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Expresiones algebráicas

Productos y Cocientes Notables. Identidades. Teoremas.

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
Conjunto de variables y constantes unidos 
por las diferentes operaciones fundamentales 
(adición, sustracción, multiplicación, 
radicación, división, potenciación y radicación) 
un número limitado de veces. 
SON EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
1 
1 
2x 3 y + 8x 2 y - x 
- 
a) 2 3 
3 
b) - 3 x + y 
NO SON EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
a) 4x 3 - 5cd 5 
Porque los exponentes de las letras no pueden 
ser números irracionales. 
b) x2 + x3 + x4 + ... 
Por que tienen un número ilimitado de 
términos. 
TÉRMINO ALGEBRAICO 
Es aquella expresión cuyas variables no están 
relacionadas por las operaciones de adición o 
sustracción. 
Ejemplos: 
Las siguientes expresiones algebraicas 
constan de un término algebraico. 
a) 5x2y 
b) ( 3 + 4)xy y 
2 - 
c) a4b 3 
7 
¡Atención! 
No es término algebraico: 
a) 4x2 + 3y 
b) 3 x - y + 4z2 
PARTES DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO 
En todo término algebraico se distinguen 
las siguientes partes: coeficiente, parte 
variable y exponentes. 
exponentes 
5 2 
7 x a 
{ 123 
iables 
coeficiente 
var 
- 
- 3 
. . Exponentes 
{ 
5 3 2 
1442443 
iables 
1 
coeficiente 
m z x 
2 
var 
OBSERVACIÓN : 
El coeficiente incluye el signo que puede ser 
positivo o negativo 
OPERACIONES CON TÉRMINOS 
ALGEBRAICOS 
(Adición y sustracción) 
TÉRMINOS SEMEJANTES 
Se tienen la misma parte literal y las 
variables correspondientes afectadas por los 
mismos exponentes. 
Ejemplo: 
1 
a) - 3 3x3y2 ~ x3y2 
2 
b) - 6x2y;4x2y;x2y 
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES 
Si dos o más términos semejantes 
pueden ser reducidos a uno solo, si es que se 
están sumando o restando. Para ello se suman 
sus coeficientes y el resultado se pone como 
coeficientes de la parte literal común. 
Ejemplo: 
Reducir los siguientes términos semejantes: 
12x5y3 - 17x5y3 
Resolución: 
= 12x5y3 +17x5y3 
= (12+17)x5y3 
=29x5y3
1 
1. Realizar la siguiente operación: 
2(a + 2b - 3c) - 3(2a - 3b + 2c) 
2. Obtener (a + b) si: 
x2a+1 y17 
es semejante a: x13 y3b+2 
3. Sean A y B dos términos semejantes 
2 
A = 7 + m = x10 
. Hallar “m” 
7 
2 
x B 
5 
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 
Para multiplicar polinomios, es necesario tener 
en cuenta la siguiente propiedad. 
a m . a n = a m + n ; a , Î R , 
· El producto de dos polinomios se realiza, 
multiplicando cada término de uno de 
ellos por todos los términos del otro. Se 
eliminan términos semejantes y eso es 
todo. 
· En el caso de que hayan más de dos 
polinomios, puedes coger a los dos 
primeros, los multiplicas y el resultado 
multiplicarlo por el siguiente polinomio. 
Este nuevo resultado lo multiplicas por el 
cuarto polinomio y así sucesivamente. 
Veamos el ejemplo: 
Multiplicar: (2x + 5x2) (x – 1) (x + 3) 
Solución: 
(2x + 5x2) (x – 1) (x + 3) 
= 2x.x – 2x.1 + 5x2.x – 5x2.1 
= 2x2 – 2x + 5x3 – 5x2 
= (-3x2 – 2x + 5x3) (x + 3) 
= -3x2.x – 3x2.3 – 2x.x – 2x.3 +5x3.x+5x3.3 
= -3x3 – 9x2 – 2x2 – 6x +5x4+15x3 
= 5x4 + 12x3 – 11x – 6x. 
PRODUCTOS NOTABLES 
Son los resultados de ciertas multiplicaciones 
indicadas, que se obtienen en forma directa, sin 
efectuar la multiplicación. 
A los productos notables también se les llama 
“Identidades Algebraicas”. 
Los más importantes son: 
I. Trinomio cuadrado perfecto. 
Ejemplos: 
· (a+2)2=a2+2.a.2+22=a2+4a+4 
· (2a-1)2=(2a)2-2.2a.1+12=4a2-4a+1 
Corolario: Identidades de Legendre 
Ejemplos: 
· ( 3 + 2 )2+( 3 - 2 )2=2( 2 2 
3 + 2 )=10 
· (x+5)2-(x-5)2=4.x.5=20x 
· 
Importante: 
· (a-b)2º(b-a)2 
desarrollando: 
a2-2ab+b2ºb2-2ab+a2 
II. Diferencia de cuadrados. 
Ejemplos: 
· (a+2)(a-2)=a2-22=a2-4 
· (m-1)(m+1)=m2-1 
· (y+x)(x-y)=x2-y2 
· (a2-3)(a2+3)=(a2)2-32=a4-9 
III. Trinomio al cuadrado. 
; m Î Z 
Ejemplos: 
· (x+y+2)2= x2+y2+22+2(xy+2x+2y) 
= x2+y2+4+2xy+4x+4y 
· (x+y-3)2 = x2+y2+(-3)2+2[xy+x(-3)+y(-3)] 
(a+b)2 º a2 + 2ab + b2 
(a-b)2 º a2 - 2ab + b2 
(a+b)2 +( a-b)2 º 2(a2+b2) 
(a+b)2 - ( a-b)2 º 4ab 
(a-b)2m º (b-a)2m 
(a+b)(a-b) º a2-b2 
(a+b+c)2 ºa2+b2+c2+2(ab+ac+bc)
2 
= x2+y2+9+2[xy-3x-3y] 
= x2+y2+9+2xy-6x-6y 
IV. Binomio al cubo. 
Ejemplos: 
· (a+2)3 = a3+3a2.2+3a.22+23 
= a3+6a2+12a+8 
· (2a-1)3=(2a)3-3(2a)2.1+3(2a).12-13 
= 8a3-12a+6a-1 
También: 
Ejemplo: 
· Si la suma de dos números es 4 y el 
producto es 5. calcular la suma de cubos. 
Resolución: 
(a+b)3ºa3+b3+3ab(a+b) 
Reemplazamos: a+b=4 Ù ab=5 
⇒ 43=a3+b3+3.5.4 
64=a3+b3+60 
 a3+b3=4 
V. Suma y diferencia de cubos 
Ejemplos: 
· (x+2)(x2-2x+4)=x3+23=x3+8 
· ( 3 3 + 3 2 )( 3 9 - 3 6 + 3 4 )= 
3 3 3 3 3 + 2 =5 
VI. Producto de Binomios con un término 
común. 
Ejemplos: 
· (a + 2)(a + 3) =a2+(2+3)a+2.3 
= a2+5a+6 
· (a + 4)(a - 1)=a2+(4-1)a+4(-1) 
= a2+3a-4 
· (a-6)(a+2)=a2+(-6+2)a+(-6)(2) 
= a2-4a-12 
· (a-4)(a-5)=a2+(-4-5)a+(-4)(-5) 
= a2-9a+20 
También: 
Ejemplos: 
· (x+1)(x+2)(x+3)=x3+(1+2+3)x2+(1.2+1.3 
+2.3)x+1.2.3 
= x3+6x2+11x+6 
· (x-2)(x+3)(x+4)=x3+(-2+3+4)x2+(-2.3+- 
2.4+3.4)x+(-2)(3)(4) 
= x3+5x2-2x-24 
· (x+2)(x-4)(x+6)=x3+(2-4+6)x2+[2(-4)+(- 
4)6+6.2]x+2(-4)6 
= x3+4x2-20x-48 
· (x+1)(x-3)(x-5)=x3+(1-3-5)x2+[1(-3)+(- 
3)(-5)+(-5).1]x+1(-3)(-5) 
= x3-7x2+7x+15 
· (x-2)(x-4)(x-6)=x3+(-2-4-6)x2+[(-2)(-4)+(- 
4)(-6)+(-6)(-2)]x+(-2)(-4)(-6) 
= x3-12x2+44x-48 
VII. Trinomio al cubo 
Ejemplo: Si se verifica que: 
a+b=1, b+c=4, a+c=3 
Calcular: a3+b3+c3 
RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn 
a+b = 1 
b+c = 4 a+b+c = 4 y 
a+c = 3 
(a+b)3 ºa3+3a2b+3ab2+b3 
(a-b)3 ºa3-3a2b+3ab2-b3 
(a+b)3 ºa3+b3+3ab(a+b) 
(a-b)3 ºa3-b3-3ab(a-b) 
a3+b3 º(a+b)(a2-ab+b2) 
a3-b3 º(a-b)(a2+ab+b2) 
(x+a)(x+b) ºx2+(a+b)x+ab 
(x+a)(x+b)(x+c) º x3+(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x+abc 
(x+y+z)3ºx3+y3+z3+3(x+y)(x+z)(y+z) 
(x+y+z)3ºx3+y3+z3+3(x+y+z)(xy+xz+yz)-3xyz
3 
(a+b)(b+c)(a+c)=12 
⇒ (a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c) 
43=a3+b3+c3+3(12) 
 a3+b3+c3=28 
1. Efectuar: 
(x+1)(x-1)(x2+1)(x4+1) 
2. Calcular: 
OTRAS IDENTIDADES 
I. Identidad trinómica de Argand. 
II. Identidad de Gauss. 
III. Identidad Especial 
IV. Identidad de LAGRANDE 
V. Igualdades condicionales. 
Si: a+b+c=0 , entonces se cumple: 
VI. Teoremas. 
Sean: {x,y,z} Ì R ; {m,n,p} Ì Z+ 
Luego: 
1. x2m+y2n+z2p=0 Û x=y=z=0 
2. x2+y2+z2=xy+xz+yzÛx=y=z 
Ejemplos: 
1. Si: a2+b2+c2=3(ab+ac+bc) 
Hallar: 
a b c 3abc 
(a b c)(ab ac bc) 
M 
3 3 3 
+ + + + 
= + + - 
RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn 
En la identidad de Gauss 
a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) 
3(ab+ac+bc) 
Entonces: 
a3+b3+c3-3abc=2(a+b+c)(ab+ac+bc) 
 M= 
+ + + + 
2( )( ) 
a b c ab ac bc 
a b c ab ac bc 
+ + + + 
( )( ) 
M=2 
2. Simplificar: 
( ) 
3 ( )3 ( )3 
x y y z z x 
= - + - + - 
x y y z z x 
9( )( )( ) 
R 
- - - 
RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn 
Haciendo: 
x-y=a ; y-z=b ; z-x=c 
Se observa que: a+b+c=0 
Luego tendremos: 
a3 + b3 + c3 
9abc 
Por la igualdad condicional: 
si: a+b+c=0 ⇒ a3+b3+c3=3abc 
de donde: 
abc 
abc 
3 3 3 
a b c 
abc 
R 
3 
9 
9 
= 
+ + 
= 
 R= 
1 
3 
3. Si se cumple que: a3+b3+c3=0 
( )2 ( )2 ( )2 ( )2 
R = 5 + 2 + 14 + 2 + 5 - 2 - 14 - 2 
(a2+a+1)(a2-a+1)ºa4+a2+1 
(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)ºa4+a2b2+b4 
a3+b3+c3-3abcº(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) 
(a+b)(a+c)(b+c)+abcº(a+b+c)(ab+ac+bc) 
(a2+b2)(x2+y2)º(ax+by)2+(ay-bx)2 
a2+b2+c2=-2(ab+ac+bc) 
a3+b3+c3=3abc 
(ab+ac+bc)2=(ab)2+(ac)2+(bc)2
4 
Simplificar: 
3 abc 
¹ 
= abc 
a b a b c b c a c 
; 0 
- + - + - 
( ) ( ) ( ) 
M 
RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn 
3 
abc 
2 2 2 
ab a bc b ca c 
M 
- + - + - 
= 
3 
abc 
a2 b2 c2 ab ac bc 
( ) 
M 
- + + - - - 
= 
= - 
3 
abc 
a2 b2 c2 ab ac bc 
( ) 
M 
+ + - - - 
Como a3+b3+c3+=0, podemos colocarlo así: 
= + + - 
a b c 3 
abc 
3 3 3 
2 2 2 
( a b c ab ac bc 
) 
M 
+ + - - - 
Por la identidad de Gauss: 
2 2 2 
= + + + + - - - 
( a b c )( a b c ab ac bc 
) 
2 2 2 
( a b c ab ac bc 
) 
M 
+ + - - - 
Es aquella operación que tiene por finalidad 
hallar una expresión denominada “cociente”, 
dadas otras dos denominadas “dividendo” y 
“divisor”, tal que, el valor numérico del dividendo 
es igual al producto de los valores numéricos del 
divisor y el cociente, más el valor numérico del 
resto para cualquier sistema de valores 
atribuidos a sus letras. 
ó 
Donde: 
R 
( ) 
D 
( ) 
x 
x 
· D(x) = Dividendo 
· d(x) = Divisor 
· q(x)= Cociente 
· R(x) = Resto o residuo 
Clases de división 
1. División exacta: 
Es división exacta Û R(x)º0 
Luego: 
2. División Inexacta: 
Es división inexacta Û R(x) 0 
Luego: 
Observación: Si R(x) º 0, tenemos 
D(x)ºd(x).q(x), luego podemos decir: 
· d(x) es divisor de D(x) 
· d(x) es factor de D(x) 
· D(x) es divisible por d(x) 
Ejemplo: EL Polinomio d(x) = x-1, es un 
factor de D(x)=3x2+2x-5 
Pues, D(x) es divisible por d(x), es decir: 
0 
= 3 x + 2 x 
- 5 
x 
D 
( x ) ⇒ R 
º 
1 
( ) 
2 
( ) 
- 
x 
x 
d 
PROPIEDADES DE GRADO 
1. El grado del cociente es igual al grado del 
dividendo menos el grado del divisor: 
2. El grado del residuo es siempre menor que el 
grado del divisor, su máximo grado es una 
unidad menor que el grado del divisor (a 
excepción de los Polinomios homogéneos). 
3. El término independiente del dividendo 
estará determinado por el producto de los 
términos independientes del divisor y el 
cociente más el término independiente del 
residuo. 
DIVISIÓN DE POLINOMIOS 
D(x)ºd(x).q(x)+R(x) 
( ) 
( ) 
( ) 
x 
x 
x 
d 
q 
d 
º + 
D(x)ºd(x).q(x) 
D(x) º d(x).q(x)+R(x) 
[q(x)]0 = [D(x)]0 – [d(x)]0 
RMÁX = [d(x)]0-1 
T.I.(D)=T.I.(d).T.I.(q)+T.I.(R)
5 
CASOS QUE SE PRESENTAN EN LA 
DIVISIÓN DE POLINOMIOS 
I. División de Monomios.- Para dividir dos 
monomios, se dividen los signos (según la ley 
de signos) luego se dividen los coeficientes y 
por último las partes literales de acuerdo a la 
ley de exponentes. 
Ejemplos: 
* 
5 5 
4xyz 
8x y = 2xy4z-2 
2 
* 
m n 
- 36 a b = -6am-1bn-2 
2 
6 ab 
II. División de un polinomio entre un 
Monomio.- Para dividir un Polinomio entre 
un monomio se divide cada uno de los 
términos del polinomio separadamente entre 
el monomio divisor y se suman 
algebraicamente cada uno de éstos 
resultados. 
Ejemplo: Dividir: 
P= 
6 5 3 7 5 2 
x y + x y - x y 
42 21 35 
2 
7 
xy 
RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn:::: 
P= 
5 2 
x y 
2 
3 4 
x y + x y 
- 
2 
6 5 
2 
35 
7 
21 
7 
42 
7 
xy 
xy 
xy 
P=6x5y3+3x2y5-5x4 
III. División de dos polinomios.- La división 
de polinomios sólo es aplicable para: 
a) Polinomios de una sola variable 
b) Polinomios homogéneos 
Se debe tener en cuenta que los polinomios 
deben ser completos y ordenados en forma 
decreciente, con respecto a una letra llamada 
“ORDENATRIZ”, si faltase alguna variable 
se remplazarán por ceros. 
Para dividir dos polinomios se utilizan los 
siguientes métodos: 
1. Método clásico o General 
2. método de los coeficientes separados 
3. Método de los coeficientes 
indeterminados. 
4. Método de Horner 
5. Método de Ruffini 
ESTUDIO DE CADA UNO DE LOS MÉTODOS 
1. Método clásico ó General.- Para dividir 
dos polinomios mediante éste método se 
debe tener en cuenta las siguientes reglas: 
a. Ordenar tanto el dividiendo como el 
divisor según las potencias, 
decrecientemente con respecto a una 
variable. 
b. En caso de faltar una potencia de la 
variable se coloca en su lugar el término 
faltante con coeficiente cero. 
c. Dividir el primer término del dividendo 
por el primer término del divisor para 
obtener el primer término del cociente. 
d. Este término se multiplica por cada uno 
de los términos del divisor y se pasan a 
restar con los correspondientes términos 
del dividendo. 
e. Tratar el resto obtenido en el paso (d), 
como si fuera un nuevo dividendo y 
repetir los pasos (c) y (d). 
f. Continuar este proceso hasta que el resto 
obtenido sea tal que su grado resulte 
menor que el del divisor (o que sea 
cero), dando el proceso como terminado. 
Ejemplo: Dividir: 
a2+2a4-3a3+a-2 entre a2-3a+2 
RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn 
2ª4-3a3+a2+a-2 |a2-3a+2 
-2ª4 + 6a3-4a2 2a2+3a+6 
3a3-3a2+a 
-3a3+9a2-6a 
6a2-5a-2 
-6a2+18a-12 
13a-14 
 q(x) = 2a2+3a+6 
R(x) = 13a-14 
2. Método de los coeficientes separados.- 
En este caso, además de las consideraciones 
anteriores se debe tener en cuenta:

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Expresiones algebráicas

  • 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Conjunto de variables y constantes unidos por las diferentes operaciones fundamentales (adición, sustracción, multiplicación, radicación, división, potenciación y radicación) un número limitado de veces. SON EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1 1 2x 3 y + 8x 2 y - x - a) 2 3 3 b) - 3 x + y NO SON EXPRESIONES ALGEBRAICAS a) 4x 3 - 5cd 5 Porque los exponentes de las letras no pueden ser números irracionales. b) x2 + x3 + x4 + ... Por que tienen un número ilimitado de términos. TÉRMINO ALGEBRAICO Es aquella expresión cuyas variables no están relacionadas por las operaciones de adición o sustracción. Ejemplos: Las siguientes expresiones algebraicas constan de un término algebraico. a) 5x2y b) ( 3 + 4)xy y 2 - c) a4b 3 7 ¡Atención! No es término algebraico: a) 4x2 + 3y b) 3 x - y + 4z2 PARTES DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO En todo término algebraico se distinguen las siguientes partes: coeficiente, parte variable y exponentes. exponentes 5 2 7 x a { 123 iables coeficiente var - - 3 . . Exponentes { 5 3 2 1442443 iables 1 coeficiente m z x 2 var OBSERVACIÓN : El coeficiente incluye el signo que puede ser positivo o negativo OPERACIONES CON TÉRMINOS ALGEBRAICOS (Adición y sustracción) TÉRMINOS SEMEJANTES Se tienen la misma parte literal y las variables correspondientes afectadas por los mismos exponentes. Ejemplo: 1 a) - 3 3x3y2 ~ x3y2 2 b) - 6x2y;4x2y;x2y REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Si dos o más términos semejantes pueden ser reducidos a uno solo, si es que se están sumando o restando. Para ello se suman sus coeficientes y el resultado se pone como coeficientes de la parte literal común. Ejemplo: Reducir los siguientes términos semejantes: 12x5y3 - 17x5y3 Resolución: = 12x5y3 +17x5y3 = (12+17)x5y3 =29x5y3
  • 2. 1 1. Realizar la siguiente operación: 2(a + 2b - 3c) - 3(2a - 3b + 2c) 2. Obtener (a + b) si: x2a+1 y17 es semejante a: x13 y3b+2 3. Sean A y B dos términos semejantes 2 A = 7 + m = x10 . Hallar “m” 7 2 x B 5 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Para multiplicar polinomios, es necesario tener en cuenta la siguiente propiedad. a m . a n = a m + n ; a , Î R , · El producto de dos polinomios se realiza, multiplicando cada término de uno de ellos por todos los términos del otro. Se eliminan términos semejantes y eso es todo. · En el caso de que hayan más de dos polinomios, puedes coger a los dos primeros, los multiplicas y el resultado multiplicarlo por el siguiente polinomio. Este nuevo resultado lo multiplicas por el cuarto polinomio y así sucesivamente. Veamos el ejemplo: Multiplicar: (2x + 5x2) (x – 1) (x + 3) Solución: (2x + 5x2) (x – 1) (x + 3) = 2x.x – 2x.1 + 5x2.x – 5x2.1 = 2x2 – 2x + 5x3 – 5x2 = (-3x2 – 2x + 5x3) (x + 3) = -3x2.x – 3x2.3 – 2x.x – 2x.3 +5x3.x+5x3.3 = -3x3 – 9x2 – 2x2 – 6x +5x4+15x3 = 5x4 + 12x3 – 11x – 6x. PRODUCTOS NOTABLES Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas, que se obtienen en forma directa, sin efectuar la multiplicación. A los productos notables también se les llama “Identidades Algebraicas”. Los más importantes son: I. Trinomio cuadrado perfecto. Ejemplos: · (a+2)2=a2+2.a.2+22=a2+4a+4 · (2a-1)2=(2a)2-2.2a.1+12=4a2-4a+1 Corolario: Identidades de Legendre Ejemplos: · ( 3 + 2 )2+( 3 - 2 )2=2( 2 2 3 + 2 )=10 · (x+5)2-(x-5)2=4.x.5=20x · Importante: · (a-b)2º(b-a)2 desarrollando: a2-2ab+b2ºb2-2ab+a2 II. Diferencia de cuadrados. Ejemplos: · (a+2)(a-2)=a2-22=a2-4 · (m-1)(m+1)=m2-1 · (y+x)(x-y)=x2-y2 · (a2-3)(a2+3)=(a2)2-32=a4-9 III. Trinomio al cuadrado. ; m Î Z Ejemplos: · (x+y+2)2= x2+y2+22+2(xy+2x+2y) = x2+y2+4+2xy+4x+4y · (x+y-3)2 = x2+y2+(-3)2+2[xy+x(-3)+y(-3)] (a+b)2 º a2 + 2ab + b2 (a-b)2 º a2 - 2ab + b2 (a+b)2 +( a-b)2 º 2(a2+b2) (a+b)2 - ( a-b)2 º 4ab (a-b)2m º (b-a)2m (a+b)(a-b) º a2-b2 (a+b+c)2 ºa2+b2+c2+2(ab+ac+bc)
  • 3. 2 = x2+y2+9+2[xy-3x-3y] = x2+y2+9+2xy-6x-6y IV. Binomio al cubo. Ejemplos: · (a+2)3 = a3+3a2.2+3a.22+23 = a3+6a2+12a+8 · (2a-1)3=(2a)3-3(2a)2.1+3(2a).12-13 = 8a3-12a+6a-1 También: Ejemplo: · Si la suma de dos números es 4 y el producto es 5. calcular la suma de cubos. Resolución: (a+b)3ºa3+b3+3ab(a+b) Reemplazamos: a+b=4 Ù ab=5 ⇒ 43=a3+b3+3.5.4 64=a3+b3+60 a3+b3=4 V. Suma y diferencia de cubos Ejemplos: · (x+2)(x2-2x+4)=x3+23=x3+8 · ( 3 3 + 3 2 )( 3 9 - 3 6 + 3 4 )= 3 3 3 3 3 + 2 =5 VI. Producto de Binomios con un término común. Ejemplos: · (a + 2)(a + 3) =a2+(2+3)a+2.3 = a2+5a+6 · (a + 4)(a - 1)=a2+(4-1)a+4(-1) = a2+3a-4 · (a-6)(a+2)=a2+(-6+2)a+(-6)(2) = a2-4a-12 · (a-4)(a-5)=a2+(-4-5)a+(-4)(-5) = a2-9a+20 También: Ejemplos: · (x+1)(x+2)(x+3)=x3+(1+2+3)x2+(1.2+1.3 +2.3)x+1.2.3 = x3+6x2+11x+6 · (x-2)(x+3)(x+4)=x3+(-2+3+4)x2+(-2.3+- 2.4+3.4)x+(-2)(3)(4) = x3+5x2-2x-24 · (x+2)(x-4)(x+6)=x3+(2-4+6)x2+[2(-4)+(- 4)6+6.2]x+2(-4)6 = x3+4x2-20x-48 · (x+1)(x-3)(x-5)=x3+(1-3-5)x2+[1(-3)+(- 3)(-5)+(-5).1]x+1(-3)(-5) = x3-7x2+7x+15 · (x-2)(x-4)(x-6)=x3+(-2-4-6)x2+[(-2)(-4)+(- 4)(-6)+(-6)(-2)]x+(-2)(-4)(-6) = x3-12x2+44x-48 VII. Trinomio al cubo Ejemplo: Si se verifica que: a+b=1, b+c=4, a+c=3 Calcular: a3+b3+c3 RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn a+b = 1 b+c = 4 a+b+c = 4 y a+c = 3 (a+b)3 ºa3+3a2b+3ab2+b3 (a-b)3 ºa3-3a2b+3ab2-b3 (a+b)3 ºa3+b3+3ab(a+b) (a-b)3 ºa3-b3-3ab(a-b) a3+b3 º(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3 º(a-b)(a2+ab+b2) (x+a)(x+b) ºx2+(a+b)x+ab (x+a)(x+b)(x+c) º x3+(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x+abc (x+y+z)3ºx3+y3+z3+3(x+y)(x+z)(y+z) (x+y+z)3ºx3+y3+z3+3(x+y+z)(xy+xz+yz)-3xyz
  • 4. 3 (a+b)(b+c)(a+c)=12 ⇒ (a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c) 43=a3+b3+c3+3(12) a3+b3+c3=28 1. Efectuar: (x+1)(x-1)(x2+1)(x4+1) 2. Calcular: OTRAS IDENTIDADES I. Identidad trinómica de Argand. II. Identidad de Gauss. III. Identidad Especial IV. Identidad de LAGRANDE V. Igualdades condicionales. Si: a+b+c=0 , entonces se cumple: VI. Teoremas. Sean: {x,y,z} Ì R ; {m,n,p} Ì Z+ Luego: 1. x2m+y2n+z2p=0 Û x=y=z=0 2. x2+y2+z2=xy+xz+yzÛx=y=z Ejemplos: 1. Si: a2+b2+c2=3(ab+ac+bc) Hallar: a b c 3abc (a b c)(ab ac bc) M 3 3 3 + + + + = + + - RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn En la identidad de Gauss a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) 3(ab+ac+bc) Entonces: a3+b3+c3-3abc=2(a+b+c)(ab+ac+bc) M= + + + + 2( )( ) a b c ab ac bc a b c ab ac bc + + + + ( )( ) M=2 2. Simplificar: ( ) 3 ( )3 ( )3 x y y z z x = - + - + - x y y z z x 9( )( )( ) R - - - RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn Haciendo: x-y=a ; y-z=b ; z-x=c Se observa que: a+b+c=0 Luego tendremos: a3 + b3 + c3 9abc Por la igualdad condicional: si: a+b+c=0 ⇒ a3+b3+c3=3abc de donde: abc abc 3 3 3 a b c abc R 3 9 9 = + + = R= 1 3 3. Si se cumple que: a3+b3+c3=0 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 R = 5 + 2 + 14 + 2 + 5 - 2 - 14 - 2 (a2+a+1)(a2-a+1)ºa4+a2+1 (a2+ab+b2)(a2-ab+b2)ºa4+a2b2+b4 a3+b3+c3-3abcº(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) (a+b)(a+c)(b+c)+abcº(a+b+c)(ab+ac+bc) (a2+b2)(x2+y2)º(ax+by)2+(ay-bx)2 a2+b2+c2=-2(ab+ac+bc) a3+b3+c3=3abc (ab+ac+bc)2=(ab)2+(ac)2+(bc)2
  • 5. 4 Simplificar: 3 abc ¹ = abc a b a b c b c a c ; 0 - + - + - ( ) ( ) ( ) M RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn 3 abc 2 2 2 ab a bc b ca c M - + - + - = 3 abc a2 b2 c2 ab ac bc ( ) M - + + - - - = = - 3 abc a2 b2 c2 ab ac bc ( ) M + + - - - Como a3+b3+c3+=0, podemos colocarlo así: = + + - a b c 3 abc 3 3 3 2 2 2 ( a b c ab ac bc ) M + + - - - Por la identidad de Gauss: 2 2 2 = + + + + - - - ( a b c )( a b c ab ac bc ) 2 2 2 ( a b c ab ac bc ) M + + - - - Es aquella operación que tiene por finalidad hallar una expresión denominada “cociente”, dadas otras dos denominadas “dividendo” y “divisor”, tal que, el valor numérico del dividendo es igual al producto de los valores numéricos del divisor y el cociente, más el valor numérico del resto para cualquier sistema de valores atribuidos a sus letras. ó Donde: R ( ) D ( ) x x · D(x) = Dividendo · d(x) = Divisor · q(x)= Cociente · R(x) = Resto o residuo Clases de división 1. División exacta: Es división exacta Û R(x)º0 Luego: 2. División Inexacta: Es división inexacta Û R(x) 0 Luego: Observación: Si R(x) º 0, tenemos D(x)ºd(x).q(x), luego podemos decir: · d(x) es divisor de D(x) · d(x) es factor de D(x) · D(x) es divisible por d(x) Ejemplo: EL Polinomio d(x) = x-1, es un factor de D(x)=3x2+2x-5 Pues, D(x) es divisible por d(x), es decir: 0 = 3 x + 2 x - 5 x D ( x ) ⇒ R º 1 ( ) 2 ( ) - x x d PROPIEDADES DE GRADO 1. El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor: 2. El grado del residuo es siempre menor que el grado del divisor, su máximo grado es una unidad menor que el grado del divisor (a excepción de los Polinomios homogéneos). 3. El término independiente del dividendo estará determinado por el producto de los términos independientes del divisor y el cociente más el término independiente del residuo. DIVISIÓN DE POLINOMIOS D(x)ºd(x).q(x)+R(x) ( ) ( ) ( ) x x x d q d º + D(x)ºd(x).q(x) D(x) º d(x).q(x)+R(x) [q(x)]0 = [D(x)]0 – [d(x)]0 RMÁX = [d(x)]0-1 T.I.(D)=T.I.(d).T.I.(q)+T.I.(R)
  • 6. 5 CASOS QUE SE PRESENTAN EN LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS I. División de Monomios.- Para dividir dos monomios, se dividen los signos (según la ley de signos) luego se dividen los coeficientes y por último las partes literales de acuerdo a la ley de exponentes. Ejemplos: * 5 5 4xyz 8x y = 2xy4z-2 2 * m n - 36 a b = -6am-1bn-2 2 6 ab II. División de un polinomio entre un Monomio.- Para dividir un Polinomio entre un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio separadamente entre el monomio divisor y se suman algebraicamente cada uno de éstos resultados. Ejemplo: Dividir: P= 6 5 3 7 5 2 x y + x y - x y 42 21 35 2 7 xy RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn:::: P= 5 2 x y 2 3 4 x y + x y - 2 6 5 2 35 7 21 7 42 7 xy xy xy P=6x5y3+3x2y5-5x4 III. División de dos polinomios.- La división de polinomios sólo es aplicable para: a) Polinomios de una sola variable b) Polinomios homogéneos Se debe tener en cuenta que los polinomios deben ser completos y ordenados en forma decreciente, con respecto a una letra llamada “ORDENATRIZ”, si faltase alguna variable se remplazarán por ceros. Para dividir dos polinomios se utilizan los siguientes métodos: 1. Método clásico o General 2. método de los coeficientes separados 3. Método de los coeficientes indeterminados. 4. Método de Horner 5. Método de Ruffini ESTUDIO DE CADA UNO DE LOS MÉTODOS 1. Método clásico ó General.- Para dividir dos polinomios mediante éste método se debe tener en cuenta las siguientes reglas: a. Ordenar tanto el dividiendo como el divisor según las potencias, decrecientemente con respecto a una variable. b. En caso de faltar una potencia de la variable se coloca en su lugar el término faltante con coeficiente cero. c. Dividir el primer término del dividendo por el primer término del divisor para obtener el primer término del cociente. d. Este término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se pasan a restar con los correspondientes términos del dividendo. e. Tratar el resto obtenido en el paso (d), como si fuera un nuevo dividendo y repetir los pasos (c) y (d). f. Continuar este proceso hasta que el resto obtenido sea tal que su grado resulte menor que el del divisor (o que sea cero), dando el proceso como terminado. Ejemplo: Dividir: a2+2a4-3a3+a-2 entre a2-3a+2 RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn 2ª4-3a3+a2+a-2 |a2-3a+2 -2ª4 + 6a3-4a2 2a2+3a+6 3a3-3a2+a -3a3+9a2-6a 6a2-5a-2 -6a2+18a-12 13a-14 q(x) = 2a2+3a+6 R(x) = 13a-14 2. Método de los coeficientes separados.- En este caso, además de las consideraciones anteriores se debe tener en cuenta:
  • 7. 6 a) Se trabaja solamente con los coeficientes y sus correspondientes signos del dividendo y divisor. b) En caso de faltar un término con una potencia de la variable se coloca en su lugar cero, tanto en el dividendo como en el divisor. c) De esta manera se obtienen los coeficientes con sus signos del polinomio cociente. d) Para determinar el grado del coeficiente y resto se aplican las propiedades. [q(x)]° = [D(x)]° - [d(x)]° [R(x)]° = [d(x)]° - 1 Ejemplo: Dividir. 6a5-20a4-13a3+25a2-12a+7 3a2-a+1 RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn:::: 6 – 20 – 13 + 25 – 12 + 7 |3 – 1 + 1 -6 + 2 - 2 2 – 6 – 7 + 8 -18 – 15 + 25 +18 – 6 + 6 -21 + 31 - 12 +21 – 7 + 7 24 – 5 + 7 -24 + 8 – 8 3 – 1 · [q(x)]° = [D(x)]° - [d(x)]° [q(x)]° = 5 – 2 = 3 · [R(x)]° = [d(x)]° – 1 [R(x)]° = 2 –1 = 1 q(x) = 2a3 – 6a2 – 7a + 8 R(x) = 3a - 1 3. Método de los coeficientes indeterminados.- Este método consiste en plantear el resultado con coeficientes desconocidos, basándose en la identidad fundamental de la división algebraica. El cociente (q) y residuo (R) se asumen que son conocidos con coeficientes indeterminados para poder establecer la identidad. Ejemplo: Dividir: 6x4-x3-17x2+5x-3 3x3+4x2-2x-1 RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn · Análisis de Grados: [q(x)]° = 4 – 3 = 1 [RMÁX]° = 3 – 1 = 2 q(x) y R(x) son de la forma: q(x) = ax+b ......... (I) R(x) = cx2+dx+e ………(II) · Sabemos que: D=d.q+R, para nuestro caso: D(x) d(x) q(x) R(x) · Realizando operaciones en el segundo miembro y agrupando convenientemente. 6x4-x3-17x2+5x-3º3ax4+(4a+3b)x3+ (-2a+4b+c)x2+(-a-2b+d)x+(-b+e) Identificando coeficientes: i) 6=3a ⇒ a=2 ii) –1=4a+3b ⇒ b=-3 iii) –17=-2a+4b+c ⇒ c = -1 iv) 5=-a-2b+d ⇒ d = 1 v) –3=-b+e ⇒ e=-6 q(x) = ax+b = 2x-3 R(x) = cx2+dx+e = -x2+x-6 MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS 1. Método de Guillermo Horner.- Este método es un caso particular y sintetizado del método de los coeficientes separados y se emplea para la división de polinomios de cualquier grado de una y dos variables (asumiendo a una de ellas como tal y las demás hacen el papel de números constantes) teniendo en cuenta que los polinomios deben ser completos y ordenados D=d.q+R 6x4 - x3 -17x2 + 5x - 3 º(3x3 + 4x2 - 2x -1)(ax+b) +(cx2 + dx+ e)
  • 8. 7 en forma descendente con respecto a dicha variable llamada letra ordenatriz, si falta alguna variable se reemplazará por ceros. Gráficamente: d Coeficientes del dividendo - I - V - I ¸ . + Å - S - 0 - R Coef. del cociente Coef. del resto · Los coeficientes del dividendo se escriben con su propio signo arriba de la línea horizontal. · Los coeficientes del divisor se escriben en el lado izquierdo de la línea vertical, el primer coeficiente entre la horizontal y vertical con su propio signo, los demás coeficientes cambiarán de signo. · Luego trazaremos otra línea vertical punteada separando tantos términos del dividendo como términos tenga el divisor con signo cambiado contándolos a partir del extremo derecho del dividendo y así definiremos el cociente y el residuo. En otras palabras podemos decir que el número de columnas que se separan para el resto lo determina el grado del divisor, contándose de derecha a izquierda y las demás le pertenecen al cociente. Procedimiento para dividir: 1° Se divide el primer coeficiente del dividendo entre el primer coeficiente del divisor obteniéndose el primer coeficiente del cociente. 2° El primer coeficiente del cociente multiplica a cada uno de los coeficientes del divisor con signo cambiado y los resultados se colocan debajo de los términos del dividendo corriéndose un lugar hacia la derecha. 3° Se suman los términos de la segunda columna y el resultado se divide entre el primer término del divisor obteniéndose así el segundo término del cociente. 4° Luego se repiten los procedimientos 2° y 3° hasta obtener el último término del cociente, con el cual se obtiene la última fila del dividendo. 5° Llegado éste momento se reducen las columnas que faltan, separando respectivamente el cociente y el resto en sus zonas respectivas. Ejemplo: Dividir: 2x3+10x4+10x2+10x-3+5x5+2x6 x3+2x2+3x-4 RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn q(x)=2x3+x2+2x+3 R(x)=2x2+9x+9 2. Método de Paolo Ruffini.- Este método es un caso particular de la división por “Horner” se emplea para divisores binomios de primer grado de la forma: ax ± b ; a¹0 Ù b>0 o transformables a primer grado REGLAS A SEGUIR · Se verifica si el polinomio dividendo está completo y ordenado. Si faltara uno o más términos éstos se completaran con ceros. · De existir dos o más variables, se asume a una de ellas como tal y las demás hacen el papel de números o constantes. PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR 1° Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes del dividendo; en forma paralela a éste paso se iguala el divisor a cero, se despeja la variable y ésta se coloca en el ángulo inferior izquierdo del gráfico.
  • 9. 8 Así: D I V I D E N D O x=N COCIENTE Resto 2° El primer término del cociente es igual al primer término del dividendo. 3° Luego éste valor se multiplica por el valor despejado de la variable y el resultado se coloca debajo del dividendo, se reduce y se obtiene el segundo término del cociente. 4° Se procede como en el procedimiento 3°, hasta llegar al último término del dividendo al reducir obtenemos el resto de la división el cual siempre será un valor numérico. CASO I · Cuando el primer coeficiente del divisor es igual a la unidad, divisor de la forma (x±b). Ejemplo: Dividir: 3 2 2 5 - + - x x x x 2 - RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn i) Divisor = 0 ⇒ x-2=0 X=2 ii) Llevando a la gráfica de Ruffini: 1 -2 1 -5 2 2 0 2 1 0 1 -3 q(x) = x2+1 R(x) = -3 CASO ESPECIAL: Podemos reconocerlo por que los exponentes del dividendo son múltiplos exactos del exponente del divisor (binomio no necesariamente de primer grado), dichos problemas se resolverán haciendo un cambio de variable. Ejemplo: Dividir: 8 4 2 - - + 3 x 28 x 5 x 4 3 2 + x Resolución: · Colocando como potencias de (x2) 2 4 2 2 2 - - + 3( x ) 28( x ) 5( x ) 4 3 2 + x · Haciendo un cambio de variables: x2=y 3 4 28 2 5 4 - - + y y y 3 + y · Ahora aplicamos el método de Ruffini. i) Divisor = 0 ⇒ y + 3 = 0 y = - 3 ii) Llevando a la gráfica 3 0 -28 -5 4 -3 -9 27 3 6 3 -9 -1 -2 10 q(y)=3y3-9y2-y-2 R(y)=10 Pero y=x2, reemplazando: q(x) = 3x6-9x4-x2-2 R(x) = 10 OBSERVACIÓN: Cuando las potencias del dividendo son múltiplos de la potencia del divisor, se podrá aplicar el proceso anterior. CASO II · Cuando el primer coeficiente del divisor es diferente de la unidad, divisor de la forma ax±b. Gráficamente: D I V I D E N D O x=± b a Cociente falso Resto ¸a Cociente verdadero q(x) = cociente a R(x) = Resto OBSERVACIÓN: De la identidad fundamental: D(º(ax+b).q(x)+R(º b x)x)( a.q() x) R(x)  x + a    + D(x) ¸ ax ± b ; a=1 D(x) ¸ ax ± b ; a ¹ 1
  • 10. 9 Se observa que el cociente queda multiplicado por “a”. Ejemplo: Dividir: 27 4 6 2 15 - + + x x x x - 3 1 Resolución i) Divisor = 0 ⇒ 3x-1=0 x=1/3 ii) Llevando a la gráfica 27 0 -6 1 15 x= 1 9 3 -1 0 3 27 9 -3 0 15 ¸3 9 3 -1 0 q(x) = 9x3+3x2-x R(x) = 15 TEOREMA DE RENÉ DESCARTES (TEOREMA DEL RESTO) Finalidad.- Se utiliza para hallar el resto en una división de polinomios sin la necesidad de efectuar dicha operación, es decir, de una manera directa. Teorema.- En toda división de la forma P(x) entre (ax+b), el resto se halla mediante el valor numérico b  .  - del polinomio P(x) cuando x toma el valor de   a Es decir: P x - ( ) ⇒ x a Demostración.- Utilizando la identidad fundamental de la división será posible expresar así: P(x) º (ax+b) . q(x) + R Cociente Resto o residuo Evaluando la identidad en x=-b/a R b  -     b b q + a  b a = - P a a     +      -  . 1442443 0 P R b = a    -  Ejemplo: Hallar el resto en: 4 3 5 2 3 1 - + - x x x x 2 + RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn i) Divisor = 0 ⇒ x+2=0 x= -2 ii) Reemplazando x = -2 en el dividendo con lo cual se halla el resto. R = 4(-2)3-5(-2)2+3(-2)-1 R = -32-20-6-1 R=-59 COCIENTES NOTABLES Son aquellas divisiones algebraicas en las cuales el cociente y el residuo de la división se obtienen sin mediar algoritmo correspondiente, o sea sin necesidad de efectuar la operación. La división es exacta (esto es, el resto es nulo). Estos casos especiales son de la forma general. xn an ± ± Donde: x, a son las bases nÎN Ù n³2 Condiciones que deben cumplir a) Deben tener las bases iguales. b) Deben tener los exponentes iguales. Así: xn an ± ± x a Numéricamente: x10 a10 ± ± x a CASOS DE COCIENTES NOTABLES Existen cuatro casos de cocientes notables, que se determinan combinando convenientemente los signos; las cuales son: xn an - ; - x a xn an + ; - x a xn an + ; + x a xn an - + x a PRIMER CASO: xn an - - A. Cálculo del Resto: Por el teorema del resto. x-a = 0 ⇒ x=a R=an-an=0 R=0 R=P(a) Resto de la división x a x a
  • 11. 1 0 Esto indica que para cualquier valor entero de “n”, será siempre exacta por lo tanto es un cociente notable. B. Cálculo del cociente: - x a = - + - + - + + - + - - Donde “n” es par o impar Ejemplo: Calcular el cociente en forma directa de: - x a = + + + 3 2 2 3 4 4 x x a xa a - x a SEGUNDO CASO: xn an + - A. Cálculo del resto: Por el teorema del resto. x-a=0 ⇒ x=a R=an+an R=2an¹0 Vemos que en éste caso para cualquier valor de “n” el resto es siempre diferente de cero por lo cual el cociente que se obtiene será siempre un cociente completo y nunca un cociente exacto. B. Cálculo del cociente: x a 2a n + - - - - Donde “n” es par o impar. Importante: Excluiremos el presente caso debido a que la división no es exacta, en consecuencia no es un cociente notable. TERCER CASO: xn an + + A. Cálculo del Resto: Por el teorema del resto. x+a=0 ⇒ x=-a R=(-a)n+an Si:n=# par ⇒ R=an+an=2an¹0 (cociente completo) Si:n=# impar ⇒ R= -an+an=0 (cociente exacto): B. Cálculo del cociente.- + x a = - - - + - - - - + - + Donde “n” es impar. Ejemplo: Calcular el cociente en forma directa de: + x a = - + - + 4 3 2 2 3 4 5 5 x x a x a xa a + x a CUARTO CASO: xn - an + A. Cálculo del resto.- Por el teorema del resto. x+a=0 ⇒ x=-a R=(-a)n-an Si:n = # par ⇒=an-an=0 (cociente exacto) Si:n = # impar⇒R=-an-an=-2an¹0(cociente completo) B. Cálculo del cociente.- - x a = - - - + - - + - - - + Donde “n” es par. FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los cocientes notables sin necesidad de conocer los demás: Sabemos que: = n - 1 + - + - + + - + - { n 2 n 1 n 3 2 t n 2 t t n n x x a x a ... xa a - x a x a 1 2 3 - 123 14243 Donde: t1=xn-1=xn-1a° t2=xn-2a=xn-1a1 t3=xn-3a2=xn-3a2 t69=……..=xn-69a68 En General n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1 n n x x a x a ..... xa a x a x a x a x x a x a .... a x a n 1 n 2 n 3 2 n 1 n n - = + + + + + - x a n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1 n n x x a x a ... xa a x a x a n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1 n n x x a x a ... xa a x a tk= xn-kak-1 ¯ signo ; 1£ k £ n
  • 12. 1 1 Donde: K® es el lugar pedido N ® es el exponente de las bases en el numerador El signo ® se colocará de acuerdo al caso que corresponda. REGLA PARA EL SIGNO a) Cuando el divisor es de la forma (x-a): b) Cuando el divisor es de la forma (x+a) y si: Ejemplo: En el cociente notable de: 60 - 60 x y - x y Hallar el término de lugar 15. RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn: Recordando en xn yn - ⇒ tk=xn-kyk-1 - x y En el problema n=60 Ù k=15 ⇒ t15 = x60-15 . y15-1 t15=x45y14 LEYES DE UN COCIENTE NOTABLE: I. Si la división tiene la forma que origina un cociente notable, el exponente que se repite en el dividendo indica el número de términos del cociente. x100 y100 - a) # de términ os 100 x y ⇒ = - b) 4 50 6 50 - ⇒ (x ) (y ) 4 6 200 300 - x y 4 6 x y x y - - # de términos = 50 II. El cociente se caracteriza por ser completo y ordenado respecto a sus bases; además de ser homogéneo respecto a las mismas. III. El primer término del desarrollo se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primero del divisor. IV. A partir del segundo término los exponentes de la primera base disminuyen de uno en uno, mientras que los de la segunda van aumentando de uno en uno. V. Si el divisor es un binomio diferencia (x-a) todos los términos del cociente serán positivos; pero si es un binomio suma (x+a) los términos del cociente serán alternados (los de lugar impar positivos y los de lugar par negativos). VI. Solo cuando “n” es impar, las bases del término central tendrán igual exponente. Ejemplo: - x a = + + + + + + 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 7 7 x x a x a x a x a xa a - x a VII. Para calcular un término cualquiera contando de derecha a izquierda, sólo basta con intercambiar las bases tanto en el numerador como en el denominador, para luego aplicar la fórmula del término general. Ejemplo: Calcular el término 35 contando a partir de derecha a izquierda del desarrollo de: x121 a121 - - x a RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn: Intercambiando las bases: a121 x121 - - a x Luego: t35=a121-35x35-1=x34a86 VIII. Si: m n x a ± origina un cociente notable x a p q ± Entonces se cumple: n q m = p n m Además: = = q p número de términos Ejemplo: si + - n 1 200 x y x y 2 4 - origina un cociente notable, calcular el valor de “n”. RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn * Como origina un cociente notable: n + 1 = 200 ⇒ n+1=(50)(2) 4 2 n=100-1 n=99 Todos son positivos (+) K=# impar ⇒ (positivo +) K=# par ⇒ (negativo -)
  • 13. 1