1.
Calculo Diferencial e Integral
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
UNIDAD IV. VARIACIÓN DE FUNCION
4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relación con el signo
de la derivada
Una función f(x) es creciente, o aumenta su valor a lo largo del eje X si
su derivada es positiva, en caso de que su derivada sea negativa es
decreciente, y la función no crece ni decrece cuando su derivada es
igual a cero.
Por ejemplo en la siguiente gráfica: Sea f(x) una función continua con
ecuación y=f(x), definida en un intervalo [a, b].
¿En que posiciónes del eje X la función se considera creciente,
decreciente y ninguna de las dos?
Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b]
en el intervalo (a, b) abierto.
Si f’(x)>0 para toda x en [a, b], entonces la función f es creciente
en [a, b].
Si f’(x)<0 para toda x en [a,b], entonces la función f es
decreciente en [a,b].
4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relación con el signo de la derivada
VARIACIÓN DE FUNCIONES
4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relación con el signo
es creciente, o aumenta su valor a lo largo del eje X si
es positiva, en caso de que su derivada sea negativa es
decreciente, y la función no crece ni decrece cuando su derivada es
na función continua con
¿En que posiciónes del eje X la función se considera creciente,
[a, b] y derivable
, entonces la función f es creciente
, entonces la función f es
4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relación con el signo de la derivada
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2.
Calculo Diferencial e Integral
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
EJEMPLO 1. Determine los intervalos abiertos donde la función
3 22
( )
3
f x x x= − es creciente o decreciente.
Solución: Nótese que f es derivable en todos los reales, asi que para
determinar los puntos críticos derivamos e igualamos a cero.
Como no hay puntos donde la derivada de la función no exista
podemos concluir que los puntos críticos son: x = 0 y cuando x = 1.
De tal modo que f es creciente el los intervalos de (-
decreciente en el intervalo (0,1)
4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relación con el signo de la derivada
. Determine los intervalos abiertos donde la función
Solución: Nótese que f es derivable en todos los reales, asi que para
determinar los puntos críticos derivamos e igualamos a cero.
untos donde la derivada de la función no exista
podemos concluir que los puntos críticos son: x = 0 y cuando x = 1.
-∞, 0) y (1, ∞) y
4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relación con el signo de la derivada
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3.
Calculo Diferencial e Integral
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relación con el signo de la derivada
EJEMPLO 2. Aplicación del criterio de la primera derivada.
Determinar los extremos relativos para la función
En el intervalo de (0, 2π).
Solución: La función f(x) es continua en el
determinar los puntos críticos de f en dicho intervalo hacemos f’(x)
igual a cero.
1
( ) ( )
2
f x x sen x= −
1
'( ) cos( ) 0
2
f x x= − =
1
cos( ) 0
2
1
cos( )
2
5
,
3 3
x
x
x
π π
− =
=
=
Los intervalos identificados se resumen en la siguente tabla:
Como podrá notarse la función presenta en x =
y en x = 5π/3 un máximo relativo.
A continuación se muestra la gráfica de la función que se ha utilizado
en este ejemplo:
4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relación con el signo de la derivada
3
. Aplicación del criterio de la primera derivada.
Determinar los extremos relativos para la función
1
( ) ( )
2
f x x sen x= −
Solución: La función f(x) es continua en el intervalo de (0, 2π). Para
determinar los puntos críticos de f en dicho intervalo hacemos f’(x)
Los intervalos identificados se resumen en la siguente tabla:
Como podrá notarse la función presenta en x = π/3 un mínimo relativo,
A continuación se muestra la gráfica de la función que se ha utilizado

4.
Calculo Diferencial e Integral 4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relación con el signo de la derivada
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 4
A continuación se muestra una lista de ejercicios propuestos.

5.
Calculo Diferencial e Integral 4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relación con el signo de la derivada
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 5

6.
Calculo Diferencial e Integral 4.2. Funciones crecientes y decrecientes y su relación con el signo de la derivada
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 6
REFERENCIAS Y FUENTES DE INFORMACIÓN:
Cortesía:
Cálculo: una variable Escrito por George Brinton Thomas
http://books.google.com.mx/books?id=AD1S4y6jumgC&lpg=PA263&dq=funciones%20crecientes%20y%20decrecientes%2C%20signo%20derivada&pg=PA263#v=onepage&q=funciones%20crecientes%20y%20decrecientes,%20signo%20derivada&f=false
Cálculo: conceptos y contextos Escrito por James Stewart
http://books.google.com.mx/books?id=6X6XSKkr8nYC&lpg=PA280&dq=funciones%20crecientes%20y%20decrecientes%2C%20signo%20derivada&pg=PA280#v=onepage&q=funciones%20crecientes%20y%20decrecientes,%20signo%20derivada&f=false
Matemáticas para administración y economía Escrito por Ernest F. Haeussler,Richard S. Paul
http://books.google.com.mx/books?id=pj3cB8QGMgoC&lpg=PA533&dq=funciones%20crecientes%20y%20decrecientes%2C%20signo%20derivada&pg=PA532#v=onepage&q=funciones%20crecientes%20y%20decrecientes,%20signo%20derivada&f=false