Estimacion de Parametros

1. Estimación de Parámetros
Roselin Santamaría

2. Bibliografía
 Montgomery, D. y Runger, G.
Probabilidades y estadísticas aplicadas a la
ingeniería. México: Mcgraw-Hill
interamericana editores, SA de C.V.
 Maneiro, N. y Mejías, A. estadística para
ingeniería: Una herramienta para la
gestión de la calidad. Biblioteca de
Ingeniería. Universidad de Carabobo

3. Estimación
Parámetro Población
Entre los métodos para tomar decisiones se
encuentra la estimación de los parámetros,
el cual consiste en analizar los resultados de
una muestra con la finalidad de predecir el
valor correspondiente al parámetro
poblacional

4. Estimación
Las poblaciones se caracterizan a través
de medidas numéricas denominadas
parámetros. Se estima con la finalidad de
tener una buena aproximación de los
parámetros desconocidos de la población.
Para ello se puede considerar las
siguientes tipos de estimaciones:
 Estimación puntual
 Estimación por intervalo

5. Estimación puntual
Un estimador es una regla que indica
como calcular el valor de una estimación
con base a la mediciones que contiene una
muestra. Si con la información se calcula un
valor del parámetro de la población se dice
que esta es una estimación puntual.
Si X es una v.a. con fx caracterizada por el
parámetro θ y si x1,x2,……..xn

6. Estimación puntual
Si X es una v.a. con fx caracterizada por
el parámetro θ desconocido y si x1,x2,
……..xn es unas m.a. de tamaño n de X
entonces el estadístico
∧
θ = h( x1, x 21, x3,..............., xn)
es un estimador puntual de θ

7. Estimador puntual
 Estimador Insesgado:
∧
E (θ) =θ
El sesgo de un estimador puntual
∧
B =E (θ − ) θ
 Conversión de un estimador sesgado
θ=θ b
∧
E( ) a −
θb
∧
θ= −
∧
a
a

8. Estimador puntual
 Estimador asintóticamente insesgado
∧
lim E (θ =
n→∞
) θ
 Evaluación de calidad de los estimadores
Error cuadrático medio:
2
∧
 ∧

ECM θ = E θ −θ 
 
∧
∧
ECM θ = Var θ  + B 2
 

9. Estimador puntual
 Evaluación de calidad de los estimadores
Error Absoluto
∧
E =θ θ
−
Error relativo
∧
θ θ
−
ER =
θ

10. Estimador puntual
 Evaluación de calidad de los estimadores
Eficiencia relativa:
∧ ∧
Dado dos estimadores insesgados θy θ
1 2
De un parámetro θ con varianzas
∧ ∧
Var θ1 ;Var θ2 
   
∧ ∧
La eficiencia de θ con respecto a θ
1 2
∧
θ
Var  1 
e =  
∧ 
θ
Var  2 
 

11. Estimador puntual
Propiedades
 Consistente: es aquel que a medida que n
aumenta el tamaño de la muestra este se
acerca mas al parámetro.
∧
Se dice θ para θsi para cualquier numero
positivo ε
∧ 
θθ ε=
lim  − ≤  1
n→ 
∞ 
∧ 
θθ ε=
lim  − >  0
n→ 
∞ 

12. Estimador puntual
 Consistente:
Teorema un estimador es consistente
∧
para θ si es: θ
3. Es insesgado
4.
∧
lim Var (θ =
) 0
n→∞

13. Estimador puntual
Eficiente: Estimadores insesgados de mínima
varianza.
Teorema: Si ∧ es un estimador insesgado de θ
y θ
∧ 1
Var θ  =
   d ln fx 2 
nE   
 dθ  
 
∧ 1
Var θ  =
    d 2 ln fx 
nE − dθ 2  
  

14. Estimación puntual
 Suficiente:
Estos son estimadores que utilizan toda
la información contenida en la muestra. Sea
x1,x2,……..xn una m.a. de una población
con parámetro θ desconocido. El
estadístico ∧
θ = h( x1, x 21, x3,..............., xn)
es suficiente para θ si y solo si para cada
valor ∧ la distribución condicional de la
θ
m.a. X1,X2…..Xn dado ∧ no depende de θ
θ

15. Estimador puntual
Suficiente:
Función de verosimilitud.
∧
Teorema: sea θ , un estimador basado en una
∧
m.a de x1,x2,…..xn. Entonces θ es
suficiente para θ si y solo si la función de
verosimilitud L se puede factorizar en dos
funciones no negativas, tales que
∧
L( x1, x 2,....xn;θ ) = h( x1, x 21,......, xn) * g (θ ;θ )

16. Estimador puntual
Métodos de estimación puntual
Métodos de los momentos

17. Estimador puntual
Métodos de estimación puntual
Máxima Verosimilitud:
1. Se construye la función de verosimilitud
2. Se aplica logaritmo neperiano a ambos lados de
la igualdad
3. Se deriva parcialmente con respecto a cada
parámetro que se desee estimar y se iguala a
cero
4. Se resuelve las ecuaciones resultantes
despejando el o los parámetros deseados.