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Actividad complementaria sobre ecuaciones
funcionales.
Ecuaci´on funcional de Niels Henrik Abel
Ecuaciones diferenciales ordinarias.
Grado en Matem´aticas
Segundo curso
Adil Ziani
adil.ziani @um.es
05/04/2015
1
´Indice
1. Introducci´on 3
2. Sobre Abel 3
3. Sobre la Ecuaci´on funcional de Abel 4
3.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2. Condici´on necesaria y suficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3. M´etodo de Abel para obter la soluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2
1. Introducci´on
En esta actividad trataremos la ecuaci´on funcional de Abel, y responderemos a las preguntas
naturales: ¿cu´ando tendr´a soluci´on?, en caso de tener soluci´on, ¿esta es ´unica?. Sin olvidarnos
de dar un ejemplo y unas breves notas sobre el autor.
2. Sobre Abel
Figura 1: Niels Henrik Abel, painting by Johan Gorbitz, 1826
Niels Henrik Abel Naci´o el 5 de Agosto de 1802 en Frindoe (junto a Stavanger), Noruega y
muri´o el 6 de Abril de 1829 en Froland, Noruega.
Abel nacio en una ´epoca de guerras a causa de las cuales Noruega quedo bloqueada por parte de
Inglaterra impediendo as´ı sus exportaciones al exterior lo que causo fuertes problemas econ´omi-
cos al pa´ıs y sumi´o a sus habitantes en una hambura y pobreza exptrema. A˜nadiendo a esta
desastrosa situaci´on las aficciones del padre a la bebida hizo que la familia de Abel est´e sufriendo
problemas econ´omicos. A´un las dificultades, Abel logro asombrosos resultados matem´aticos lo
que nos muestra las enormes capacidades del joven que ira mejorando en su corta vida.
A los 13 a˜nos Abel fue env´ıado a la Escuela de la Catedral de Cristianiza (hoy Oslo). All´ı,
su maestro le anim´o a leer los trabajos de Euler, Newton, Lalande y d’Alembert.Posteriormente
su profesor,Bernt Holmboe, le animo a leer los trabajos de Lagrange y Laplace. Holmboe ayu-
dar´a a Abel no solo en lo acad´emico sino tambi´en en lo pesonal, pues tras la muerte del padre
de Abel, la familia se quedo sin recursos econ´omicos para mantenrse y Abel ten´ıa que dejar sus
3
estudios, sin embargo, las ayudas de Holmboe le permitier´on no abandonar los estudios, un a˜no
m´as tarde Holmboe consique para Abel una beca para ir a la Universidad de Christiania, Abel
logro graduarse al a˜no siguiente.
Con 19 a˜nos Abel presenta su primer trabajo de matem´aticas, trataba sobre la ecuaci´on del
quinto grado. Holmboe y Hansteen(amigo de Halmboe en Christiania que ayudo a Abel durante
su instancia en la Universidad de Christiania) enviaron el resultado a Ferdinand Degen para
que lo revisara. Este pidi´o a Abel un ejemplo y mientras lo preparaba se dio cuenta que su
demostraci´on ten´ıa un fallo. En 1823 Abel hizo su primera publicaci´on que trataba sobre las
integrales definidas y que inclu´ıa la primera soluci´on de una ecuaci´on integral.
Abel solicit´o una beca para hacer una visita a grandes matem´aticos de su ´epoca, mientras
aprend´ıa frances y aleman para poder recibir la beca demostr´o que no era posible resolver la
ecuaci´on qu´ıntica por radicales. A los 23 a˜nos Abel consigui´o la beca y comenzo su viaje, en este
viaje conocio a Crelle quien fue un amigo para Abel quien le public´o sus trabajos en su revista.
Abel pretend´ıa en su viaje conocer a los grandes matem´aticos franceses y alemanes, sin embargo
no fue tan favoricido en ello. En 1826 regreso de su viaje a Berlin sin apenas dinero,s´olo com´ıa
una vez al d´ıa y eso junto al intensto fr´ıo le hicieron enfermar de tuberculosis, aun as´ı Abel
continuar´a con sus investigaci´on obteniendo nuevos resultados en la teor´ıa de ecuaciones, dando
origen a las llamandas ecuaciones abelianas, en las funciones el´ıpticas e integrales.
A finales del a˜no 1928 Abel viaja a pasar las Navidades junto a su prometida en Froland, lo
que agrab´o su enfermedad, en 6 de abril del a˜no siguiente muere Abel con apenas 27 a˜nos.
En clases de matem´aticas se conoce a Abel unicamente como el autor que demostr´o la impo-
siblidad de resolver la ecuacion polin´omica quintiaca con radicales, sin embargo, los trabajos de
Abel no se restringen a tal proposici´on, otros trabajos son: las funciones integrales, las funciones
elipticas y su generalizaci´on en las llamadas funciones abelianas, aportaciones en teor´ıa de gru-
pos, entre otros. Teniendo en cuanta la corta vida que tuvo y las dificultades, cada uno de estos
resultados muestra que detras hay un autor que lograba concentrarse en el atractivo mundo
de las matem´aticas que a un verdadero matem´atico le permiten obviar cualquier dificultad y
disfrutar cada resultado.
3. Sobre la Ecuaci´on funcional de Abel
3.1. Preliminares
Sea la ecuaci´on de Abel:
ϕ(f(x)) = ϕ(x) + c (1)
4
Donde f(x) es una funci´on dada de varable real, definida en un intervalo A, c una constante real
y ϕ(x) la funci´on inc´ognita.
Abel mostr´o que conocida una soluci´on de la ecuaci´on en diferencias finitas:
ψ(z + 1) = f(ψ(z)) (2)
se tiene la soluci´on general de (1) pues haciendo x = ψ(z) tenemos que:
ϕ(f(ψ(z))) = ϕ(f(x)) = ϕ(x) + c = ϕ(ψ(z)) + c = ϕ(ψ(z + 1))
que es equalmente una ecuaci´on de Abel.
Esta equivalencia es la que permite resolver este tipo de ecuaciones usando el m´etodo de Abel
basado en encontrar una soluci´on a (2) usando diferencias finitas y que usaremos en un ejemplo
cuando corresponda.
Ejemplos muestran que la ecuaci´on (1) no siempre tiene soluci´on, pues por ejemplo para
f(x) = 1
x la ecuaci´on no tiene soluci´on salvo para el caso c = 0, el hecho de que para cualquier
otro valor de c no nula, la ecuaci´on no admita soluci´on, nos permite supner sin p´erdida de
generalidad que c = 1. Teniendo as´ı la formulaci´on m´as usual:
ϕ(f(x)) = ϕ(x) + 1 (3)
Otro asunto que podemos tener en cuenta es la relaci´on entre la naturaleza de la funci´on dada
y la naturaleza de la soluci´on, por ejemplo, si dada f continua, y suponiendo que (3) es soluble,
¿es necesariamente ϕ(x) continua?, ejemplos muestran que la respuesta es negativa, pues puede
darse el caso en que f(x) sea continua en A y ϕ(x) sea totalmente discontinua y viciversa.
Nos ocupamos acontinuaci´on sobre que condiciones son necesarias y sufientes para que la ecua-
ci´on (3) tenga soluci´on.
Definici´on .1 Iteraciones de una funci´on.
Dado un conjunto A, una finci´on f : A → A, y un n´umero entero k, definimos la iteraci´on
k-´esima de f(x) en A como la composici´on de f(x) reiteradamente k veces, es decir:
f0(x) = f1(x)
f2(x) = f(f(x)) = f ◦ f(x)
fk(x) = f(fk−1(x)) = f ◦ ... ◦ f(x) k veces
Ejemplo .1 considere A = R y f(x) = x2,
f2(x) = f(f(x)) = f(x2) = x4
f3(x) = f(f2(x)) = f(x4) = x8
fk(x) = f(fk−1(x)) = f(x2k−1
) = x2k
5
Observaci´on .1
Notese que cada funci´on iterada, para tener una iteraci´on sucesiva ha de estar bien definida en
un subconjunto de A, si esto no ocurre no se podr´a iterar m´as, para un ejemplo basta restringir
adecuadamente la imagen, la siquiente funci´on bien definida no tiene iteraciones superiores a
uno pues justamente la imagen de f2(x) son puntos para los que no esta definida f(x):
f(x) =
1 si x ∈ Q{1}
e si x ∈ R(Q ∪ {e})
Este concepto de funciones iteradas nos permite estabelecer la siguiente relaci´on de equiva-
lencia:
x ∼ y ⇔ {∃p, q ∈ N : fp(x) = fq(y)}
La relaci´on es efectivamente de equivalencia pues es reflexiba, simetrica sin problemas y para la
trasitividad se obtien del echo de que si p = q + r entonces fp(x) = fq(fr(x)).
Notaci´on .1 Considerando Ω como el conjunto de puntos de A y de f(A) y notaremos por
B(f) al conjunto de puntos de Ω que satidfacen:
No hay en B(f) dos puntos relacionados.
Para cada punto x de Ω existe un bx en B(f), tales que bx es un representante de x.
Al conjunto B(f) le llamaremos base de f en Ω.
3.2. Condici´on necesaria y suficiente
Teorema .1
Dada la funci´on real de variable real f(x) definida en un conjunto A, la ecuaci´on de Abel
ϕ(f(x)) = ϕ(x) + 1
admite soluci´on en Ω si y solo si fk(x) = x ∀x ∈ A y ∀n ∈ N
Demostraci´on:
Lema .1
Para que la ecuaci´on
ϕ(f(x)) = ϕ(x) + 1
tenga soluci´on en Ω es necesario que fk(x) = x ∀x ∈ A y ∀n ∈ N.
6
Demostraci´on. Supongase pues que ϕ(x) es soluci´on y que sin embargo ∃x ∈ A y ∃k ∈ N tales
que fk(x0) = x0, entonces:
ϕ(x0) = ϕ(fk(x0)) = ϕ(f(fk−1(x0))) = ϕ(fk−1(x0)) + 1 = ϕ(f(fk−2(x0))) + 1 =
ϕ(fk−2(x0)) + 2 = ... = ϕ(x0) + k lo cual es absurdo.
Lema .2
Para dos puntos x, y relacionados, es decir, ∃p, q ∈ N tales que fp(x) = fq(y), entonces la dife-
rencia p − q es un valor fijo.
Demostraci´on. Considerese que existen otros ´ındices p1 y q1 tales que fp1 (x) = fq1 (y), y supon-
gamos sin p´erdida de generalidad que p1 > p entonces:
fp1 (x) = fp1−p(fp(x)) = fp1−p(fq(y)) = fp1−p+q(y) = fq1 (y)
Y de aqu´ı p1 − q1 = p − q
Lema .3
Supongamos conocida una base B(f) en Ω, entonces podemos obtener la soluci´on general de
ϕ(f(x)) = ϕ(x) + 1
eligiendo arbitrariamente una funci´on ψ(x) definida en B(f) tales que:
ϕ(x) = ψ(bx) + p − q (4)
donde bx esta relacionado con x seg´un los ´ındices p, q, es decir,
fp(bx) = fq(x).
Demostraci´on. Notese que ϕ(x) esta bien definida pues el la definici´on de B(f) nos garantiza
que para cada x de Ω s´olo hay un bx en B(f), y el lema 2 nos garantiza que la diferencia p − q
es fija, con lo cual la imagen de cada x es ´unica y esta bien definida.
Y por otra parte:
ϕ(f(x)) = ψ(bf(x)) + p − q = ψ(x) + 1 + p − q = ϕ(x) + 1
pues notese que:
fp(bf(x)) = fq(f(x)) = fq+1(x)
Adem´as si ϕ(f(x)) es soluci´on definida en Ω, tomese x punto de A y bx su representante en B(f)
de modo que fp(bx) = fq(x), entonces:
7
1. ϕ(fp(bx)) = ϕ(bx) + p
2. ϕ(fq(x)) = ϕ(x) + q
Despejando de 2 y sustituyendo en 1 se obtiene:
ϕ(x) = ϕ(fq(x)) − q = ϕ(fp(bx)) − q = ϕ(bx) + p − q
Con lo cual la soluci´on es de la forma (4).
Una vez aqu´ı ya tenemos la condici´on necesaria probada en el lema 1, falta probar la condicion
suficiente, para ello basta probar que siendo fk(x) = x ∀x ∈ A y ∀n ∈ N podemos construir
una base B(f) en Ω y aplicar el lema 3. Usando el axioma de elecci´on esto es posible, pues
construimos B(f) tomando uno y solo uno representante de cada punto x de A lo cual es posible
por la hip´otesis, el conjunto as´ı constuido satiface la definici´on de base para f. Concluyendo
as´ı la demostrac´on del teorema.
3.3. M´etodo de Abel para obter la soluci´on
Supongamos que tenemos
ϕ(f(x)) = ϕ(x) + 1
Hagamos los cambios x = ψ(y) y f(x) = ψ(y + 1), entonces:
1 = ϕ(ψ(y + 1)) − ϕ(ψ(y))
∆ϕ(ψ(y)) = ∆y
e integrando
ϕ(ψ(y)) = y + ω(y)
donde ω(y) es una funci´on peri´odica de periodo 1, es decir,
ω(y + 1) = ω(y)
y en consecuencia
ϕ(x) = ϕ(ψ(y)) = y + ω(y) = ψ−1(x) + ω(ψ−1(x))
y queda encontrar ψ−1(x), siendo x = ψ(y) y f(x) = ψ(y + 1), tenemos
ψ(y + 1) = f(ψ(y)) que es la ecuaci´on (2).
De esta forma vemos que basta resolver (2) para dar soluci´on a (1) como ya habiamos mencio-
nado. Para resolver (2) usamos diferencias finitas, vease el ejemplo.
Observaci´on .2
En caso de que (1) tenga soluci´on, tiene infinitas soluciones pues bastaconsiderar cualquier ω(y)
peri´odica.
8
3.4. Ejemplo
Considerese f(x) = x2, vimos con anterioridad que fk(x) = x2k
y por tanto estamos en las
condiciones del teorema pues fk(x) = x2k
= x unicamente para k = 0 que no lo consideramos
natural.
Procedemos la resoluci´on:
x = ψ(y) y f(x) = ψ(y + 1)
Entonces,
ψ(y + 1) = f(x) = x2 = ψ(y)2
Haciendo un desarrollo en diferencias para y + 2, y + 3 obtenemos:
ψ(y + 2) = ψ(y + 1)2 = ψ(y)4
ψ(y + 3) = ψ(y + 2)2 = ψ(y + 1)4 = ψ(y)8
y entonces, para y + x obtenemos:
ψ(y + x) = ψ(y)2x
haciendo y = 0 y ψ(0) = a obtenemos:
ψ(x) = a2x
y queda obtener la inversa de ψ(x), que se obtiene haciendo x = ψ(y) = a2y
⇔ x = a2y
y
despejamos y en funci´on de x.
Obteniendo as´ı:
ψ−1(x) = ln(ln(x)−ln(a))
ln(2)
Obteniendo finalmente la siguiente soluci´on general:
ϕ(x) = ln(ln(x)−ln(a))
ln(2) + ω(ln(ln(x)−ln(a))
ln(2) )
Referencias
[1] Oeuvres compl`etes. suivi de Niels Henrik Abel, sa vie et son action scientifique. par
C.-A.Bjerknes -J. Gabay.
http://gallica.bnf.fr/Search?ArianeWireIndex=index&p=1&lang=ES&q=Abel%2C+
Niels+Henrik
[2] ´Etudes sur l´equation fonctionnelle dAbel dans le cas des fonctions r´eelles par R.Tambas
Lyche.
http://www.numdam.org/item?id=THESE_1927__79__1_0
[3] Biograf´ıa.
http://sauce.pntic.mec.es/~rmarti9/WebBabilonia/Biografias/Abel.htm
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Ecuación funcional de Abel

  • 1. Actividad complementaria sobre ecuaciones funcionales. Ecuaci´on funcional de Niels Henrik Abel Ecuaciones diferenciales ordinarias. Grado en Matem´aticas Segundo curso Adil Ziani adil.ziani @um.es 05/04/2015 1
  • 2. ´Indice 1. Introducci´on 3 2. Sobre Abel 3 3. Sobre la Ecuaci´on funcional de Abel 4 3.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.2. Condici´on necesaria y suficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.3. M´etodo de Abel para obter la soluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.4. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2
  • 3. 1. Introducci´on En esta actividad trataremos la ecuaci´on funcional de Abel, y responderemos a las preguntas naturales: ¿cu´ando tendr´a soluci´on?, en caso de tener soluci´on, ¿esta es ´unica?. Sin olvidarnos de dar un ejemplo y unas breves notas sobre el autor. 2. Sobre Abel Figura 1: Niels Henrik Abel, painting by Johan Gorbitz, 1826 Niels Henrik Abel Naci´o el 5 de Agosto de 1802 en Frindoe (junto a Stavanger), Noruega y muri´o el 6 de Abril de 1829 en Froland, Noruega. Abel nacio en una ´epoca de guerras a causa de las cuales Noruega quedo bloqueada por parte de Inglaterra impediendo as´ı sus exportaciones al exterior lo que causo fuertes problemas econ´omi- cos al pa´ıs y sumi´o a sus habitantes en una hambura y pobreza exptrema. A˜nadiendo a esta desastrosa situaci´on las aficciones del padre a la bebida hizo que la familia de Abel est´e sufriendo problemas econ´omicos. A´un las dificultades, Abel logro asombrosos resultados matem´aticos lo que nos muestra las enormes capacidades del joven que ira mejorando en su corta vida. A los 13 a˜nos Abel fue env´ıado a la Escuela de la Catedral de Cristianiza (hoy Oslo). All´ı, su maestro le anim´o a leer los trabajos de Euler, Newton, Lalande y d’Alembert.Posteriormente su profesor,Bernt Holmboe, le animo a leer los trabajos de Lagrange y Laplace. Holmboe ayu- dar´a a Abel no solo en lo acad´emico sino tambi´en en lo pesonal, pues tras la muerte del padre de Abel, la familia se quedo sin recursos econ´omicos para mantenrse y Abel ten´ıa que dejar sus 3
  • 4. estudios, sin embargo, las ayudas de Holmboe le permitier´on no abandonar los estudios, un a˜no m´as tarde Holmboe consique para Abel una beca para ir a la Universidad de Christiania, Abel logro graduarse al a˜no siguiente. Con 19 a˜nos Abel presenta su primer trabajo de matem´aticas, trataba sobre la ecuaci´on del quinto grado. Holmboe y Hansteen(amigo de Halmboe en Christiania que ayudo a Abel durante su instancia en la Universidad de Christiania) enviaron el resultado a Ferdinand Degen para que lo revisara. Este pidi´o a Abel un ejemplo y mientras lo preparaba se dio cuenta que su demostraci´on ten´ıa un fallo. En 1823 Abel hizo su primera publicaci´on que trataba sobre las integrales definidas y que inclu´ıa la primera soluci´on de una ecuaci´on integral. Abel solicit´o una beca para hacer una visita a grandes matem´aticos de su ´epoca, mientras aprend´ıa frances y aleman para poder recibir la beca demostr´o que no era posible resolver la ecuaci´on qu´ıntica por radicales. A los 23 a˜nos Abel consigui´o la beca y comenzo su viaje, en este viaje conocio a Crelle quien fue un amigo para Abel quien le public´o sus trabajos en su revista. Abel pretend´ıa en su viaje conocer a los grandes matem´aticos franceses y alemanes, sin embargo no fue tan favoricido en ello. En 1826 regreso de su viaje a Berlin sin apenas dinero,s´olo com´ıa una vez al d´ıa y eso junto al intensto fr´ıo le hicieron enfermar de tuberculosis, aun as´ı Abel continuar´a con sus investigaci´on obteniendo nuevos resultados en la teor´ıa de ecuaciones, dando origen a las llamandas ecuaciones abelianas, en las funciones el´ıpticas e integrales. A finales del a˜no 1928 Abel viaja a pasar las Navidades junto a su prometida en Froland, lo que agrab´o su enfermedad, en 6 de abril del a˜no siguiente muere Abel con apenas 27 a˜nos. En clases de matem´aticas se conoce a Abel unicamente como el autor que demostr´o la impo- siblidad de resolver la ecuacion polin´omica quintiaca con radicales, sin embargo, los trabajos de Abel no se restringen a tal proposici´on, otros trabajos son: las funciones integrales, las funciones elipticas y su generalizaci´on en las llamadas funciones abelianas, aportaciones en teor´ıa de gru- pos, entre otros. Teniendo en cuanta la corta vida que tuvo y las dificultades, cada uno de estos resultados muestra que detras hay un autor que lograba concentrarse en el atractivo mundo de las matem´aticas que a un verdadero matem´atico le permiten obviar cualquier dificultad y disfrutar cada resultado. 3. Sobre la Ecuaci´on funcional de Abel 3.1. Preliminares Sea la ecuaci´on de Abel: ϕ(f(x)) = ϕ(x) + c (1) 4
  • 5. Donde f(x) es una funci´on dada de varable real, definida en un intervalo A, c una constante real y ϕ(x) la funci´on inc´ognita. Abel mostr´o que conocida una soluci´on de la ecuaci´on en diferencias finitas: ψ(z + 1) = f(ψ(z)) (2) se tiene la soluci´on general de (1) pues haciendo x = ψ(z) tenemos que: ϕ(f(ψ(z))) = ϕ(f(x)) = ϕ(x) + c = ϕ(ψ(z)) + c = ϕ(ψ(z + 1)) que es equalmente una ecuaci´on de Abel. Esta equivalencia es la que permite resolver este tipo de ecuaciones usando el m´etodo de Abel basado en encontrar una soluci´on a (2) usando diferencias finitas y que usaremos en un ejemplo cuando corresponda. Ejemplos muestran que la ecuaci´on (1) no siempre tiene soluci´on, pues por ejemplo para f(x) = 1 x la ecuaci´on no tiene soluci´on salvo para el caso c = 0, el hecho de que para cualquier otro valor de c no nula, la ecuaci´on no admita soluci´on, nos permite supner sin p´erdida de generalidad que c = 1. Teniendo as´ı la formulaci´on m´as usual: ϕ(f(x)) = ϕ(x) + 1 (3) Otro asunto que podemos tener en cuenta es la relaci´on entre la naturaleza de la funci´on dada y la naturaleza de la soluci´on, por ejemplo, si dada f continua, y suponiendo que (3) es soluble, ¿es necesariamente ϕ(x) continua?, ejemplos muestran que la respuesta es negativa, pues puede darse el caso en que f(x) sea continua en A y ϕ(x) sea totalmente discontinua y viciversa. Nos ocupamos acontinuaci´on sobre que condiciones son necesarias y sufientes para que la ecua- ci´on (3) tenga soluci´on. Definici´on .1 Iteraciones de una funci´on. Dado un conjunto A, una finci´on f : A → A, y un n´umero entero k, definimos la iteraci´on k-´esima de f(x) en A como la composici´on de f(x) reiteradamente k veces, es decir: f0(x) = f1(x) f2(x) = f(f(x)) = f ◦ f(x) fk(x) = f(fk−1(x)) = f ◦ ... ◦ f(x) k veces Ejemplo .1 considere A = R y f(x) = x2, f2(x) = f(f(x)) = f(x2) = x4 f3(x) = f(f2(x)) = f(x4) = x8 fk(x) = f(fk−1(x)) = f(x2k−1 ) = x2k 5
  • 6. Observaci´on .1 Notese que cada funci´on iterada, para tener una iteraci´on sucesiva ha de estar bien definida en un subconjunto de A, si esto no ocurre no se podr´a iterar m´as, para un ejemplo basta restringir adecuadamente la imagen, la siquiente funci´on bien definida no tiene iteraciones superiores a uno pues justamente la imagen de f2(x) son puntos para los que no esta definida f(x): f(x) = 1 si x ∈ Q{1} e si x ∈ R(Q ∪ {e}) Este concepto de funciones iteradas nos permite estabelecer la siguiente relaci´on de equiva- lencia: x ∼ y ⇔ {∃p, q ∈ N : fp(x) = fq(y)} La relaci´on es efectivamente de equivalencia pues es reflexiba, simetrica sin problemas y para la trasitividad se obtien del echo de que si p = q + r entonces fp(x) = fq(fr(x)). Notaci´on .1 Considerando Ω como el conjunto de puntos de A y de f(A) y notaremos por B(f) al conjunto de puntos de Ω que satidfacen: No hay en B(f) dos puntos relacionados. Para cada punto x de Ω existe un bx en B(f), tales que bx es un representante de x. Al conjunto B(f) le llamaremos base de f en Ω. 3.2. Condici´on necesaria y suficiente Teorema .1 Dada la funci´on real de variable real f(x) definida en un conjunto A, la ecuaci´on de Abel ϕ(f(x)) = ϕ(x) + 1 admite soluci´on en Ω si y solo si fk(x) = x ∀x ∈ A y ∀n ∈ N Demostraci´on: Lema .1 Para que la ecuaci´on ϕ(f(x)) = ϕ(x) + 1 tenga soluci´on en Ω es necesario que fk(x) = x ∀x ∈ A y ∀n ∈ N. 6
  • 7. Demostraci´on. Supongase pues que ϕ(x) es soluci´on y que sin embargo ∃x ∈ A y ∃k ∈ N tales que fk(x0) = x0, entonces: ϕ(x0) = ϕ(fk(x0)) = ϕ(f(fk−1(x0))) = ϕ(fk−1(x0)) + 1 = ϕ(f(fk−2(x0))) + 1 = ϕ(fk−2(x0)) + 2 = ... = ϕ(x0) + k lo cual es absurdo. Lema .2 Para dos puntos x, y relacionados, es decir, ∃p, q ∈ N tales que fp(x) = fq(y), entonces la dife- rencia p − q es un valor fijo. Demostraci´on. Considerese que existen otros ´ındices p1 y q1 tales que fp1 (x) = fq1 (y), y supon- gamos sin p´erdida de generalidad que p1 > p entonces: fp1 (x) = fp1−p(fp(x)) = fp1−p(fq(y)) = fp1−p+q(y) = fq1 (y) Y de aqu´ı p1 − q1 = p − q Lema .3 Supongamos conocida una base B(f) en Ω, entonces podemos obtener la soluci´on general de ϕ(f(x)) = ϕ(x) + 1 eligiendo arbitrariamente una funci´on ψ(x) definida en B(f) tales que: ϕ(x) = ψ(bx) + p − q (4) donde bx esta relacionado con x seg´un los ´ındices p, q, es decir, fp(bx) = fq(x). Demostraci´on. Notese que ϕ(x) esta bien definida pues el la definici´on de B(f) nos garantiza que para cada x de Ω s´olo hay un bx en B(f), y el lema 2 nos garantiza que la diferencia p − q es fija, con lo cual la imagen de cada x es ´unica y esta bien definida. Y por otra parte: ϕ(f(x)) = ψ(bf(x)) + p − q = ψ(x) + 1 + p − q = ϕ(x) + 1 pues notese que: fp(bf(x)) = fq(f(x)) = fq+1(x) Adem´as si ϕ(f(x)) es soluci´on definida en Ω, tomese x punto de A y bx su representante en B(f) de modo que fp(bx) = fq(x), entonces: 7
  • 8. 1. ϕ(fp(bx)) = ϕ(bx) + p 2. ϕ(fq(x)) = ϕ(x) + q Despejando de 2 y sustituyendo en 1 se obtiene: ϕ(x) = ϕ(fq(x)) − q = ϕ(fp(bx)) − q = ϕ(bx) + p − q Con lo cual la soluci´on es de la forma (4). Una vez aqu´ı ya tenemos la condici´on necesaria probada en el lema 1, falta probar la condicion suficiente, para ello basta probar que siendo fk(x) = x ∀x ∈ A y ∀n ∈ N podemos construir una base B(f) en Ω y aplicar el lema 3. Usando el axioma de elecci´on esto es posible, pues construimos B(f) tomando uno y solo uno representante de cada punto x de A lo cual es posible por la hip´otesis, el conjunto as´ı constuido satiface la definici´on de base para f. Concluyendo as´ı la demostrac´on del teorema. 3.3. M´etodo de Abel para obter la soluci´on Supongamos que tenemos ϕ(f(x)) = ϕ(x) + 1 Hagamos los cambios x = ψ(y) y f(x) = ψ(y + 1), entonces: 1 = ϕ(ψ(y + 1)) − ϕ(ψ(y)) ∆ϕ(ψ(y)) = ∆y e integrando ϕ(ψ(y)) = y + ω(y) donde ω(y) es una funci´on peri´odica de periodo 1, es decir, ω(y + 1) = ω(y) y en consecuencia ϕ(x) = ϕ(ψ(y)) = y + ω(y) = ψ−1(x) + ω(ψ−1(x)) y queda encontrar ψ−1(x), siendo x = ψ(y) y f(x) = ψ(y + 1), tenemos ψ(y + 1) = f(ψ(y)) que es la ecuaci´on (2). De esta forma vemos que basta resolver (2) para dar soluci´on a (1) como ya habiamos mencio- nado. Para resolver (2) usamos diferencias finitas, vease el ejemplo. Observaci´on .2 En caso de que (1) tenga soluci´on, tiene infinitas soluciones pues bastaconsiderar cualquier ω(y) peri´odica. 8
  • 9. 3.4. Ejemplo Considerese f(x) = x2, vimos con anterioridad que fk(x) = x2k y por tanto estamos en las condiciones del teorema pues fk(x) = x2k = x unicamente para k = 0 que no lo consideramos natural. Procedemos la resoluci´on: x = ψ(y) y f(x) = ψ(y + 1) Entonces, ψ(y + 1) = f(x) = x2 = ψ(y)2 Haciendo un desarrollo en diferencias para y + 2, y + 3 obtenemos: ψ(y + 2) = ψ(y + 1)2 = ψ(y)4 ψ(y + 3) = ψ(y + 2)2 = ψ(y + 1)4 = ψ(y)8 y entonces, para y + x obtenemos: ψ(y + x) = ψ(y)2x haciendo y = 0 y ψ(0) = a obtenemos: ψ(x) = a2x y queda obtener la inversa de ψ(x), que se obtiene haciendo x = ψ(y) = a2y ⇔ x = a2y y despejamos y en funci´on de x. Obteniendo as´ı: ψ−1(x) = ln(ln(x)−ln(a)) ln(2) Obteniendo finalmente la siguiente soluci´on general: ϕ(x) = ln(ln(x)−ln(a)) ln(2) + ω(ln(ln(x)−ln(a)) ln(2) ) Referencias [1] Oeuvres compl`etes. suivi de Niels Henrik Abel, sa vie et son action scientifique. par C.-A.Bjerknes -J. Gabay. http://gallica.bnf.fr/Search?ArianeWireIndex=index&p=1&lang=ES&q=Abel%2C+ Niels+Henrik [2] ´Etudes sur l´equation fonctionnelle dAbel dans le cas des fonctions r´eelles par R.Tambas Lyche. http://www.numdam.org/item?id=THESE_1927__79__1_0 [3] Biograf´ıa. http://sauce.pntic.mec.es/~rmarti9/WebBabilonia/Biografias/Abel.htm 9