Forma Explícita: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 Ejemplo: 7𝑥 + 6𝑦 − 5 = 0 Ejemplo: 𝑦 = 2𝑥 + 4 Para pasar a la forma explícita se procede a despejar “y”: 6𝑦 = −7𝑥 + 5 𝑦 = −7𝑥 + 5 6 Ahora se separa el denominador para cada término 𝑦 = −7 6 𝑥 + 5 6 Para pasar a la forma general se procede a pasar todo a un solo miembro e igualar a cero: −2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 Donde “m” o pendiente sería −7 6 y el valor de “b” sería 5 6
  • 15. Ecuación punto-pendiente Encontrar la ecuación de la recta, conociendo que pasa por dos puntos: 𝐴(2,1) 𝑦 𝐵(4,7) Iniciamos buscando la pendiente (m) conociendo su fórmula Luego se tiene presente que la ecuación de la recta general es (𝑦 − 𝑦1) = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) y reemplazamos la pendiente y despejamos “y”: 𝑚 = 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 𝑚 = 7 − (1) 4 − 2 𝑚 = 6 2 = 3 Damos a conocer el valor de “𝑥” y “𝑦” en los dos puntos de las coordenadas: A: 𝑥1 = 2 y 𝑦1 = 1 B: 𝑥2 = 4 y 𝑦2 = 7 (𝑦 − 1) = 3(𝑥 − 2) 𝑦 − 1 = 3𝑥 − 6 𝑦 = 3𝑥 − 6 + 1 𝑦 = 3𝑥 − 5 Ecuación general −3𝑥 + 𝑦 + 5 = 0 Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-NC Foto elaborada en GeoGebra
  • 16. Ortiz Ceredo, F. J. Ortiz Ceredo, F. J. y Ortiz Ceredo, F. J. (2018). Matemáticas 3 (2a. ed.). Grupo Editorial Patria. https://elibro- net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/40539?page=51 Real, M. (2010). Secciones Cónicas. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7690 Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 237 – 265. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583