raiz cuadrada de 5

1. Raíz cuadrada de 5 1
Raíz cuadrada de 5
La raíz cuadrada de 5 es el número real positivo que, cuando es multiplicado por sí mismo, da el número primo 5.
Este número es notable en parte porque aparece en la fórmula para el número áureo. Puede ser denotado como:
La raíz cuadrada de 5 es un número irracional algebraico.
[1]
Valor numérico
Los primeros sesenta dígitos significativos de su extensión decimal son:
2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089 21345 6574 88995 90000.
(secuencia nº A002163 del OEIS).
El cual puede ser redondeado a 2.236 con una exactitud dentro del 99.99%. En abril de 1994, su valor numérico en
decimal había sido computado por lo menos a un millón de dígitos.
[2]
Como fracción continua
Puede ser expresado como la fracción continua [2; 4, 4, 4, 4, 4…]. La secuencia de la mayor aproximación racional
es:
Las convergentes de la fracción continua están coloreadas; sus numeradores tienen la secuencia nº A001077 del
OEIS y sus denominadores tienen la secuencia nº A001076 del OEIS. Los otros términos no coloreados son
semiconvergentes.
Cuando es computado con el método babilónico, comenzando con r
0
= 2 y usando r
n+1
= (r
n
+ 5/r
n
) / 2, el nth
aproximado r
n
es igual a la 2
n
-th converge de la secuencia convergente:

2. Raíz cuadrada de 5 2
Relación del número áureo y la sucesión de Fibonacci
La diagonal √5/2 de un medio cuadrado (el que
tienen como medida sus lados 1 y 0.5) forman la
base para la construcción geométrica del
rectángulo áureo.
El número áureo φ es la media aritmética de 1 y la raíz cuadrada de
5.
[3]
La relación algebraica entre la raíz cuadrada de 5, el número áureo
y el número áureo conjugado (Φ = 1/φ = φ − 1) son expresados en las
fórmulas siguientes:
(Véase la sección abajo para su interpretación geométrica como
descomposiciones de un rectángulo raíz-5.)
La raíz cuadrada de 5 entonces calcula naturalmente en la expresión
cerrada para los sucesión de Fibonacci, un fórmula de la forma que se
escriba generalmente en términos del número áureo:
Geometría
Geométricamente, la raíz cuadrada de 5 corresponde a la diagonal de un rectángulo cuyos lados tengan una longitud
de 1 y 2, o a la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos sean 1 y 2, cumo se puede comprobar con el teorema de
Pitágoras. Tal rectángulo puede ser obtenido partiendo en dos un cuadrado, o poniendo dos cuadrados iguales juntos.
Junto con la relación algebraica entre √5 y φ, esto forma la base para la construcción geométrica del rectángulo
áureo de un cuadrado, y para la construcción de un pentágono regular dado su lado (puesto que el cociente
lado-a-diagonal en un pentágono regular es φ).
Formando un ángulo recto diedro con los dos cuadrados iguales que parten en dos un rectángulo de 1:2, puede ser
visto que √5 corresponde también al cociente entre la longitud de un borde del cubo y la distancia más corta a uno de
sus vértices del opuesto uno, al atravesar la superficie del cubo (la distancia más corta cuando se atraviesa a través
del interior del cubo, corresponde a la longitud de la diagonal del cubo, que es la raíz cuadrada de 3 veces el borde).
El número √5 puede estar algebraica y geométricamente relacionado con la raíz cuadrada de dos y la raíz cuadrada
de tres, como la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de medida √2 y √3, probándolo otra
vez el teorema de Pitágoras con:
;
;
;
Los triángulos rectángulos de tales proporciones se pueden encontrar dentro de un cubo: los lados de cualquier
triángulo definido por el punto de centro de un cubo, una de esos vértices, y el punto medio de un lado situado en
una las caras que contienen ese vértice y frente a ella, están en el cociente √2:√3:√5. Esto sigue de las relaciones
geométricas entre un cubo y las cantidades √2 (cociente borde-a-cara-diagonal, o la distancia entre los bordes
opuestos), √3 (cociente borde-a-cubo-diagonal) y √5 (la relación mencionada arriba).

3. Raíz cuadrada de 5 3
Un rectángulo con las proporciones 1:√5 de lado se llama un rectángulo raíz-cinco y es parte de la serie de
rectángulos dinámicos, con su base en √1 (= 1), √2, √3, √4 (= 2), √5… y así sucesivamente se construyen usando la
diagonal del rectángulo anterior de la raíz, a partir de un cuadrado.
[4]
Un rectángulo raíz-5 es particularmente notable
en que puede estar partido en un cuadrado y dos rectángulos áureos iguales (de dimensiones Φ × 1), o en dos
rectángulos áureos de diversos tamaños (de dimensiones Φ × 1 y 1 × φ).
[5]
Puede también ser descompuesto como la
unión de dos rectángulos áureos iguales (de dimensiones 1 × φ) cuya intersección forme un cuadrado. Todo esto
puede ser visto como la interpretación geométrica de las relaciones algebraicas entre √5, φ y Φ mencionados arriba.
El rectángulo raíz-5 se puede construir con un rectángulo de 1:2 (el rectángulo raíz-4), o directamente de un
cuadrado de una forma similar al que está para el rectángulo áureo demostrado en la ilustración, pero extender el
arco de la longitud a ambos lados.
Trigonometría
Como √2 y √3, la raíz cuadrada de cinco aparece extensivamente en las fórmulas para las constantes trigonométricas
exactas, y como tal el cómputo de su valor es importante para generar tablas trigonométricas. Puesto que √5 está
geométricamente ligada a los semi-cuadrados y a los pentágonos, también aparece con frecuencia en los fórmulas
para las características geométricas de las figuras derivadas de ellas, por ejemplo en el fórmula para el volumen de
un dodecaedro.
Aproximación diofántica
El teorema de Hurwitz en aproximación diofántica indica que cada número irracional x se puede aproximar mediante
infinitos números racionales m/n expresados en forma irreducible de una manera tal que
y ese √5 es el mejor posible, en el sentido que para cualquier constante más grande que √5, hay algunos números
irracionales x para los cuales solo es posible un número finito de tales aproximaciones existentes.
[6]
Se relaciona de cerca con esto el teorema
[]
que de alguna de las tres convergentes consecutivas p
i
/q
i
, p
i+1
/q
i+1
,
p
i+2
/q
i+2
, de un α del número, por lo menos una de las tres inecuaciones tiene:
Y la √5 en el denominador es la mejor posible vinculación, puesto que las convergentes del número áureo se
diferencian en el lado izquierdo arbitrariamente cerca del valor en el lado derecho. En particularmente, uno no puede
obtener un límite vinculativo considerando secuencias de cuatro o más convergentes consecutivas.
[]
Álgebra
El anillo contiene los números de forma , donde a y b enteros. Este anillo es un ejemplo con
frecuencia citado de un anillo conmutativo que no sea un dominio de factorización única. El número 6 tiene dos
factorizaciones no equivalentes dentro de este anillo:
Identidades de Ramanujan
La raíz cuadrada de 5 aparece en las varias identidades de Ramanujan que implican fracciones continuas de
Rogers-Ramanujan.
[7][8]
Por ejemplo:

4. Raíz cuadrada de 5 4
Distintas expresiones
Binario: 10.0011110001101111...
Decimal: 2.23606797749978969...
Hexadecimal: 2.3C6EF372FE94F82C...
Fracción continua:
Notas
[1] Dauben, Joseph W. (June 1983) Scientific American Georg Cantor and the origins of transfinite set theory. Volumen 248; Pág 122.
[2] R. Nemiroff and J. Bonnell: El primer millón de dígitos de la raíz cuadrada de 5 (http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/sqrt5.
1mil)
[3] Browne, Malcolm W. (July 30, 1985) New York Times Puzzling Crystals Plunge Scientists into Uncertainty. Sección: C; Pág 1. (Nota – este
es un artículo extensamente citado).
[4] Geometry of Design: Studies in Proportion and Composition (http://books.google.com/books?id=1KI0JVuWYGkC&pg=PA41&
ots=8ZNc5ZKfTG&dq=intitle:"Geometry+of+Design"+"root+5"&sig=YitS7tv3b4_r87coR4s7EcjL4kk),Kimberly Elam, New York,
Princeton Architectural Press, 2001, ISBN 1-56898-249-6
[5] The Elements of Dynamic Symmetry (http://books.google.com/books?id=VYJK2F-dh2oC&pg=PA26&ots=MqxrsVLmIH&dq="root+
five+rectangle"++section+inauthor:hambidge&sig=meu0juFja5gpsjHKk_gG1stMbYo#PPA27,M1), Jay Hambidge, Courier Dover
Publications, 1967, ISBN 0-486-21776-0
[6] LeVeque, William Judson, 1956, Topics in number theory, Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass, Mathematical Reviews
0080682 (http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0080682)

5. Raíz cuadrada de 5 5
[7] Ramanathan K. G., 1984, On the Rogers-Ramanujan continued fraction, Indian Academy of Sciences. Proceedings. Mathematical Sciences
volumen 93, cuestión 2 y págs de la 67 a la 77, Mathematical Reviews 813071 (http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=813071),
ISSN 0253-4142
[8] Eric W. Weisstein, Fracciones continuas de Ramanujan (http://mathworld.wolfram.com/RamanujanContinuedFractions.html)] en
MathWorld

6. Fuentes y contribuyentes del artículo 6
Fuentes y contribuyentes del artículo
Raíz cuadrada de 5 Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=66152409 Contribuyentes: Alexandrosas, Diegusjaimes, Espilas, GermanX, Jerowiki, Jkbw, KanTagoff, Magister
Mathematicae, R. J. Mathar, Raulshc, 20 ediciones anónimas
Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes
Archivo:Golden Rectangle Construction.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Golden_Rectangle_Construction.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Joel
Holdsworth (Joelholdsworth)
Licencia
Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
//creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/