1. República bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación universitaria
Universidad politécnica territorial del estado Lara “Andrés Eloy Blanco”
El Álgebra
Estudiante:
Luisana Tua
C.i:31052133
Génesis Betancourt
C.i:30759819
Sección:HS0143
Prof:Endert Gil

2. Suma , Resta y Valor numérico de Expresión Algebraicas.
Suma
Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones Algebraicas (sumandos) en una sola expresión (
suma).
Así, la suma de a y b es a + b , porque está última expresión es la reunión de las dos expresiones Algebraicas dadas : a y b
.
La suma de a y – b es a – b es a – b , porque está última expresión es la reunión de las dos expresiones dadas : a y – b .
Ejercicios:
1)5a,8b ,4c , 7a,2b , 11c 2)3a², 6a , 8a²
=5a + 8b + 4c +7a +2b +11c = 3a²+6a + 8a²
=12a+ 10b +15c = 11a² +6a
3) (5x²+ 3x – 2 ) y ( 4x² – 5x + 6) 4)5m², 4m³ , 7m² , 6m³ , m
=(5x²+ 3x – 2 ) + ( 4x² – 5x + 6). = 5m²+4m³+7m²+6m³+m
= 5x²+ 3x – 2 + 4x² – 5x + 6. =10m³+12m²+m
=9x² –2x +4
Resta
Es una operación que tiene por objeto, Dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo) .
Lo que quiere decir, que la suma del sustraendo y la diferencia tiene que ser el minuendo.Si de a (minuendo) queremos
restar b (sustraendo), la diferencia será a – b . En efecto: a – b será la diferencia si sumada con el sustraendo b
reproduce el minuendo a, y en efecto: a – b + b = a.
Ejercicios:
1)11x³+ 2x² restar – 3x² – 4x² 2)5a²+2a+7 restar –4a²+2a– 10
=11x³+ 2x²–(–3x³–4x²) =5a²+2a+7 –( –4a²+2a– 10)
=11x³+2x²+3x³+4x² =5a²+2a+7 + 4a²+2a– 10
=14x³+6x² =9a²+17
3)4x–3y restar 10x –10y 4)5a – 4b+5c restar 2a +7b+c
=4x–3y –(10x –10y) =5a – 4b+5c – (2a +7b+c)
=4x–3y –10x –10y =5a – 4b+5c – 2a +7b+c
=–6x +7y = 3a +11b +4c

3. Valor numérico
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las variables de la de dicha
expresión por valores concretos y completar las operaciones. Una misma expresión algebraica puede tener muchos
valores numéricos diferentes, en función del número que se asigne a cada una de las variables de la misma.
Ejercicios:
Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones para: a=7 , b= –3 , c= –9
1)2a + B 2)abc 3) –5a+4c 4)a + b–c
=2.7 + (–3) =7.(–3).(–9) =–5.7+4(–9) =7+(–3)–(–9)
=14–3 =189. =–35–36 = 4+9
=11 =–71 =13
Multiplicación y División de Expresiones Algebraicas.
Multiplicación
Es una operación que tiene por objeto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador , hallar una tercera
cantidad, llamada producto , que sea respecto del multiplicando, en valor absoluto y signo , lo que el multiplicador es
respecto de la unidad positiva.
El multiplicando y multiplicador son llamados factores del producto.
Ejercicio
1)(3x+ 2y)(5x– 4y) 2) 5x²( 2x³ + 3y³ ) 3) –3m²n ( 5m +7m n – 9n )
=15x²– 12xy +10xy –8y² =10x⁵ + 15 x² y³ = 15m³ n – 21m³ n ² + 27m² n²
=15x² – 2xy – 8y²
4) −
5
4
𝑥2
(
2
3
𝑥3
−
2
5
𝑦3
) = −
10
12
𝑥5
+
10
20
𝑥2
𝑦3
= −
5
6
𝑥5
+
1
2
𝑥²𝑦³
División
Operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor) , hallar el
otro factor (cociente) . Entonces se deduce que el cociente multiplicado por el divisor reproduce el dividendo .
Así , la operación de dividir 6a² entre 3a² , que se indica 6a²÷3a² consiste en hallar una cantidad que multiplicada por 3a²
dé 6a². Esa cantidad (cociente) es 2a. Es evidente que 6a² ÷ 2ª =3ª, dónde vemos que si el dividendo se divide entre el
cociente nos da de cociente lo que qué antes era divisor.
Ejercicios:
1)
−6𝑥5
−2𝑥2 = 3𝑥3
2)
28𝑎5𝑏7𝑐2
−4𝑎5𝑏5𝑐2 = −7𝑏 3)
48𝑎2𝑏𝑐
12𝑎𝑏
= 4𝑎𝑐 4)
−8𝑥3𝑦3
8𝑥3𝑦3 = −1

4. Producto notables de expresión Algebraicas.
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado se puede
escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación
simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Factorización por producto notables .
Factorización por resolvente cuadrática y por cambio de variables.
Factorización por producto notables
Factorización: es el proceso de encontrar dos o más expresiones cuyo producto sea igual a
Una expresión dada; es decir, consiste en transformar a dicho polinomio como el producto de
Dos o más factores.
Para Factorizar con productos notables comúnmente utilizamos las siguientes expresiones:
1-Binomio al cuadrado ( a +b)²= a²+2ab+b² ( a –b)²= a²–2ab+b²
2-Binomios conjugados (a+ b) (x– b) = a² – b²
3-Binomio con terminó común (x +a) (x+ b)= x² +(a + b )x+ ab
4-Binomio al cubo (a+ b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ (a – b)³=a³– 3a²b+3ab²– b³
Ejercicios:
1)(3𝑥 + 5𝑦)2
= (3𝑥)2
+ 2(3𝑥)(5𝑦) + (5𝑦)2
2)(5𝑥 + 3)(5𝑥 − 3) = (5𝑥)2
− 3²
=32
. 𝑥2
+ 30𝑥𝑦 + 52
. 𝑦2
= 25𝑥2
− 9
=9𝑥2
+ 30𝑥𝑦 + 25𝑦²
3)(𝑥 + 5) = 𝑥3
+ 3. 𝑥2
. 5 + 3. 𝑥. 52
+ 53
4)(𝑦 + 10𝑥)(𝑦 − 3𝑥) = 𝑦2
+ 7𝑥𝑦 − 30𝑥²
=𝑥3
+ 3. 𝑥2
. 5 + 3. 𝑥. 25 + 125
=𝑥3
+ 15𝑥2
+ 75𝑥 + 125
Factorización por Resolvente cuadrática

5. La resolvente cuadrática nos permite conseguir los valores de x1 y x2 que nos lleva a factorizar una
ecuación de segundo grado ax²+bx+c , así:
De tal forma que:
Factoricemos por esta vía a la ecuación del ejemplo anterior:
El primer paso consiste en identificar los coeficientes a, b y c, que en nuestro ejemplo son:
A=1, b=-9 y c=7
Apliquemos la resolvente:
Lo cual nos lleva al mismo resultado anterior.

6. Ejercicios:
1)𝑥2
− 5𝑥 + 6 = 0 𝑎 = 1 𝑏 = −5 𝑐 = 6
X=
−(−5)±√(−5)2−(4)(1)(6)
(2)(1)
=
X=
5±√25−24
2
=
5±√1
2
=
5±1
2
X1=
5+1
2
=
6
2
𝑥2 =
5−1
2
=
4
2
X1=3 𝑥2 = 2
2)2𝑥2
− 7𝑥 + 3 = 0
𝑎 = 2 𝑏 = −7 𝑐 = 3
X=
−(−7)±√(−7)2−(4)(2)(3)
(2)(2)
=
X=
7±√49−24
4
=
7±√25
4
=
7±5
4
X1=
7+5
4
=
12
4
𝑥2 =
7−5
4
=
2
4
X1=3 X2=
1
2
3)−𝑥2
+ 7𝑥 − 10 = 0
𝑎 = −1 𝑏 = 7 𝑐 = 10
𝑥 =
−7 ± √72 − (4)(−1)(10
(2)(−1)
𝑥 =
−7 ± √49 − 40
−2
=
−7 ± √9
−2
=
−7 ± 3
−2
𝑥1 =
−7+3
−2
=
−4
−2
𝑥2 =
−7−3
−2
=
−10
−2
𝑥1 = 2 𝑥2 = 5
4)𝑥2
+ 3𝑥 − 4 = 0
𝑎 = 1 𝑏 = 3 𝑐 = −4

7. 𝑥 =
−(3) ± √32 − (4)(1)(−4)
(2)(1)
=
−3 ± √9 + 16
2
𝑥 =
−3 ± √25
2
=
−3 + 5
2
𝑥1 =
−3 + 5
2
=
2
2
= 1 𝑥2 =
−3 − 5
2
=
−8
2
= −4
Factorización por cambio de variable .
Consiste en cambiar una variable por otra, de manera que se obtenga una forma de factorización conocida, o que tenga
una forma más simple.
Ejemplo: Factorizar
P(x) = 1+x ( x +1 )( x+ 2)(x + 3)
Agrupando así
P(x)= 1+[x(x+ 3) ][( x+ 1)( x +2) ]
Efectuando
P(x) =1 + ( x² +3x )(x²+ 3x +2)
Haciendo
X² +3x = y
P(x)=1+ y (y+ 2)
Es el desarrollo de una suma al cuadrado
P(x)= (1+ y)²
Sustituyendo la variable
P(x)= (1 + 3x +x²)²
Ejercicios:
1)(x − 2)(x − 1)(x + 3)(x + 2) + 3 2)(x2
+ 7x + 5)2
+ 3x2
+ 21x + 5
=(x2
+ 3x − 2x − 6)(x2
+ 2x − x − 2) + 3 = (x2
+ 7x + 5)2
+ 3(x2
+ 7x) + 5
=(x2
+ x − 6)(x2
+ x − 2) + 3 = (a + 5)2
+ 3a + 5
=(𝑎 − 6)(𝑎 − 2) + 3 = a2
+ 10a + 25 + 3a + 5
=𝑎2
− 8𝑎 + 12 + 3 = a2
+ 23a + 30
=𝑎2
− 8𝑎 + 15 = (a + 10)(a + 3)
=(𝑎 − 5)(𝑎 − 3) = (𝑥2
+ 7x + 10)(x2
+ 7x + 3)
=(x2
+ x − 5)(x2
+ x − 3) = (x + 5)(x + 2)(x2
+ 7x + 3)
3)(x + 2)2(x + 1)(x + 3) − 5x(x + 4) − 27 4)2(x2
+ y)(x2
+ y + 2z) + 3(x2
+ 𝑦 − 5𝑧)𝑧
=(x2
+ 4x + 4)(x2
+ 4x + 3) − 5(x2
+ 4x) − 27 = 2a(a + 2z) + 3(a − 5z)z
=(a + 4)(a + 3) − 5a − 27 = 2a2
+ 4az + 3az − 15z²
=a2
+ 7a + 12 − 5a − 27 = 2a2
+ 7az − 15z²
=a2
+ 2a − 15 = (2a − 3z)(a + 5z)
=(a + 5)(a − 3) = (2x2
+ 2y − 3z)(x2
+ y + 5z)
=(x2
+ 4x + 5)(x2
+ 4x − 3)

8. Simplificación de fracciones Algebraicas.
Suma y Resta de fracciones Algebraicas.
Simplificación de fracciones Algebraicas
Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el denominador de la fracción por un polinomio que
sea factor común de ambos.
Ejercicios:
1)
18𝑥3𝑦2
6𝑥2 = 3𝑥𝑦2
2)
2𝑥3𝑦5
10𝑥6𝑦6 =
1
5𝑥3𝑦
3)
4𝑥𝑦
2𝑥2+6𝑥
=
4𝑥𝑦
2𝑥(𝑥+3)
=
2𝑦
𝑥+3
4)
𝑥2−2𝑥−3
𝑥−3
=
(𝑥−3)(𝑥+1)
(𝑥−3)
= 𝑥 + 1
Suma y Resta de fracciones Algebraicas:
Para sumar o restar fracciones algebraicas se procede de igual manera que con la fracciones aritméticas: Se encuentra
el mínimo común denominador y se realizan las operaciones de forma similar.
Suma y resta de fracciones con igual denominador:
Para sumar o restar fracciones algebraicas con igual denominador se escribe el mismo denominador y se suman los
numeradores .

9. Suma y resta de fracciones con distinto denominador:
Para sumar o restar dos fracciones algebraicas con distinto denominador se multiplican los denominadores entre si,
luego los numeradores de cada fracción se multiplican por los denominadores de la otra fracción.
Ejercicios:.
1)
x+1
2x
+
3x−2
2x
=
x+1+3x−2
2x
=
4x−1
2x
2)
a+1
3
+
2a
6
+
3a+4
12
= m. c. m = 12
=
4a+4
12
+
4a
12
+
3a+4
12
=
4a+4+4a+3a+4
12
=
11a+8
12
3)
x
3x2y
+
x+1
6xy2 −
3
9xy
= m. c. m = 18x2
y2
=
6𝑥𝑦
18𝑥2𝑦2 +
3𝑥2+3𝑥
18𝑥2𝑦2 −
6𝑥𝑦
18𝑥2𝑦2 =
6𝑥𝑦+3𝑥2+3𝑥−6𝑥𝑦
18𝑥2𝑦2 =
=
3x2+3x
18x2y2 =
3x(x+1)
18x2y2 =
x+1
6xy2
4)
𝑎−2𝑏
15𝑎
+
𝑏−𝑎
20𝑏
= 𝑚. 𝑐. 𝑚 = 60
=
4𝑎𝑏−8𝑏2+3𝑎𝑏−3𝑎2
60𝑎𝑏
=
3𝑎2+7𝑎𝑏−8𝑏2
60𝑎𝑏
Multiplicación y división de fracciones algebraicas:
Multiplicación de fracciones algebraicas:
Las fracciones algebraicas se multiplican igual que las fracciones numéricas, es decir, se multiplican en línea: numerador
por numerador y denominador por denominador.

10. En la multiplicación de fracciones numéricas, se multiplican los números en línea y al final se simplifica la fracción. Con
fracciones algebraicas, podemos hacerlo igual, pero las operaciones se complicarían mas, así que lo más recomendable es
que antes de multiplicar, descompongamos los polinomios y eliminemos los factores que se repitan en el numerador y el
denominador, es decir, que simplifiquemos antes de multiplicar.
Una vez hemos eliminado todos los factores repetidos, ya podemos multiplicar tanto en el numerador como en el
denominador, para mostrarlo en el resultado
Ejemplos:
1) 3x . Y²= Y 3) 5m² . 12n² . 3n = 3n²
2y 6x 4. 2n 10m 6m 2
2) x+2 . 3x+2 = 3x+2 4) x+3 . 2x = 2x²+6x = 2x²+6x
3) x-1 x+2. x-1 x-2 4x+3. 4x²+3x-8x-6 4x²-5x-6
División de fracciones algebraicas:
La división de fracciones algebraicas también se realiza igual que una división de fracciones numéricas, es decir, se
multiplica en cruz .
Como en el caso de la multiplicación, también conviene dejar la multiplicación indicada y factorizar los polinomios antes
de realizar la multiplicación, para llegar al resultado simplificado de una manera más directa.
Ejemplos:
1) 3x² ÷ 6x = 3x² . Y 4) a²-6ª+5 ÷ a²+2ª-35
2y y 2y 6x. a²-15ª+56. a²-5ª-24

11. 2) x³-x ÷ 5x²-5x = x³-x . 2x+6. =(a-5)(a-1) ÷ (a+7)(a-5)
2x²+6x 2x+6 2x²+6x 5x²-5x. (a-8)(a-7). (a-8)(a+3)
= x(x+1)(x-1) . 2(x+3) = x+1. =(a-5)(a-1)(a-8)(a+3) =
2x(x+3) 5x(x-1) 5x. (a-8)(a-7)(a+7)(a-5)
3) x⁴-1 ÷ x⁴+4x²+3= x⁴-1 . 3x³+9x =(a-1)(a+3)
x³+x² 3x³+9x. x³+x² x⁴+4x²+3 (a-7)(a+7)
=(x²+1)(x+1)(x-1) . 3x(x²+3)
x²(x+1). (x²+3)(x²+1)
=3x(x²+1)(x+1)(x-1)(x²+3)= 3(x-1)
x²(x+1)(x²+3)(x²+1). x
*Factorización por el método de Ruffini :
Es un método algorítmico que sistematiza la factorización de polinomios con raíces enteras y fraccionarias. Lo mecánico
de su aplicación hace que sea accesible su aplicación salvó que no se dominen las operaciones elementales con números
enteros y fraccionarios.
Ejemplos:
1)x³+2x²-11x-12 2) x⁴+2x³-3x²-4x+4
1 2 -11 -12 1 2 -3 -4 4
3 3 15 12 1 1 3 0 -4
1 5 4 0 1 3 0 -4 0
-1 -1 -4 ,. 1 1 4 4
1 4 0 1 4 4 0
= (x-3)(x+1)(x+4) -2 -2 -4
-2 -2
1 0
(X-1)(x-1)(x+2)(x+2)=(x-1)²(x+2)²
4) 2x⁴+x³-8x²-x+6
2 1 -8 -1 6
1 2 3 -5 -6 4)x³-4x²+1x+6:(x+1)
2 3 -5 -6 0 1 -4 +1 +6
-1 -2 -1 6 -1 +5 -6
2 1 -6 0. 1 -5 +6 0
-2 -4 6 =x²-5x+6
2 -3 0
(x-1)(x+1)(x+2)

12. Radicación suma y resta de radicales :
Para poder sumar o restar radicales, estos deben ser semejantes, quiere decir que deben compartir el mismo índice y
radicando.
Ejemplos:
1) √8+√32= √4.2+√16.2.
√4.√2+√16.√2= 2√2+4√2=6√2
2) √18+√50-√2-√8= √2x3²+√2x5²-√2-√2²x2
√2.√3²+√2.√5²-√2-√2².√2= √2.3+√2.5-√2-2√2
3√2+5√2-1√2-2√2= 5√2
3) ²√40+²√90= ²√2².2.5+²√3².2.5= 2√2.5+3√2.5
=2√10+3√10=5√10
4) 3√18-11√2+2√50=3√2.3²-11√2+2√2.5²=3√2.√3²-11√2+2√2.5=9√2-11√2+10√2=19√2-11√2=8√2
Radicación multiplicación y división de radicales :
Para poder multiplicar y dividir radicales es necesario que tengan el mismo índice, Cuando no tienen el mismo índice hay
que reducirlos antes a índice común.
El producto de radicales con el mismo índice es igual a un único radical del mismo índice y cuyo radicando se obtiene de
multiplicar los radicandos
Ejemplos:
1) √2 .√8=√2.8=√16=4
2) ³√2.⁴√8=³√2 . ⁴√2³=¹²√2⁴.2⁹=¹²√2¹³=2¹²√2
3) ⁴√a³.⁶√a⁵=²⁴√a¹⁸.a²⁰=²⁴√a³⁸=²⁴√a¹⁷
²√a⁷. a²¹ a²¹
4) ³√54. 3√24=³√27.2 . ³√83=3³√2 . 2³√3=6³√6
Expresiones conjugadas racionalización:
La conjuga para racionalizar se utiliza cuando el denominador de una fracción esta constituido por la expresión matemática
de suma o resta de dos raíces cuadradas, el objetivo de usar la conjugada en formar un producto notable que al resolver
elimine las raíces del denominador.
Ese producto notable se llama «Suma por su diferencia de un binomio» el cual al resolver eleva al cuadrado ambos
términos del binomio, por lo tanto este tipo de racionalización de denominadores se usa solo cuando se tiene raíces

13. cuadradas como términos del denominador. Una vez que se identifica la conjugada entonces se procede a multiplicar la
fracción por una fracción unitaria, donde el denominador y el numerador son iguales a la conjugada.
Ejemplo:
1) 9 = 9 . √7-2 = 9.(√7-2) =
√7+2 √7+2 √7-2 (√7)²-(2)²
9.(√7-2)=9(√7-2)= 3(√7-2)
7-4 3
2) 6 = 6 . √5-√3 = 6.(√5-√3)
√5+√3 √5+√3 √5-√3 (√5)²-(√3)²
6(√5-√3)= 6.(√5√3)=3(√5√3)=3√5-3√3
5-3 2.
3) √2-1 = √2-1 . 5-3√2= (√2-1).(5-3√2)
5+3√2 5+3√2 5-3√2 (5)²-(3√2)²
=5√2-3(√2)²-5+3√2 = 5√2-3.2-5+3√2
25-3².(√2)² 25-9.2
=5√2-6-5+3√2 = 8√2-11=-11+8√2
25-18 7 7
4) √13-√11 = √13-√11 . √13-√11=
√13+√11 √13+√11 √13-√11
(√13-√11)²= (√13)²-2.√13.√11+(√11)²
(√13)²-(√11)² 13-11
=13-2√13.11+11=24-2√143=
2 2
2(12-√143)= 12-√143
2

14. Bibliografías
Aurelio Baldor (1941) Algebra A.Baldor. Edición (1972) Cultural Venezuela S.A. Caracas – Venezuela
.https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/algebra/simplificacion-fracciones2.
hhttps://sites.google.com/site/lauracecyte26/unidad/productos-notables-y-factorizacion
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Fracciones_algebraicas/fracciones_algebraicas2.h
tml
https://wikimat.es/polinomios/factorizacion/ruffini/