INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

1. Universidad Técnica Del Norte
Historia de las Ecuaciones Diferenciales
UTN
INGENIERIATEXTIL

2. Newton
(1642 – 1727)
Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias surgen prácticamente
con la aparición del Calculo. Durante la celebre polémica
entre Newton y Leibniz la historia registra que Newton
comunica a Leibniz el siguiente Anagrama:
Esto en latín quiere decir: «Data
Aequetione quotcunque fluentes
quantitaes involvente fluxiones invenire
et viceversa» o bien « Dada una
Ecuación con cantidades fluentes ,
determinar las Fluxiones y Viceversa»
6ª cc d ae 13e ff 7i el 9n 4o 4q rr 4s 9t
12v x
¿ ?
Leibniz
(1646 – 1746)

3. El termino «Aequatio Differentiali»
fue usado primeramente por Leibniz
en 1679 para denotar una relación
entre las diferenciales dx y dy y dos
variables x e y, esta concepción llega
a conservarse hasta los tiempos de
Euler (en los años 1768 – 1770).
Ecuaciones Diferenciales
Leibniz (1646 – 1746)

4. Sin embargo, otros investigadores afirman que la fecha
de aparición de las ecuaciones diferenciales es el 11 de
Noviembre de 1675, cuando Leibniz escribió la siguiente
Ecuación:
 
2
2
y
ydy
Se dice por tanto que no fue que resolvió una ecuación
diferencial en ese entonces, sino que fue un acto donde
se vio Leibniz ideando el signo de la Integral.

5. El problema de la integración de
Ecuaciones Diferenciales se
presentaba como parte de un
problema mas general: el problema
inverso del análisis infinitesimal.
Al principio la atención se
enfocaba solo a la solución
de ecuaciones diferenciales
de primer orden.
Para reducir el problema a la búsqueda de las funciones
primitivas, los creadores del análisis tendían a separar las
variables en cada ecuación diferencial, al parecer,
históricamente este fue el primer método para resolver
ecuaciones diferenciales.

6. Primera clasificación de las ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer
orden (en el lenguaje de Fluxiones:
 El primer tipo estaba compuesto por aquellas ecuaciones en las
cuales dos fluxiones x’, y’ y un fluente x o y estaban relacionadas,
por ejemplo:
 El segundo tipo abarco ecuaciones que involucraban dos fluxiones y
dos fluentes, por ejemplo:
 Finalmente el tercer tipo referido a ecuaciones que involucran mas
de dos fluxiones, las cuales en la actualidad conducen a ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales.
)(´
´
xfy
x
 )(
dy
dx
o)( yfxf
dx
dy

),(´
´
yxfy
x

Newton (1642 – 1727)

7. En la ultima década del siglo XVII los
hermanos Bernoulli (James y Johan)
introducen términos como el de «Integrar
una Ecuación Diferencial» asimismo
formalizan el proceso de Separación de
Variables («Separatio indeterminatarum»
para resolver Ecuaciones Diferenciales.James Bernoulli
(1662 – 1715)
Johannes Bernoulli
(1667 – 1748)

8. En 1692 Johan Bernoulli formula otro
método utilizado en una serie de
problemas, «La Multiplicación por un
Factor Integrante»
Johannes Bernoulli
(1667 – 1748)
En 1724 el matemático italiano J. F. Riccatti (1676 –
1754) estudio la ecuación:
Determinando la integrabilidad en funciones
elementales de esta, de aquí que lleve su nombre,
denominación extendida a todas las ecuaciones del
tipo:
)constantesba,,(con2

bxay
dx
dy

)ConstantesFuncionesRQ,,(con)()()(´ 2
PxRyxQyxPy J. F. Riccatti
(1676– 1754)

9. En 1768 publica su obra «Institutiones»,
siendo esta primera teoría de las
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
Método de series de
potencias para resolver
ecuaciones diferenciales
de la forma:
0´´  yaxy n
Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias
Segundo
Orden
Orden
Superior´´y
Primer
Orden
Separables
Homogéneas
Lineales
Exactas
Reducibles
de Orden
Lineales
Leonard Euler
1707 – 1783

10. Solución general de una
Ecuación Diferencial No
Homogénea
D´ALembert (1766)
Una cierta solución particular
+ la solución general de la
correspondiente ecuación
homogénea.
Principio de Superposición
Variación de Parámetros ( 1774)
Lagrange
(1736 – 1813)

11. A principios del siglo XIX se desarrollo una fase en la que
se trataba de demostrar algunos hechos dados por validos
en el siglo anterior.
En 1820 Cauchy Prueba la existencia de
soluciones de la Ecuación diferencial
),(´ ytfy 
En 1890 Picard estableció un método de
aproximaciones sucesivas que permite
establecer con precisión el teorema de
existencia y unicidad de las ecuaciones
diferenciales de orden n.

12. El estudio de ciertos de sistemas
físicos dio origen al problema de
investigar las propiedades de las
soluciones de una ecuación
diferencial a partir de su
«Propia Expresión» dando lugar
con ello a la Teoría Cualitativa
de las ecuaciones Diferenciales
en la segunda mitad del siglo
XIX, esto marca la ultima fase
del desarrollo de la teoría sobre
las Ecuaciones Diferenciales que
Transcurre hasta nuestros días.
J. H. Poncaire
1854 - 1912
Alexander Liapunov
1857 - 1918

13. Protocolo que debía seguir todo descubrimiento
Matemático en el Siglo XVIII
 Cada concepto Matemático debía ser explícitamente
definido en términos de otros conceptos cuya naturaleza
era suficientemente conocida.
 Las pruebas de los teoremas debían ser justificadas en
cada una de sus etapa, o bien, por un teorema
anteriormente probado.
 Las definiciones y axiomas escogidos debían ser
suficientemente amplios para cubrir los resultados ya
existentes.
 La intuición (Geométrica o Física) no era un criterio valido
para desarrollar una prueba matemática.

14. Conclusiones
 Gran parte de la teoría de las ecuaciones diferenciales fue
desarrollada a lo largo de tres siglos, desde finales del siglo
XVII hasta principios del siglo XIX.
En aquella época, casi todos los problemas del calculo
surgían de la necesidad de matematizar algún fenómeno
físico.
El calculo encontraba cada día nuevas aplicaciones en la
mecánica y las astronomía.
El problema de la fundamentación del Calculo Diferencial se
hizo cada vez mas actual, tanto que llego a ser el problema
de mayor importancia para el siglo XVIII.

15. Conclusiones
Incorrecta Comprensión del Concepto de Diferencial el
cual hasta el siglo XVIII se confundía con el incremento.
 Insuficiente Comprensión del concepto de función, solo
hasta finales del siglo XIX se entendieron por
fundamentación solo las funciones analíticas.
 Ausencia de un concepto claro del limite: se mantuvo una
larga discusión sobre si la variable alcanzaba o no el
limite.
El concepto de continuidad funcional era intuitivo: para
los matemáticos del siglo XVIII todas las funciones eran
continuas.
 Concepto Difuso de la integral definida por la ausencia
de un teorema de existencia.

16. Fuentes Consultadas
 Napoles, Juan y Segura, Carlos. «Historia de las Ecuaciones
Diferenciales» Revista Electrónica. Universidad de la Cuenca del
Plata. Argentina. Año 3, Numero 2. Octubre 2002. Disponible en:
Http://www.uaq.mx/matematicas/redm/
 Benitez, Julio. «El Pensamiento Matemático: de la antigüedad a
nuestros días». Universidad Politécnica de Valencia. Febrero de
2008.
 Vera, Francisco. «20 Matematicos Celebres». Buenos Aires.
Noviembre de 1959. Disponible en:
Http://www.sectormatematica.cl/libros/