1. FUNCIONES ESPECIALES
Algunas funciones no están descritas solamente por una
función algebraica o algunas otras no presentan una gráfica
con un trazo continuo, tales funciones requieren un
tratamiento especial por lo cual se estudian de manera
independiente.
Este tipo de funciones son:
• Funciones a trozos
• Valor Absoluto
• Parte entera.

2. FUNCIÓN A TROZOS
DEFINICIÓN
Una función formada por la unión de dos o más funciones,
cada una de ellas definida en intervalos disyuntos, recibe el
nombre de función segmentada o función a trozos.
Así una función a a trozos presenta diferentes expresiones
algebraicas en determinados intervalos; en forma general, una
función a trozos es de la siguiente forma:

3. FUNCIÓN A TROZOS
La gráfica de g(x) está formada por todas las partes 𝑔𝑖(𝑥). El dominio y el rango de g(x)
es la unión de los dominios y los rangos de cada una de las partes que las forman.

4. FUNCIÓN A TROZOS
Primero: se identifican los intervalos en los que se define la función𝑓 𝑥 .
Para 𝑥 ≤ 1, 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 (−∞, 1
En este intervalo solo debemos aplicar la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2
EJEMPLO
Determinar la gráfica, el dominio y el rango de la siguiente función:
𝒇 𝒙 =
𝒙 𝟐, 𝒔𝒊 𝒙 ≤ 𝟏
𝟏 − 𝒙, 𝒙 > 𝟏
Esta es la función que tiene
forma
de:_______________

5. FUNCIÓN A TROZOS
Se realiza una tabla de valores con 𝑓 𝑥 = 𝑥2
x 1 0 -1 -2
y 1 0 1 4
Para el intervalo (1, )+∞ , 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥
x 1,5 2 3 4
y -1 -1 -2 -3
Luego, se realiza la gráfica de la función de acuerdo con las funciones que la componen.

6. FUNCIÓN A TROZOS
Debemos tener en cuenta que el valor 1 del
dominio de la función se encuentra en el
primer intervalo
Finalmente, la gráfica de la función es:
De acuerdo con la gráfica se puede concluir que: Dom𝑓: __________ Ran𝑓: _________________

7. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
DEFINICIÓN
La función valor absoluto se puede considerar como una
función definida a trozos. Esta función asigna a cada número
real del dominio su valor absoluto y está definida por:
𝑓 𝑥 = 𝑥 =
−𝑥, 𝑥 < 0
𝑥, 𝑥 ≥ 0
El dominio de la función es el conjunto de los números reales.
𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℝ

8. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
El rango de la función es el conjunto de los números reales no
negativos.
Es decir, 𝑅𝑎𝑛𝑓 = 0, )+∞
La gráfica de la función valor absoluto es:

9. EJEMPLO
Determinar la gráfica, el dominio y el rango de las siguientes funciones
𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝟒 + 𝟐𝒙 − 𝟔
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟒 + 𝒙 − 𝟓 − 𝟐𝒙
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

10. FUNCIÓN PARTE ENTERA
DEFINICIÓN
La función que asigna a cada elemento del dominio el mayor
entero, menor o igual que él. Recibe el nombre de parte
entera. Es decir,
𝑓 𝑥 = 𝑥 = 𝑛 𝑠𝑖 𝑛 ∈ ℤ 𝑦 𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑛 + 1
Esta función se define de los números reales a los números
enteros, es decir,
𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℝ y 𝑅𝑎𝑛𝑓 = ℤ

11. FUNCIÓN PARTE ENTERA
Algebraicamente, la función parte entera se define así,
𝑓 𝑥 =
−2 𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 < 1
−1 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 0
0 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 1
1 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 2
2 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 < 3
3 𝑠𝑖 3 ≤ 𝑥 < 4
.
.
.
.

12. EJEMPLO
Realizar la gráfica de la siguiente función, Luego halla su dominio y rango
𝒉 𝒙 = 𝒙 − 𝟏
FUNCIÓN PARTE ENTERA
Primero: se construye una tabla de valores y se analiza su comportamiento
x -2,5-1,5-0,5 0,5 1 1,5
y -4 -3 -2 -1 0 0

13. EJEMPLO
La gráfica de a función es:
FUNCIÓN PARTE ENTERA
𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℝ
𝑅𝑎𝑛𝑓 = ℤ

14. EJEMPLO
FUNCIÓN PARTE ENTERA
2. Una compañía de telefonía celular cobra $240 solamente por marcar un
número internacional, de ahí en adelante cada minuto que dure la
llamada genera un incremento de $240. encontrar una expresión
algebraica para la situación planteada.
Primero: se definen las variables
x: duración de la llamada en minutos
y: valor de la llamada en pesos
Luego: se representan algunos
valores en una tabla
x 0 0,5 1,5 2,5 3 4,5
y 240 240 480 720 960 1200
Finalmente, el valor de la llamada se
puede expresar mediante la
siguiente función,
𝑦 = 240 𝑥 − 1

15. EJEMPLO
La gráfica de la función es:
FUNCIÓN PARTE ENTERA