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   
                                          A  B  AB cos 

                                     El resultado de multiplicar dos
             B                       vectores en producto punto es un
                                     escalar.


                                     es el menor ángulo entre A y B.
                 A
El producto punto es conmutativo.


El resultado del producto punto puede ser positivo, negativo o cero.
B
                    Si  < 90º  A·B > 0
    
            A


B                   Si  > 90º  A·B < 0
    
                A


B
                    Si  = 90º  A·B = 0

            A
iˆ  iˆ  (1)(1) cos 0 º  1        iˆ  ˆ  (1)( 1) cos 90 º  0
                                         j
ˆ  ˆ  (1)(1) cos 0 º  1
j j                                 j ˆ
                                    ˆ  k  (1)( 1) cos 90 º  0
ˆ ˆ
k  k  (1)(1) cos 0 º  1          ˆ
                                    k  iˆ  (1)( 1) cos 90 º  0

                     
                                               ˆ
                      A  A x iˆ  A y ˆ  A z k
                                       j
                     
                                              ˆ
                     B  B x iˆ  B y ˆ  B z k
                                      j

                 ¿Cuál es el resultado de A·B?
                                               
   
                             ˆ                        ˆ
A  B  A x iˆ  A y ˆ  A z k  B x iˆ  B y ˆ  B z k
                     j                        j

                                      ˆ ˆ
                    iˆ  iˆ  ˆ  ˆ  k  k  1
                              j j

                         j ˆ     ˆ
                iˆ  ˆ  ˆ  k  k  iˆ  0
                     j

               
            A B  Ax B x  A y B y  Az B z
Sean los vectores A = 2i – 3j + k y B = 3i + j + tk, determine el valor
de t para que A y B sean perpendiculares.

                               
                            A B  0

                 ( 2 )( 3)  (  3)(1)  (1)( t )  0


                                t  3
Sean los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine la medida
del ángulo entre F y L.
                              
                       F  L  FL cos 
                                             
                                        FL
                           cos  
                                        FL
                       ( 2 )( 3 )  ( 3 )(1)  (1)(  1)
          cos  
                       2  3 1               3 1 1
                           2       2    2         2   2    2



                                 49 . 9 º
Sean los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine la
proyección del vector F sobre L.
                                        
                                     F  L  FL cos 
                                                             
                                                      FL
       F                           F cos   F L 
                                                     L
                                   (2)(3)  (3)(1)  (1)(  1)
                            FL 
  
                                             3 1 1
                                             2    2       2

           L
                                         F L  2.41
 F L  F cos 
       
                                            A B  C

                                    El resultado de multiplicar dos
             B                      vectores en producto cruz es otro
                                    vector.

                                                
                                        C  A B  ABsen 
                 A
 es el menor ángulo entre A y B.
                                           Su dirección está dada por
C se encuentra en una dirección            la regla de la mano
perpendicular simultáneamente a A y B.     derecha.
C       B


                                                

             A                         B A   C


C           El producto cruz no es conmutativo.
iˆ  iˆ  (1)( 1) sen 0 º  0             ˆ
                                 iˆ  ˆ  k
                                      j                      ˆ
                                                  ˆ  iˆ   k
                                                  j
ˆ  ˆ  (1)( 1) sen 0 º  0
j j                              j ˆ
                                 ˆ  k  iˆ       ˆ j
                                                  k  ˆ   iˆ
ˆ ˆ                              ˆ
                                 k  iˆ  ˆ
                                          j            ˆ
k  k  (1)( 1) sen 0 º  0                       iˆ  k   ˆ
                                                             j

                                   
                                                            ˆ
                                   A  A x iˆ  A y ˆ  A z k
                                                    j
           k
                                   
               +
    +                                               j       ˆ
                                   B  B x iˆ  B y ˆ  B z k
                   j
      i   +
                                ¿Cuál es el resultado de AB?
                                                        
         
                                 ˆ                        ˆ
    A  B  A x iˆ  A y ˆ  A z k  B x iˆ  B y ˆ  B z k
                         j                        j

   
A  B   A y B z  A z B y iˆ   A x B z  A z B x  ˆ   A x B y  A y B x k
                                                        j                        ˆ

Este resultado es más fácil recordarlo en forma de determinante:


                                   iˆ       ˆ
                                            j       ˆ
                                                    k
                         
                     A B  A x            Ay       Az
                                  Bx       By      Bz
iˆ    ˆ
                                    j     ˆ
                                          k
                 
              A B  A x            Ay    Az
                          Bx        By    Bz


       Ay       Az           Ax    Az        Ax   Ay
A B                  iˆ                ˆ
                                          j              ˆ
                                                         k
         By       Bz           Bx    Bz        Bx   By
Interpretación geométrica del producto cruz


      B
               Bsen
  
           A
      área del paralelogramo = base  altura

      área del paralelogramo = ABsen
                                   
      área del paralelogramo = A  B
Dados los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine un
    vector perpendicular a F y L.

                                           iˆ     ˆ
                                                  j      ˆ
                                                         k
                                  
                     M  F L  2                3       1
                                           3     1      1

                                                                                     ˆ
M  [( 3 )(  1)  (1)(1)] iˆ  [( 2 )(  1)  (1)( 3 )] ˆ  [( 2 )(1)  ( 3 )( 3 )] k
                                                         j
                               
                                                   ˆ
                              M   4 iˆ  5 ˆ  7 k
                                             j
Dados los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine el área
del paralelogramo cuyos lados son iguales a las magnitudes de F y L.

                        
                                            ˆ
                       M   4 iˆ  5 ˆ  7 k
                                      j

                            
                área  M          4 5 7
                                     2    2     2




                            área  3 10
z
            3




                        A
                    B
                            4   y

                C

    5
x
Con referencia al paralelepípedo de la figura, el valor de la fuerza
resultante, esto es F1+ F2 es:
a) 73i + 62,9j - 100.5k (N)
b) 123i + 63.5j - 15.5k (N)
c) 123i + 63.5j - 100.5k (N)
d) 73i + 63.5j - 15.5k (N)
e) 73i - 63.5j - 100.5k (N)
F2 = 2F1 = 100 N
Vectores, parte 3

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Vectores, parte 3

  • 1.
  • 2.  A  B  AB cos  El resultado de multiplicar dos B vectores en producto punto es un escalar.   es el menor ángulo entre A y B. A El producto punto es conmutativo. El resultado del producto punto puede ser positivo, negativo o cero.
  • 3. B Si  < 90º  A·B > 0  A B Si  > 90º  A·B < 0  A B Si  = 90º  A·B = 0 A
  • 4. iˆ  iˆ  (1)(1) cos 0 º  1 iˆ  ˆ  (1)( 1) cos 90 º  0 j ˆ  ˆ  (1)(1) cos 0 º  1 j j j ˆ ˆ  k  (1)( 1) cos 90 º  0 ˆ ˆ k  k  (1)(1) cos 0 º  1 ˆ k  iˆ  (1)( 1) cos 90 º  0  ˆ A  A x iˆ  A y ˆ  A z k j  ˆ B  B x iˆ  B y ˆ  B z k j ¿Cuál es el resultado de A·B?
  • 5.     ˆ ˆ A  B  A x iˆ  A y ˆ  A z k  B x iˆ  B y ˆ  B z k j j ˆ ˆ iˆ  iˆ  ˆ  ˆ  k  k  1 j j j ˆ ˆ iˆ  ˆ  ˆ  k  k  iˆ  0 j   A B  Ax B x  A y B y  Az B z
  • 6. Sean los vectores A = 2i – 3j + k y B = 3i + j + tk, determine el valor de t para que A y B sean perpendiculares.   A B  0 ( 2 )( 3)  (  3)(1)  (1)( t )  0 t  3
  • 7. Sean los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine la medida del ángulo entre F y L.   F  L  FL cos    FL cos   FL ( 2 )( 3 )  ( 3 )(1)  (1)(  1) cos   2  3 1 3 1 1 2 2 2 2 2 2   49 . 9 º
  • 8. Sean los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine la proyección del vector F sobre L.   F  L  FL cos    FL F F cos   F L  L (2)(3)  (3)(1)  (1)(  1) FL   3 1 1 2 2 2 L F L  2.41 F L  F cos 
  • 9.   A B  C El resultado de multiplicar dos B vectores en producto cruz es otro vector.    C  A B  ABsen  A  es el menor ángulo entre A y B. Su dirección está dada por C se encuentra en una dirección la regla de la mano perpendicular simultáneamente a A y B. derecha.
  • 10. C B     A B A   C C El producto cruz no es conmutativo.
  • 11. iˆ  iˆ  (1)( 1) sen 0 º  0 ˆ iˆ  ˆ  k j ˆ ˆ  iˆ   k j ˆ  ˆ  (1)( 1) sen 0 º  0 j j j ˆ ˆ  k  iˆ ˆ j k  ˆ   iˆ ˆ ˆ ˆ k  iˆ  ˆ j ˆ k  k  (1)( 1) sen 0 º  0 iˆ  k   ˆ j  ˆ A  A x iˆ  A y ˆ  A z k j k  + + j ˆ B  B x iˆ  B y ˆ  B z k j i + ¿Cuál es el resultado de AB?
  • 12.      ˆ ˆ A  B  A x iˆ  A y ˆ  A z k  B x iˆ  B y ˆ  B z k j j   A  B   A y B z  A z B y iˆ   A x B z  A z B x  ˆ   A x B y  A y B x k j ˆ Este resultado es más fácil recordarlo en forma de determinante: iˆ ˆ j ˆ k   A B  A x Ay Az Bx By Bz
  • 13. ˆ j ˆ k   A B  A x Ay Az Bx By Bz   Ay Az Ax Az Ax Ay A B  iˆ  ˆ j ˆ k By Bz Bx Bz Bx By
  • 14. Interpretación geométrica del producto cruz B Bsen  A área del paralelogramo = base  altura área del paralelogramo = ABsen   área del paralelogramo = A  B
  • 15. Dados los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine un vector perpendicular a F y L. iˆ ˆ j ˆ k    M  F L  2 3 1 3 1 1  ˆ M  [( 3 )(  1)  (1)(1)] iˆ  [( 2 )(  1)  (1)( 3 )] ˆ  [( 2 )(1)  ( 3 )( 3 )] k j  ˆ M   4 iˆ  5 ˆ  7 k j
  • 16. Dados los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine el área del paralelogramo cuyos lados son iguales a las magnitudes de F y L.  ˆ M   4 iˆ  5 ˆ  7 k j  área  M  4 5 7 2 2 2 área  3 10
  • 17. z 3 A B 4 y C 5 x
  • 18. Con referencia al paralelepípedo de la figura, el valor de la fuerza resultante, esto es F1+ F2 es: a) 73i + 62,9j - 100.5k (N) b) 123i + 63.5j - 15.5k (N) c) 123i + 63.5j - 100.5k (N) d) 73i + 63.5j - 15.5k (N) e) 73i - 63.5j - 100.5k (N) F2 = 2F1 = 100 N