ESCUELA : CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN PONENTE: APLICACIONES DE LA DERIVADA CICLO: Ing. Diana A. Torres G. OCTUBRE 2009 – FEBRERO 2010 BIMESTRE: II Bimestre

EJEMPLO Encontrar el valor de La Derivada en los Extremos Relativos:

EJEMPLO Determinación de los extremos en un intervalo cerrado: Determinar los Extremos de f(x) = 3x 4 – 4x 3 en el Intervalo [-1,2]

EJEMPLO Ilustración del Teorema de Rolle Encontrar las dos Intersecciones en x de f(x) = x 2 – 3x + 2 y demostrar que f’(x) = 0 en algún punto entre las dos intersecciones en x

f’(3/2)=0 Tangente Horizontal

EJEMPLO Determinación de una Recta Tangente Dada f(x) = 5 – (4/x), determinar todos los valores de c en el intervalo abierto (1,4) tales que:

EJEMPLO Intervalos sobre los cuales f es creciente y decreciente Determinar los Intervalos abiertos sobre los cuales f(x) es creciente o decreciente:

Creciente Creciente Decreciente

EJEMPLO Aplicación del criterio de la primera derivada. Encontrar los extremos relativos de

Mínimo Relativo Mínimo Relativo Máximo Relativo

EJEMPLO Determinar la Concavidad Determinar los Intervalos Abiertos en los cuales la gráfica de f(x) es cóncava hacia arriba o hacia abajo

f’’(x)> 0 Cóncava hacia arriba f’’(x)> 0 Cóncava hacia arriba f’’(x)> 0 Cóncava hacia abajo

EJEMPLO Determinación de los Puntos de Inflexión Determinar los Puntos de Inflexión y analizar la concavidad de la gráfica de f(x).

Puntos de Inflexión Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba

EJEMPLO Determinación del límite al Infinito Encontrar el límite:

EJEMPLO Determinación del límite al Infinito Encontrar el límite:

y = 2 es una asíntota horizontal

Ejemplos: Determinar cada límite

Análisis de la Gráfica de una Función

EJEMPLO Dibujo de la Gráfica de una Función racional Analizar y Dibujar la Gráfica de f(x)

Mínimo Relativo Asíntota Horizontal y = 2 Asíntota Vertical x = -2 Asíntota Vertical x = 2

EJEMPLO Determinación de la Distancia Mínima ¿Qué puntos sobre la gráfica de y = 4 – x 2 son más cercanos al punto (0,2)? (x,y) d

EJEMPLO Aplicación del Método de Newton Calcular tres iteraciones del Método de Newton para aproximar un 0 de f(x) = x 2 – 2 Utilizar x 1 = 1 como la estimación inicial

n x n f(x n ) f’(x n ) f( x n ) f’(x n ) x n - f( x n ) f’(x n ) 1 1.000000 -1.00000 2.00000 -0.50000 1.50000 2 1.500000 0.250000 3.00000 0.083333 1.416667 3 1.426667 0.006945 2.833334 0.002452 1.414216 4 1.424216

EJEMPLO Determinación de Diferenciales y = x 2 y = 2 sen x y = sen 2x y = 1/x