1. Les plans d’expériences
UNIVERSITE CADI AYYAD
FACULTE DES SCIENCES JURIDIQUES ECONOMIQUES ET SOCIALES
MARRAKECH-MAROC
MASTER : MANAGEMENT FINANCIER DES ENTREPRISES
2. Introduction
la formalisation du problème expérimental c'est-à-dire les étapes
préliminaires qui posent la problématique,
si l’analyse du problème conduit à choisir une stratégie de
construction d’un plan d’expériences alors, l’expérimentateur a
accès à deux familles de plans : les plans pour l’étude des facteurs
(plans de criblage, …) et les plans pour la modélisation des
surfaces de réponses (plans d’optimisation),
les analyses (statistiques, mathématiques et
graphiques) et les résultats (interprétations,
validations, conclusions).
3. Origine et état de l'art
POURQUOI FAIRE DES PLANS D'EXPERIENCES ?
LA RECHERCHE EXPLORATOIRE
Au tout début d’une nouvelle étude, le
chercheur ignore souvent presque tout du
phénomène qu’il va étudier. Il ignore même
parfois s’il va réussir à le produire. Il conduit
alors des expériences préliminaires destinées
à cerner un ou plusieurs domaines
expérimentaux, à s’assurer de la maîtrise du
phénomène, à choisir les grandeurs qui lui
serviront de réponses ultérieurement
4. METHODE TRADITIONNELLE DES ESSAIS - ERREURS
Demarche
L’expérimentateur tente un premier essai, en tire
des conclusions qui vont induire un deuxième
essai, et ainsi de suite, en faisant souvent varier
un seul facteur à la fois entre deux essais
consécutifs. Cette méthode traditionnelle,
appelée essais - erreurs. L’interprétation des
résultats se fait donc pas à pas, en comparant le
résultat de l’essai effectué avec un résultat
précédent, afin d’en déduire l’effet sur la réponse
du paramètre dont le niveau vient d’être modifié.
5. Limites des méthodes traditionnelles d’essais-erreurs
conduisent à des conclusions nécessitant des remises en
cause fréquentes,
impliquent une durée de campagne expérimentale
parfois longue,
donnent une connaissance très relative des influences
des facteurs,
ne permettent pas de prévoir le comportement du système
étudié pour des valeurs non testées des paramètres,
manquent un peu de formalisme, de rigueur et de méthode pour
capitaliser et valoriser l’expérience technique.
6. METHODOLOGIE DES PLANS
D'EXPERIENCES
QU'EST CE QU'UN PLAN D'EXPERIENCES ?
Les plans d’expériences constituent
essentiellement une stratégie de
planification d’expériences afin d’obtenir des
conclusions solides et adéquates de manière
efficace et économique. La méthodologie des
plans d’expériences se base sur le fait qu’une
expérience convenablement organisée,
conduira fréquemment à une analyse et à une
interprétation statistique relativement
simple des résultats (Norme ISO 3534-3).
7. Formalisation du problème
La formalisation du problème permet de rassembler
l’expérience accumulée de manière diffuse et de la
mettre dans un « moule » afin de la compléter et de la
préciser grâce à l’expérimentation. Plus cette étape de
formalisation sera établie avec soin, plus les plans
d’expériences seront fructueux.
En s’appuyant sur cette méthode, nous
allons : définir le problème, déterminer
les objectifs de l’étude et faire ressortir les
paramètres d’entrée ainsi que les
variables de sortie du système étudié.
8. Choix d'une stratégie
• L'EFFICACITE DES PLANS D'EXPERIENCES
• La méthodologie des plans d’expériences semble être une
méthode d’expérimentation avantageuse. Voyons ses
avantages par rapport aux différentes méthodes
d’expérimentations que nous avons envisagées dans le
paragraphe précédent. Pour cela, nous allons aborder cette
étude au travers d’un exemple, celui de l’étude de l’effet de 7
facteurs (X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7) pouvant prendre chacun 2
valeurs (modalités), que nous noterons -1 et +1 par convention.
9. STRATEGIE TRADITIONNELLE : « UN SEUL
FACTEUR A LA FOIS »
STRATEGIE EXHAUSTIVE : LE PLAN FACTORIEL
COMPLET
LA STRATEGIE DU PLAN FRACTIONNAIRE
ORTHOGONAL
10. CONSTRUCTION DU PLAN
D'EXPERIMENTATION
CHOIX DE LA STRATEGIE EXPERIMENTALE
le choix du plan d’expériences à mettre en œuvre
dépend du problème posé. Dans cette thèse, seuls
deux types de plans seront abordés : les plans de
criblage et les plans d’optimisation.
Les plans de criblage permettent de déterminer le
poids des facteurs sur les réponses d’un système à
partir d’un modèle.
Les plans d’optimisation ou plans à surface de réponse
permettent à partir d’un modèle mathématique
polynomial, de déterminer les valeurs des facteurs
influents correspondant à une réponse particulière du
système.
11. CHOIX DU MODELE
Pour l’ensemble des points constituant le
domaine expérimental, nous voulons connaître
la valeur de la réponse étudiée. Mais, pour des
contraintes de coût, de temps, nous ne pouvons
pas réaliser des expériences en tout point du
domaine expérimental. C’est pourquoi, nous
allons utiliser un modèle empirique, qui nous
permettra d’avoir cette information en réalisant
un minimum d’expériences [13]. Ce modèle est
de la forme générale : f(facteurs) = Réponses
12. CHOIX DE LA MATRICE
D'EXPERIENCES
« Le choix du plan d’expériences dépend de la nature des
questions à traiter, du degré de généralité recherché pour
les conclusions et des ressources disponibles » (Norme
ISO 3534-3)
13. Analyses et résultats
1. ACQUISITION PROGRESSIVE DES RESULTATS
2. ANALYSE GLOBALE DES RESULTATS D'ESSAIS
3. ANALYSE STATISTIQUE DES RESULTATS
14. Conclusion
Le gain de temps, de coût et de main d’œuvre fait de la
méthodologie des plans d’expérience un outil
incontestablement efficace pour mettre en œuvre des
expériences.
Notas del editor
Grâce au déploiement de la qualité dans les entreprises et à un accès facilité aux moyens de calcul, les plans d’expériences prennent une place plus importante. Les applications des plans d’expériences deviennent de plus en plus nombreuses. La méthodologie des plans d’expériences permet une recherche expérimentale planifiée appelée « plans d’expériences ». Elle va aider l’expérimentateur à structurer sa démarche expérimentale de manière différente, à confronter et à valider ses propres hypothèses, à mieux comprendre les phénomènes étudiés et à résoudre les problèmes.
STRATEGIE TRADITIONNELLE : « UN SEUL FACTEUR A LA FOIS »
Elle consiste à faire varier successivement chacun des facteurs à chaque expérience, tous les autres étant maintenus constants. Cela peut conduire par exemple à la matrice d’expériences du en considérant l’état de référence au numéro d’essai 1, c'est-à-dire lorsque tout les facteurs sont au niveau
-1.
STRATEGIE EXHAUSTIVE : LE PLAN FACTORIEL COMPLET
Le plan factoriel complet combine de manière exhaustive toutes les combinaisons possibles des variables avec un nombre de facteurs finis (facteurs qualitatifs). Si on considère un nombre discret de variation par facteurs, il permet d’envisager toutes les combinaisons possibles des modalités des facteurs Ntotal.
Nous allons considérer k facteurs X1, X2… Xk pouvant prendre chacun s1, s2 … si modalités différentes. Par définition, une matrice d’expériences factorielle complète est constituée de toutes les combinaisons possibles des modalités prises par chaque facteur.
LA STRATEGIE DU PLAN FRACTIONNAIRE ORTHOGONAL
Le plan fractionnaire orthogonal est une fraction judicieusement choisie du plan factoriel complet qui permet de tester un grand nombre de facteurs avec un minimum d’expériences et d’en déduire l’effet moyen de chaque facteur avec une assez bonne précision. L’analyse des résultats du plan comportant alors 8 expériences seulement.
Matrice d’expériences
Pour choisir un plan, il est important d’avoir clairement défini les questions pour trouver quels seront les moyens à mettre en œuvre pour y répondre par un plan d’expérimentation. Pour chacune des deux grandes orientations (criblage et optimisation), il existe un choix important de matrices d’expériences. Ces objets mathématiques codés permettent, après un recodage, d’obtenir un plan d’expérimentation à réaliser. Nous allons illustrer ci-dessous la notion de matrice d’expériences avec un exemple simple.
1- Il est recommandé d’avancer progressivement et de réorienter voire d’affiner les études en fonction des premiers essais réalisés. Ainsi, une première ébauche permettra de mieux choisir les nouvelles orientations à prendre pour préciser les seuls points intéressants de l’étude et pour abandonner ceux qui ne le sont pas. C’est pour cela qu’il est préconisé de procéder de manière progressive. La première série d’expériences conduit à des conclusions provisoires, ensuite on lance une nouvelle série d’essais. L’expérimentateur accumule ainsi les résultats dont il a besoin et s’arrête dès que le but est atteint. Il est également conseillé de randomiser l’ordre des essais car si le processus subit une dérive, en n’effectuant pas les essais de manière aléatoire, on va amplifier aux effets des facteurs les effets des dérives. Cette randomisation consiste à tirer au hasard l’ordre des essais pour supprimer l’influence des facteurs perturbateurs non identifiés pouvant être corrélés avec l’ordre des essais.
2-L'analyse globale des résultats d'essais consiste à analyser de manière générale les résultats du plan d’expérimentations. On peut utiliser des outils d’analyse de données (voir Partie B) pour voir l’étendue des réponses obtenues ou pour savoir s’il y a dans les expériences du plan, des expériences atypiques. Il est important de regarder si la solution optimale que l’on désirait pour une réponse n’est pas présente. Dans ce cas, il n’est pas nécessaire de continuer l’analyse puisque l’objectif est atteint.
3-Toutes les hypothèses faites en amont d’un plan d’expérimentation doivent être vérifiées pour pouvoir valider ensuite les conclusions. C’est à cette étape que le recours aux outils statistiques intervient. Nous relativiserons leur usage et nous nous contenterons de règles pragmatiques utiles à des non-spécialistes de ces méthodes. Toutefois, il est possible de se reporter à la bibliographie pour avoir des informations complètes sur l’usage des statistiques dans l’analyse des plans d’expériences. On peut estimer la qualité descriptive et prédictive des modèles obtenus. Dans tout les cas, l’utilisateur des tests statistiques est étroitement lié à la connaissance de l’écart type expérimental estimé par des essais de répétabilité.
Les valeurs expérimentales introduites dans le modèle sont entachées d’erreurs (somme d’erreurs systématiques et aléatoires) qui se transmettent aux coefficients bj du modèle puis aux valeurs calculées. Des tests statistiques permettent d’évaluer la qualité du modèle (descriptive et prédictive), sa validation (Analyse de la variance) et la significativité des coefficients (test de Student).
La mise en œuvre de tests statistiques doit permettre aux opérateurs de porter un jugement sur les résultats obtenus à savoir :
Un modèle décrivant la variation de la réponse dans le domaine expérimental
Des estimations des coefficients associés aux différents monômes du modèle
Des résidus traduisant les écarts entre les valeurs mesurées et les valeurs calculées
Nous avons vu, les différentes articulations méthodologiques des plans d’expériences. On retiendra surtout les grandes étapes de la fiche méthodologique La méthodologie des plans d’expériences ne nous donne pas d’informations sur les corrélations des réponses entre elles. Mais, chaque plan d’expériences générant des données, il sera donc possible d’utiliser ensuite des méthodes d'analyses multidimensionnelles des données telles que l'analyse en composantes principales, méthodes visant à obtenir des graphiques traduisant les corrélations entre les variables, qu'il s'agisse de facteurs ou de réponses.