1. SYSTEMES A TEMPS DISCRET
Commande num´ rique des proc´ d´ s
e e e
Dimitri Peaucelle
7 avril 2003

2. 2

3. Avant-propos
Ce document est con¸ u comme un support de cours destin´ a des el`ves ing´ nieurs. Il a et´ r´ dig´ en particulier en vue
c e` ´e e ´e e e
d’un enseignement de 15 heures a l’ENSA (Ecole Nationale des Sciences Appliqu´ es) situ´ e sur le pˆ le technologique de
` e e o
l’Universit´ Ibn Zohr, Agadir, Maroc.
e
L’objectif de ce cours est d’aborder certains aspects de la commande num´ rique des syst` mes et ne se veut en aucun cas
e e
exhaustif. Les pr´ -requis concernent des aspects math´ matiques tels que la manipulation de fonctions et de suites, le calcul
e e
int´gral et les s´ ries, la transform´ e de Laplace; ainsi qu’une bonne connaissance de l’Automatique des syst` mes lin´ aires
e e e e e
a temps continu. Partant de proc´ d´ s physiques mod´ lis´ es par des fonctions de transfert en p (variable de Laplace) nous
` e e e e
aborderons successivement la mod´ lisation de syst` mes discrets et echantillonn´ s, leur analyse et pour finir la synth` se
e e ´ e e
de lois de commande num´ riques.
e
Le premier chapitre est enti` rement d´ di´ a la mod´ lisation. Il pr´ sente dans un premier temps la mod´ lisation de si-
e e e` e e e
gnaux a temps discret avant d’introduire la notion de fonction de transfert en z. Il porte une attention particuli` re aux
` e
syst` mes discrets obtenus par echantillonnage de proc´ d´ s continus et qui sont au centre de la probl´ matique de la com-
e ´ e e e
mande num´ rique.
e
Les deux chapitres suivants portent sur la description et l’analyse des comportements temporels d’un syst` me a temps
e `
discret. Le chapitre 2 commence par d´ crire et calculer les r´ ponses d’un syst` me a la donn´ e d’une entr´ e. Le chapitre
e e e ` e e
3 quant a lui, s’int´ resse a la notion primordiale en Automatique de stabilit´ . Il propose des r´ sultats th´ oriques pour
` e ` e e e
analyser cette propri´ t´ .
ee
Par la suite, deux chapitres sont consacr´ s a la synth` se de lois de commande. Le chapitre 4 consid` re le cas le plus
e ` e e
el´ mentaire d’une loi de commande statique constitu´ e de simples gains. Le chapitre 5 aborde une technique dite de
´e e
discr´ tisation. Elle consiste a transposer les m´ thodes de synth` se sp´ cifiques aux syst` mes a temps continu pour la
e ` e e e e `
commande num´ rique de syst` mes echantillonn´ s.
e e ´ e
Il est important de pr´ ciser que ce document doit beaucoup au polycopi´ de cours r´ alis´ par Bernard Pradin a l’INSA
e e e e `
de Toulouse, [9]. De plus il s’inspire d’ouvrages pr´ c´ dents tels que [1] [3] [4] [6] [7] [2] [5] [8].
e e
Toulouse, 7 avril 2003
Dimitri Peaucelle
i

4. ii

5. BIBLIOGRAPHIE iii
Bibliographie
[1] P. Borne, G. Dauphin-Tanguy, J.P. Richard, F. Rotella, and I. Zambettakis. Analyse et R´gulation des Processus
e
Industriels. Tome 1 : R´gulation continue. Technip, France, 1993.
e
[2] P. Borne, G. Dauphin-Tanguy, J.P. Richard, F. Rotella, and I. Zambettakis. Analyse et R´gulation des Processus
e
Industriels. Tome 2 : R´gulation num´ rique. Technip, France, 1993.
e e
[3] B. d’Andr´ a Novel and M. Cohen de Lara. Commande Lin´ aire des Syst` mes Dynamiques. Masson, France, 1994.
e e e
[4] E. Dieulesaint and D. Royer. Automatique Appliqu´ e : 1. Syst` mes lin´ aires de commande a signaux analogiques.
e e e `
Masson, France, 1987.
[5] E. Dieulesaint and D. Royer. Automatique Appliqu´ e : 2. Syst` mes lin´ aires de commande a signaux echantillonn es.
e e e ` ´ ´
Masson, France, 1990.
[6] R.C. Dorf and R.H. Bishop. Modern Control Systems. Addison-Wesley Publishing Company, Inc., New-York, 1995.
[7] G.F. Franklin, J. D. Powell, and A. Emami-Naeini. Feedback Control of Dynamic Systems. Addison-Wesley Publi-
shing Company, Inc., New-York, 1994.
[8] D. Jaume, S. Thelliez, and M. Verg´ . Commande des Syst` mes Dynamiques par Calculateur. Eyrolles, France, 1991.
e e
[9] B. Pradin. SYSTEMES A TEMPS DISCRET - Commande num´ rique des proc´ d´ s. INSA Toulouse, France, 1999.
e e e

6. iv BIBLIOGRAPHIE

7. Chapitre 1
e e `
Mod` les des syst` mes a temps discret
On examine ici des mod` les qui peuvent etre utilis´ s
e ˆ e continu dont les valeurs sont nulles a tout instant sauf a
` `
pour repr´ senter des syst` mes a temps discret, mono en-
e e ` certains instants p´ riodiquement r´ partis. Soit T 0 cette
e e !
tr´ e mono sortie. Dans un premier temps, ces mod` les
e e p´ riode qui peut etre quelconque a ce stade. Dans certains
e ˆ `
sont pr´ sent´ s dans leur g´ n´ ralit´ . Une attention parti-
e e e e e cas T est appel´ e la cadence du signal. Le signal a temps
e `
culi` re est ensuite port´ e aux syst` mes a temps discrets
e e e ` discret peut etre confondu par analogie avec le signal a
ˆ `
obtenus par echantillonnage, en vue de la commande par
´ temps continu suivant :
calculateur, de syst` mes a temps continu.
e ` ¢ £ " ¤ n
#$ ¨
¤ %% x t (§ '&
¦ xk si t kT : k )
t ¥ %% x t 0 sinon
`
1.1 Signal a temps discret (§ '
¦
Nous verrons par la suite que cette repr´ sentation cor-
e
1.1.1 Introduction respond a la mod´ lisation du processus d’´ chantillonnage.
` e e
L’Automatique des syst` mes a temps continu repose
e `
sur une repr´ sentation math´ matique des echanges d’´ ner-
e e ´ e 1.1.2 D´ finition de la transform´ e en z
e e
gies, de forces, d’informations en tant que fonctions du
La transform´ e de Laplace pour les signaux continus
e
temps a valeurs r´ elles (´ventuellement espace vectoriel
` e e
s’´ crit :
e
de ) : £ ¡ ¢
¢ ¤ n ∞
pt
¤ X p 032§ ¦ 10(§ ¦
4 xt xt e5 § ¦ dt
t ¥ xt § ¦ 0
Cette repr´ sentation ne tient pas compte de l’ensemble
e D` s lors, avec ce qui pr´ c` de il est possible de d´ finir la
e e e e
des r´ alit´ s des echanges de signaux rencontr´ s en pra-
e e ´ e transform´ e de Laplace d’un signal discret a la donn´ e
e ` e
tique. En particulier, l’emploi accru de calculateurs nu- d’une p´ riode T :
e
m´ riques conduit a consid´ rer des signaux, dit a temps
e ` e ` ¢ ∞
discret, qui n’admettent des valeurs qu’a certains instants pt
X p
4 32§ ¦ 6£§ ¦
x t x t e
5 § ¦ dt
r´guli` rement espac´ s. Math´ matiquement ils sont repr´ -
e e e e e 0
sent´ s par des suites :
e En ce cas, le signal X etant non nul que pour certaines
´
¨ ©¡ ¤ valeurs discr` tes du temps on trouve :
e
n
¤ ¢ ∞
k xk
∑ xk e
¥ pkT
X p
£§ ¦ 5
Sans entrer dans les d´ tails, notons que les outils math´ -
e e k 0
matiques associ´ s aux suites sont aussi riches que ceux
e C’est a partir de ce r´ sultat que la transform´ e en z des
` e e
employ´ s dans le cas de fonctions. Un grand nombre de
e signaux discrets a et´ propos´ e.
´e e
notions primordiales ont leur equivalent telles que l’in-
´
t´gration ( tT 0 ) qui correspond dans le cas de s´ quences
e e On appelle transform´ e en z de la s´ quence xk k N la
e e 7 9 8
s´ rie enti` re d´ finie par :
e e e
discr` tes a l’op´ rateur somme (∑N 0 ), et la transform´ e
e ` e k e
de Laplace ( x t § ¦
X p ) dont l’´ quivalent discret ap-
e§ ¦ ¢ ∞
pel´ e transform´ e en z ( xk
e e X z ) est d´ crite dans ce
e § ¦ X z
@0£§ ¦
7 xk 3 8 ∑ xk z 5 k
k 0
qui suit.
Il est possible sous certaines hypoth` ses de repr´ senter
e e Des exemples de transform´ es en z fr´ quemment utili-
e e
les signaux a temps discret comme des signaux a temps
` ` s´ es sont donn´ es dans le tableau 1.1 de la page 5.
e e
1

8. 2 ` ` `
CHAPITRE 1. MODELES DES SYSTEMES A TEMPS DISCRET
1.1.3 Propri´ t´ s de la transform´ e en z
ee e – Th´ or` me de la sommation
e e
Pour les signaux a temps continu on parle de th´ o-
` e
La transform´ e en z est une simple variante de la trans-
e r` me de l’int´gration et il s’´ crit :
e e e
form´ e de Laplace et elle conserve ses propri´ t´ s a quelques
e ee `
t 1
modifications pr` s. Voici les principales propri´ t´ s :
e ee
4 U
T f τ dτ§ ¦ WV F p § ¦
0 p
– Lin´ arit´
e e
Pour les signaux a temps continu on rappelle que :
` Pour les signaux a temps discret on a :
`
αf t A B§ ¦ βg t C2§ ¦
α f t
C2§ ¦
A β gt
2§ ¦
k
z z
De mˆ me, on a pour la transform´ e en z :
e e
aY
`X ∑ fl db
c z G 1
Q1
7 fk 8
z G 1
F z
§ ¦
l 0
7 1
α fk A 8 β gk7 8 α @
7 fk A C 8 β @
7 gk 8
– Th´ or` me de la valeur initiale
e e
La valeur initiale d’un signal a temps continu se d´ -
` e
– Produit de convolution
duit de sa transform´ e de Laplace comme suit :
e
La transform´ e de Laplace du produit de convolu-
e
tion f g t d´ fini par :
§ E§ D ¦
¦ e f 0 (§ ¦ lim f t g§ ¦ lim pF p § ¦
t f e 0 p ∞ e
t t
f g t
4 F§ E§ D ¦
¦ f τ gt
G ¦ § ¦ τ dτ
§ 4 f t G ¦ τ g τ dτ
§ ¦ § La version discr` te de ce th´ or` me est donn´ e par :
e e e e
0 0
est donn´ e par :
e f0 lim F z § ¦
z e ∞
32§ E§ D H
¦ ¦ f g t F p G p
§ ¦ § ¦
Dans le cas des signaux a temps discret la convolu-
` – Th´ or` me de la valeur finale
e e
tion se d´ finit par :
e Si pF p est une fraction rationnelle dont les racines
§ ¦
du d´ nominateur sont a partie r´ elle n´gative alors le
e ` e e
¤
k k signal f t converge pour t
§ ¦ ∞ et on a : A
f g
§ D ¦ k ∑ f l gk 5
l ∑ fk 5 l gl
l 0 l 0 lim f t (§ ¦ lim p F p § ¦
t e ∞ p 0 e
et sa transform´ e en z est :
e
De mˆ me, si z z 1 F z est une fraction rationnelle
e 5 § ¦
F 8 D @1
7 f g k F z Gz
§ ¦ § ¦ dont les racines du d´ nominateur sont dans le cercle
e
¤
unit´ alors le signal f k converge pour r
e ∞ et on A
– Th´ or` me du retard
e e a:
On d´ signe par f t a le signal identique a f t
e ` G ¦ § § ¦ z 1 G
lim f k lim F z § ¦
mais retard´ de la dur´ e a. On a :
e e k ∞ z 1 z e e
ap ap
G ¦
f t a F2§
e 5 § ¦ 1
f t e 5 F p§ ¦
1.1.4 Exemples de transform´ es en z
e
De mˆ me, si f k l est le signal a temps discret f k re-
e `
tard´ de l p´ riodes :
e e
5 Exemple 1.1
Soit le signal discret tel que :
@
7 fk 8 5 z l
@ 5
7 fk 3 8 z lF z § ¦
l 5
δ0 1 i Uh k p 0 δk 0
1
Ce r´ sultat permet de signaler que l’op´ rateur z
e e 5
s’apparente a l’op´ rateur “retard d’une p´ riode”.
` e e Le calcul de sa transform´ e en z est relativement direct.
e
En appliquant la d´ finition on trouve :
e
– Th´ or` me de l’avance
e e ¢ ∞
∑ δk z
Si f k l correspond au signal f k avanc´ de l p´ riodes
¢ e e
Q1
7 δk 3 8 5 k
δ0 z0 1
et tel que f j 0 pour tout j 0, alors on a la relation
I k 0
suivante :
Remarque : Le signal δk d´ finit ici est usuellement d´ si-
e e
@
7 fk 3 8 ¢
l zl Q1 P
7 fk G R 8 ∑l 0 f i z i
i
1
5 S 5 gn´ sous l’appellation de l’impulsion unitaire ou encore
e
dirac. Sa transform´ e en z vaut 1.
e q

9. ´ ´
1.2. SIGNAL ECHANTILLONNE 3
Exemple 1.2 l’´ nonc´ du th´ or` me de la valeur finale. En effet, z z 1 F z
e e e e 5 ‚§ ¦
z 1
A partir de l’exemple pr´ c´ dent et des propri´ t´ s de la
e e ee z a est une fraction rationnelle dont la racine unique du
5
transform´ e en z les relations suivantes sont obtenues.
e
5
d´ nominateur est a. Dire que cette racine est dans le disque
e
Premi` rement consid´ rons le dirac retard´ :
e e e unit´ reviens a a
e ` I 1. La limite de la suite se calcule
ƒ 
alors comme suit :
fh 1 i rh k p h fk 0
z G 1
lim ak lim 0
On remarque que f k δk h, donc d’apr` s le th´ or` me du
e e e k ¢ e ∞ z e 1z G a
retard :
5
q
@
7 fk Q103 8
7 δk F 8 5
h z h
Q1 5
7 δk 3 8 z 5 h
Consid´ rons maintenant un signal du type echelon :
e ´
´
1.2 Signal echantillonn´
e
i k s 0 ek 1
1.2.1 Introduction
On remarque que ek ∑k
j 0 δk , donc d’apr` s le th´ or` me
e e e
de la sommation : Ce cours s’intitule “Commande Num´ rique des Proc´ -
e e
k d´ s” car l’objet principal concerne l’utilisation de calcu-
e
z z
@
7 ek @tF 8
7 ∑ δk 8
z G 1
@
7 δk 3 8
z G 1
lateurs num´ riques utilis´ s en temps r´ el pour comman-
e e e
j 0 der, piloter, guider... des proc´ d´ s physiques qui par es-
e e
sence sont le plus souvent a temps continu. La probl´ -
` e
Prenons en suivant le signal du type rampe :
matique est alors de repr´ senter les interactions entre des
e
i k s 0 rk k signaux physiques mod´ lis´ s par des fonctions avec des
e e
signaux assimilables par des calculateurs num´ riques qui
e
Il est possible de constater que rk ek ∑k 0 ek , donc
j G r A se pr´ sentent sous forme de suites.
e
en combinant la lin´ arit´ de la transform´ e en z et le th´ o-
e e e e Sans entrer dans les d´ tails du fonctionnement des dif-
e
r` me de la sommation on trouve :
e f´ rents el´ ments, la commande par calculateur, ou pro-
e ´e
k cesseur, d’un proc´ d´ n´ cessite la mise en œuvre d’un
e e e
Q1
7 rk @1wvu 8
7 G ek @x' 8
7 A ∑ ek 8 certain nombre d’´ l´ ments (figure 1.1) :
ee
j 0
z
@1wv
7 G ek A ' 8 @1
7 ek 8 – un actionneur, ou organe de commande qui re¸ oit
c
z
G 1 les ordres du processeur a travers un convertisseur
`
z
yr
G¦ 1 A @y§
7 ek 8 num´ rique-analogique,
e
z 1 G
1
ek @
7 8
z 1 G – un capteur, ou organe de mesure qui transmet au pro-
z cesseur les informations recueillies sur le proc´ d´ , a
e e `
z 12
G ¦ § travers un convertisseur analogique-num´ rique.
e
q
Exemple 1.3 Consid´ rons le signal suivant :
e Action- u t § ¦ yt
§ ¦
Proc´ d´
e e Capteur
neur
i k s 0 fk ak
Par d´ finition, sa transform´ e en z se calcule comme suit :
e e
¢ ∞ ¢ ∞ ¢ ∞ CAN
CNA
@1
7 fk 8 ∑ fk z 5 k
∑ ak z k
5 ∑ a z
§ € ¦ k
uk yk
k 0 k 0 k 0
Processeur
Il s’agit d’une s´ rie g´ om´ trique connue :
e e e
1 z
F z @0(§ ¦
7 fk F 8
1 a z G € z G a F IG . 1.1 – Structure g´ n´ rale d’une commande de pro-
e e
c´ d´ par calculateur
e e
La limite de la suite ak est tr` s bien connue. Elle existe
e
uniquement si a 1. Cette condition correspond bien a
I C  `

10. 4 ` ` `
CHAPITRE 1. MODELES DES SYSTEMES A TEMPS DISCRET
1.2.2 Conversion analogique num´ rique
e 1.2.3 Conversion num´ rique analogique
e
D’un point de vue mod´ lisation, l’ensemble capteur
e Le processeur calculant la commande a appliquer au
`
convertisseur analogique-num´ rique peut etre assimil´ a
e ˆ e` proc´ d´ travaille de mani` re s´ quentielle et g´ n` re des
e e e e e e
une prise d’´ chantillons de la sortie continue y t a p´ -
e ` e § ¦ valeurs num´ riques uk avec la mˆ me p´ riode T que celle
e e e
riode fixe T (p´ riode d’´ chantillonnage ). Si l’on fait l’hy-
e e qui a et´ choisie pour l’´ chantillonnage. L’op´ ration de
´e e e
poth` se que le temps de codage est n´gligeable (´ chan-
e e e conversion num´ rique-analogique la plus courante consiste
e
tillonnage instantan´ ) et qu’il n’y a pas d’erreur de quan-
e a produire un signal de commande u t en escalier a partir
` ` § ¦
tification, on peut repr´ senter l’op´ ration de conversion
e e des valeurs uk selon le sch´ ma de la figure 1.3.
e
analogique-num´ rique selon le le sch´ ma de la figure 1.2.
e e
uk ut
§ ¦
yt
§ ¦ yk
uk ut § ¦
yt§ ¦ yk B0 p
§ ¦
T
0 1 2 k CNA 0 1 2 k
0 t CAN 0 1 2 k
F IG . 1.3 – Convertisseur num´ rique-analogique
e
F IG . 1.2 – Convertisseur analogique-num´ rique
e
Le mod` le math´ matique que l’on associe alors a la
e e `
Math´ matiquement, l’op´ ration d’´ chantillonnage peut
e e e conversion num´ rique analogique est le bloqueur d’ordre
e
etre assimil´ e a la modulation du signal continu y t par
ˆ e ` § ¦ z´ ro dont la fonction de transfert B0 p peut etre facile-
e ˆ § ¦
un train d’impulsions unitaires de p´ riode T not´ δT (par-
e e ment calcul´ e. En effet, c’est la transform´ e de Laplace
e e
fois appel´ egalement peigne de Dirac) :
e´ de sa r´ ponse impulsionnelle repr´ sent´ e sur la figure 1.4.
e e e
¢ ∞
y t
(§ ¦ y t δT t§ ¦ § ¦ δT t (§ ¦ ∑δ t G ¦ kT § δt
§ ¦
k 0
Il vient : 1 1
¢ ∞ ¢ ∞ B0 p § ¦
y t
(§ ¦ ∑y t δt
G ¦ § ¦ kT (§ ∑ yk δ t G ¦ kT §
k 0 k 0
0 t CNA 0 T t
o` y t est un signal a temps continu egal a y t aux
u § '
¦ ` ´ ` § ¦
instants t kT et z´ ro ailleurs et o` yk y kT est la
e u ¦ § F IG . 1.4 – Bloqueur d’ordre z´ ro
e
valeur de l’´ chantillon de y t a l’instant kT . Le signal
e ` § ¦
echantillonn´ est repr´ sent´ par la s´ quence des valeurs
´ e e e e La r´ ponse impulsionnelle du bloqueur d’ordre z´ ro
e e
y kT mesur´ es avec la p´ riode T :
¦ § e e est de la forme :
y kT yk
Γt Γt
¦ 7 7 …8 §
„ 8 G F§ ¦ G ¦ T §
L’´ chantillonnage conduit a une perte d’information au
e `
o` Γ t repr´ sente l’´ chelon de position unitaire. Il vient
u § ¦ e e
regard du signal continu. Cette perte d’information est
donc :
d’autant plus grande que la fr´ quence f 1 T est pe-
e € 1 e Tp 1 e Tp
5 G 5
tite. Id´ alement il faudrait donc echantillonner a une fr´ -
e ´ ` e B0 p (§ ¦ G
p p p
quence infinie, cependant, le choix de la p´ riode d’´ chan-
e e
tillonnage d´ pend du type de proc´ d´ et des possibilit´ s
e e e e
offertes par les outils num´ riques. En tout etat de cause,
e ´
l’´ chantillonnage doit respecter le th´ or` me de Shannon
e e e
qui pr´ cise que la fr´ quence d’´ chantillonnage f 1 T
e e e €
doit etre au moins egale a deux fois la plus grande fr´ -
ˆ ´ ` e
quence contenue dans le spectre du signal que l’on veut
echantillonner.
´
Le tableau 1.1 de la page 5 donne une collection de
signaux continus classiques ainsi que leurs transform´ ese
de Laplace et leurs repr´ sentations apr` s echantillonnage.
e e ´

11. ´ ´
1.2. SIGNAL ECHANTILLONNE 5
Transform´ e de Laplace
e Signal continu Signal echantillonn´
´ e Transform´ e en z
e
F p
§ ¦ 0(§ ¦
f t f t § ¦ fk F z 1t†§ ¦
fk
1 δt § ¦ f0 1 i Uh k p 0 fk 0 1
e 5 ap δt G ¦ a §
e 5 hT p δt G ¦ hT § fh 1 i Uh k p h fk 0 z 5 h
1 z
Γt § ¦ 1
p z G 1
1 z
t kT T
p2 z
G ¦ 1 § 2
2 zz 1
A ¦ §
t2 k2 T 2 T2
p3 z 13
§ G ¦
1 at akT z
e 5 e 5 aT
p A a z G e 5
1 T ze aT
te at kTe akT 5
2 5 5 aT 2
p
A ¦ a § z e
G ¦ 5 §
b a G ze aT e bT
e at G e bt e akT G e bkT 5 ¦ G 5 §
5 5 5 5 aT bT
p a p b
A ¦ A E§
¦ § z e
5 G ¦ G ‡§
¦ z e 5 §
z
ak
z G a
k z
§ y¦
G a
z A a
a at akT z 1 e aT
G ¦ 5 §
1 G e 5 1 G e 5 aT
p p a
A ¦ § z 1 z e
G ¦‡§ G ¦ 5 §
ω z sin ωT
sin ωt sin ωkT
p2 A ω2 z2 G 2z cos ωT A 1
p z z cos ωT
G ¦ §
cos ωt cos ωkT
p2 A ω2 z2 G 2z cos ωT 1 A
TAB . 1.1 – Signaux echantillonn es et leurs transform´ es de Laplace
´ ´ e